高中数学讲义微89 比赛与闯关问题

微专题89比赛与闯关问题

一、基础知识：

1、常见的比赛规则

（1）〃局M胜制：这种规则的特点为一旦某方获得加次胜利即终止比赛。所以若比赛提前结

束，则一定在最后一次比赛中某方达到加胜。

2

例如：甲，乙两队举行排球比赛，比赛采取5局3胜制，已知甲获胜的概率为一，求甲以3:1

3

获胜的概率：

,2V门、32

解：本题不能认为“四局中甲赢得三局"，从而P=C：--=一，因为如果前三局连胜,

⑶⑴81

则结束比赛而不会开始第四局，所以若比分为3:1,则第四局甲获胜，前三局的比分为2:1,

（2）连胜制：规定某方连胜机场即终止比赛，所以若提前结束比赛，则最后机场连胜且之前

没有达到机场连胜。

例如：甲，乙两队举行比赛，比赛共有7局，若有一方连胜3局，则比赛立即终止。已知甲

3

获胜的概率为二，求甲在第5局终止比赛并获胜的概率

4

解：若第5局比赛结束，根据连胜三局终止比赛的规则，可知甲在第3,4,5局获胜，且第二局

失败（否则若第二局获胜，则第四局就达到三连胜），第一局无论胜负不影响获胜结果。所以

尸=（巾｛|《

（3）比分差距制：规定某方比对方多〃，分即终止比赛，此时首先根据比赛局数确定比分，在

得分过程中要注意使两方的分差小于加

（4）“一票否决制”：在比赛的过程中，如果在某一阶段失败，则被淘汰。此类问题要注意若

达到第加阶段，则意味着前（〃2-1）个阶段均能通关

2、解答此类题目的技巧:

（1）善于引入变量表示事件：可用“字母+变量角标''的形式表示事件“第几局胜利例如：4,

表示“第i局比赛胜利”，则3表示“第i局比赛失败”。

（2）善于使用对立事件求概率：若所求事件含情况较多，可以考虑求对立事件的概率，再用

尸（A）=1-P（N）解出所求事件概率。在处理离散性随机变量分布列时，也可利用概率和为1

的特点，先求出包含情况较少的事件的概率，再间接求出包含情况较多的事件概率

二、典型例题：

例1:某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，回答问题正确者进入下一轮考核，否则即

被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为士，且各轮问

555

题能否正确回答互不影响.

（1）求该选手被淘汰的概率；

（2）记该选手在考核中回答问题的个数为4，求随机变量4的分布列与数学期望.

（1）思路：依题可知，比赛规则为：只要打错一个即被淘汰，如果从问题的正面考虑，则要

考虑到是第几轮被淘汰，情况较多。但此问题的反面为“答对所有问题“，概率易于表示，所以

考虑利用对立事件进行求解

设A,.为“选手正确回答第i轮问题”，事件4为“选手被淘汰”

JJJJL乙J

（2）思路：4可取的值为1,2,3,可知若想多答题，则需要前面的问题均要答对，所以4=1

时，则第一题答错；J=2时，则第一题答对且第二题答错（若第二题答对则需要答第三题）;

J=3时，则第一题答对且第二题答对（第三题无论是否正确，均已答三题），分别求出概率

即可

解：4可取的值为1,2,3

尸信=1)=(P(^=2)=|X|=A

产管=3)=乎|埸

J的分布列为

123

812

P

52525

.•&="+2x§+3x工巨

5252525

例2：某区要进行中学生篮球对抗赛，为争夺最后一个小组赛名额，甲、乙、丙三支篮球队要

进行比赛，根据规则：每两支队伍之间都要比赛一场；每场比赛胜者得3分，负者得。分，没

有平局，获得第一名的将夺得这个参赛名额.已知乙队胜丙队的概率为甲队获得第一名

5

的概率为乙队获得第一名的概率为-L.

615

(1)求甲队分别战胜乙队和丙队的概率:，舄；

(2)设在该次比赛中，甲队得分为X,求X的分布列及期望.

(1)思路：解决£要通过甲队第一的概率与乙队第一的概率两个条件。若甲队第一名，

则甲战胜乙且战胜丙，即片鸟=，；若乙队第一名，则乙战胜甲且战胜丙，即(1一［),=」-,

6515

两个方程即可解出4=:，鸟=;

解：设事件A为“甲队获第一名“，则P(A)=46=，

设事件B为“乙队获第一名”，则P(B)=(1—片)—=白

解得：片=2,匕=_1

1324

(2)思路：依题意可知X可取的值为0,3,6,X=0即两战全负；X=3即一胜一负，要分

成“胜乙负丙”和“负乙胜丙”两种情况讨论：X=6即两战全胜；分别求出概率即可。

X可取的值为0,3,6

.•.P(X=0)=(l—3(1—£)=；

7

P(X=3)=《(1-£)+(1-耽=丘

p(X=6)=利=-

.•.X的分布列为

X036

171

P——

4126

,、1C7,111

EX=0x—F3xF6x-=—

41264

例3：甲、乙两支篮球队赛季总决赛采用7场4胜制，每场必须分出胜负，场与场之间互不影

响，只要有一队获胜4场就结束比赛.现已比赛了4场，且甲篮球队胜3场.已知甲球队第5,

32

6场获胜的概率均为三，但由于体力原因，第7场获胜的概率为上.

55

（1）求甲队分别以4:2,4:3获胜的概率；

（2）设X表示决出冠军时比赛的场数，求X的分布列及数学期望.

（1）思路：前四场比赛甲乙比分为3:1,根据7场4胜制可知，甲再赢一场比赛立刻结束，

所以要想获得4:2,4:3,必须在甲赢一场之前，乙获得比分。所以若比分为4:2,则第5

场乙胜，第6场甲胜；若比分为4:3,则第5,6场均乙胜，第7场甲胜，用概率的乘法即可求

出两个比分的概率

32

解：设事件A,.为“甲队在第i场获胜”，则P（A）=P（A）=j,P（A7）=g

设事件A为“甲队4：2获胜”，事件8为“甲队4：3获胜”

••.P（A）=P（AA）=|i=|P（3）=咽私）=|,|・|=卷

（2）思路：比赛的场数取决于甲是否取胜，所以X可取的值为5,6,7,若X=5,则甲4:1

获胜，即胜第五场；若X=6则甲4:2获胜，即乙胜第五场，甲胜第六场；若X=7,则只

需前六场打成3:3即可，所以只需乙连赢两场。分别计算概率即可得到分布列和期望

比赛场数X可取的值为5,6,7

..・P（X=5）=尸（A）=|P（X=6）=P（44）4

P（X=7）=P（*）=|.|总

.♦.X的分布列为

X567

364

P

52525

例4：甲、乙两人对弈棋局，甲胜、乙胜、和棋的概率都是工，规定有一方累计2胜或者累计

3

2和时，棋局结束。棋局结束时，若是累计两和的情形，则宣布甲乙都获得冠军；若一方累计

2胜，则宣布该方获得冠军，另一方获得亚军。设结束时对弈的总局数为X.

（1）设事件A：“X=3且甲获得冠军”，求A的概率；

（2）求X的分布列和数学期望。

（1）思路：事件A代表“对弈3局且甲获胜“所以甲必须在第三场获胜，且前两场为一胜一和

或一胜一负（胜负先后顺序均可）。按照这几种情况找到对应概率相乘即可

解：设事件A,.为“甲在第，局取胜”，事件与为“第/局和棋”，

事件以为“乙在第攵局取胜”

•.P（A）=P（4A4）+P（44A）+P佃瓦巴）+「（瓦刀鸟）

1212111212118

=—X—X—+—X—X—+-X—X—+—X—X—=一

33333333333327

（2）思路：依题意可得只要有两个相同的结果就结束比赛，所以最多进行4次比赛，最少进

行2次比赛，故X可取的值为2,3,4；在这些值中X=2,X=4包含情况较少，X=2即为

相同的结果出现两次，以甲为研究对象，则情况分为“两胜”，“两负"，"两和"三种情况。X=4

所以概率（）；；2

即为前三场“胜负和”均经历一次,PX=4=4g4=—。对于X=3的情况,

9

由于种类较多，所以利用分布列概率和为1的性质用1一。（乂=2）—尸（乂=4）进行计算

X可取的值为2,3,4

p(x=2)=p(vQ+P(4B2)+P(cc)=；x；+；xm

P(X=4)=A；,,,=2

\)33339

4

p(x=3)=1—P(X=2)_p(x=4)=§

.•.X的分布列为

X234

142

P

399

/.EX=2x—+3x—+4x—=-

3999

小炼有话说：在随机变量所取的值中，如果只有一个值的概率包含情况较多不易计算，那么

可以考虑先计算出其他取值的概率，再用1减去其他概率即可

例5：某电视台举办的闯关节目共有五关，只有通过五关才能获得奖金，规定前三关若有失败

即结束，后两关若有失败再给一次从失败的关开始继续向前闯的机会（后两关总共只有一次

机会），已知某人前三关每关通过的概率都是一，后两关每关通过的概率都是上

32

（1）求该人获得奖金的概率

(2)设该人通过的关数为X,求随机变量X的分布列及数学期望

(1)思路：若该人获得奖金，则前三关必须通过，后两关可以通过，或者只有一次未通过,

借助机会再次通过。分别计算概率再相加即可

解：设事件A,为“第i关通过“，事件A为“获得奖金”

二P(A)=P(A&AAA)+P(A4A4AA)+

(2)思路：依题意可知X的取值为0,1,2,3,4,5,其中前三关失败即结束，所以X=0为第

一关失利；X=1为第一关通过且第二关失利；X=2为第二关通过且第三关失利；X=3

为第三关通过且第四关失利两次；X=4为第四关通过且第五关失利两次；X=5为五关全

部通过获得奖金(即第一问的结果)，其中由于X=4情况较为复杂，所以考虑利用

l-[P（X=0）+P（X=l）+P（X=2）+P（X=3）+P（X=5）]进行处理

X的取值为0,1,2,3,4,5

.•.p（x=o）=p（4）=gP（X=1）=P（AA）=|-1=|

p（x=2）=p（A4A）=|-|-1=^

尸（x=3）=P（A4A44）=（|j©=捺

4

P（X=5）=P（A）=-

2

P（X=4）=l-[p（x=0）+P（X=1）+P（X=2）+P（X=3）+P（X=5）]=方

.•.X的分布列为：

012345

]_24224

P

3927272727

EX=0x—F1x—F2x----F3x------F4x-----h5x—=—

39272727279

例6:：袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为1。现有甲、乙两人

7

从袋中轮流、不放回地摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……直到袋中的球取完即终

止。若摸出白球，则记2分，若摸出黑球，则记1分。每个球在每一次被取出的机会是等可

能的。用片表示甲，乙最终得分差的绝对值.

（1）求袋中原有白球的个数；

（2）求随机变量g的概率分布列及期望Eg

（1）思路：可先设白球个数为〃，已知事件“两球都是白球'’的概率，可用古典概型进行表示，

进而得到关于〃的方程，解出〃=3

解：设袋中原有白球的个数为〃，事件A为“取出两个白球”

厂1

「（4）=胃=一=＞。；=3可解得〃=3

G7

（2）思路：尽管题目描述上是甲，乙轮流取球，但进一步分析可发现在取球过程中，一个人

的取球结果并不影响下一个人的取球，且所求随机变量为取球完成后，两人结果的比较。所

以只需关注甲，乙最后取到的球的个数即可。由（1）可知袋中有4个黑球，3个白球，甲先

取球，所以甲取到4个球，甲取球的结果可以是：4黑，1白3黑，2白2黑，3白1黑，对

应的分数为4分，5分，6分，7分，剩下的球属于乙，所以乙对应的情况为3白，2白1黑，

1白2黑，3黑，分数为6分，5分，4分，3分。所以甲乙分数差的绝对值J可取的值为0,2,4,

再分别求出概率即可。

，可取的值为0,2,4

P（"0）=管中C+CC=19

P（八2）

~ci-35

CC-4

P（4=4）=

C；35

故J的分布列为:

024

12194

p

353535

1219454

E^=200x—+2x—+4x—

35353535

小炼有话说：（1）本题第（2）问的亮点在于，分析过程的特点后，直接从结果入手，去分析

两人所得球的情况，忽略取球的过程，从而大大简化概率的计算

（2）本题要注意甲取球的结果就已经决定乙的结果，所以在计算概率时以甲的取球结果为研

究对象。

例7：某校举行中学生“珍爱地球・保护家园”的环保知识比赛，比赛分为初赛和复赛两部分，初

赛采用选手从备选题中选一题答一题的方式进行；每位选手最多有5次答题机会，选手累计

答对3题或答错3题即终止比赛，答对3题者直接进入复赛，答错3题者则被淘汰.已知选

手甲答对每个题的概率均为巳，且相互间没有影响.

4

(1)求选手甲进入复赛的概率：

(2)设选手甲在初赛中答题的个数为X,试求X的分布列和数学期望.

(1)思路：若甲能进入复赛，则要答对三道题，但因为答对3题后立即终止比赛，所以要通

过最后一次答题正确进入复赛。答题的次数为3次，4次，5次，答题3次即为全对，答题4

2

次,则要在前3次答对2题，即C；,然后第4题正确进入复赛；同理，答题5次

题,即唬冏2

时,要在前4次中答对2然后第5题正确。

解:设事件A为“甲进入复赛”

⑶32\2

•••尸⑷+C；(辨)•泊(泥冏嘿

(2)思路：首先甲最少答3题，最多答5题，故X可取的值为3,4,5,要注意答题结束分为

进入复赛和淘汰两种情况。当甲答3道题时，可能全对或全错；同理甲答4道题时，可能3

对1错或是3错1对；当甲答5道题时，只要前4题2对2错，无论第5题结果如何，均答

了5道题。分别计算对应概率即可得到X的分布列，从而计算出EX

解：X可取的值为3,4,5

45

128

/.X的分布列为

X345

54527

P

32128128

・•.EX=3xa+4x至+5、?=鸳

32128128128

小炼有话说：本题的关键在于对独立重复试验模型概率公式的理解：对于

Pk=C\pR-p[i,是指在〃次独立重复试脸中，没有其它要求，事件A发生人次的概率。

其中C：代表〃次中的任意左次试脸的结果是A。如果对左次试验的结果有一定的要求，则不

能使用公式。例如本题在第（1）问中处理答题4次的时候，因为要在第4次答题正确，对前

3次答题没有要求，所以在前3次试验中可使用公式计算，而第4次要单独列出。若直接用

CJ--则意味着只需4次答题正确3次（不要求是哪3道正确）即可，那么包含着前3

[4,

次正确的情况，那么按要求就不会进行第4题了。

例8：甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，

则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为土2，乙获胜的概率为1上，各局比赛结

33

果相互独立.

（1）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；

（2）记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和期望.

（1）思路：依题意可知获胜的要求是连胜2场，所以可分2局，3局，4局三种情况，通过

后两场连胜赢得比赛，其余各场按“胜负交替”进行排列

解：设4为“甲在第i局获胜”，事件A为“甲在4局以内（含4局）赢得比赛”

•.P(A)=P(A4)+p(^44)+P(A兄44)

22122212256

=—X—+—X—X--1——X—X—X—=——

33333333381

(2)思路：首先依题意能确定X可取的值为2,3,4,5,若提前结束比赛，则按(1)的想法,

除了最后两场要连胜（或连败），其余各场应“胜负交替”。在每个事件中要分甲获胜和乙获胜

两种情况进行讨论

解：X可取的值为2,3,4,5

p(X=2)=p(A4)+p(*)=(|J+]J=I

2

2

P(X=3)=P(N4A)+P；x

3

2

P(X=4)=P(A兀44)+p(N&AQ——x

3

2

P(X=5)=P(A兀+=—X—X—X—+—X—x-x—=—

3333333381

，X的分布列为:

X2345

52108

P

998181

例9：甲乙两人进行象棋比赛，规定：每次胜者得1分，负者得0分；当其中一人的得分比另

一人的得分多2分时则赢得这场比赛，此时比赛结束；同时规定比赛的次数最多不超过6次,

即经6次比赛，得分多者赢得比赛，得分相等为和局。已知每次比赛甲获胜的概率为三，乙

3

获胜的概率为g,假定各次比赛相互独立，比赛经J次结束，求：

（1）J=2的概率；

（2）随机变量g的分布列及数学期望。

（1）思路：J=2代表比赛经过2次就结束，说明甲连胜两局或者乙连胜两局，进而可计算

出概率

解：设事件A,为“甲在第i局获胜”

.••尸（"2）=尸（A4）+尸（网=5+国=|

（2）思路：考虑J可取的值只能是2,4,6（因为奇数局不会产生多赢2分的情况），当J=4B寸，

即甲乙比分为3:1或是1:3（在第4局完成多两分），所以只能是在前两局打成1:1,然后一

方连赢两局结束比赛。计算出P（J=2）,P（J=4）,即可求出P（J=6）

解：J可取的值为2,4,6

P(4=2)=|

P偌=4)=p(AAAA)+P(A4荻)+P(UA)+P(AAAA)

21

=­x—x

33

%=6)=1-尸("2)-P传=4)=曹

O1

4的分布列为:

4246

52016

P

98?81

^=2X5+4X20+6X16=266

981818