浅析构造法在解题中的应用

浅析构造法在解题中的应用袁炳金〔四川省射洪中学，629200〕数学的人文价值不仅为数学是现代文明的一局部，而且表达为数学对现代文明的深远影响。所以，置身于平凡抽象的数学问题中，追求思维简易化，挖掘蕴涵其中的数学思想，整理归纳其中的数学方法，学会“点石成金”之术，建立完整的知识网络体系，开展真正的数学创新能力，这是数学学习的宗旨。构造法，它是根据问题中的条件或结论的特征，以问题中的数学关系为“框架”，以问题中的数学“元件”，构造出新的对象或数学模型，从而使问题转化并得到解决的方法。它往往表现出简洁、明了、精巧，新颖等特点。但如何应用构造法解题，这是一项创造性工作，现结合一些具体的题目，略陈管见。构造对偶式解决问题前，充分观察所给式子的结构特征，构造出与式子结构相同或对称，奇偶、正余函数对换的式子，然后把它与原式经过或加减或乘除进行研究，有时会得到意想不到的效果。例1.〔1〕求的值；〔2〕求证〔1〕解：令A=构造对偶式B=那么：————————————————①————————————————②由〔①+②〕÷2得A=〔2〕证明：令构造对偶式显然：A<B二、构造向量向量作为高中数学中很不起眼的一章，平时我们仅限于它自身知识的学习及作为其他章节的工具来用。但实际上，因为它与标量的不同而形成的特殊运算规律与性质为我们解决多组数据或多维问题提供了很好的思维方向。例2.〔1〕，，求的值。〔2〕，，求的值。〔3〕求使函数取得最大值时的的值。〔1〕解：构造向量得，如图1xxoyEMBEDEquation.3图1xxoy图2〔2〕解：构造向量由题，而，如图2，三等分单位圆，又,所以〔3〕解：构造向量显然，而，所以当且仅当与同向时取最大值，此时。三、构造方程方程是我们再熟悉不过的了，但我们的学习不止与此，其它非方程问题是否也能够运用方程的思想来研究呢？例3.〔1〕求的值；〔2〕在中，求证：〔1〕解：构造方程那么：当然，学习了等比数列我们这是一个无穷递缩等比数列的所有项之和问题，〔2〕证明：构造方程:令由四、构造数列数列作为特殊的函数，它与函数既联系又区别。对于正整数问题我们可以考虑用数列思想来研究。例4.〔1〕不等式对于且恒成立，求的范围；〔2〕设，求证：〔1〕解：构造数列{}:令那么：所以单调递增只需〔2〕证明：构造数列{}:令而五、构造函数在高中阶段函数的地位是相当重要的，函数的图像和性质〔尤其是函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性〕为我们解决很多问题都带来了极大的方便。所以在解题时，我们可以构造函数的性质解题或利用函数图像数形结合解题。例5.〔1〕解方程：；〔2〕，证明：。〔1〕解：构造函数，显然为单调递增函数由题〔2〕证明：构造函数那么为一次函数或常值函数，且。因为且即：得证。当然，根据题目的条件我们还可以构造曲线〔如圆、椭圆、双曲线、抛物线等〕来解题。六、构造几何图形在解决代数问题时还可以构造一些几何图形，让所给的量与关系在图形中反响出来，我们通过数形结合使问题变得简洁、明了，从而解决问题到达事半功倍的效果。例6.〔1〕在中，，那么；〔2〕假设，且，证明：。xxyDACBEFz图4CCAA’B图3分析：因为任何一个三角形都有外接圆，由，，所以构造图3所示的外接圆。当点A在所对的优弧上时，∠A的大小都不变。很显然，当A移动到弦的中垂线与的优弧的交点A’时，三角形的面积最大。此时三角形为等边三角形，。分析：由条件构造边长为k的正〔如图4〕。在三边上依次取分点D、E、F使。很显然。然后运用正弦定理的面积公式即可得出结论：。七、构造二项式或多项式例7.〔1〕化简;(2)有限集的全部元素之积称为的“积数”，给定，那么的所有含偶数个元素的子集的“积数”之和为。解：〔1〕构造，因为表示展开式中项的系数，而，展开式中项的系数为。所以，。〔2〕构造，由题即求。显然，再分别令和即