高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）第05课时二项式定理(原卷版+解析)

第5课时二项式定理编写：廖云波【回归教材】1.二项式定理二项式定理二项展开式公式右边的多项式二项式系数二项展开式中各项的系数二项展开式的通项它表示第k＋1项2.二项式系数的性质性质对称性与首末等距的两个二项式系数，即增减性与最大值当时，二项式系数是当时，二项式系数是当n为偶数时，中间的二项式系数最大当n为奇数时，中间的二项式系数相等且最大二项式系数的和3.【常用结论】(1)是第k＋1项，而不是第k项．(2)通项公式中a，b的位置不能颠倒．(3)通项公式中含有a，b，n，k，Tk＋1五个元素，只要知道其中四个就可以求出第五个，即“知四求一”.【典例讲练】题型一求展开式中的特定项【例1-1】用二项式定理展开______．【例1-2】已知在的展开式中，第9项为常数项．求：(1)实数的值；(2)展开式中第7项的二项式系数和的系数；(3)展开式中的所有有理项．【例1-3】的展开式中的常数项为___________.【例1-4】的展开式中，常数项为（

）A． B． C． D．归纳总结：【练习1-1】求的展开式．【练习1-2】若的展开式共有项，则___________；展开式中的常数项是___________.【练习1-3】在的展开式中，项的系数为（）A． B． C．30 D．50题型二二项式系数的性质【例2-1】已知的展开式中，前三项的系数成等差数列．(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项．归纳总结：【练习2-1】在的展开式中第项和第项的二项式系数最大，则_________.【练习2-2】在的展开式中，其二项式系数和为64，则所有项的系数和为________．【练习2-3】已知的展开式中，第二项的系数为，常数项的值为，(1)求的值；(2)求展开式中二项式系数最大的项.题型三二项式系数的和【例3-1】.求：(1)；(2)；(3)；(4)展开式中二项式系数和以及偶数项的二项式系数和；(5).归纳总结：【练习3-1】【多选题】若，则下列结果正确的是（

）A． B．C． D．【练习3-2】【已知的展开式的各二项式系数之和为128，则______；若，则______．题型四二项式定理的应用【例4-1】【多选题】设，且，若能被13整除，则a的值可以为（

）A．0 B．11 C．12 D．25【例4-2】请利用二项式定理证明：.【例4-3】的近似值（精确到）为________．归纳总结：【练习4-1】的计算结果精确到0.001的近似值是（

）A．0.930 B．0.931 C．0.932 D．0.933【练习4-2】设，且，若能被整除，则（

）A． B． C． D．题型五杨辉三角【例5-1】“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晚近四百年.在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中（如图），记第2行的第3个数字为，第3行的第3个数字为，第行的第3个数字为，则（

）A．165 B．180 C．220 D．236【练习5-1】【多选题】我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算术》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的，以下关于杨辉三角的叙述证确的是（

）A．第9行中从左到右第6个数是126B．C．D．【完成课时作业（六十七）】

【课时作业（六十七）】A组础题巩固1．若的展开式中各项系数的和为256，则的值为（

）A．10 B．8 C．6 D．42．的展开式中的系数为（

）A．15 B．60 C．120 D．2403．若的展开式中的系数为0，则（

）A． B． C． D．4．若，则（

）A．40 B．41 C． D．5．已知，则（

）A．224 B． C． D．4486．设，若，则展开式中系数最大的项是（

）A． B． C． D．7．【多选题】已知的展开式中各项的二项式系数之和为64，则（

）．A．B．展开式中各项的系数和为1C．展开式中第3项或第4项的二项式系数最大D．展开式中有理项只有4项8．的展开式中的系数为________________（用数字作答）．9．的近似值为．(精确到两位小数)10．已知能被13整除，则实数____________．11．在的展开式中的系数为________．12．已知多项式，则__________，___________．13．计算：________．14．已知展开式的第项和第项的二项式系数相等．(1)问展开式中是否存在常数项，若存在，请写出常数项，若不存在，请说明理由．(2)求展开式中系数最大的项．B组挑战自我1．若，且，则实数的值可以为（

）A．1或 B． C．或3 D．2．（

）A． B． C． D．3．设，则________．4．如图所示的杨辉三角中，从第行开始，每一行除两端的数字是以外，其他每一个数字都是它肩上两个数字之和在此数阵中，若对于正整数，第行中最大的数为，第行中最大的数为，且，则的值为______．第5课时二项式定理编写：廖云波【回归教材】1.二项式定理二项式定理二项展开式公式右边的多项式二项式系数二项展开式中各项的系数二项展开式的通项它表示第k＋1项2.二项式系数的性质性质对称性与首末等距的两个二项式系数相等，即增减性与最大值当时，二项式系数是递增的当时，二项式系数是递减的当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大当n为奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大二项式系数的和3.【常用结论】(1)是第k＋1项，而不是第k项．(2)通项公式中a，b的位置不能颠倒．(3)通项公式中含有a，b，n，k，Tk＋1五个元素，只要知道其中四个就可以求出第五个，即“知四求一”.【典例讲练】题型一求展开式中的特定项【例1-1】用二项式定理展开______．【答案】【分析】利用二项式定理展开即可.【详解】．故答案为：【例1-2】已知在的展开式中，第9项为常数项．求：(1)实数的值；(2)展开式中第7项的二项式系数和的系数；(3)展开式中的所有有理项．【答案】(1)(2)二项式系数是，系数为(3)第1项，第3项，第5项，第7项，第9项，第11项【分析】（1）写出二项展开式的通项，，根据题意求出的值；（2）二项式系数即，令，求出，带回通项，得到的系数；（3）有理项必须满足为整数，其中.（1）的展开式的通项为．因为第9项为常数项，所以当时，，解得．（2）由（1）可得第7项的二项式系数是．令，得，所以展开式中的系数为．（3）由题意，为整数，故只需为偶数．因为，所以符合要求的有6项，分别为展开式的第1项，第3项，第5项，第7项，第9项，第11项．【例1-3】的展开式中的常数项为___________.【答案】【分析】现将原式分为两个多项式，分别用二项式定理计算即可.【详解】，对于，通项公式为，令，得r=3，；对于，通项公式为，不存在常数项；∴常数项为-10；故答案为：-10.【例1-4】的展开式中，常数项为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】中将看成一项，两次展开，求出展开式的通项，令的指数为0，即可求解.【详解】，展开式通项为，令，当时，为常数项即.故选:A.归纳总结：【练习1-1】求的展开式．【答案】【分析】直接利用二项式定理展开即可.【详解】【练习1-2】若的展开式共有项，则___________；展开式中的常数项是___________.【答案】

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60【分析】根据给定条件，利用二项式定理直接求出n值，再利用展开式的通项公式求解常数项作答.【详解】因的展开式共有项，则，解得，的展开式通项为：，由得：，所以的展开式是.故答案为：6；60【练习1-3】在的展开式中，项的系数为（）A． B． C．30 D．50【答案】B【分析】根据多项式展开式确定含的项组成情况，再根据乘法计数原理与加法计数原理求结果.【详解】表示5个因式的乘积，在这5个因式中，有2个因式都选，其余的3个因式都选1，相乘可得含的项；或者有3个因式选，有1个因式选，1个因式选1，相乘可得含的项，故项的系数为，故选B．题型二二项式系数的性质【例2-1】已知的展开式中，前三项的系数成等差数列．(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用二项式展开式的通项和等差中项解出.当是偶数时，中间项的二项式系数最大，当为奇数时，中间两项的二项式系数，相等且最大．（2）求系数最大的项，则只需比较相邻两项系数的大小即可．（1）的展开式的通项．因为展开式中前三项的系数成等差数列，所以，即，整理得，解得或．又因为，所以，所以第5项的二项式系数最大，所以二项式系数最大的项为．（2）由（1）得展开式中系数为由得整理得，解得所以当或时项的系数最大.因此，展开式中系数最大的项为和．归纳总结：【练习2-1】在的展开式中第项和第项的二项式系数最大，则_________.【答案】【分析】由题意利用二项式系数的性质，求得的值．【详解】解：若展开式中第4项与第5项二项式系数最大，即，则．故答案为：【练习2-2】在的展开式中，其二项式系数和为64，则所有项的系数和为________．【答案】64【分析】根据二项式系数和求得n的值，再用赋值法求得各项系数和即可.【详解】由题意可得，解得,故令，则所有项的系数和为，故答案为：64【练习2-3】已知的展开式中，第二项的系数为，常数项的值为，(1)求的值；(2)求展开式中二项式系数最大的项.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用二项式展开式的通项公式即可求解第二项的系数和常数项；（2）二项式展开式中二项式的系数为，当时，二项式系数最大，即所求项为第四项.(1)解：二项式展开式的通项公式为：，则，故，当时，，则常数项为，故，所以.(2)解：二项式展开式中共有7项，二项式系数为，当时，二项式系数最大，则展开式中二项式系数最大的项为第四项，即.题型三二项式系数的和【例3-1】.求：(1)；(2)；(3)；(4)展开式中二项式系数和以及偶数项的二项式系数和；(5).【答案】(1)1(2)(3)(4)，(5)4044【分析】（1）令，即可求解；（2）令，结合（1）即可求解；（3）相当于求展开式的系数和，令即可求解；（4）由二项式系数和性质求解即可；（5）两边分别求导得，令，即可求解（1）令，得①.（2）令，得②.由①-②得，.（3）相当于求展开式的系数和，令，得.（4）展开式中二项式系数和是.展开式中偶数项的二项系数和是.（5）两边分别求导得：，令，得归纳总结：【练习3-1】【多选题】若，则下列结果正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根据二项式展开式和系数的性质，逐项分析即可得出答案.【详解】令可得，①，故A正确；令可得：，②①②可得：，故，故B正确；令可得：，③令可得：，④把③代入④即可得出：，故C错误；两边对求导得．令可得，故D正确.故选：ABD【练习3-2】【已知的展开式的各二项式系数之和为128，则______；若，则______．【答案】

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129【分析】根据二项式系数之和为可求得，分别令，即可得出答案.【详解】解：因为的展开式的各二项式系数之和为128，所以，可得，令，得，令，得，所以．故答案为：7；129.题型四二项式定理的应用【例4-1】【多选题】设，且，若能被13整除，则a的值可以为（

）A．0 B．11 C．12 D．25【答案】CD【分析】化简，再利用二项式定理分析得解.【详解】解：，又52能被13整除，∴需使能被13整除，即能被13整除，∴，，又，∴或25.故选：CD．【例4-2】请利用二项式定理证明：.【答案】证明见解析.【分析】由于，利用二项式定理将展开，然后利用放缩法可证得结果.【详解】证当，时，,所以结论成立.【例4-3】的近似值（精确到）为________．【答案】．【分析】，按二项式定理展开，按照近似要求求解.【详解】由二项式定理，.故答案为：1.13.归纳总结：【练习4-1】的计算结果精确到0.001的近似值是（

）A．0.930 B．0.931 C．0.932 D．0.933【答案】C【分析】由二项式定理求解【详解】.故选：C【练习4-2】设，且，若能被整除，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】因为，利用二项式定理展开式可得能被整除，由此求出的值.【详解】因为，所以展开式为，其中每一项都能被整除，，其中每一项都能被整除，所以能被整除的余数为，因为，且，若能被整除，所以能被整除，所以.故选：D.题型五杨辉三角【例5-1】“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晚近四百年.在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中（如图），记第2行的第3个数字为，第3行的第3个数字为，第行的第3个数字为，则（

）A．165 B．180 C．220 D．236【答案】A【分析】根据杨辉三角及二项式系数的性质确定，…，，再应用组合数的运算性质求结果.【详解】由题意得，，则.故选：【练习5-1】【多选题】我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算术》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的，以下关于杨辉三角的叙述证确的是（

）A．第9行中从左到右第6个数是126B．C．D．【答案】ABD【分析】根据杨辉三角，利用组合数的计算判断ABD，利用二项式系数的性质判断C.【详解】对于A，第9行中从左到右第6个数是，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，由二项式系数的性质知，故C错误；对于D，，故D正确.故选：ABD.【完成课时作业（六十七）】

【课时作业（六十七）】A组础题巩固1．若的展开式中各项系数的和为256，则的值为（

）A．10 B．8 C．6 D．4【答案】D【分析】设，令解方程得解.【详解】解：设，令得，解得．故选：D2．的展开式中的系数为（

）A．15 B．60 C．120 D．240【答案】B【分析】根据二项展开式通项公式计算．【详解】，所以的系数是．故选：B．3．若的展开式中的系数为0，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求得的展开式中和的系数，得到的展开式中的系数，进而可以解得.【详解】因为的展开式中的系数为，的系数为，所以的展开式中的系数为，由，得.故选：C.4．若，则（

）A．40 B．41 C． D．【答案】B【分析】利用赋值法可求的值.【详解】令，则，令，则，故，故选：B.5．已知，则（

）A．224 B． C． D．448【答案】D【分析】根据二项展开式的项的特点，应将其变形成项所对应的二项式形式，再借助通项求解系数.【详解】令，得，则可化为：，二项展开式通项为：所以故选：D.6．设，若，则展开式中系数最大的项是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用赋值法可求得，继而求得，由此可得,求得n的值，即可求得答案.【详解】因为，所以当时，可得；当时，可得．又，所以，得，所以的展开式中系数最大的项为第4项，即,故选：B7．【多选题】已知的展开式中各项的二项式系数之和为64，则（

）．A．B．展开式中各项的系数和为1C．展开式中第3项或第4项的二项式系数最大D．展开式中有理项只有4项【答案】ABD【分析】根据二项式系数之和为求出，即可判断A，再利用赋值法求出所有项系数和，即可判断B，再根据二项式系数的特征判断C，最后利用展开式的通项判断D；【详解】解：因为展开式中各项的二项式系数之和为，所以，，故A正确；令，得所有项的系数和为1，故B正确；因为，所以展开式共7项，所以第4项的二项式系数最大，故C错误；因为通项是，当，2，4，6时为有理项，所以只有4项为有理项，故D正确．故选：ABD8．的展开式中的系数为________________（用数字作答）．【答案】-28【分析】可化为，结合二项式展开式的通项公式求解.【详解】因为，所以的展开式中含的项为，的展开式中的系数为-28故答案为：-289．的近似值为．(精确到两位小数)【答案】【解析】由，利用二项式定理可求得近似值.【详解】.10．已知能被13整除，则实数____________．【答案】10【分析】首先根据题意得到，再利用二项式定理展开即可得到答案.【详解】因为，所以，即．故答案为：1011．在的展开式中的系数为________．【答案】28【分析】将化为，写出其通项公式，再利用的通项公式，即可求得答案.【详解】的展开式的通项为，的展开式的通项为，,令，可得，,故展开式中的系数为,故答案为:2812．已知多项式，则__________，___________．【答案】

【分析】第一空利用二项式定理直接求