高考数学一轮复习题型讲解+专题训练(新高考专用)专题42抛物线及其几何性质(原卷版+解析)

2023高考一轮复习讲与练专题42抛物线及其几何性质抛物线及其几何性质抛物线及其几何性质抛物线定义抛物线方程抛物线焦点弦抛物线最值抛物线中点弦抛物线焦点弦抛物线最值抛物线中点弦练高考明方向1.(2023·全国乙（理、文））设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（）A.2 B. C.3 D.2.(2023·新高考Ⅱ卷T10）已知O为坐标原点，过抛物线的焦点F的直线与C交于A，B两点，点A在第一象限，点，若，则（）A.直线的斜率为 B.C. D.3.(2023·新高考Ⅰ卷T11）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（）A.C的准线为 B.直线AB与C相切C. D.4.(2023·全国甲（文、理）T21）设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，．（1）求C的方程；（2）设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程．5．（2023·全国高考真题）已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为______.6．（2023·北京高考真题）已知抛物线，焦点为，点为抛物线上的点，且，则的横坐标是_______；作轴于，则_______．7．(2023年高考数学课标Ⅱ卷理科)已知椭圆C1：(a>b>0)右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=|AB|．(1)求C1的离心率；(2)设M是C1与C2的公共点，若|MF|=5，求C1与C2的标准方程．8．(2023年高考数学课标Ⅰ卷理科)已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p= ()A．2 B．3 C．6 D．99．(2023年高考数学课标Ⅲ卷理科)设为坐标原点，直线与抛物线C：交于，两点，若，则的焦点坐标为 ()A． B． C． D．10．(2023年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)已知抛物线的焦点为，斜率为的直线与的交点为，，与轴的交点为．(1)若，求的方程；(2)若，求．11．(2023年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，则 ()A． B． C． D．12．(2023年高考数学课标卷Ⅰ（理）)设抛物线的焦点为．过点且斜率为的直线与交于两点，则 ()A． B． C． D．13．(2023年高考数学新课标Ⅰ卷理科)已知为抛物线的焦点,过作两条互相垂直的直线,,直线与交于两点,直线与交于两点,则的是小值为 ()A． B． C． D．14．(2023高考数学课标Ⅰ卷理科)以抛物线的顶点为圆心的圆交于两点，交的准线于两点．已知，，则的焦点到准线的距离为 ()(A)2(B)4(C)6(D)815．(2023高考数学课标2理科)设F为抛物线C:的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A．B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为 ()A． B． C． D．16．(2023高考数学课标1理科)已知抛物线:的焦点为,准线为,是上一点,是直线与的一个交点,若,则= ()A． B． C．3 D．217．(2023高考数学新课标2理科)设抛物线的焦点为，点在上，，若以为直径的圆过点，则的方程为 ()A．或 B．或C．或 D．或18．(2023高考数学新课标理科)等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点，，则的实轴长为 ()A． B． C．4 D．819．(2023年高考数学课标Ⅲ卷（理）)已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于两点，若，则．20．(2023年高考数学课标Ⅱ卷理科)已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，则．21．(2023年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知抛物线，过点的直线交与两点，圆是以线段为直径的圆．(1)证明：坐标原点在圆上；(2)设圆过点，求直线与圆的方程．22．(2023年高考数学课标Ⅱ卷（理）)设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．(1)求的方程；(2)求过点，且与的准线相切的圆的方程．讲典例备高考类型一、抛物线定义的应用基础知识：抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．基本题型：1.已知为抛物线上一点，为该抛物线焦点，若点坐标为，则最小值为（）A.B.C.D.2.已知抛物线上一点到焦点的距离为，则点到轴的距离为（）A.B.C.D.3．如图，过抛物线的焦点的直线依次交抛物线及准线于点，若且，则抛物线的方程为（

）A．B．C．D．4.已知抛物线，为抛物线上的任意一点，以为圆心的圆始终与直线相切，则圆过定点________.基本方法：利用抛物线的定义可解决的常见问题1、轨迹问题：用抛物线的定义可以确定与定点、定直线距离有关的动点轨迹是否为抛物线。2、距离问题：灵活地进行抛物线上的点到焦点距离与其到准线距离间的等价转化．“看到准线应该想到焦点，看到焦点应该想到准线”，这是解决抛物线中与距离有关的问题的有效途径。类型二、求抛物线的标准方程基础知识：抛物线的标准方程：标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离基础题型：1.已知抛物线准线方程为，则其标准方程为()A. B.C. D.2．（多选题）设抛物线C：的焦点为F，点M在C上，，若以MF为直径的圆过点，则抛物线C的方程为（

）A． B． C． D．3.抛物线的准线方程是，则的值为.4．已知点，抛物线的焦点为，准线为，线段交抛物线于点，过点作准线的垂线，垂足为.若，则抛物线C的标准方程为___________.基本方法：求抛物线标准方程的方法1、定义法：根据抛物线的定义，确定p的值(系数p是指焦点到准线的距离)，再结合焦点位置，求出抛物线方程．标准方程有四种形式，要注意选择2、待定系数法：若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在x轴上的抛物线的标准方程可统一设为y2＝ax(a≠0)，a的正负由题设来定；焦点在y轴上的抛物线的标准方程可设为x2＝ay(a≠0)，这样就减少了不必要的讨论类型三、抛物线方程的应用基本题型：1.如图所示，一隧道内设有双行线公路，其截面由一个长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（假设车顶为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有，已知行车道总宽度，则车辆通过隧道的限制高度为（）A.B.C.D.2.如图所示，某桥是抛物线形拱桥，此时水面宽为，经过一次暴雨后，水位上升了，水面宽为，则暴雨后的水面离桥拱顶的距离为（）A．B．C．D．3．苏州市“东方之门”是由南北两栋建筑组成的双塔连体建筑(门顶厚度忽略不计)，“门”的造型是东方之门的立意基础，“门”的内侧曲线呈抛物线型，如图所示，现测得门的内侧地面上两塔之间的距离约为80m，距离门顶竖直距离8m处两塔内侧之间的距离约为16m，则“东方之门”的高度约为()A．150m B．200mC．250m D．300m类型四、抛物线的中点弦问题基本题型：1.已知抛物线,直线与抛物线交于两点,若线段中点的纵坐标为,则直线的斜率为（）A.B.C.D.2．已知过的直线与抛物线交于，两点，为弦的中点，为坐标原点，直线与抛物线的另一个交点为，则两点、纵坐标的比值范围是（

）A． B．C． D．3．已知抛物线的焦点为，过且倾斜角为的直线交于A，两点，线段中点的纵坐标为，则（

）A． B．4 C．8 D．244．若、是抛物线上的不同两点，弦（不平行于轴）的垂直平分线与轴相交于点，则弦中点的横坐标为___________.5.已知抛物线（）过点，直线与抛物线相交于不同两点、.（1）求实数的取值范围；（2）若中点的横坐标为，求以为直径的圆的方程.类型五、抛物线的焦点弦问题基础知识：1、抛物线上任意一点P(x0，y0)到焦点F的距离称为焦半径．过抛物线焦点的直线与抛物线相交所形成的线段称为抛物线的焦点弦．设两交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有以下结论：标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)焦半径的长eq\f(p,2)＋x0eq\f(p,2)－x0eq\f(p,2)＋y0eq\f(p,2)－y0焦点弦的长p＋(x1＋x2)p－(x1＋x2)p＋(y1＋y2)p－(y1＋y2)抛物线焦点弦的几个常用结论设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，α为弦AB的倾斜角，则(1)x1x2＝eq\f(p2,4)，y1y2＝－p2；(2)|AF|＝eq\f(p,1－cosα)，|BF|＝eq\f(p,1＋cosα)，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2α)；(3)eq\f(1,|FA|)＋eq\f(1,|FB|)＝eq\f(2,p)；(4)以弦AB为直径的圆与准线相切，以AF或BF为直径的圆与y轴相切；(5)焦点弦端点与顶点构成的三角形面积：S△AOB＝eq\f(p2,2sinα)＝eq\f(1,2)|AB||d|＝eq\f(1,2)|OF|·|y1－y2|；(6)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦；(7)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．基本题型：1．已知抛物线，过焦点的直线l与C交于A，B两点，若以为直径的圆与C的准线切于点，则l的方程为（

）A． B． C． D．2.过抛物线（）的焦点的直线与交于，两点，且，的准线与轴交于，的面积为，则的通径长为.3.过抛物线的焦点作直线交抛物线于点，（点在点上方）交抛物线的准线于点，若，则直线的倾斜角的余弦值为.4．已知抛物线的焦点为F，准线为l，过F的直线m与E交于A，B两点，的垂直平分线分别交l和x轴于P，Q两点.若，则__________.5.已知抛物线的标准方程是.（1）求它的焦点坐标和准线方程；（2）直线过已知抛物线的焦点且倾斜角为，且与抛物线的交点为，，求的长度.基本方法：(1)抛物线中的焦点弦问题很多都可以转化为一个直角梯形(过焦点的弦的端点和它们在准线上的射影围成的梯形)中的问题，在解决这类问题时注意对这个梯形的运用．(2)万变不离其宗，解决这类问题的根源仍然是抛物线的定义．类型六、与抛物线有关的最值问题基础知识：与抛物线有关的最值问题的两个转化策略①将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”“三角形两边之和大于第三边”，使问题得以解决．②将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.基本题型：1.已知点,曲线,直线)与曲线交于,两点,若周长的最小值为,则的值为()A. B. C. D.2．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，点A，B在抛物线C上，且满足AF⊥BF．设线段AB的中点到准线的距离为d，则的最小值为（

）A． B． C． D．3．抛物线上的一动点M到直线距离的最小值是______.4．已知抛物线的方程为，圆C：，点A，B在圆C上，点P在抛物线上，且满足，则的最小值是______.5．已知点，动点满足以为直径的圆与轴相切，过点作直线的垂线，垂足为，则的最小值为________．新预测破高考1．已知抛物线的焦点为F，过F作斜率为2的直线l与抛物线交于A，B两点，若弦的中点到抛物线准线的距离为3，则抛物线的方程为（

）A．B． C． D．2．过点的直线与抛物线交于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为2，则（

）A． B． C． D．3．已知抛物线的焦点为F，点P在C上，且，若点M的坐标为，且，则抛物线C的方程为(

)A．或 B．或C．或 D．或4．已知抛物线C：的焦点为F，过点F分别作两条直线，，直线l1与抛物线C交于A、B两点，直线l2与抛物线C交于D、E两点，若与的斜率的平方和为1，则的最小值为（）A．16 B．20 C．24 D．325．（多选题）已知抛物线C：的焦点F到准线l的距离为4，过焦点F的直线与抛物线相交于，两点，则下列结论中正确的是（

）A．抛物线C的准线l的方程为B．的最小值为4C．若，点Q为抛物线C上的动点，则的最小值为6D．的最小值6.（多选题）已知抛物线（）的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，以线段为直径的圆交轴于，两点，设线段的中点为，则下列说法正确的是（）A.若抛物线上点到的距离为，则抛物线的方程为B.C.若，则直线的斜率为D.的取值范围为7．（多选题）已知抛物线焦点为，点，点在抛物线上，则下列结论正确的是（

）A．的最小值为3 B．的最大值为7C．的最小值为-2 D．的最大值为38．（多选题）已知抛物线的焦点为F，准线为，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B两点作准线的垂线，垂足为，，P为线段的中点，O为坐标原点，则（）A．线段长度的最小值为4 B．为锐角C．A，O，三点共线 D．P的坐标可能为9.已知抛物线的焦点为，点为上两个相异的动点，则（）A.抛物线的准线方程为B.设点，则的最小值为C.若三点共线，则的最小值为D.若，的中点在的准线上的投影为，则10．(多选)已知F是抛物线C：y2＝16x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则()A．C的准线方程为x＝－4B．F点的坐标为(0,4)C．|FN|＝12D．三角形ONF的面积为16eq\r(2)(O为坐标原点)11．(多选)如图，抛物线y＝eq\f(1,4)x2，AB为过焦点F的弦，过A，B分别作抛物线的切线，两切线交于点M，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，M(xM，yM)，则下列结论正确的有()A．若AB的斜率为1，则|AB|＝8B．|AB|min＝eq\f(1,2)C．若AB的斜率为1，则xM＝2D．xA·xB＝－412．若为抛物线的焦点，为抛物线上一点，为抛物线准线与坐标轴的交点，且，的面积为，则抛物线的方程为______.13．汽车前照灯的反射镜为一个抛物面．它由抛物线沿它的对称轴旋转一周形成．通常前照灯主要是由灯泡、反射镜和透镜三部分组成，其中灯泡位于抛物面的焦点上．由灯泡发出的光经抛物面反射镜反射后形成平行光束，再经过进镜的折射等作用达到照亮路面的效果．如图，从灯泡发出的光线经抛物线反射后，沿平行射出，的角平分线所在的直线方程为，则抛物线方程为______．14．已知抛物线的焦点为F，过F作斜率为的直线与C交于两点，若线段中点的纵坐标为，则F到C的准线的距离为_______．15．已知F是抛物线的焦点，抛物线C上的点满足，若在准线上的射影分别为，且的面积为5，则_______17．过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，为坐标原点，记直线的斜率分别为，则______.18．已知点为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，且，则______.2023高考一轮复习讲与练专题42抛物线及其几何性质抛物线及其几何性质抛物线及其几何性质抛物线定义抛物线方程抛物线焦点弦抛物线最值抛物线中点弦抛物线焦点弦抛物线最值抛物线中点弦练高考明方向1.(2023·全国乙（理、文））设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（）A.2 B. C.3 D.答案：B分析：根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点的横坐标，进而求得点坐标，即可得到答案.【详解】由题意得，，则，即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为，不妨设点在轴上方，代入得，，所以.2.(2023·新高考Ⅱ卷T10）已知O为坐标原点，过抛物线的焦点F的直线与C交于A，B两点，点A在第一象限，点，若，则（）A.直线的斜率为 B.C. D.答案：ACD【详解】对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为，代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确；对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得，设，则，则，代入抛物线得，解得，则，则，B错误；对于C，由抛物线定义知：，C正确；对于D，，则为钝角，又，则为钝角，又，则，D正确.3.(2023·新高考Ⅰ卷T11）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（）A.C的准线为 B.直线AB与C相切C. D.答案：BCD分析：求出抛物线方程可判断A，联立AB与抛物线的方程求交点可判断B，利用距离公式及弦长公式可判断C、D.【详解】将点的代入抛物线方程得，所以抛物线方程为，故准线方程为，A错误；，所以直线的方程为，联立，可得，解得，故B正确；设过的直线为，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，所以，直线的斜率存在，设其方程为，，联立，得，所以，所以或，，又，，所以，故C正确；因为，，所以，而，故D正确.4.(2023·全国甲（文、理）T21）设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，．（1）求C的方程；（2）设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程．【解析】（1）抛物线的准线为，当与x轴垂直时，点M的横坐标为p，此时，所以，所以抛物线C的方程为；设，直线，由可得，，由斜率公式可得，，直线，代入抛物线方程可得，，所以，同理可得，所以又因为直线MN、AB的倾斜角分别为，所以，若要使最大，则，设，则，当且仅当即时，等号成立，所以当最大时，，设直线，代入抛物线方程可得，，所以，所以直线.5．（2023·全国高考真题）已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为______.答案：【详解】抛物线：()的焦点,∵P为上一点，与轴垂直，所以P的横坐标为，代入抛物线方程求得P的纵坐标为,不妨设,因为Q为轴上一点，且，所以Q在F的右侧，又，因为，所以,，所以的准线方程为6．（2023·北京高考真题）已知抛物线，焦点为，点为抛物线上的点，且，则的横坐标是_______；作轴于，则_______．答案：5【详解】因为抛物线的方程为，故且.因为，，解得，故，所以，7．(2023年高考数学课标Ⅱ卷理科)已知椭圆C1：(a>b>0)右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=|AB|．(1)求C1的离心率；(2)设M是C1与C2的公共点，若|MF|=5，求C1与C2的标准方程．答案：（1）；（2），．解析：（1），轴且与椭圆相交于、两点，则直线的方程为，联立，解得，则，抛物线的方程为，联立，解得，，，即，，即，即，，解得，因此，椭圆的离心率为；（2）由（1）知，，椭圆的方程为，联立，消去并整理得，解得或（舍去），由抛物线的定义可得，解得．因此，曲线的标准方程为，曲线的标准方程为．8．(2023年高考数学课标Ⅰ卷理科)已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p= ()A．2 B．3 C．6 D．9答案：C【解析】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知，即，解得．【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题．9．(2023年高考数学课标Ⅲ卷理科)设为坐标原点，直线与抛物线C：交于，两点，若，则的焦点坐标为 ()A． B． C． D．答案：B解析：因为直线与抛物线交于两点，且，根据抛物线的对称性可以确定，所以，代入抛物线方程，求得，所以其焦点坐标为，【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目．10．(2023年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)已知抛物线的焦点为，斜率为的直线与的交点为，，与轴的交点为．(1)若，求的方程；(2)若，求．答案：解：设直线．（1）由题设得，故，由题设可得．由，可得，则．从而，得．所以的方程为．（2）由可得．由，可得．所以．从而，故．代入的方程得．故．11．(2023年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，则 ()A． B． C． D．答案：D【解析】因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，所以，解得，故选D．【点评】利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于的方程，即可解出，或者利用检验排除的方法，如时，抛物线焦点为，椭圆焦点为，排除A，同样可排除B，C，故选D．12．(2023年高考数学课标卷Ⅰ（理）)设抛物线的焦点为．过点且斜率为的直线与交于两点，则 ()A． B． C． D．答案：D解析：抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线为：，联立直线与抛物线，消去可得：，解得，不妨，，，，则，故选D．13．(2023年高考数学新课标Ⅰ卷理科)已知为抛物线的焦点,过作两条互相垂直的直线,,直线与交于两点,直线与交于两点,则的是小值为 ()A． B． C． D．答案：A【解析】法一:设,,直线方程为取方程,得，∴同理直线与抛物线的交点满足由抛物线定义可知，当且仅当(或)时,取得等号．法二:设的倾斜角为,则直线的倾斜角为，根据焦点弦长公式有:．故选A．法三:设的倾斜角为,则直线的倾斜角为,而，则,代入抛物线中,可得，设对应的参数分别为,则有所以同理可得，所以．法四:设点,则，设直线的方程为联立直线与抛物线方程消去可得所以,所以，同理所以(当且仅当时等号成立)14．(2023高考数学课标Ⅰ卷理科)以抛物线的顶点为圆心的圆交于两点，交的准线于两点．已知，，则的焦点到准线的距离为 ()(A)2(B)4(C)6(D)8答案：B【解析】以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理，设抛物线为，设圆的方程为，题目条件翻译如图：设，，点在抛物线上，∴……①点在圆上，∴……②点在圆上，∴……③联立①②③解得：，焦点到准线的距离为．故选B．15．(2023高考数学课标2理科)设F为抛物线C:的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A．B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为 ()A． B． C． D．答案：D解析：由题意可知：直线AB的方程为：，带入抛物线的方程可得：，设，则所求三角形的面积为，故选D。16．(2023高考数学课标1理科)已知抛物线:的焦点为,准线为,是上一点,是直线与的一个交点,若,则= ()A． B． C．3 D．2答案：C【解析】:过Q作QM⊥直线L于M,∵，∴,又,∴,由抛物线定义知。17．(2023高考数学新课标2理科)设抛物线的焦点为，点在上，，若以为直径的圆过点，则的方程为 ()A．或 B．或C．或 D．或答案：C解析：由题意知：，抛物线的准线方程为，则由抛物线的定义知，，设以为直径的圆的圆心为，所以圆的方程为，又因为圆过点，所以，又因为点在上，所以，解得或，所以抛物线的方程为或，故选C．18．(2023高考数学新课标理科)等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点，，则的实轴长为 ()A． B． C．4 D．8答案：C解析：设等轴双曲线，则由抛物线得准线∵与抛物线的准线交于两点，，∴，将A点坐标代入双曲线方程得．19．(2023年高考数学课标Ⅲ卷（理）)已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于两点，若，则．答案：解析：法一：抛物线的焦点坐标为，可设直线，联立方程，消去并整理可得，所以，由点在抛物线上，可得，，所以，，由，可得，所以所以即，所以，即，解得，故所求直线的斜率．法二：抛物线的焦点，准线方程为由依题意可知以为直径的圆与准线相切于点，故线段中点的纵坐标为设直线，，联立方程，消去并整理可得，则有，解得，故所求直线的斜率．20．(2023年高考数学课标Ⅱ卷理科)已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，则．答案：【解析】则，焦点为，准线，如图，为、中点，故易知线段为梯形中位线，∵，，∴，又由定义，且，∴．21．(2023年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知抛物线，过点的直线交与两点，圆是以线段为直径的圆．(1)证明：坐标原点在圆上；(2)设圆过点，求直线与圆的方程．答案：(Ⅰ)证明略;(Ⅱ)直线的方程为,圆的方程为．或直线的方程为,圆的方程为．【解析】法一:(1)证明:①当轴时,代入得在以为直径的圆上．此时圆半径为,圆过原点;②当不垂直于轴时,设的方程为且由,消去,整理可得,,从而,,在以为直径的圆上．(2)由(1)知以为直径的圆的方程为即,由于在此圆上代入上述方程得,故所求圆的方程为．法二:⑴显然,当直线斜率为时,直线与抛物线交于一点,不符合题意．设,,,联立:得,恒大于,,．，∴,即在圆上．⑵若圆过点,则，，化简得解得或①当时,圆心为,,半径，则圆②当时,圆心为,,,半径，则圆．22．(2023年高考数学课标Ⅱ卷（理）)设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．(1)求的方程；(2)求过点，且与的准线相切的圆的方程．解析：（1）由题意得，的方程为．设，，由得，，故，所以，由题设知，解得（舍去），．因此直线的方程为．（2）由（1）得的中点坐标为，所以的垂直平分线方程为，即．设所求圆的圆心坐标为，则，解得或，因此所求圆的方程为或．讲典例备高考类型一、抛物线定义的应用基础知识：抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．基本题型：1.已知为抛物线上一点，为该抛物线焦点，若点坐标为，则最小值为（）A.B.C.D.答案：B分析：利用抛物线的定义，转化为到准线的距离就是的最小值，即可得出结论.【详解】将代入抛物线方程，得，∵，∴在抛物线内部，设抛物线上的点到准线的距离为，由定义知，所以当时，最小，最小值为.2.已知抛物线上一点到焦点的距离为，则点到轴的距离为（）A.B.C.D.答案：C解答：根据抛物线的定义可知，点到焦点的距离和到准线的距离相等，抛物线的准线方程为，所以点到轴的距离为.3．如图，过抛物线的焦点的直线依次交抛物线及准线于点，若且，则抛物线的方程为（

）A．B．C．D．答案：D分析：如图根据抛物线定义可知，进而推断出的值，在直角三角形中求得，进而根据，利用比例线段的性质可求得，则抛物线方程可得.【详解】如图分别过点，作准线的垂线，分别交准线于点，，设，则由已知得：，由定义得：，故，在直角三角形中，，，，，从而得，，，求得，所以抛物线的方程为．4.已知抛物线，为抛物线上的任意一点，以为圆心的圆始终与直线相切，则圆过定点________.答案：解析：抛物线的准线为，焦点为，又为抛物线上的任意一点，所以到直线的距离等于到焦点的距离，因为以为圆心的圆始终与直线相切，所以点到直线的距离等于圆的半径，所以到的距离等于圆的半径，故圆过定点.基本方法：利用抛物线的定义可解决的常见问题1、轨迹问题：用抛物线的定义可以确定与定点、定直线距离有关的动点轨迹是否为抛物线。2、距离问题：灵活地进行抛物线上的点到焦点距离与其到准线距离间的等价转化．“看到准线应该想到焦点，看到焦点应该想到准线”，这是解决抛物线中与距离有关的问题的有效途径。类型二、求抛物线的标准方程基础知识：抛物线的标准方程：标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离基础题型：1.已知抛物线准线方程为，则其标准方程为()A. B.C. D.答案：C【详解】根据题意，由抛物线准线方程为，可设其标准方程为，则有，解可得：p=4，则抛物线的方程为，故选C.2．（多选题）设抛物线C：的焦点为F，点M在C上，，若以MF为直径的圆过点，则抛物线C的方程为（

）A． B． C． D．答案：AC【详解】因为抛物线C的方程为，所以焦点，设，由抛物线的性质知，得．因为圆心是MF的中点，所以根据中点坐标公式可得圆心的横坐标为，由已知得圆的半径也为，故该圆与y轴相切于点，故圆心的纵坐标为2，则点M的纵坐标为4，即，代入抛物线方程，得，解得或．所以抛物线C的方程为或．3.抛物线的准线方程是，则的值为.答案：【详解】由得，其准线方程为，因为抛物线的准线方程是，所以，解得.4．已知点，抛物线的焦点为，准线为，线段交抛物线于点，过点作准线的垂线，垂足为.若，则抛物线C的标准方程为___________.答案：【详解】由抛物线的定义可得，，又，所以点为线段的中点，又因为点，所以，又点B在抛物线上，所以，解得，所以抛物线C的标准方程为.基本方法：求抛物线标准方程的方法1、定义法：根据抛物线的定义，确定p的值(系数p是指焦点到准线的距离)，再结合焦点位置，求出抛物线方程．标准方程有四种形式，要注意选择2、待定系数法：若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在x轴上的抛物线的标准方程可统一设为y2＝ax(a≠0)，a的正负由题设来定；焦点在y轴上的抛物线的标准方程可设为x2＝ay(a≠0)，这样就减少了不必要的讨论类型三、抛物线方程的应用基本题型：1.如图所示，一隧道内设有双行线公路，其截面由一个长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（假设车顶为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有，已知行车道总宽度，则车辆通过隧道的限制高度为（）A.B.C.D.答案：B分析：设抛物线的方程为，可知点在该抛物线上，求出的值，将代入抛物线方程，求出的值，即可得解.【详解】设抛物线的方程为，可知点在该抛物线上，则，解得，所以，抛物线的方程为，将代入抛物线方程得，解得，因此，车辆通过隧道的限制高度为（）.2.如图所示，某桥是抛物线形拱桥，此时水面宽为，经过一次暴雨后，水位上升了，水面宽为，则暴雨后的水面离桥拱顶的距离为（）A．B．C．D．答案：C解析：以拱顶为坐标原点，水平向右为轴正方向，竖直向上为轴正方向建立如图所示的直角坐标系.设抛物线方程为，设，，则，解得，所以暴雨后的水面离桥拱顶的距离为.3．苏州市“东方之门”是由南北两栋建筑组成的双塔连体建筑(门顶厚度忽略不计)，“门”的造型是东方之门的立意基础，“门”的内侧曲线呈抛物线型，如图所示，现测得门的内侧地面上两塔之间的距离约为80m，距离门顶竖直距离8m处两塔内侧之间的距离约为16m，则“东方之门”的高度约为()A．150m B．200mC．250m D．300m答案：B【解析】以门顶所在的点为坐标原点，以抛物线在顶点处的切线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系xOy，设抛物线的方程为x2＝－2py(p＞0)，由题意可知点(8，－8)在抛物线x2＝－2py上，所以，82＝－2p×(－8)，解得p＝4，所以抛物线的方程为x2＝－8y.将x＝40代入抛物线的方程可得y＝eq\f(402,－8)＝－200.因此，“东方之门”的高度约为200m．故选B.类型四、抛物线的中点弦问题基本题型：1.已知抛物线,直线与抛物线交于两点,若线段中点的纵坐标为,则直线的斜率为（）A.B.C.D.答案：D解析：设直线的方程为,联立直线与抛物线方程,得，消去，得,由韦达定理,得,因为,所以，即,所以直线的方程为,所以直线的斜率.2．已知过的直线与抛物线交于，两点，为弦的中点，为坐标原点，直线与抛物线的另一个交点为，则两点、纵坐标的比值范围是（

）A． B．C． D．答案：A【详解】设直线，代入得，，，，直线，代入得，.3．已知抛物线的焦点为，过且倾斜角为的直线交于A，两点，线段中点的纵坐标为，则（

）A． B．4 C．8 D．24答案：C分析：点差法求得，然后利用直线AB方程求得中点横坐标，根据抛物线定义可得.【详解】记AB中点为，设，则，显然，所以由点差法得，由题知，，所以，易得直线AB方程为，则，即，所以.4．若、是抛物线上的不同两点，弦（不平行于轴）的垂直平分线与轴相交于点，则弦中点的横坐标为___________.答案：分析：设出点A，B的坐标，再求出弦AB的垂直平分线的方程，将代入计算作答.【详解】设点、的坐标分别是、，则，，两式相减得，因，即有，设直线的斜率是，弦的中点是，则，从而的垂直平分线的方程为，又点在直线上，所以，而，解得，弦中点的横坐标为2.5.已知抛物线（）过点，直线与抛物线相交于不同两点、.（1）求实数的取值范围；（2）若中点的横坐标为，求以为直径的圆的方程.分析：（1）将点的坐标代入抛物线的方程，求出的值，可得出抛物线的方程，再将直线的方程与抛物线的方程联立，利用可求得实数的取值范围；（2）设点，，列出韦达定理，由线段的中点的横坐标可求得的值，可求得线段的中点坐标，利用弦长公式可求得，进而可求得以线段为直径的圆的方程.【详解】（1）将点的坐标代入抛物线的方程，可得，解得，所以，抛物线的方程为，联立，整理可得，由已知条件可得，解得，因此，实数的取值范围是.（2）设，，由韦达定理可得，，由于中点的横坐标为，则，解得，∴，由弦长公式可得，所以，所求圆的圆心坐标为，半径为，因此，以为直径的圆的方程为.类型五、抛物线的焦点弦问题基础知识：1、抛物线上任意一点P(x0，y0)到焦点F的距离称为焦半径．过抛物线焦点的直线与抛物线相交所形成的线段称为抛物线的焦点弦．设两交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有以下结论：标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)焦半径的长eq\f(p,2)＋x0eq\f(p,2)－x0eq\f(p,2)＋y0eq\f(p,2)－y0焦点弦的长p＋(x1＋x2)p－(x1＋x2)p＋(y1＋y2)p－(y1＋y2)抛物线焦点弦的几个常用结论设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，α为弦AB的倾斜角，则(1)x1x2＝eq\f(p2,4)，y1y2＝－p2；(2)|AF|＝eq\f(p,1－cosα)，|BF|＝eq\f(p,1＋cosα)，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2α)；(3)eq\f(1,|FA|)＋eq\f(1,|FB|)＝eq\f(2,p)；(4)以弦AB为直径的圆与准线相切，以AF或BF为直径的圆与y轴相切；(5)焦点弦端点与顶点构成的三角形面积：S△AOB＝eq\f(p2,2sinα)＝eq\f(1,2)|AB||d|＝eq\f(1,2)|OF|·|y1－y2|；(6)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦；(7)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．基本题型：1．已知抛物线，过焦点的直线l与C交于A，B两点，若以为直径的圆与C的准线切于点，则l的方程为（

）A． B． C． D．答案：D分析：设直线联立抛物线并应用韦达定理求出、、、关于k的表达式，根据求出k值，即可写出直线方程.【详解】由题设，直线l的斜率存在且不为0，令，联立抛物线并整理得：，则，，所以，，又，综上，，可得，故直线，即.2.过抛物线（）的焦点的直线与交于，两点，且，的准线与轴交于，的面积为，则的通径长为.答案：【详解】设过抛物线的焦点的直线方程为，与抛物线方程联立得：，设，，，，由根与系数的关系得：，，又因为，所以，解得，，，所以，即，解得，所以，所以的通径长为.3.过抛物线的焦点作直线交抛物线于点，（点在点上方）交抛物线的准线于点，若，则直线的倾斜角的余弦值为.答案：【详解】,设,过作出抛物线准线，则，过M作垂直于准线于,则轴，∵，F为的三等分点，所以是的三等分点，所以，∴，即，∴，∴，直线倾斜角的余弦值为，故答案为：.4．已知抛物线的焦点为F，准线为l，过F的直线m与E交于A，B两点，的垂直平分线分别交l和x轴于P，Q两点.若，则__________.答案：分析：根据题意可得，由于对角线与垂直，得四边形是菱形，在由抛物线的定义即可得到为等边三角形，可得直线的方程，把直线和抛物线进行联立，进而求得答案.【详解】垂直平分，，，在四边形中，对角线与垂直，四边形是菱形，由抛物线的定义可得：，故，为等边三角形故，故，故直线。故把直线与抛物线进行联立得，设，则，。5.已知抛物线的标准方程是.（1）求它的焦点坐标和准线方程；（2）直线过已知抛物线的焦点且倾斜角为，且与抛物线的交点为，，求的长度.分析：（1）抛物线的标准方程为，焦点在轴上，开口向右，，即可求出抛物线的焦点坐标和准线方程；（2）现根据题意求出直线的方程，代入抛物线，求出两交点的横坐标的和，然后利用焦半径公式求解即可.【详解】（1）抛物线的标准方程是，焦点在轴上，开口向右，，∴，∴焦点为，准线方程：.（2）∵直线过已知抛物线的焦点且倾斜角为，∴直线的方程为，代入抛物线，化简得，设，，则，所以，故所求的弦长为.基本方法：(1)抛物线中的焦点弦问题很多都可以转化为一个直角梯形(过焦点的弦的端点和它们在准线上的射影围成的梯形)中的问题，在解决这类问题时注意对这个梯形的运用．(2)万变不离其宗，解决这类问题的根源仍然是抛物线的定义．类型六、与抛物线有关的最值问题基础知识：与抛物线有关的最值问题的两个转化策略①将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”“三角形两边之和大于第三边”，使问题得以解决．②将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.基本题型：1.已知点,曲线,直线)与曲线交于,两点,若周长的最小值为,则的值为()A. B. C. D.答案：B【详解】由题意得曲线是由两抛物线和构成,设直线与轴交点为,抛物线的焦点为,则由对称性可知的周长为,当三点共线时取最小值,,解得.2．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，点A，B在抛物线C上，且满足AF⊥BF．设线段AB的中点到准线的距离为d，则的最小值为（

）A． B． C． D．答案：D【详解】如图示：设AB的中点为M,分别过点作准线l的垂线，垂足为C，D，N，设，则，MN为梯形ACDB的中位线，则，由AF⊥BF．可得，故，因为当且仅当a=b时取等号，故，3．抛物线上的一动点M到直线距离的最小值是______.答案：分析：对求导可求与直线平行且与抛物线相切的切线方程，再利用两平行线的距离公式可得所求的最小距离．【详解】因为，所以，令，得，所以与直线平行且与抛物线相切的切点，切线方程为，即，由两平行线的距离公式可得所求的最小距离.4．已知抛物线的方程为，圆C：，点A，B在圆C上，点P在抛物线上，且满足，则的最小值是______.答案：3分析：由题可知AB是圆的直径，，问题转化为求抛物线上点P到圆心C的距离的平方减1的最小值.【详解】∵圆的圆心为C(2，0)，半径r＝1，，∴AB是圆的直径，C是AB的中点，连接PC、PA、PB.设.＝，当且仅当m＝0时取等号.5．已知点，动点满足以为直径的圆与轴相切，过点作直线的垂线，垂足为，则的最小值为________．答案：分析：由抛物线定义可知的轨迹方程，直线过定点，结合圆的性质，可知点的轨迹为圆，再结合抛物线与圆的性质即可得到最小值．【详解】由动点满足以为直径的圆与轴相切可知：动点到定点的距离等于动点到直线的距离，故动点的轨迹为，由可得，，解得，即直线过定点，又过作直线的垂线，垂足为，所以点在以为直径的圆上，直径式方程为，化为标准方程为：，圆心,半径，过做垂直准线，垂足为，过做垂直准线，垂足为则.新预测破高考1．已知抛物线的焦点为F，过F作斜率为2的直线l与抛物线交于A，B两点，若弦的中点到抛物线准线的距离为3，则抛物线的方程为（

）A．B． C． D．答案：B分析：设出直线，并与抛物线联立，得到，再根据抛物线的定义建立等式即可求解.【详解】因为直线l的方程为，即，由消去y，得，设，则，又因为弦的中点到抛物线的准线的距离为3，所以，而，所以，故，解得，所以抛物线的方程为.2．过点的直线与抛物线交于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为2，则（

）A． B． C． D．答案：C分析：设直线方程为，联立方程组根据线段AB中点的横坐标为2，求得，结合根与系数的关系和弦长公式，即可求解.【详解】设直线方程为，，，联立方程组，整理得，因为直线与抛物线交于两点，所以，解得，因为线段中点的横坐标为2，可得，所以或（舍），所以，可得，则．3．已知抛物线的焦点为F，点P在C上，且，若点M的坐标为，且，则抛物线C的方程为(

)A．或 B．或C．或 D．或答案：A分析：设P为，根据和可求，由可求出p.【详解】设P为，则，又由，∴，∵，∴，∴，由，联立方程组，消去，可得，∴，故，又由，∴，即，解得或，∴C的方程为或.4．已知抛物线C：的焦点为F，过点F分别作两条直线，，直线l1与抛物线C交于A、B两点，直线l2与抛物线C交于D、E两点，若与的斜率的平方和为1，则的最小值为（）A．16 B．20 C．24 D．32答案：C【详解】抛物线C：的焦点，设直线l1：，直线l2：，由题意可知，则，联立整理得：，设，，则，设，，同理可得：，由抛物线的性质可得：，，∴，当且仅当时，上式“＝”成立．∴的最小值24.5．（多选题）已知抛物线C：的焦点F到准线l的距离为4，过焦点F的直线与抛物线相交于，两点，则下列结论中正确的是（

）A．抛物线C的准线l的方程为B．的最小值为4C．若，点Q为抛物线C上的动点，则的最小值为6D．的最小值答案：ACD分析：由焦点到准线的距离可得的值，进而求出抛物线的方程，可判断A正确；设直线的方程与抛物线的方程联立，求出两根之和及两根之积，由抛物线的性质可得弦长的表达式，再由参数的范围可得其最小值，判断B不正确；过作准线的垂线，垂足为，由抛物线的性质可得，可判断C正确；由两根之积及均值不等式的性质可得的最小值为，判断D正确．【详解】由焦点到准线的距离为4可得，所以抛物线的方程为，A中，由抛物线的方程为，所以可得准线方程为，故A正确；中，过焦点的直线为，则，整理可得，可得，，所以，时取等号，最小值为8，所以不正确；中，满足，可知点在抛物线内部，过作准线的垂线，垂足为，则，当且仅当，，三点共线时取等号，所以的最小值为6，故正确；中，由B的分析可知：由抛物线的方程可得：，所以，当且仅当时取等号，所以正确；6.已知抛物线（）的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，以线段为直径的圆交轴于，两点，设线段的中点为，则下列说法正确的是（）A.若抛物线上点到的距离为，则抛物线的方程为B.C.若，则直线的斜率为D.的取值范围为答案：B、D【详解】A选项：由得，所以抛物线的方程为，则A错；设直线方程为，代入抛物线（）得，，，所以，，，，所以，则B正确；若，又，，所以，解得，则直线的斜率为，则C错；因为，在递增，所以当时，的取最小值，当时，，故的取值范围为，则D正确，故选BD.7．（多选题）已知抛物线焦点为，点，点在抛物线上，则下列结论正确的是（

）A．的最小值为3 B．的最大值为7C．的最小值为-2 D．的最大值为3答案：ACD分析：画出图象，根据抛物线的图象可得，，当，，三点共线时即可求解．过作轴平行线，与准线交于点，与抛物线交于点，此时取最小值.【详解】如图1，点在抛物线外，，故的最小值为，A正确；如图2，只有当，，三点共线时最大，最大值为，如图3，过作轴平行线，与准线交于点，与抛物线交于点，根据抛物线定义，，此时有最小值.8．（多选题）已知抛物线的焦点为F，准线为，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B两点作准线的垂线，垂足为，，P为线段的中点，O为坐标原点，则（）A．线段长度的最小值为4 B．为锐角C．A，O，三点共线 D．P的坐标可能为答案：ACD分析：根据抛物线的性质判断A；根据抛物线的定义和平行线的性质判断B；设直线AB和点A、B的坐标，联立抛物线方程，结合韦达定理和三点共线经过任意两点的直线斜率相等，判断C；结合C选项可判断D.【详解】由题意知，抛物线C的方程为，线段长度的最小值为通径，A正确；，轴，∴，同理，∴，B错误；设直线，联立抛物线并整理，得，设，，则，，∵，∴，A，O，三点共线，C正确；设的中点，则，，取时，，D正确；9.已知抛物线的焦点为，点为上两个相异的动点，则（）A.抛物线的准线方程为B.设点，则的最小值为C.若三点共线，则的最小值为D.若，的中点在的准线上的投影为，则答案：A、B、D【详解】对于A，因为抛物线的焦点为，所以抛物线的准线方程为，所以A正确，对于B，由题意可得抛物线的方程为，则点在抛物线外，如图，过点作垂直准线于，则，当三点共线时，取得最小值，最小值为，所以B正确，对于C，由抛物线的性质可得当三点共线，且轴时，弦最短为抛物线的通径，所以C错误，对于D，过分别作垂直准线，垂足分别为，则由梯形中位线定理及抛物线定义可得，设，则，在中由余弦定理得，因为，所以，所以，所以，当且仅当时取等号，所以D正确，10．(多选)已知F是抛物线C：y2＝16x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点