北师版高中数学必修四全册知识点讲解加例题分析

模块学习评价

（时间120分钟,满分150分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四

个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.（2013•江西高考）若sin净,则cosa=（）

A--3B--3

12

C.1D.g

【解析】cosa=1-2sin2^=1-2X（坐）=1

【答案】C新一课-标-第一网

2.已知向量a=（l,k）,方=（2,2）,且a+5与0共线，那么的值为（）

A.1B.2

C.3D.4

【解析】a+)=(3,k+2),与@共线，

•'-k+2-3k=0,得k=1.

-'-ab=(1,1)-(2,2)=4.

【答案】D

3.sin(x+27°)cos(18°—x)+sin(18°—x)cos(x+270)—()

11

A-2B--2

A/2

【解析】原式=sin[(x+27°)+(180-x)]=sin45°=-

【答案】D

4.下列各向量中，与a=(3,2)垂直的是()

A.(3,-2)B.(2,3)

C.(—4,6)D.(—3,2)

【解析】因为(3,2>(-4,6)=3X(-4)+2X6=0,

所以选C.

【答案】C

5.若向量。=(1,2),6=(1,-1),则2a+8与a—方的夹角等于()

【解析】2a+5=2(1,2)+(1,-1)=(3,3),

«-Z»=(l,2)-(1,-1)=(0,3),

(2a+b\(a-Z>)=9,

\2a+b\=3y]2,\a-b\=3.

9

设所求两向量夹角为a,则cosa=3啦乂3=旨,

兀

【答案】C

6.若a是第四象限的角，则无一。是()

A.第一象限的角B.第二象限的角

C.第三象限的角D.第四象限的角

3兀

[解析]2kn+~Y<a<2kn+2兀(左CZ),

3兀

-2kli-~^>-a>-24兀-2兀(左£Z).

7[、

-2kit-]>兀-a>-2kn-n(k€Z).故应选C.

【答案】C

7.在△N8C中，若sinZcosB<0,则此三角形必是()

A.锐角三角形B.任意三角形

C.直角三角形D.钝角三角形

【解析】；sinNcos8<0,A.8为△NBC内角，

二sin/>0,cos5<0.

7[

因此]<8<兀，则△ABC为钝角三角形.

【答案】D

8.若实数x满足log2X=3+2cos/则|x—2|+|x—33|等于()

A.35-2xB.31

C.2x—35D.2x—35或35—2r

【解析】；-2W2cosOW2,

•••lW3+2cos德5,

即lWlog2xW5,

•••2Wx<32

|x-2|+|x-33|=x-2+33-x=31.

【答案】B

9.已知△Z8C和点〃满足届+赢+证=0.若存在实数〃?使得盛+元=

”MM成立，则”?=()

A.2B.3

C.4D.5

【解析】---MA+MB+MC-O.

••・”为△/8C的重心.

连接并延长交8c于。，则。为8C的中点.

-'-AM=^AD.

^AD=^(AB+AC),

.,-AM=^AB+Ab),^AB+AC=3AM,比较得机=3.

【答案】B

10.（2013,山东高考）函数y=xcosx+sinx的图象大致为（）

7T

【解析】当x=］时，歹=1>0,排除C.

兀

当X=-/时，夕=-1,排除B;或利用y=xcosx+sinx为奇函数，图象关

于原点对称，排除B.

当x=7t时，y=-兀<0,布卜除A.故选D.

【答案】D

二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填在题中的横

线上)

11.若tana=3,则，；，的值等于______.

CX

sin2a2sin空osa

【解析】

cosacos2a=2tana=2X3=6.

【答案】6

12.(2012•江西高考)设单位向量m=(x,y),b=(2,-1).若mLb,则|x

+2y|=.

【解析】设单位向量》i=(x,y),贝1］》2+丁=1,若/〃_!_》，则/〃力=0,即

2x~y=0,解得所以网=乎，|x+2y\=5|x|=\［5.

【答案】邓

TTTT

13.要得到函数y=3cos(2x一2)的图像，可以将函数y=3sin(2x—»的图像

沿x轴向平移个单位.

【解析】y-3sin(2x-》—三y=3sin2x=3cos(2x-^).

平移W

【答案】左I

14.已知向量a=(左12),05=(4,5),女=(10,%),若4、B、C三点共线,

则实数左=.

【解析】赢=(4-k,-7),就=(6,左-5),

•.'A,B,C三点共线,.'.ABIIBC,

「.(4-左)/-5)-(-7)X6=0,

即％=-2或11.

【答案】一2或11

15.如右图，在平面斜坐标系X。中，ZxOy=60°,平面上任一点P在斜

坐标系中的斜坐标是这样定义的：若+泗2（其中e”02分别为与x轴，歹

轴方向相同的单位向量），则尸点的斜坐标为（x,力.若P点的斜坐标为（3,-4）,

则点P到原点O的距离|PO|=.

【解析】由点的斜坐标的定义可知。P=3e1-4e2，

OP1=9ef-24ej-«2+16e?

22

=9|ei|-24|e|||e2|Xcos600+16|e2|

=9-24X；+16=13.

.,.|OP|2=13,即|办|=行.

故点P到原点O的距离|「。|=V13.

【答案】V13

三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或

演算步骤)

16.体小题满分12分)(1)已知同=4,步|=3,且(a+2b)-(a-3b)=0,求ab；

(2)已知a与b的夹角为120。，且同=4,步|=2.如果a+kb与5a+b互相垂

直，求实数左的值.

【解】(l)v(a+26)(a-3Z>)

=a2-ab-6b2

=|a|2-ab-6网2

=16-ab-54=0,

-'-ab=-38.

(2)由题意ab=|a|-|Z»|-cos120°

=4X2X(-1)=-4.

(a+kb)±(5a+b),

•,•(a+kb)(5a+Z>)=0,

即5a2+(5k+l)a力+必2=0,

•••5同2+(5左+1>(-4)+8例2=0.

19

5X16-(20k+4)+4左=0,=彳・

17.(本小题满分12分)已知平面直角坐标系内的Rt^ABC,N4=90。，A(~

2,-1),C(2,5),向量正上的单位向量a=信，一口，尸在C3上，且存=2逮

(1)求点8坐标；

(2)当NP分别为三角形的中线、高线时，求，的值及对应中点、垂足的坐标.

【解】⑴设B(x,y),CB=(x-2,y-5).

义CB=Aa,

•'■(x-2,y_5)=2姬，-!|).故x=2+卷九、=5一青，

；.8(2+也，5-3).

石=(4+即6-胡，元=(4,6).

——512

由4B/C=(4+育I,6-^)-(4,6)=0,<2=13.

故点8(7,-7).

~"A1-A

⑵若尸是8c的中点，则CP=/,

12+75—79

•■•2=2,此时，点P的坐标为(一^—,~2~^即伤，一1)。

若AP是BC边的高,则崩JL&.

.--(AC+CP)CB=0,

即元&+6d=0.

又为=(5,-12),

代入上式有(4,6>(5,-12)+2(5,-12)-(5,-12)=0.

4

解之，得见=后;

设此时点P(m,n).

-A-►-►/|-A

■■■CP=XCB,即。尸=正。8，

•'.(/M-2,〃-5)=今(5,-12).

f4

加-2=yjX5,

-4z

M-5=-^X(-12),

f46

w=13,

即17

[n-13,

图2

7T

18.（本小题满分12分）如图，已知。尸。是半径为1,圆心角为］的扇形，C

是扇形弧上的动点，/BCD是扇形的内接矩形.记求当角a取何值

时，矩形Z8C。的面积最大？并求出这个最大面积.

【解】在直角三角形。6。中，08=cosa,5C=sina,

D4r-

在直角三角形CM。中，=tan60°=A/3,

所以OA=半。力=乎sina,

AB=OB-OA=cosa-3sina.

设矩形ABCD的面积为S,则

J3

S=AB-BC=(cosa--^-sina)sina

=sinacosa-^sin2a

=|sin2a-乎(1-cos2a)

=/n2a+乎cos2a-坐

266

$gsm2a+强s2a)-e

1./c大亚

=承也+&)-6.

兀

因为

7E7T

所以当2a+之吟

即。-6时，S…仍6"6•

因此，当a=^时，矩形Z8C。的面积最大，最大面积为好.

00

19.（本小题满分13分）（2012•湖南高考）已知函数｛x）=Zsin（"x+s）（xeR,

IT

①>0,0,可的部分图像如图所示.

图3

（1）求函数/（x）的解析式；

7TTT

（2）求函数g（x）=/（x—瓦）一/（X+记）的单调递增区间.

【解】（1）由题设图像知，周期7=2（皆-居）=兀，

所以①=岸=2.

5兀5兀

因为点（五，0）在函数图像上，所以/sin（2X五+9）=0,

-5兀

艮（7sin（"y+夕）=0.

兀

又因为0<（p<2,

“5兀5兀4兀

所以吊

_5K口门兀

从而石+3=兀，艮口9=不

7T

又点(0,1)在函数图像上，所以Zsin%=l,解得/=2.

故函数/(x)的解析式为/(x)=2sin(2x+6.

(2)g(x)=2sin[2(x逢)+-]-2sin[2(x+刍+前

=2sin2x-2sin(2x+j)=2sin2x-2(]sin2x+亍cos2x)=sin2x-43cos2x=

2sin(2x-g).

由2左兀一^^2%一全忘2版+会得E—专+居，左CZ.

所以函数g（x）的单调递增区间是［E-有E+居］,k£Z.

20.（本小题满分12分）（2013•湖南高考）已知函数/（x）=cosx-cosx

0'

的值;

（2）求使/）＜］成立的x的取值集合.

兀71

-c-cosy

+冬nxcosx

1A/