4.6正弦定理与余弦定理答案

4.6正弦定理与余弦定理(见学生用书P95)课标要求精细考点素养达成借助向量的运算,探索三角形边长与角度的关系,掌握余弦定理、正弦定理解三角形的个数问题通过正、余弦定理对三角形解的个数进行讨论,培养数学运算、逻辑推理素养与三角形面积有关的问题通过解决与三角形面积和形状有关的问题,培养数学运算素养三角形中的边角互化通过利用正、余弦定理解三角形,培养数学运算素养1.(概念辨析)(多选)下列说法正确的有().A.在△ABC中,a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinCB.若acosA=bcosB=ccosC,则C.在△ABC中,“sinA>sinB”是“A>B”的充要条件D.在△ABC中,若a2+b2<c2,则△ABC是为钝角三角形答案ACD解析由正弦定理知A正确;由已知和正弦定理,易知tanA=tanB=tanC,则△ABC是等边三角形,故B错误;在△ABC中,当sinA>sinB时,由正弦定理得a>b,所以A>B,反之也成立,则“sinA>sinB”是“A>B”的充要条件,故C正确;在△ABC中,若a2+b2<c2,则cosC=a2+b2-c22ab<02.(对接教材)在△ABC中,a=7,b=8,cosC=1314,则c=答案3解析由余弦定理得c2=a2+b22abcosC=49+642×7×8×1314=9,故3.(对接教材)若在△ABC中,2acosB=c,则△ABC的形状一定是().A.直角三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.等边三角形答案B解析由2acosB=c以及余弦定理得2a·a2+c2-b22ac=c4.(易错自纠)(多选)对于△ABC,有如下判断,其中正确的是().A.若sin2A=sin2B,则△ABC为等腰三角形B.在锐角三角形ABC中,一定有sinA>cosBC.若a=8,c=10,A=π6,则符合条件的△ABCD.若sin2A+sin2B>sin2C,则△ABC是锐角三角形答案BC解析对于A,因为sin2A=sin2B,所以2A=2B或2A+2B=π,即A=B或A+B=π2,故△ABC为等腰三角形或直角三角形,故A错误对于B,因为A+B>π2,所以A>π2B,且A∈0,π2,π2B∈0,π2,所以sinA>sinπ2对于C,当符合条件的△ABC有两个时,边a需要满足10sinπ6<a<10,即5<a<10,因为a=8,所以符合条件的△ABC有两个,故C正确对于D,因为sin2A+sin2B>sin2C,结合正弦定理得a2+b2>c2,所以cosC>0,故C为锐角,但△ABC可以是锐角三角形或直角三角形或钝角三角形,故D错误.5.(真题演练)(2023·全国乙卷文)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若acosBbcosA=c,且C=π5,则B=()A.π10 B.π5 C.3π10 答案C解析由题意结合正弦定理可得sinAcosBsinBcosA=sinC,即sinAcosBsinBcosA=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA,整理得sinBcosA=0,由于B∈(0,π),故sinB>0,据此可得cosA=0,所以A=π2故B=πAC=ππ2π5=解三角形——解的个数问题典例1在△ABC中,A=α0<α<π2,b=m.分别根据下列条件,(1)△ABC有一解;(2)△ABC有两解;(3)△ABC无解.解析(1)由正弦定理asinA=bsinB,可得sinB=bsinAa(ⅰ)当a<b,即a<m时,sinB=msinαa①若sinB>1,即msinαa>1,则B不存在,△ABC无解,此时a<msinα②若sinB=1,即msinαa=1,则B=π2,△ABC有一解,此时③若sinB<1,即msinαa<1,因为sinB>sinA,此时B可能是锐角或钝角,即此时△ABC有两解,此时a>msinα,即综上所述,当a=msinα时,△ABC有一解.(ⅱ)当a=b,即a=m时,sinB=msinαa=sinA,△ABC有一解(ⅲ)当a>b,即a>m时,sinB=msinαa<sinA,此时B只能是锐角,△ABC有一解综上所述,△ABC有一解时,边长a的取值范围是a=msinα或a≥m.(2)由(1)知,△ABC有两解,应满足sinA<sinB<1,由sinB=msinαa,即sinα<msinαa<1,(3)由(1)知,△ABC无解,应满足sinB>1,即msinαa>1,解得1.在已知三角形两边及其中一边的对角,求该三角形的其他边角的问题时,首先必须判明是否有解,例如在△ABC中,已知a=1,b=2,A=60°,则sinB=basinA=3>1,问题就无解,如果有解,那么需判断是一解,还是两解2.正、余弦定理可将三角形边的关系转化为角的关系,也可将角(三角函数)的关系转化为边的关系.3.在三角形的判断中注意应用“大边对大角”.4.已知边多优先考虑余弦定理,角多优先考虑正弦定理.训练1(2023·江苏锡山高中质检)在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,若b=10,A=π6,且△ABC有唯一解,则a的取值范围是答案{a|a=5或a≥10}解析由正弦定理得asinA=bsinB⇒a=bsinAsinB=10×sin因为△ABC有唯一解,所以当sinB=1时,即B=π2,△ABC有唯一,符合题意,得a=5当sinB∈12,1时,B有两个值,△ABC不唯一,当sinB∈0,12时,asinA=bsinB⇒a=所以A≥B,△ABC唯一,符合题意,得a≥10.所以a的取值范围为{a|a=5或a≥10}.三角形面积问题典例2(2024·南京学情调研)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asinB+3bcosA=0.(1)求角A的大小;(2)若a=3,sinBsinC=14,求△ABC的面积解析(1)因为asinB+3bcosA=0,由正弦定理得sinAsinB+3sinBcosA=0,因为B∈(0,π),可得sinB≠0,所以sinA+3cosA=0,即tanA=3.因为A∈(0,π),所以A=2π3(2)(法一)由正弦定理asinA=bsinB=csinC,所以bsinB=csinC可得b=23sinB,c=23sinC,因为a=3,sinBsinC=14,所以bc=(23)所以△ABC的面积为S=12bcsinA=12×3×32(法二)因为sinBsinC=14,且B=πAC=π3所以sinπ3-C可得sinπ3-CsinC=32cosC-1=34sin2C12·1−cos2C2=34sin2C+14cos2C14=1所以cos2C-因为C∈0,π3,所以2Cπ3∈-π3,π3,可得因此B=π3C=π6,所以因为a=3,由余弦定理得a2=b2+c22bccosA,即9=b2+b22b2cos2π3=3b2解得b=3,即b=c=3,所以△ABC的面积为S=12×3×3×sin2π3=使用三角形面积公式的常用策略1.对于面积公式S=12absinC=12acsinB=12bcsinA2.与面积有关的问题,一般要用正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.训练2(2023·江苏丹阳中学模拟预测)在△ABC中,内角A,B,C所对应的边分别是a,b,c,若△ABC的面积是3(b2+c2-A.π3 B.2π3 C.π6 答案A解析由余弦定理可得b2+c2a2=2bccosA,A∈(0,π),由条件及正弦定理,可得S=12bcsinA=3(b2所以tanA=3,又A∈(0,π),则A=π3三角形中的边角互化典例3(2023·湖北黄冈中学调研)在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asin2B=bsinA.(1)若a=3,b=7,求c;(2)求acosC-ccosA解析(1)由asin2B=bsinA,得sinAsin2B=sinBsinA,得2sinAsinBcosB=sinBsinA,得cosB=12在△ABC中,B∈(0,π),所以B=π3由余弦定理b2=c2+a22accosB,得7=c2+92c×3cosπ3即c23c+2=0,解得c=1或c=2.当c=1时,b2+c2a2=1<0,cosA<0,即A为钝角(舍去),故c=2符合.(2)由(1)得B=π3所以C=2π3A所以acosC-ccosAb=sinAcosC-cosAsinCsinB=因为△ABC为锐角三角形,所以π6<A<π2,所以π3<2A2π所以32<sin2A-所以1<acosC-ccosA故acosC-ccosAb的取值范围是(1,解三角形时,如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理进行边角互化;如果式子中含有角的正弦或边的一次式,则考虑用正弦定理进行边角互化,以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到.训练3(2023·江苏灌云中学质检)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asinAcsinC=(bc)sinB.(1)求角A的大小;(2)若△ABC为锐角三角形,求bc的取值范围解析(1)由asinAcsinC=(bc)sinB,则根据正弦定理有a2c2=(bc)b,即a2=b2+c2bc,又由余弦定理有a2=b2+c22bccosA,得2cosA=1,即cosA=12因为A∈(0,π),所以A=π3(2)由△ABC为锐角三角形,且A=π3得0<C<π2,0<2π3-C<π2,得C∈π6所以根据正弦定理有bc=sinBsinC=sinπ3+CsinC=32cosC+故bc的取值范围为1三角形面积(周长)的范围1.三角形面积的最值核心技巧:利用不等式ab≤a+b22≤2.三角形面积的取值范围核心技巧:利用正弦定理a=2RsinA,b=2RsinB,代入面积公式,再结合辅助角公式,根据角的取值范围,求面积的取值范围.典例1在△ABC中,C=π3,边长c=3,求a+b的取值范围解析由正弦定理可得,a+b=csinC(sinA+sinB所以a+b=2[sin(B+C)+sinB]=212所以a+b=2332sinB+1由题可得0<B<2π3所以π6<B+π6<5π6,故12<sin所以3<23sinB+π6≤所以3<a+b≤23,所以a+b的取值范围为3,2典例2在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=3,bccosA=a2,则△ABC面积的最大值为.

答案9解析由余弦定理及bccosA=a2=9,得bccosA=b2+c22bccosA,所以cosA=b2+c23因为A是三角形内角,所以A为锐角,所以tanA=1cos2A-1≤所以△ABC的面积S=12bcsinA=12bccosAtanA≤92×5训练(2023·江苏张家港期末)在锐角三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足2bcosC=2ac.若△ABC的外接圆的面积为16π3,则△ABC面积的取值范围是答案8解析因为2bcosC=2ac,所以2sinBcosC=2sinAsinC,得2sinBcosC=2sin(B+C)sinC,所以2sinBcosC=2sinBcosC+2cosBsinCsinC,所以2cosBsinC=sinC,因为C∈0,π2,所以sinC>0,所以cosB=而B∈0,π2,所以B=又△ABC的外接圆的面积为16π3,所以外接圆直径2R=8所以S△ABC=12acsinπ3=34×8332sinAsinC=1633sinAsin2π3-A=163332sinAcosA+12sin因为△ABC为锐角三角形,所以A∈π6,π2,所以2Aπ6∈π6,5π6,所以sin2A-π所以△ABC的面积的取值范围为83一、单选题1.在△ABC中,a=3,b=7,B=60°,则c等于().A.1 B.2 C.1或2 D.2或3答案C2.(2023·江苏常州一中月考)在△ABC中,A=30°,BC=1,则△ABC外接圆的半径为().A.1 B.12 C.2 答案A解析设R为△ABC外接圆的半径,则2R=BCsinA=1sin30°=2,3.(2023·山东泰安一中月考)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c=4,ba=1,cosC=14,则△ABC的面积是()A.1 B.34 C.15D.315答案D解析由余弦定理得c2=a2+b22abcosC,代入c=4,cosC=14,得16=a2+b2+12ab,又ba=1,则a2+a6=0,解得a=2或a=3(舍去),因为C∈(0,π),所以sinC=1−-142=154,故S△ABC=12absinC=12×24.(2023·江苏常州一中调研)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,A=θ,a=3,b=2,若△ABC有两解,则θ的取值范围为().A.0,π3 B.0,π4 C.答案A解析由余弦定理,得a2=b2+c22bccosA,即3=4+c24ccosθ,整理得c24cosθ·c+1=0,又△ABC有两个解,即方程有两个正解c,所以Δ=16cos2θ-4>0,由0<θ<π,解得0<θ<π3,即θ的取值范围为0,二、多选题5.(2023·湖北武汉一中调研)在△ABC中,已知角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b=6,sinA=2sinC,则以下四个结论正确的有().A.△ABC不可能是直角三角形B.△ABC有可能是等边三角形C.当A=B时,△ABC的周长为15D.当B=π3时,△ABC的面积为6答案CD解析因为sinA=2sinC,所以a=2c,又b=6,若A为直角,由36+c2=4c2,可得c=23,满足条件的△ABC可能是直角三角形,故A错误;由于a=2c,故△ABC不可能是等边三角形,故B错误;当A=B时,a=b=2c=6,可得c=3,可得△ABC的周长为a+b+c=6+6+3=15,故C正确;当B=π3时,b=6,a=2c,由余弦定理可得36=a2+c2ac=4c2+c22c2,解得c=23,a=43,可得△ABC的面积为12acsinB=12×43×23×32=63,6.(2024·江苏江阴期初质量检测)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=23,c=3,A+3C=π,则下列结论正确的是().A.cosC=33 B.sinB=23C.a=1 D.S△ABC答案ACD解析因为A+3C=π,所以B=2C,根据正弦定理bsinB=csinC,所以bsinC=csinB=2csinCcosC,所以23sinC=3×又sinC≠0,故cosC=33,故A正确所以sinC=1−cos2C=63,所以sinB=sin2C=2sinCcosC=22因为b=23,c=3,cosC=33,所以由余弦定理c2=a2+b22abcosC得9=a2+122a×23×3即a24a+3=0,解得a=3或a=1,若a=3,又c=3,且A+3C=π,所以A=C=π4,故B=π所以b=a2+c2=32≠23,不合题意舍去,故a=1,所以S△ABC=12absinC=12×1×23×63=2,故三、填空题7.在△ABC中,AB=2,D为AB的中点,若BC=DC=2,则AC的长为.

答案2解析在△BCD中,BC=DC=2,BD=12AB=1,由余弦定理得cosB=BC2+BD在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC22AB·BCcosB=4+22×2×2×24=4,解得AC=2所以AC的长为2.8.在△ABC中,若C=3B,则cb的取值范围为答案(1,3)解析cb=sinCsinB=sin3BsinB=sin2BcosB+cos2BsinBsinB=2cos2B+cos2B=4cos因为A+B+C=180°,C=3B,所以0°<B<45°,22<cosB<1所以1<4cos2B1<3,即1<cb四、解答题9.(2023·江苏南通二模)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinC=3sinAsinB.(1)若A=π3,求cosB的值(2)若c=6,求△ABC的面积.解析(1)在△ABC中,A=π3,所以C=π(A+B)=2π因为sinC=3sinAsinB,所以sin2π3-B=所以32cosB+12sinB=3即sinB=32cosB(*又sin2B+cos2B=1,所以32cosB2+cos2B=1,即cos2又B∈(0,π),所以sinB>0,由(*)知,cosB>0,所以cosB=27(2)因为sinC=3sinAsinB,由正弦定理,得c=3asinB.又c=6,所以asinB=2.所以△ABC的面积S=12acsinB=12×6×2=10.(2023·浙江温州中学调研)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知bsinA=3acosB.(1)求角B的大小;(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使得△ABC存在且唯一确定,求△ABC的面积.条件①:a=4,b=3.条件②:ca=1,b=7.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.解析(1)因为bsinA=3acosB,所以sinBsinA=3sinAcosB,又sinA≠0,所以tanB=3.因为B∈(0,π),所以B=π3(2)若选①:由余弦定理b2=a2+c22accosB,可得9=16+c28c×12,即c24c+7=0,此时Δ=1628<0,无解,不合题意若选②:由余弦定理可得7=a2+c2-ac,c-a=1,整理得a2+a6=0,解得a=2或a=3(舍去),即c=3,满足△ABC存在且唯一确定,则△ABC的面积为若选③:sinC=1−7142=32114,由正弦定理