2023-2024学年福建省泉州市晋江一中高二（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年福建省泉州市晋江一中高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知函数f(x)=a+2x+b2A.2a+b=1 B.2a−b=−1 C.a+b=1 D.a−b=−12.等差数列{an}和等比数列{bn}都是各项为正实数的无穷数列，且a1=b1，a2=b2，{A.{an}是递增数列 B.{bn}是递增数列3.中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C=Wlog2(1+SN).它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中SN叫做信噪比．当信噪比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计．按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比SN从A.10% B.30% C.60% D.90%4.2024年中国足球乙级联赛陕西联合的主场火爆，一票难求，主办方设定了三种不同的票价分别对应球场三个不同的区域，五位球迷相约看球赛，则五人中恰有三人在同一区域的不同座位方式共有(

)A.30种 B.60种 C.120种 D.240种5.若sin(α+π3)=3sin(α−πA.34 B.23 C.56.已知菱形ABCD的边长为1，∠A=60°,AB=a,BCA.7 B.19 C.13+67.下列结论正确的是(

)A.已知一组样本数据x1，x2，…xn(x1<x2<⋯<xn)，现有一组新的数据x1+x22，x2+x32…，xn−1+xn2，xn+x128.已知F是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点，点P在椭圆C上，线段PF与圆(x−cA.13 B.12 C.5二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.设A，B是一个随机试验中的两个事件，且P(A)=23，P(B)=512，P(A+B)=A.P(AB)=14 B.P(A−B)=110.已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的图象如图所示，令g(x)=f(x)−f′(x)，则下列说法正确的是(

)A.g(π6)=2

B.函数

g(x)图象的对称轴方程为

x=kπ+11π12(k∈Z)

C.若函数

ℎ(x)=g(x)+2的两个不同零点分别为x1，x2，则|x1−x2|11.已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，准线为l，过F的直线与抛物线C交于A、B两点，M为线段AB中点，A′、B′、M′分别为A、B、M在l上的射影，且|AF|=3|BF|，则下列结论中正确的是(

)A.F的坐标为(1,0) B.|A′B′|=2|M′F|

C.A、A′、M′、F四点共圆 D.直线AB的方程为y=±三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知i为虚数单位，复数z满足(1−3i)⋅z=|3+4i|，则复数z的虚部为______．13.在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若B=π3，c=2，S△ABC=14.已知A(x1,y1)，B(x2,y2)分别是函数四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知函数f(x)=12x2+(1−a)x−alnx(a∈R)．

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)当a>0时，求函数f(x)16.(本小题15分)

如图，O是圆柱下底面的圆心，该圆柱的轴截面是边长为4的正方形ABCD，P为线段AD上的动点，E，F为下底面上的两点，且AE=AF，∠EAF=120°，EF交AB于点G．

(1)当AP=32时，证明：OP⊥平面CEF；

(2)当△PEF为等边三角形时，求二面角P−EF−C17.(本小题15分)

某学校组织游戏活动，规则是学生从盒子中有放回的摸球且每次只能摸取1个球，每次摸球结果相互独立，盒中有1分和2分的球若干，摸到1分球的概率为23，摸到2分球的概率为13．

(1)若学生甲摸球2次，其总得分记为X，求随机变量X的分布列与期望；

(2)学生甲、乙各摸5次球，最终得分若相同，则都不获得奖励；若不同，则得分多者获得奖励.已知甲前3次摸球得了6分，求乙获得奖励的概率．18.(本小题17分)

已知双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=52x，焦距为6，左顶点为A，点B，C是双曲线E的右支上相异的两点，直线AB，AC分别与直线l：x=12交于点M，N，且以线段MN为直径的圆恰过双曲线E19.(本小题17分)

记集合S={{an}|无穷数列{an}中存在有限项不为零，n∈N∗}，对任意{an}∈S，设φ({an})=a1+a2x+…+anxn−1+…，x∈R．

定义运算⊗：若{an}，{bn}∈S，则{an}⊗{bn}∈S，且φ({an}⊗{bn})=φ({an})⋅答案解析1.B

【详解】解：函数f(x)=a+2x+b2x−1(ab≠0)，其定义域为{x|x≠0}，

又由f(x)是奇函数，则以f(−x)+f(x)=0，

即a+2−x+b2−x2.D

【详解】解：等差数列{an}和等比数列{bn}都是各项为正实数的无穷数列，设公差为d，d≥0，

公比为q，q>0，且a1=b1，a2=b2，

若d=0，则q=1，{an}，3.B

【详解】解：当SN=1000时，C1≈Wlog21000，当SN=8000时，C2≈Wlog24.B

【详解】解：先将五位球迷分成3组，其中3组人数为”1，1，3“，

再将这3组分到三个不同的区域，

则不同座位方式共有14C51CA25.A

【详解】解：因为sin(α+π3)=3sin(α−π6)，

可得sin[(α−π6)+π2]=6.B

【详解】解：已知菱形ABCD的边长为1，∠A=60°,AB=a,BC=b,AC=c，

因为7.D

【详解】解：对于A，新数据的和为x1+x22+x2+x32+...+xn+x12=x1+x2+...+xn，故平均数不变，

又x1<x2<⋯<xn，

故原数据的极差为xn−x1，新数据极差为xn−1+xn2−x1+x22，

所以xn−1+xn2−x1+8.C

【详解】解：由题意，椭圆的图形如图：F是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点，点P在椭圆C上，线段PF与圆(x−c2)2+y2=b24相切于点Q，且PF=4PQ，圆的圆心为：D(c2,0)，圆的半径为：b2，

所以F1P=2b，FQ=(c29.ABC

【详解】解：对于A，因为P(A+B)=P(A)+P(B)−P(AB)，

所以P(AB)=P(A)+P(B)−P(A+B)=23+512−56=14，故A正确；

对于B，P(A−B)=P(B)−P(AB)=512−14=16，故B10.ABC

【详解】解：由图象知A=2，

T4=2π3−π6=π2，得T=2π，得2πω=2π，得ω=1，

则f(x)=2cos(x+φ)，

∵f(π6)=2cos(π6+φ)=2，得cos(π6+φ)=1，得π6+φ=2kπ，k∈Z，

得φ=2kπ−π6，k∈Z，

∵|φ|<π2，∴当k=0时，φ=−π6，则f(x)=2cos(x−π6)，f′(x)=−2sin(x−π6)，

则g(x)=2cos(x−π6)−2sin(x−π6)=22cos(x−π6+π4)=22cos(x+π12)，

则g(π6)=22cos(π6+π12)=22cosπ4=22×11.BCD

【详解】解：对于A选项，抛物线C：x2=4y的焦点为F(0,1)，A错；

对于D选项，当点A在第一象限，过点B作BN垂直于AA′，N为垂足，如图所示，

设|BF|=m，则|AF|=3m，

因为BB′⊥l，AA′⊥l，BN⊥AA′，则四边形A′B′BN为矩形，

所以，|A′N|=|BB′|=|BF|=m，

则|AN|=|AA′|−|A′N|=|AA′|−|BB′|=3m−m=2m，

设直线AB的倾斜角为α，则α为锐角，且sinα=|AN||AB|=2m4m=12，则α=π6，

此时，直线AB的方程为y=33x+1，

当点A在第二象限时，同理可知，直线AB的方程为y=−33x+1，

综上所述，直线AB的方程为y=±33x+1，D对；

对于B选项，不妨设点A在第一象限，则直线AB的方程为y=33x+1，

设点A(x1,y1)、B(x2,y2)，

联立y=33x+1x2=4y，可得x2−433x−4=0，

Δ=(−433)2+16=643>0，x1+x2=433，x1x2=−4，12.32【详解】解：因为(1−3i)⋅z=|3+4i|=5，

所以z=51−3i=5(1+3i)(1−3i)(1+3i)=5(1+3i)10=1+3i13.4【详解】解：因为B=π3，c=2，S△ABC=3，

即12a×2×32=3，

所以a=214.2【详解】解：点A(x1,y1)到直线y−2x+1=0的距离d=|y1−2x1+1|5，

则|AB|≥d，

y1−2x1+1=mx1ex1−lnmx1−x1+1=ex1+lnmx1−(x1+lnmx1)+1，

令t=x1+lnmx1，由m>0知，t(x)在(0,+∞)上单调递增，

当x1→0时，t→−∞，当x1→+∞时t→+∞，所以t∈R15.解：(1)函数f(x)=12x2+(1−a)x−alnx，定义域为(0,+∞)，

则f′(x)=x+1−a−ax=x2+(1−a)x−ax=(x−a)(x+1)x，

当a≤0时，f′(x)>0，f(x)在(0,+∞)上为增函数，

当a>0时，若0<x<a，f′(x)<0，f(x)为减函数，若x>a，f′(x)>0，f(x)为增函数，

综上，当a≤0时，f(x)的增区间为(0,+∞)，没有减区间；当a>0时，f(x)的减区间为(0,a)，增区间为(a,+∞)；

(2)由(1)知：当0<a≤1时，f(x)在区间[1,e]上为增函数，函数f(x)的最大值为f(e)=12e2+(1−a)e−a，

当a≥e时，f(x)在区间[1,e]上为减函数，函数f(x)的最大值为f(1)=32−a，

当1<a<e时，f(x)在(1,a)上为减函数，在(a,e)上为增函数，

函数f(x)的最大值为max{f(1),f(e)}，

由f(e)−f(1)=12e2+(1−a)e−32>0，得a<1【详解】(1)求出f′(x)，再分a≤0和a>0两种情况讨论，结合f′(x)的正负得到f(x)的单调性；

(2)对a分情况讨论，得到f(x)的单调性，进而求出函数f(x)在区间[1,e]上的最大值．

16.(1)证明：由题，以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

此时O(0,2,0),P(0,0,32),C(0,4,4)，

由于AE=AF,∠EAF=120°，可求出E(−3,1,0),F(3,1,0)，

因此OP=(0,−2,32),CE=(−3,−3,−4),CF=(3,−3,−4)，

设平面CEF的法向量n=(a,b,c)，

则−3a−3b−4c=0,3a−3b−4c=0,令b=2，则a=0,c=−32，即n=(0,2,−32)，

所以OP=−n，即OP//n，

所以OP⊥平面CEF；

(2)解：由(1)则有E(−3,1,0),F(3,1,0),C(0,4,4),G(0,1,0)，

设P(0,0,k)，若△PEF为等边三角形，则|PE|=|【详解】(1)建立空间坐标系求出平面CEF的法向量，再说明OP//n可证；

(2)17.解：(1)由题意知学生甲摸球2次总得分X的取值为2，3，4，

P(X=2)=23×23=49，X234P441所以E(X)=2×49+3×49+4×19=83；

(2)记Am=甲最终得分为m分，m=8，9，10，B=乙获得奖励，

P(A9)=C21×23×13=49，

P(A8)=C22(【详解】(1)由题意知学生甲摸球2次总得分X的取值为2，3，4，结合相互独立事件的概率公式求出各概率，即可求解分布列及期望值；

(2)记Am=甲最终得分为m分，m=8，9，10，B=18.解：(1)由题意可知c=3,ba=52,c2=a2+b2，

解得a=2,b=5，

故双曲线E的标准方程为x24−y25=1；

(2)由(1)知，A(−2,0)，则直线l：x=12是线段AF的垂直平分线，

因为以线段MN为直径的圆恰过点F，则以线段MN为直径的圆恰过点A，

所以AB⊥AC，故AB⋅AC=0，

设直线BC：x=my+n，B(x1,y1)，C(x2,y2)，

由双曲线的对称性可得B，C必在x轴两侧，

则1|m|>52，故|m|<25=255，

中联立方程x=my+nx24−y25=1，化简得(5m2−4)y2+10mny+5n2−20=0，

则Δ=80(5m2+n2−4)>0，即5m2+n2−4>0