新教材高中数学第八章立体几何初步8-2立体图形的直观图素养课件新人教A版必修第二册

8.2立体图形的直观图【情境探究】1.观察下面的图形,回答有关问题:

(1)从图1到图2,图形中的角发生了怎样的变化?提示:由直角变成锐角或钝角.必备知识生成(2)从图1到图2,从图形中的位置关系和数量关系上观察你能发现什么?提示:从位置关系看:图1中平行的直线,在图2中保持平行.从数量关系看:与y轴重合或平行的线段数量关系减半;与x轴重合或平行的线段数量关系不变.2.观察正四棱锥P-ABCD及其直观图,回答下面的问题:(1)在画上述正四棱锥的直观图时,与z轴重合或平行的线段在直观图中有何变化?提示:与z轴重合或平行的线段在直观图中与z′轴重合或平行且长度不变.(2)空间几何体的直观图一定唯一吗?为什么?提示:不一定,作直观图时,由于观察的角度不同及建系方法差异,所画直观图不一定相同.【知识生成】1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤(1)在已知图形中取互相_____的x轴和y轴,两轴相交于点O.画直观图时,把它们画成对应的x′轴与y′轴,两轴交于点O′,且使∠x′O′y′=45°(或135°),它们确定的平面表示水平面.垂直(2)在已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画成_____于x′轴或y′轴的线段.(3)在已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度_____,平行于y轴的线段,长度变为原来的_____.平行不变一半2.画空间几何体的直观图的步骤(1)在几何体中取水平平面,作互相垂直的轴Ox,Oy,再作Oz轴,使∠xOy=90°,∠xOz=90°.(2)画出与Ox,Oy,Oz对应的轴O′x′,O′y′,O′z′,使∠x′O′y′=45°(或135°),∠x′O′z′=90°,x′O′y′所确定的平面表示水平平面.2.画空间几何体的直观图的步骤(1)在几何体中取水平平面,作互相垂直的轴Ox,Oy,再作Oz轴,使∠xOy=90°,∠xOz=90°.(2)画出与Ox,Oy,Oz对应的轴O′x′,O′y′,O′z′,使∠x′O′y′=45°(或135°),∠x′O′z′=90°,x′O′y′所确定的平面表示水平平面.(3)在几何体中,平行于x轴、y轴或z轴的线段,在直观图中分别画成_____于x′轴、y′轴或z′轴的线段,并使它们和所画坐标轴的位置关系,与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同.(4)在几何体中平行于x轴和z轴的线段,在直观图中保持长度_____,平行于y轴的线段,长度为原来的_____.(5)擦除作为辅助线的坐标轴,就得到了空间几何体的直观图.平行不变一半关键能力探究探究点一画平面图形的直观图【典例1】用斜二测画法画出如图所示的正五边形的直观图.【思维导引】(1)建立平面直角坐标系.(2)确定不在坐标轴上的点.(3)建立坐标系xOy后,B,E两点不在坐标轴上或平行于坐标轴的直线上,故需作BG⊥x轴于G,EH⊥x轴于H.【解析】第一步:如图(1)所示,在已知正五边形ABCDE中,取中心O为原点,对称轴FA为y轴,过点O与y轴垂直的是x轴,分别过B,E作BG⊥x轴,EH⊥x轴,与x轴分别交于点G,H.画对应的x′轴,y′轴,使∠x′O′y′=45°.第二步:如图(2)所示,以点O′为中点,在x′轴上取G′H′=GH,分别过G′,H′在x′轴的上方作G′B′∥y′轴使G′B′=GB,作H′E′∥y′轴使H′E′=HE,在y′轴的点O′上方取O′A′=OA,在y′轴的点O′下方取O′F′=OF,并且以点F′为中点,画C′D′∥x′轴,且使C′D′=CD.第三步:连接A′B′,B′C′,C′D′,D′E′,E′A′,所得五边形A′B′C′D′E′就是五边形ABCDE的直观图,如图(3)所示.第三步:连接A′B′,B′C′,C′D′,D′E′,E′A′,所得五边形A′B′C′D′E′就是五边形ABCDE的直观图,如图(3)所示.【类题通法】直观图中应遵循的基本原则(1)一斜:原图中坐标轴的夹角∠xOy=90°,直观图中坐标轴的夹角为∠x′O′y′=45°(或135°).(2)二测:平行于x轴的线段在直观图中长度保持不变,平行于y轴的线段长度变为原来的.【定向训练】1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图,对其中的线段说法错误的是 (

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A.原来相交的仍相交 B.原来垂直的仍垂直C.原来平行的仍平行 D.原来共点的仍共点【解析】选B.由斜二测画法规则知,B选项错误.2.用斜二测画法画出图中水平放置的△OAB的直观图.【解析】(1)在已知图中,以O为坐标原点,以OB所在的直线及垂直于OB的直线分别为x轴与y轴建立平面直角坐标系,过点A作AM垂直x轴于点M,如图1.另选一平面画直观图,任取一点O′,画出相应的x′轴、y′轴,使∠x′O′y′=45°.(2)在x′轴上取点B′,M′,使O′B′=OB,O′M′=OM,过点M′作M′A′∥y′轴,取M′A′=MA.连接O′A′,B′A′,如图2.(3)擦去辅助线,则△O′A′B′为水平放置的△OAB的直观图.【补偿训练】如图所示,画出水平放置的四边形OBCD的直观图.【解析】(1)过点C作CE⊥x轴,垂足为E,如图(1)所示.画出对应的x′轴,y′轴,使∠x′O′y′=45°,如图(2)所示.(2)如图(2)所示,在x′轴正半轴上取点B′,E′,使得O′B′=OB,O′E′=OE;在y′正半轴上取一点D′,使得O′D′=OD;过E′作E′C′∥y′轴,使E′C′=EC.(3)连接B′C′,C′D′,并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线,如图(3)所示,四边形O′B′C′D′就是所求作的直观图.探究点二空间图形直观图的画法【典例2】用斜二测画法画出六棱锥P-ABCDEF的直观图,其中底面ABCDEF是正六边形,点P在底面的投影是正六边形的中心O(尺寸自定).【思维导引】先画出正六边形的直观图,再画出对应的正六棱锥的直观图即可.【解析】画法:(1)画六棱锥P-ABCDEF的底面.①在正六边形ABCDEF中,取AD所在直线为x轴,对称轴MN所在直线为y轴,两轴相交于O(如图1所示),画相应的x′轴和y′轴、z′轴,三轴交于O′,使∠x′O′y′=45°,∠x′O′z′=90°(如图2所示).②在图2中,以O′为中点,在x′轴上取A′D′=AD,在y′轴上取M′N′=MN,以点N′为中点画B′C′平行于x′轴,并且等于BC;再以M′为中点画E′F′平行于x′轴,并且等于EF.③连接A′B′,C′D′,D′E′,F′A′得到正六边形ABCDEF水平放置的直观图A′B′C′D′E′F′.(2)画六棱锥P-ABCDEF的顶点,在O′z′轴上截取O′P′=OP.(3)成图.连接P′A′,P′B′,P′C′,P′D′,P′E′,P′F′,并擦去x′轴、y′轴、z′轴,便得到六棱锥P-ABCDEF的直观图P′-A′B′C′D′E′F′(图3).【类题通法】简单几何体直观图的画法规则(1)画轴:通常以高所在直线为z轴建系.(2)画底面:根据平面图形的直观图画法确定底面.(3)确定顶点:利用与z轴平行或在z轴上的线段确定有关顶点.(4)连线成图.【定向训练】一个几何体,它的下面是一个圆柱,上面是一个圆锥,并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合,圆柱的底面直径为3cm,高为4cm,圆锥的高为3cm,画出此几何体的直观图.【解析】(1)画轴.如图1所示,画x轴、z轴,使∠xOz=90°.(2)画圆柱的两底面,在x轴上取A,B两点,使AB的长度等于3cm,且OA=OB.选择椭圆模板中适当的椭圆过A,B两点,使它为圆柱的下底面.在Oz上截取点O′,使OO′=4cm,过O′作Ox的平行线O′x′,类似圆柱下底面的作法作出圆柱的上底面.(3)画圆锥的顶点.在Oz上O′上方截取点P,使PO′等于圆锥的高3cm.(4)成图.连接A′A,B′B,PA′,PB′,整理得到此几何体的直观图.如图2所示.探究点三直观图的还原与计算【典例3】(1)如图所示,ABCD是一个平面图形的斜二测直观图,则该平面图形是 (

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A.平行四边形 B.矩形C.直角梯形 D.等腰梯形(2)如图,△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图,则△OAB的面积是(

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A.6 B.3 C.6 D.12【思维导引】(1)利用直观图与原图形的位置关系判断.(2)利用直观图与原图形的长度关系求原图形的面积.【解析】(1)选C.斜二测直观图形中,BC∥AD,且平行于x′轴,AB平行于y′轴,所以平面图形中,BC∥AD,且平行于x轴,AB平行于y轴,故四边形为直角梯形.(2)选D.由斜二测画法的规则可得△OAB为直角三角形,且∠AOB=90°,OA=6,OB=4,所以△OAB的面积为S△OAB=×4×6=12.【类题通法】1.直观图的还原技巧由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段,且平行于x′轴的线段还原时长度不变,平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍,由此确定图形的各个顶点,顺次连接即可.2.直观图与原图形面积之间的关系若一个平面多边形的面积为S,其直观图的面积为S′,则有S′=S或S=2S′.利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积.【定向训练】1.已知梯形ABCD是直角梯形,按照斜二测画法画出它的直观图A′B′C′D′

(如图所示),其中A′D′=2,B′C′=4,A′B′=1,则直角梯形DC边的长度是 (

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【解析】选B.根据斜二测画法,原来的高变成了45°方向的线段,且长度是原高的一半,所以原高为AB=2.

而横向长度不变,且梯形ABCD是直角梯形,所以DC=2.如图所示的直观图△A′O′B′,其平面图形的面积为________.

【解析】由直观图可知其对应的平面图形△AOB中,∠AOB=90°,OB=3,OA=4,所以S△AOB=OA·OB=6.答案:6【补偿训练】如图,某直观图中,A′C′∥y′轴,B′C′∥x′轴,则该直观图所表示的平面图形是 (

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A.正三角形 B.锐角三角形C.钝角三角形 D.直角三角形【解析】选D.由直观图中A′C′∥y′轴,B′C′∥x′轴,还原后原图AC∥y轴,BC∥x轴.直观图还原为平面图形是直角三角形.立体图形的直观图核心知识方法总结核心素养易错提醒1.水平放置平面图形直观图斜二测画法步骤：画轴——取点——连线成图2.空间几何体直观图斜二测画法步骤：画轴——画底面——画侧棱——连线成图在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键，一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点．原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段．

(1)作直观图时平行于x轴的线段画成平行于x′轴的线段并且长度不变(2)平行于y轴的线段画成平行于y′轴的线段，且长度画成原来的一半(3)平行于z轴的线段画成平行于z′轴的线段并且长度不变．1.数学抽象：斜二测画法的理解；2.数学运算：与直观图还原的有关计算；3.数学建模：画平面几何和空间几何体的直观图.课堂素养达标1.若把一个高为10cm的圆柱的底面画在x′O′y′平面上,则圆柱的高应画成 (

)A.平行于z轴且大小为10cmB.平行于z轴且大小为5cmC.与z轴成45°且大小为10cmD.与z轴成45°且大小为5cm【解析】选A.平行于z轴(或在z轴上)的线段,在直观图中的方向和长度都与原来保持一致.2.如图所示是水平放置的三角形的直观图,A′B′∥y′轴,则原图中△ABC是 (

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A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.任意三角形【解析】选B.因为A′B′∥y′轴,所以由斜二测画法可知在原图形中BA⊥AC,故△ABC是直角三角形.3.一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°,腰和上底均为1的等腰梯形,那么原平面图形的面积是 (

)【解析】选A.由题意可知,直观图如图所示:分别过C,D作AB的垂线,E,F为垂足.因为CD=1,所以EF=1.又因为BC=AD=1,∠A=∠B=45°,所以CE=DF=BE=AF=,所以AB=+1.S直观图=又因为所以S原图形=4.在已知图形中平行于x轴的线段AB=6cm,则在直观图中线段A′B′=________cm;在已知图形中平行于y轴的线段CD=4cm,则在直观图中线段C′D′=________cm.

【解析】由于平行于x轴的线段在直观图中保持原长度不变,则A′B′=AB=6cm;由于平行于y轴的线段在直观图中长度变为原来的一半,则C′D′=CD=2cm.答案:6

2Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的课堂在老人的脚下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.让一个孩子在你的臂弯入睡,你会体会到世间最安宁的感觉.Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永远不要拒绝孩子送给你的礼物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有时候,一个人想要的只是一只可握的手和一颗感知的心.Love,nottime,healsallwounds.治愈一切创伤的并非时间,而是爱.Lifeistough,butI'mtougher.生活是艰苦的,但我应更坚强.励志名言请您欣赏4.在已知图形中平行于x轴的线段AB=6cm,则在直观图中线段A′B′=________cm;在已知图形中平行于y轴的线段CD=4cm,则在直观图中线段C′D′=________cm.

【解析】选A.由题意可知,直观图如图所示:分别过C,D作AB的垂线,E,F为垂足.因为CD=1,所以EF=1.又因为BC=AD=1,∠A=∠B=45°,所以