人教版初中数学数与式版块基础知识点与例题分析

)))))))))

一、数与式板块

1有理数

正数：像0.05,3这样大于0的数叫正数。

负数：像-3,-0.45这样在正数前面加上符号（负）的数叫做负数。

0既不是正数也不是负数

正整数、0、负正数统称为整数；正分数、负分数统称为分数，整数和分数统称

为有理数。

数轴：在数学中可用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。

相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数

绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作同

由绝对值的定义可知：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是

它的相反数；0的绝对值是0.

有理数大小的比较

（1）正数大于0,0大于负数，正数大于负数；

（2）两个负数，绝对值大的反而小。

倒数：乘积是1的两个数互为倒数

有理数乘方的运算的符号法则：

负数的奇次基是负数，负数的偶次暴是正数；正数的任何次累都是正数；。的任

何正数次幕都是零。

“lOlaa的数表示成义大于或者等于的形式（其中科学记数法：把一个大于10,

这样的记数的方法叫科学记法。（必考）10,n是正整数）且小于

1：实数的相关概念考点），-12中属于负整数的是（例1在数0,2,-3D-L2

C-32A0B

0既不是正数也不是负数解析：属于正整数2

C

故选是负整数-3-1.2是负数但不是负整数，故错

误。

）»）»）»）.

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考点2：绝对值（和相反数选考其中之一，选择或填空）

典例2（2013.云南）-6的绝对值是（）

16D-C±B6A-6_6分析：根据绝

对值的性质，当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数-a.根据绝对值的性

质卜6|=6

考点3：相反数（每年必考，选择题）

典例3（晋江中考）化简-（-2）=

解析：负数的相反数是正数，故-（-2）=2

例4（2012昆明）5的相反数是

1IC.D.?5B..A-5____

55解：正数的相反数是负数，绝对值要相等，所以5的相反数是-5,故选B

1的相反数是（）例5（2014昆明）_211D.2A.B.

C.?2?__22解析：根据相反数的定义，即只有符号不同的两个数互为相反数，

进行求解解：11的相反数是__22故选B.

考点4正负数的应用

例5（济宁中考）一运动员某次跳水的最高点离跳台2m,记作+2m,则水面离

跳台10m可以记作（）

-10m-12mB..AC.D.+12m

+10m

解析：最高点到跳台的方向和水面到跳台的方向是相反的，已知最高点到跳台的

距离为2m,记作+2m,所以反方向距离记作负数，即水面离跳台10m,记作-10m.

））））））））））.

）））））））））

例6（2011昆明）昆明小学1月份某天的气温为5℃,最低气温为-1℃,则昆

明这天的气温差为（）

A、4℃B、6℃C、-4℃D、-6℃

解析：温差为最高气温减去最低气温，所以温差等于5-（-1）=6度。

考点5：科学记数法。（每年必考，填空题）

类型1,要表示的数大于1,且无单位换算

例7（2014.昆明）据报道，2014年4月昆明库塘蓄水量为58500万立方米，将

58500万立方米用科学计数法表示为（）万立方米。

”的形式,其中lW|a|〈10,n分析:科学记数法的表示形式为aX为整数。确10

定n的值时。要看把原数变为a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点

移动的位数相同，当原数的绝对值大于1时，n是正数，当原数绝对值小于1时，

n是负数。

4（每年必考）X将58500用科学记数法表示为5.85解；10

类型2,要表示的数小于1,但无单位换算

例8某种细胞的直径是0.00000095m,将0.00000095用科学计数法表示为（）

?7?810.59.5?10?9BA

?7?81095.95?10?0DC

解析：数据0.00000095,第一个非零数字前面有7个0,所以该数据运用科学记

”10?9.5（数法可表示为原数绝对值小于1时，n是负数）.

类型3,具有单位换算的科学记数法。

例9（2014河南）据统计2013年河南省旅游业总收入达到约3875.5亿元，若将

„1073.8755,则n等于亿元用科学法表示为（）3875.5A、10

B、11C、12D、13

H108755.73故选亿元3875.5=387550000000=B

解析：）））））＞））＞）.

）））»））））

点拨：像这种带单位用科学记数法表示的题目，要先将单位化为统一再用科学记

数的计算法则来求。

2、整式的加减

单项式：都是数或者字母的积。

多项式;几个多项式的和叫做多项式。

整式：单项式与多项式统称为整式

同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。

合并同类项：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的的和，且字母连

同它的指数不变。

考点1：整式的识别

例1单项式中2a的系数是（）

A2B2aClDa

解析：单项式的系数是指单项式中的数字因数，单项式2a中，2是数字因数，

所以单项式2a的系数是2,故选A

,*-x+2是关于x的三次三项式，那么n等于（典例2（济宁中考）如果整式）

A3B4C5D6

，尔-x+2是关于x因为整式的三次三项式，所以该多项式的最高次数为3,即n-2=3,

解得n=5,故选C。

考点2：同类项的概念的应用

l^yxyx是同类项，那么a,b与（凉山州中考）如果单项式典例3-的值分别2）

是多少？（

b=2

Ca=lb=3Da=2b=2Ba=lb=3Aa=2

解析：同类项是指所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，

C选项。选所以的指数应该相同，即和所以由题意得xya+l=2,3=b,a=l,b=3,

））»））））））.

））»）））））

考点3：合并同类项

2222例4合并同类项：6儿??3%?4＜m?76曲56?63解析：合并同类项包括两点：一找

同类项；二合并同类项。合并时将同类项放在一个括号中，连同各项前面的符号，

各项间用加号连接。

22226解：ba?3ab4ab?1ba3a?b?5b?a22+（3-4））6-7）+（5+3（=abbaab*=ab8ab?a?b?

考点4：整式的计算

2?(a?b)(a?b)(a?b)?2加2014宁波)化简：例5G?(a?b)(a?b(a?)b)?2ba解：2222

=ab??b?2ab?b2?as=aMb(ab?)?b(ab?2ab??6(2015咸宁)化简例

22M)?防?(?62%?方?)(。解2222b^?abb21?aaba?2=力2=-整式的计算只需按照计算法则

依次计算并合并同类项，最后得到最简整式，即可。

3一元一次方程

一元一次方程：只含有一个未知数，未知数的次数都是1,等号两边都是整式,

这样的方程叫做一元一次方程。

等式的性质

性质1：等式两边同时加上或者减去同一个数或者式子，结果仍相等

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性质2：等式两边同时乘或者除同一个不为0的数，结果仍相等。

解一元一次方程的一般步骤为：去分母，去括号，移向，合并同类项，系数化为

1.

考点1,解一元一次方程

2(x?3)2(x?7),解方程例l?L5x?53解：去分母

得)?710(x)?22.5x?6(x?3去括号得70x?x?10?18?22.56x移向得18?x?7022.5x?106x?

合并同类项得-6.552?x系数化为1得8?x?2x?l的值相等，则x的值是例2(2015

济南)若代数式与5?4x2232

DCA1B____321x?2解：由题意得=5x?4

2去分母得1?2»?5)?2(4去括号得lx??xl0?28移向得9x?631得系数

化为?x_2B故选

,一元一次方程的应用考点2,配套问题(在现实生活中存在“产品配套”问

题，这类问题的基本等量类型1关系是加工或生产的总量成正比。个，18个或

者螺母某车间有工人例328人，已知每个工人一天能生产螺栓12问怎样分配生

产螺栓和螺母的人数才能使每天生产每个螺栓要和两个螺母配套，螺栓和螺母

正好配套？)))))))))).

)))))))))

解：设生产螺栓的工人为x人，则生产螺母的工人为(28-x)人，根据题意得

解得x=12)x(28?122?%?18所以28-x=28-12=16(A)

答：生产螺栓的工人为12人，生产螺母的工人为16人。

类型2打折销售问题

常见数量关系注意事项

进价利润=售价-打几折是按照原价的百分之几十

出售

利润率=（售价一进价）/进价义100分清利润与利润率

%

折出售，那么这150元，如果每件以8例4（哈尔滨中考）某种衬衫每件标价）

元。种衬衫每件的实际售价应为（%=120元，根据题意得x=150X80解析：设

衬衫每件实际售价为x120元。所以答案为

3行程问题类型=速度义时间，在行程中一般有三种情况行程问题中常见的关

系式为路程距离）相遇问题：相等关系为速度和X相遇时间=（1距离-慢行速

度）X追及时间=（2）追及问题：相等关系式为（快行速度水流速度。=静水

速度+（3）航行问题：相等关系为顺水速度如果骑自行车保持平路每小时例5

从甲地到乙地的路有一段平路和一段上坡路，分钟，18km,那么从甲地到乙地需

29行15km,上坡路每小时10km,下坡路每小时25分钟，从甲地到乙地的路程是

多少？从乙地到甲地需2925小时，25分钟=小时，根据题意x解：设平路所用时

间为小时，29分钟=______6060得12529解得（?）?x?18（x）x?10_________

360601129）（则从甲地到乙地的行程是km5???15?10（）.?6________3360））»））））））.

））»）））））

6.5km.答：从甲地到乙地的路程为

4,、实数液叫=,即的平方等于，那么这个正数算数平方根：一般地，如果一个

正数xxaaa叫做被开方数。的算术平方根记为，读作“根号”，做的算术平方根。

aaaaO.

0的算术平方根是的平方根或者二平方根：一般地，如果一个数的平方等于，那

么这个数叫做叫2a的平方根，记作土。，那么叫做次方根。即如果，读作正负根

号="〃依开平方：求一个数的平方根的运算，叫开平方。a性质：正数有两个

平方根，他们互为相反数；0的平方根是0;负数没有平方根。的立方根或者三

次立方根：一般地如果一个数的立方等于，那么这个数叫做如方根。0.性质：

正数的立方根是正数，负数的立方根是负数,0的立方根是3.21,4.33333有理数：

任何有限小数或者无限循环小数都是有理数，如3,；无限不循环的小数叫无理

数，”无理数实数：有理数和无理数的统称。

考点1,算术平方根（南通中考）9的算术平方根是（）典例1D-81

B-3C81A3

9A.=3解析：根据算术平方根的定义，得9,所以答案选的算术平方根是

2,平方根与立方根考点81的立方根与典例2,-27的平方根之和是D6

C0或者-6B-6A0

327?=-3,所以-3解析:因为O3=27281=9

3）又因为=9,且（土））））））））））.

）））））»））

81C故选。所以，它们的和是0或者-6,所以的平方根是±3,实数与数轴的对

应关系考点32简结果则图所示的化，典例3,实数在数轴上的位置如a）?（a?bab

。是

0ab,且解析：从数轴上看>0,<0\aabb2+=—=|j+=-所

以。）?/?均加加?附4,估算无理数考点4的无理数2012.昆明）定出一个大于2

小于典例4（考点：无理数及平方根

xl61644=4<,所以2=<解析因为2=,4=）（=5,6,7,8,10,11,12,13,14,15x

然估算无理数就要看无理数介于的两个数是哪两个数的平方根或者算术平方根,

后只要被开方数介于两者之间且是开不尽的即可。

二元一次方程组5.,像这样1二元一次方程组：含有两个未知数，并且含有未

知数的项的次数都是的方程叫做二元一次方程。，并且一共二元一次方程组：有

两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1由两个方程。

0??By?CAx解的情况二元一次方程组G?Dx?Ey?FBA?当）（时，方程组

有唯一一组解；1_____EBCBA??当2）时，方程组有无数组解；（_________

FBE）））>））））».

））））»）））

CBA当时方程组无解。（3）??________FED解二元一次方程组的方法：代

入法和消元法。把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子

表示出代入法：来，再代入另外一个方程中，实现消元，进而求得这个二元一

次方程组的解。把这两个方程当二元一次方程组中同一未知数的系数相反或者相

等时，加减法：的两边分别相加或者相减，就能消去这个未知数，得到一元一

次方程。列一元一次方程组解实际问题时会抓住“不变量”和“等值量”列方

程。实际问题与二元一次方程组：表示题目中的两个未知数弄清楚题意和题

目中的数量关系，用字母x,y）（l找出能够表示应用题全部题意的两个相等关系

2）（根据两个相等关系，列出代数式，从而列出方程并组成方程组3）（解

这个二元一次方程组，求出未知数的值4）（检查所得结果的正确性及合理性

5）（）6写出答案。（

1考点，二元一次方程组的解法=1①1典例（成

都中考）解方程组：y?x2=5②V?x解方

法一（代入法）：

由①得③y?l?x???yy?51?把③代入②得2即，，解得

1??75?如5?丁2?322?把代入③，得2??1）?1lx??（y?所以方程组的解为2?x1V.y方

法二（加减法）：

①+②，得，解得2x63x7?））））））））））.

）））））））））

，解得把代入①，得I??l?y2x?y2x?2x?所以方程组的解为1?/?

考点2,二元一次方程组的应用

例2（2014昆明）某校运动会需购买A、B两种奖品.若购买A种奖品3件和B

种奖品2件，共需60元；若购买A种奖品5件和B种奖品3件，共需95元.

（1）求A、B两种奖品单价各是多少元？

（2）学校计划购买A、B两种奖品共100件，购买费用不超过1150元，且A种

奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍.设购买A种奖品m件，购买费用为W

元，写出W（元）与m（件）之间的函数关系式，求出自变量m的取值范围，

并确定最少费用W的值.

解析：（1）设A、B两种奖品单价分别为元、元，由两个方程构成方程组，"

求出其解即可.

（2）找出W与m之间的函数关系式（一次函数），由不等式组确定自变量m的

取值范围，并由一次函数性质确定最少费用W的值.

解：（1）设A、B两种奖品单价分别为元、元，由题意，得A3X?2/?60?,

?5x?3y?95?x?10?解得：.

?/?15?答：A、B两种奖品单价分别为10元、15元.

（2）由题意，得

少?10，"？？/）15（100m?15m?150010?

〃?5?1500?1500?5加？1150?由，解得：.75??70加?加?3（100?⑼？）》»）»））.

）»））））））

由一次函数可知，随增大而减小加仍《%?1500?5当时，W最小，最小为（元）

75?加1125?75?%?1500?5?答：当购买A种奖品75件，B种奖品25件时，费用W

最小，最小为1125元

（此题中的第一问就是二元一次方程的实际应用）

例3（2016昆明）（列方程（组）及不等式解应用题）

春节期间，某商场计划购进甲，乙两种商品，己知购进甲商品2件和乙商品,3

件共需270元；购进平商品3件和乙商品2件共需230元.

（1）求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？

（2）商场决定平商品以每件40元出售，乙商品以每件90元出售，为满足市场

需求，需购进甲、乙两种商品共100件，甲种商品的数董不少于乙种商品数置的

4倍，请你求出获利最大的进货方案，并确定最大利

）解：（I）设，片脩从自件造价为周元,乙片的晶体仲进价为V元..........I分

根据超意列方四川翱：.........................................................2分

3x*2y=23O

x»30

3分

y=70

符।用肿商品每件进价为川元，乙片商砧每件造价M0元.

设商场购进甲种商品时，则购送乙种商乩为（100/）件・议利涓为w元......4分

润.收弟题靠卅a2«IOO-M

*用："之80......................5分

也.做Mw-（40-J0）a+（90-70）（100-a）

即*=-10a*2QQ0..............................................6分

V*-l（K0.湛”的懵火而徽小

二当a取最小但80时，W.A=-10x80+2000=1200（元）.......7分

.,.l（Xkr=l00-8O«20（ft）

谷：当商场购进甲种商品80件，乙构商从20件时，骐利量大,锻大利河为1200元.......8分

（此题中的第一问就是二元一次方程的实际应用）

6、不等式与不等式组

））））））））））.

）））））»））

不等式：用符号“〈”或“>”表示大小关系的式子叫不等式。

不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集。

不等式的性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不

变。

不等式的性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

不等式的性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

一元一次不等式：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫一元一次不

等式。

一元一次不等式的解法：1、去分母2、去括号3、移项4、合并同类项5、系数

化为1（在步骤1到步骤5中，如果乘的因数或除数是负数，则不等号的方向要

改变）

一元一次不等式组:把两个一元一次不等式合起来,组成一个一元一次不等式组。

解一元一次不等式组的步骤：

（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集；

（2）将各不等式的解集在数轴上表示出来；

（3）在数轴上找出各个不等式的解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组

的解集。

考点1不等式的定义和性质

加?〃，下列不等式不一定成立的是（）例1（2015南充）若A

B小?m?2n?222mmDC?__

22解析：由不等式的性质1（不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等

号的方向不变。）和不等式的性质2（不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号

的诩？1n则如m=0,n=-l,A,B,C方向不变）。可知都是正确的，但D项不一定成立，

不成立，所以选D.

例2（2012广州）已知，若c是任意实数，则下列不等式中总是成立的是儿?A

Bcb??accba?c???CD

bcac^acbc））））））））））.

）））））））））

,不等号的方解析：由不等式的性质不等式两边加（或减）同一个数（或式子）

无法断定是否正确，C,DB正确，而A选项变了不等号的方向，向不变。可得

B.,所以选因为c的正负无法判定，它也有可能是0

,一元一次不等式的解法考点2）的解集是（例3,（2016金华）不等式

3x+l<-23x<-2-l解:移向，3x<-3合并同类项得，

x<-l系数化为1,得

lx?例4,解不等式，？32x?3解：去分母，得3（lx?x?3）?2去括号，得

l?x?9?x6移项、合并同类项，得10?5xl,得系数化为2?x所以原不等式

的解集为2x?点拨：在解一元一次不等式时要按照不等的性质来变换不等号

的方向。

不等式组的解法考点32016北京）解不等式组2x+5>3（x-l）例5（x?74x>

2①解：2x+5>3（x-l）

x?74x>②2解①得x<8

解②得x>l所以不等式组的解集为l<x<8

考点4,一元一次不等式及不等式组的应用

例6,（福州中考）某次知识竞赛共20道题，每一题答对得5分，答错或不

答））））））））））.

）»））»））

扣三分68小明考了分，那么小明答对多少道题？（1）

分），请你算算小亮答对了几道题？）小亮获得二等奖（70-90（2x道题解：（1）

设小明答对了x=16

解得依题意得5x-3（20-x）=68

y道题，依题意得⑵设小亮答对了5y-3（20-y）^70

5y-3（20-y）W70

13因此解得不等式组的解集为16<x<18__44因为y是正整数

所以y等于17,或者18

答：小亮答对了17道或者18道题。

例7（2011昆明）A市有某种型号的农用车50辆，B市有40辆，现要将这些农

用车全部调往C、D两县，C县需要该种农用车42辆，D县需要48辆，从A市

运往C、D两县农用车的费用分别为每辆300元和150元，从B市运往C、D两

县农用车的费用分别为每辆200元和250元.

（1）设从A市运往C县的农用车为x辆，此次调运总费为y元，求y与x的函

数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）若此次调运的总费用不超过16000元，有哪几种调运方案？哪种方案的费

用最小？并求出最小费用？

解：（1）从A市运往C县的农用车为x辆，此次调运总费为y元，根据题意得：

y=300x+200(42-x)+150(50-x)+250(x-2),

即y=200x+15400,

所以y与x的函数关系式为：y=200x+15400.

x?0??42?x?0?又：，？50?x?0??x?2?0?解得：2WxW42,且x为整数,

))))»))».

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所以自变量x的取值范围为：2WxW42,且x为整数.

(2)•..此次调运的总费用不超过16000元，.•.200X+15400W16000

解得：xW3,...x可以取：2或3,

方案一：从A市运往C县的农用车为2辆，从B市运往C县的农用车为40辆，

从A市运往D县的农用车为48辆，从B市运往D县的农用车为0辆，

方案二：从A市运往C县的农用车为3辆，从B市运往C县的农用车为39辆，

从A市运往D县的农用车为47辆，从B市运往D县的农用车为1辆，

•.•y=200x+l54000是一次函数，且k=200>0,y随x的增大而增大，

•••当x=2时，y最小，即方案一费用最小，

止匕时，y=200X2+15400=15800,

所以最小费用为：15800元

例8(2013?昆明)某校七年级准备购买一批笔记本奖励优秀学生，在购买时发

现，每本笔记本可以打九折，用360元钱购买的笔记本，打折后购买的数量比打

折前多10本.

(1)求打折前每本笔记本的售价是多少元？

(2)由于考虑学生的需求不同，学校决定购买笔记本和笔袋共90件，笔袋每个

原售价为6元，两种物品都打九折，若购买总金额不低于360元，且不超过365

元，问有哪几种购买方案？

解析：(1)设打折前售价为x,则打折后售价为0.9x,表示出打折前购买的数量

及打折后购买的数量，再由打折后购买的数量比打折前多10本，可得出方程，

解出即可；

(2)设购买笔记本y件，则购买笔袋(90-y)件，根据购买总金额不低于360

元，且不超过365元，可得出不等式组，解出即可.

解：(1)设打折前售价为x,则打折后售价为0.9x,由题意得，

360360+10=x0.9x解得：x=4,

经检验得：x=4是原方程的根，

答：打折前每本笔记本的售价为4元.

)))))))))).

)))))))))

(2)设购买笔记本y件，则购买笔袋(90-y)件，由题意得，

360^4X0.9Xy+6X0.9X(90-y)W365,

2WyW70,解得：67_9为正整数，；x，69,70Ax可取68,故有三种

购买方案：本，购买笔袋22个；方案一：购买笔记本6821个；方案二：购买

笔记本69本，购买笔袋个；方案三：购买笔记本70本，购买笔袋20（第

二问中用到了一元一次方程组的应用）

7数据的收集整理与描述

全面调查：考查全体对象的调查

抽样调查：只抽取一部分对象进行调查，然后根据调查数据推断全体对象的情况

的调查。

总体：要考查的全体对象称为总体

个体：组成总体的每一个考察对象称为个体

样本：被抽取的那些个体组成一个样本

样本容量：样本中个体的数目称为样本容量。

考点：总体、个体、样本、样本容量的相关概念.

典例1,（2013?昆明）为了了解2013年昆明市九年级学生学业水平考试的数学

成绩，从中随机抽取了1000名学生的数学成绩.下列说法正确的是（）

A.2013年昆明市九年级学生是总体

B.每一名九年级学生是个体

C.1000名九年级学生是总体的一个样本

D.样本容量是1000

））））»））））.

）））））））））

分析：根据总体、个体、样本、样本容量的概念结合选项选出正确答案即可.

解答：解：A、2013年昆明市九年级学生的数学成绩是总体，原说法错误，故本

选项错误；

B、每一名九年级学生的数学成绩是个体，原说法错误，故本选项错误；

C.1000名九年级学生的数学成绩是总体的一个样本，原说法错误故本选项错误;

D、样本容量是1000,该说法正确，故本选项正确.

故选D.

本题考查了总体、个体、样本、样本容量的知识，解题要分清具体问题中的总体、

个体与样本，关键是明确考查的对象（该题中考查的对象是九年级学生的数学成

绩，A、B、C三个选项就是把考查对象搞错了）.总体、个体与样本的考查对象

是相同的，所不同的是范围的大小.样本容量是样本中包含的个体的数目，不能

带单位

8整式的乘法与因式分解

“,心,血?a（即同底数基相乘，底数不变，指数相加。）同底数幕的乘法：

…则?）（即累的乘方，底数不变，指数相乘）暴的乘方

??“Maab（即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所积的乘方得

的幕相乘。）

mm?„aa??a（,同底数事的除法m,n都，是正整数并且m〉n）0?磁?13?0）（即任

何不等于0的数的0次幕都等于I)

??^b?aba(?b)?a(即两个数的差的积，等于这两个数的平方差)平方差公式

??顼bR2ba?ab?a(两个数的和(差)的平方，等于他们的平完全平方公式方和，

加上(或减去)它们的积的2倍。

因式分解：把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个

多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。

)))))))))).

)))))))))

2型式)形如)公式法(3因式分解的方法：(1)提公因式法(2的?4)?如?子的因

式分解

整式的乘法：

(1)单项式与单项式相乘的法则

单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数事分别相乘，对于只在一个单项式

里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式

(2)单项式与多项式相乘的法则

单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

(3)多项式与多项式相乘的法则

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把

所得的积相加。

考点1：同底数幕的乘法

32等于典例1(晋中中考)计算：X.2X556DC2A

2Bxx2x323?25x2?.x2x2.x?(同底数基相乘，底数不变指数相加)解

析：

故选C

考点2：暴的乘方

??23(广州中考)计算)的结果是(典例2〃加2523266〃“〃?〃〃〃""〃7CD

AB

??2烟3B解析：(即幕的乘方，底数不变，指数相乘)故选〃〃的〃？

：平方差公式考点32典例3,计算：10X98；??2动??(即两个数的

差的积，等于这两个数的平解析：平方差公式方差)此题中要用拼凑法构造平

方差公式2：2100?=10000-4=9996

)(100+2=解：原式()100-2=)))))))))).

)))))))))

考点4：平方差公式；多项式乘以多项式

??????，典例4）?15什?2?抄?/?2必解析：原式=）?5?y4?2y?（”2=5y??y4?4?y=-4ly?

考点5：因式分解中的提公因式

25分解因式：典例中?x解析原式=（两式中的公因式为）x»x（x?

考点6：因式分解中的公式法

22=典例6分解因式：bab?3a12?12??2ib?a474ab=3解原式？？/?2a=3

考点7：多项式乘以多项式

典例7计算？y）3x?4（x?2y）（解析：原式=y42y.x?2y.3?.x.3x?x4y22泗犯??4个?3》6=

22y82?砂3x?=

9分式

分式的概念：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子,

44叫做分式，分式中，A叫做分子，B叫分母。_____88分式的基本性质：

分式的分子分母同乘（或者除以）一个不等于0的整式，分式））》））»»

）））））»））

的值不变。

分式的运算

乘法法则：分式乘分式，用分子的乘积作为积的分子，分母的积作为分母。

除法法则：分式除以分式，把除式的分子分母颠倒位置后与被除式相乘。

加减法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减

异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。

分式方程：分母中含未知数的方程叫做分式方程。

增根：使最简公分母为0的根叫做分式方程的增根。

检验分式方程解的方法：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值

不为0,则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是分式方程的解。

考点1：分式有意义的条件

lx昆明）2014例1（的取值范围是要使分式有意义，则x?10x的

取值范围.解析，根据分式有意义的条件（即分母不能等于0）可以求出x?10?0解：由分式有

意义的条件得：x?10x?10故填

3y?上海）函数（2016）例2的定义域是（22x3解，函数的定义域要使函数

有意义，即使分式有存在的意义，所以分母不能2x?2x#2r0,所以等于0,即x-

考点2：分式的性质

1?丽水）分式（2015例3（）可变形为xl?llll??DC

BA________________________l?l?x?lxlx?x解析：

由分式的基本性质：分式的分子分母同乘（或者除以）一个不等于0的整式，分

式的值不变。此题可以理解为分子分母同时乘以-1,,故选D

考点3：分式加减

)))))))))).

)))))))))

x?ll的结果为（天津中考）计算例4?xxlx72DAl

BCxxxx?llx?l?lx解析：故选A（该题只要掌握了分式加

减的法则就能1????XX*轻松做出）。

考点4：分式的加减，增根的定义（使最简公分母为0的根）

xm有增根，则m的为（（鸡西中考）分式方程）例5??1

x?l（x?l）（x?2）AO和3B1C1和-2D3

xm?l?解析：x?l（x?l）（%?2）方程两边同时乘以最简公分

母）2）（〃?x?2）?x?（x?l?.（xx⑵?（xl）（整理得①2?加?x因为方程有增根，所以方程的

解使最简公分母为0,所以或者）2r?x（?l）（2?x?x的值代入①中得或者故选将A

3?1?2加?x?2x?1?2?/MX?2??2??0

考点5：分式的应用

列分式方程解决实际问题时列方程前，应先弄清问题中已知数与未知数，以及他

们之间的数量关系，用含未知数的式子表示相关量，然后再用题中的主要相等关

系列出方程，求出解后，必须进行检验，既要检验是否是分式方程的解，又要检

验是否符合题意。

例6,（2016昆明）八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑

自行车先走，20分件后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达.己知汽车

的速度是骑自行车学生速度的2倍.设骑车学生的速度为x千米/小时，则所列

方程正确的是（）

10101010??20??20B..A_______________

x2x2xx））））））））））.

））））»）））

1101101010D..C????_________________________

3xxx2x32此题列关系式的根本此题在理清题意之后要注意题目中时间单位的换

算，解析：10是两者二者的时间差的关系。骑车的学生花的时间为，而乘汽车

的学生花的_X110,二者之间的时间差为，所以选时间为C选项。32x

昆明）某校七年级准备购买一批笔记本奖励优秀学生，在购买时发?例7（2013

打折后购买的数量360现，每本笔记本可以打九折，用元钱购买的笔记本，比

打折前多10本.（1）求打折前每本笔记本的售价是多少元？，表示出打折前

购买的数量及打解析:设打折前售价为x,则打折后售价为0.9x可得出方程,本，

折后购买的数量，再由打折后购买的数量比打折前多10解出即可；，则打折

后售价为0.9x,由题意得,x解:设打折前售价为360360+10=xx09.,

解得：x=4是原方程的根，经检验得：x=4元.答：打折前每本笔记本的售价为4

10、二次根式称为（）的式子叫做二次根式，二次根式：一般地，我们把

形如“0a?二次根号。0.（必考）二次根式有意义的条件：被开方数大于等于二

次根式的性质：a）?0（«20

（1））。?0（?。？|3〃？)0a(?)))))))))).

））））»）»

0?a（2））0（a?2（3）a）?（a）?0（aab?a.bo即两个二次根式相乘，把二

次根式的乘法法则：）06?,3?0被开方数相乘指数不变。aa。即两个二次根式相

除，把被开方二次根式的除法法则：）0b（a?0,??bb数相除，根指数不变。再将可

以先将二次根式化为最简二次根式，二次根式的加减：二次根式加减时，被开

方数相同的二次根式进行合并。一定要满足被开方数大于二次根式概念的意义：

判断一个根式是否是二次根式，2,当被开方数是字母时，要根据字母的取值进

行讨论。或者等于零，根指数是

：二次根式有意义的条件考点H.1例（2012的自变量昆明）函数

的取值范围是x2?y?x2,即解：要使函数有意

义，则二次根式中的被开方数要大于等于0x-220,x2

lx?）例2在实数范围内有意义，则（苏州中考）若式子的取值范围是（x

2DBCAl??lx?lx?lxxlx?在实

数范围内有意义则一定要满足被开方数大于或者等于解析：若式子2C

故选，解得零，即10?x?xl?

考点2：二次根式的性质的考查0??y?x4?2x已知典例2,则?yx?0a?可知，二次

根式是一个非负数，几个解析：根据二次根式的性质）0（a?x?4?00x?4?2?y?x非负

数相加等于且0.0,则每个数都为即，因为

))»)»»).

)»)»)))

0y?2x?0?x?4所以：0?2x?y4x?0?x?4解得所以

8???丁0?必

、数据的分析11平均数：把一组数据的总和除以这组数据的个数所得的商叫做

这组数据的平均数。，..…》，……wx/www数个加权平的权分别是均数：若n,则

3ln2»2„3\W........X?XWWX?XW”32⑶2”n个数的加权平均数。叫做这

WW……?W?W,必中位数：将一组数据按照由小到大

（或者由大到小）的顺序排列，如果数据的个如果数据的个数是偶数，则称处于

中间位置的数为这组数据的中位数，数是奇数，则称中间两个数据的平均数为

这组数据的中位数。众数：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众

数。_XXXX,……X,的差的个数据，各个数据与他们的平均数数据的波动程度：设

_____”用即数的平均是分别，，我们用这些值平方）x（x?x）,（x?x）,......_

_22）X?X,（X?）XX（X?），……（2”I2?S来衡量这组数据波动的大小，并把这组数据

g的方差，记作。方差越大，数据波动越大，

方差越小，数据波动越小。：中位数考点1名团员捐款的数额分8例1,在开

展“爱心捐助雅安灾区”的活动中，某团支部）这组数据的中位数是

（6,5,3,5,6,10,5,5别为（单位：元）：D元65B3

A元元C

元10,这组数据的中解析：将这组数据按从小到大的顺序排列如下：

3,5,5,5,5,6,6,10））））））））））.

)))))))))

5?5位数则中位数是元5?2）我省五个级旅游景区门票如下表所示（单位:

元）例2（2014昆明5A

5景区石林玉龙雪山丽江古城大理三塔西双版纳

名称文化旅游区热带植物园

i

3

方

V.

1

E

11

||

兀

||

9

歹

i

七

i；

白

A

票价175105中位80.121.众80极差

（元）120数是B.105C.数是80D.

平均

数是.

是95解：这五个旅游景区门票票价的平均数是：

5612021?5?20?5?100775?120??112,2755A

A是错误的，故选说法

，五个数175,121,80B将这五个门票价从小到大排列为:80,,105验证：

105.

居中，故这五个数的中位数是中105,o80出现两次，其它都只一只，故五数

中的众数是80c在这五个数中.D极差是样本中最大数与最小数的差，所以五数

的极差是9580?175?

：样本方差考点2次射击成绩的平均数都（昆明中考）甲、乙两人进行射击测

试，每人10典例222s.5?1,环，方差分别是：是（填8.5,则射击成绩较稳

定的是2?5乙甲---------.

“甲”或“乙”）样本方解析：样本中各数据与样本平均数的差的平方和的平均

数叫做样本方差，对甲、样本数据的波动就越大.差是衡量一个样本波动大小的

量，样本方差越大，乙射击测试来说,射击成绩的方差越小，射击成绩越稳定.故

填乙.

11、一元二次方程）））»）））））.

）））））））））

,并且未知一元二次方程的定义:等式两边都是整式，只含有一个未知数（一元）

数的最高次数是2（二次）的方程。22是二次是二次项，一元二次方程的一般形

式是，其中）ax?bx?c?0（a?0mx是一次项系数；是常数项。项系数；是一次项，cbxb

（必因式分解法、公式法4配方法解一元二次方程的方法：1、直接开平方法2、

3考）…这个式子叫公式法：方程的实数根可以写成）0（a?ax0c?bx???x.2做一

元二次方程的求根公式。一元二次方程根的个数与根的判别式的关系

”）0?亦0?6x?c?0（根的判别式，通常用希腊一般地，式子叫做方程4?4b2=字母△表

示,即△“c为4?22）“xa?H?c?0（?0有两个不相等的实时，一元二次方程①当^

=>0aC?4b^cr!b4ae!b!Kb?4o数根。即，？X?X⑵2“222）4?0?6x?C?0aX（有两个相等的实数=0=

时，一元二次方程②当△ac6?4?x?x根。。b?_2iO222）?0c?0（axa?Z>x?时，一元二次方

程没有实数根。当4=<0③ac?b4根与系数的关系：”）00（“?ax?bx?c?有两个不相等

的实数>0时，一元二次方程当△="c46?i：ac??b?b4?4ac?b?b，根。即。则有：？X?X32”X?X

___2、a?c?xjc每年必考-21a

考点1：根的判别式

2-5x+l=0的根的情况是（）1（2013?昆明）一元二次方程2x例A.有两

个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

)))))))))).

)))))»))

无法确定D.C.没有实数根

的卡系即：解析：一元二次方程根的情况与判别式有两个不相等的实＞0时，

一元二次方程①当△=）a?0fer?c?0ar（?ac?4b?4?b?4acac?b?h?bo数根。即，?X?XN2o222有

两个相等的实数=时，一元二次方程=0②当△）O（a?bx?c?湎）?ac?46根。。?x?x检

232没有实数根。＜0③当△二时，一元二次方程）?0c?0（axa?6x?ac?842-4X2X1=25

-8=17）所以△=（-5＞0,

所以方程有有两个不相等的实数根.故选A.