四川省绵阳市2024-2025学年高二数学下学期3月月考理试题含解析

Page16四川省绵阳市2024-2025学年高二数学下学期3月月考（理）试题留意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．不能答在试题卷上．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列语句为命题的是（）A. B.你们好！ C.下雨了吗？ D.对顶角相等【答案】D【解析】【分析】依据命题的定义推断即可.【详解】因为能够推断真假的语句叫作命题，所以ABC错误，D正确.故选：D2.对于实数a，b，c，下列命题为真命题的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】D【解析】【分析】推断不等式的真假，就是要考虑在不等式的变形过程中是否遵守不等式变形的规则.【详解】若，令，，，，，故A错误；若，令c=0，则，故B错误；若，令a=-1，b=-2，，，故C错误；∵，故，依据不等式运算规则，在不等式两边同时乘以或除以一个正数，不等式的方向不变，故D正确.故选：D.3.函数在定义城内可导，其函数图象如图所示.记的导函数为，则不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由原函数单调性和导函数正负的关系，结合图像，即得解【详解】由图像可知函数的单调增区间为，.由原函数单调性和导函数正负的关系，可得的解集为故选：C4.如图，空间四边形OABC中，，，，点M在上，且满意，点N为BC的中点，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由空间向量的线性运算求解．【详解】由题意，又，，，∴,故选：B．5.关于空间向量，以下说法不正确的是（）A.若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则直线B.已知为空间的一个基底，若，则也是空间的基底C.若对空间中随意一点O，有，则P，A，B，C四点共面D.两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线【答案】A【解析】【分析】依据空间向量学问对选项逐一推断【详解】对于A，，则直线或在平面内，故A错误对于B，，则共面，而不共面，故也是空间的基底，B正确对于C，，由空间向量共面定理知C正确对于D，由空间向量中基底的概念知D正确故选：A6.已知向量，，则下列向量中，使能构成空间的一个基底的向量是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依据向量共面基本定理只需无解即可满意构成空间向量基底，据此检验各选项即可得解.【详解】因为，所以A中的向量不能与，构成基底；因为，所以B中的向量不能与，构成基底；对于，设，则，解得，，所以，故，，为共面对量，所以C中向量不能与，构成基底；对于，设，则，此方程组无解，所以，，不共面，故D中的向量与，可以构成基底.故选：D7.已知函数，则（）A.4 B.6 C.2 D.3【答案】A【解析】【分析】对函数求导并求出在0处的导数值，再利用导数定义计算作答.【详解】函数，求导得，则，所以.故选：A8.已知直线与，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】利用直线平行的系数关系解出，须要留意解除重合状况后即可推断.【详解】依据直线方程，若，则需满意解得或,当时，两条直线重合，所以舍去.故得反之亦可得当时，因此“”是“”的充要条件.故选：C9.已知函数的导函数为且满意，则A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】对函数求导得到导函数，代入可求得，从而得到，代入求得结果.【详解】由题意得：令得：，解得：本题正确选项：【点睛】本题考查导数值的求解，关键是能够通过赋值的方式求得，易错点是忽视为常数，导致求导错误.10.已知函数，则函数在上单调递增的一个充分不必要条件是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依据题设条件转化为在上恒成立，即在上恒成立，令，利用导数求得单调性和最小值，结合题意，即可求解.【详解】由函数，可得函数的定义域为，且，因为函数在上单调递增，即在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，令，可得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，所以，结合选项，可得时函数在上单调递增的一个充分不必要条件.故选：A.11.若曲线存在垂直于y轴的切线，则a的取值范围是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】问题等价于f(x)导数在x＞0时有零点，再参变分别转化为函数交点问题.【详解】依题意，f(x)存在垂直与y轴的切线，即存在切线斜率的切线，又，，∴有正根，即有正根，即函数y＝－2a与函数的图像有交点，令，则g(t)＝，∴g(t)≥g()＝，∴－2a≥，即a≤.故选：C.12.已知MN是正方体内切球的一条直径，点Р在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用向量的线性运算和数量积运算律可得，依据正方体的特点确定最大值和最小值，即可求解【详解】设正方体内切球的球心为，则,,因为MN是正方体内切球的一条直径，所以，，所以，又点Р在正方体表面上运动，所以当为正方体顶点时，最大，且最大值为；当为内切球与正方体的切点时，最小，且最小为；所以，所以的取值范围为，故选：B第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13.命题“若实数满意，则且”的否命题是________命题（填“真”或“假”）.【答案】真【解析】【分析】先求逆命题及其真假，再依据逆否命题等价性确定否命题真假.【详解】命题“若实数满意，则且”的逆命题是“若且，则”,是真命题，所以命题“若实数满意，则且”的否命题是真命题.故答案为：真【点睛】本题考查四种命题关系及其真假，考查基本分析推断实力，属基础题.14.与向量同向的单位向量是___________．【答案】【解析】【分析】向量的同向的单位向量.【详解】的模为，所以的同向的单位向量是.故答案：.15.如图，在空间四边形ABCD中，∠ABD＝∠CBD＝，∠ABC＝，BC＝BD＝1，AB＝，则异面直线AB与CD所成角的大小是________．【答案】【解析】【分析】先求出，再利用公式求异面直线AB与CD所成角的大小.【详解】依题意可知CD＝＝，.设直线AB与CD所成角为α，则cosα＝＝，因为，故α＝.故答案为：16.定义在的可导函数，其导数为且，则不等式的解集为__________．【答案】【解析】【分析】构造函数，则所要求解的不等式可化为，利用题设条件推断的单调性即可求解【详解】构造函数当时,,在上单调递减；由不等式得且;

原不等式的解集为.故答案为：三、解答题：共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17.设：实数满意，：实数满意.（1）若，且为真，求实数的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先分别求出、为真时参数的取值范围，再由为真，取并集即可；（2）首先解一元二次不等式，依题意是的必要不充分条件，则可推出，而不能推出，即可得到不等式组，解得即可；【小问1详解】解：当时，，即，解得，即为真时，实数的取值范围为．实数满意，即，解得：，即为真时，实数的取值范围为．因为，所以，即；【小问2详解】解：由，即，所以，因为是的充分不必要条件，所以是的必要不充分条件，则可推出，而不能推出，则，解得；18.如图，直三棱柱中，四边形是正方形，．．、分别是、的中点．（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】(1)取的中点，连接、，依据正方形的性质与中位线的性质可得四边形为平行四边形，进而得出，结合线面平行的判定定理即可证明；(2)建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量法求出和平面的法向量，依据向量数量积即可求得结果.小问1详解】取的中点，连接、，∵四边形为正方形，则且，为的中点，且，分别为、的中点，则且，且，故四边形为平行四边形，从而．而平面，平面，平面；【小问2详解】以点为原点，为轴，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系．则、、、．从而，，．设平面的法向量为，由得，取，则，，∴直线与平面所成角的正弦值为．19.已知函数.（1）若，求在处的切线方程；（2）若有3个极值点，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）时，函数已知，求出和即可得到切线方程（2）函数由三个极值点，等价于导数有三个变号零点，所以探讨导函数的零点即可【小问1详解】依题意得，，又，，则切线方程为.【小问2详解】若有3个极值点，则有3个零点（且零点左右值异号），所以有3个不同的根，令，则，令，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以的微小值为，极大值为.由有3个不同的根可得，解得.所以实数的取值范围是.20.已知函数．（1）求的单调区间；（2）若恒成立，求a的取值范围．【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为（2）【解析】【分析】（1）利用导数求解单调区间；（2）先用分别参数法得到，设，利用导数求出，得到，解得a的取值范围.【小问1详解】函数的定义域为.当时，的单调递减区间为；当时，的单调递增区间为，所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为．【小问2详解】由，整理得，因为，所以，设，则，令，即，解得，当时，单调递增；当时，单调递减，所以，所以，解得，故a的取值范围是．21.如图所示，三棱锥中，平面，，平面经过棱的中点，与棱，分别交于点，，且平面，平面．（1）证明：平面；（2）若，点是直线上的动点，求平面与平面所成锐二面角的余弦值的最大值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由已知结合直线与平面平行的性质得，，进一步可得，，再由直线与平面垂直的判定得平面；（2）如图建立空间直角坐标系，设，求出平面的一个法向量与平面的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值，即可求得平面与平面所成锐二面角的余弦值的最大值．【小问1详解】证明：平面，平面，且平面平面，，又为的中点，为的中点，又平面，同理可得，且为的中点，平面，平面，，则，，，，而，、平面，平面；【小问2详解】解：如图，以点B为坐标原点，分别以BA，BC所在直线为x，y轴，过点B且与AP平行的直线为z轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，所以，，，设，则，设平面的法向量为，则，令，则，，所以为平面的一个法向量.设平面的法向量为，则，则，令，则，所以为平面PBC的一个法向量.设平面MAC与平面PBC所成的锐二面角为θ，则.当时，;当时，，当且仅当，即时，取得最小值，取得最大值，最大值为.所以平面MAC与平面PBC所成锐二面角的余弦值的最大值为.22.