2025年高考数学复习核心考点全题型突破（新教材新高考）第02讲 导数与函数的单调性（解析版）

第02讲导数与函数的单调性目录TOC\o"1-2"\h\u第一部分：题型篇 1题型一：重点考查求函数的单调区间 1题型二：重点考查根据函数的单调性求参数 4题型三：重点考查根据函数单调区间的个数求参数 9题型四：重点考查为一次型的单调性讨论问题 10题型五：重点考查为可视为一次型的单调性讨论问题 13题型六：重点考查为可因式分解的二次型的单调性讨论问题 15题型七：重点考查为可视为可因式分解的二次型的单调性讨论问题 19题型八：重点考查为不可因式分解的二次型的单调性讨论问题 25第二部分：方法篇 30方法一：单调性讨论优先考虑是否可因式分解 30方法二：单调性讨论法 32第三部分：易错篇 34易错一：求单调区间忽视了定义域 34易错二：已知在区间上单调等价转化忽略了等号 35第一部分：题型篇题型一：重点考查求函数的单调区间典型例题例题1．（2023春·重庆江津·高二校考期中）函数的单调递增区间是（

）A．和 B． C． D．【答案】B【详解】，的定义域为，由，得，∴的单调递增区间为．故选：B．例题2．（2023春·重庆南岸·高二校考期中）已知函数，，则的单调递减区间为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意，，则，令，则(舍去)，仅在和时取等号，故的单调递减区间为，故选：B例题3．（2023春·重庆巫溪·高二校考阶段练习）函数的单调递增区间是________.【答案】【详解】的定义域为，，令得，所以的单调递增区间是.故答案为：.例题4．（2023·内蒙古赤峰·校联考模拟预测）已知函数，则的单调递减区间为______.【答案】【详解】由题得的定义域为，由可得，令，，得，所以的单调递减区间为.故答案为：精练核心考点1．（2023春·四川成都·高二统考期中）函数的单调递增区间是（

）A． B．C．， D．【答案】B【详解】函数的定义域为，由，得，令，得，所以函数的单调递增区间为，故选：B.2．（2023春·浙江台州·高二台州市书生中学校联考期中）函数的单调递减区间为___________.【答案】【详解】由题意得：，令.即函数的单调递减区间为.故答案为：3．（2023春·北京·高二北京五十五中校考阶段练习）已知函数，则函数的单调递增区间为__________.【答案】【详解】由函数可得，令，即函数的单调递增区间为，故答案为：4．（2023春·上海·高三上海市实验学校校考阶段练习）函数的单调减区间为__________．【答案】【详解】令得,解得，所以单调减区间是，故答案为：题型二：重点考查根据函数的单调性求参数典型例题例题1．（2023春·天津东丽·高二天津市第一百中学校考阶段练习）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】依题意在区间上恒成立，即在区间上恒成立.令，则，所以在上单调递增，则，所以.故选:B.例题2．（2023·全国·高二专题练习）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（）A．（-1，1） B． C．（-1，+∞） D．（-1，0）【答案】B【详解】，由题意得：，即在上恒成立，因为，所以恒成立，故实数a的取值范围是.故选：B例题3．（2023春·湖北武汉·高二武钢三中校考阶段练习）若函数在其定义域的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为函数的定义域为，所以，即，，令，得或（舍去），因为在定义域的一个子区间内不是单调函数，所以，得，综上，，故选：A例题4．（2023春·河南安阳·高二安阳一中校考阶段练习）若函数在内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】定义域为，，，当时，恒成立，故函数在上单调递减，不合题意，舍去；当时，令，解得：，令，解得：，故在上单调递增，在上单调递减，因为在内存在单调递增区间，所以，故实数a的取值范围是.故选：A例题5．（2023·全国·高二专题练习）若函数的单调减区间为，则______．【答案】【详解】，由题意的解集是，则，解得，所以．故答案为：9．例题6．（2023春·天津武清·高二天津市武清区杨村第一中学校考期中）若函数在区间上不单调，则实数的取值范围为___________．【答案】【详解】函数的定义域为，且，令，得，因为在区间上不单调，所以，解得，故答案为：．精练核心考点1．（2023·全国·高二专题练习）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】由题意在上恒成立，，时，是增函数，（时取得），所以．故选：A．2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，若在单调递增，a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为在单调递增，故在区间恒成立，即，令则，故在单调递增，则，故，的取值范围为.故选：B.3．（2023·全国·高二专题练习）已知函数，若在区间上单调递减，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】详解：因为，令可得-2≤x≤2，所以要使函数f(x）在区间上单调递减，则区间（2m，m+1）是区间的子区间，所以，求解不等式组可得：，解得-1≤m<1，所以实数m的取值范围是.故选：D4．（2023·高二课时练习）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】，当，解得：，由条件可知，所以，解得：.故选：D5．（2023·高二课时练习）若函数在定义域内的一个子区间上不是单调函数，则实数k的取值范围是（

）A． B． C．(1，2] D．[1，2)【答案】A【详解】显然函数的定义域为，．由，得函数的单调递增区间为；由，得函数单调递减区间为．因为函数在区间上不是单调函数，所以，解得，又因为为定义域内的一个子区间，所以，即．综上可知实数k的取值范围是．故选：A6．（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是_________．【答案】【详解】，在内成立，所以，由于，所以，，所以．故答案为:题型三：重点考查根据函数单调区间的个数求参数典型例题例题1．（2023春·四川成都·高二成都外国语学校校考阶段练习）若函数有三个单调区间，则实数的取值范围是(

)A． B． C． D．【答案】C【详解】，由于函数有三个单调区间，∴有两个不相等的实数根，∴．故选：C．例题2．（多选）（2023春·湖北襄阳·高二宜城市第一中学校联考期中）函数恰有3个单调区间的充分不必要条件是（

）A． B． C． D．【答案】BD【详解】，因为函数恰有3个单调区间，所以函数有两个不同的零点，所以，解得且，所以，则函数恰有3个单调区间的充分不必要条件是BD两个选项.故选：BD.精练核心考点1．（多选）（2023春·河北承德·高二承德市双滦区实验中学校考阶段练习）若函数恰好有三个单调区间，则实数a的值可以是（

）A．－2 B．0 C．1 D．3【答案】AC【详解】若，则函数为二次函数，最多两个单调区间，不合题意；若，则，要使函数恰有3个单调区间，则有两个不等实数根，即，又，所以且，则满足题意.故选：AC.2．（2023·全国·高三专题练习）若函数有三个单调区间，则实数b的取值范围为______．【答案】【详解】试题分析：函数有3个单调区间，等价于导函数有2个不同零点，题型四：重点考查为一次型的单调性讨论问题典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.讨论的单调性；【答案】答案见解析【详解】由题意，的定义域为，且，，若，则，当时，当时，故在上单调递增，在上单调递减.若，则，当时，当时，故在上单调递减，在上单调递增.综上，当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.例题2．（2023·全国·高三专题练习）设函数．(1)讨论的单调性；【答案】(1)答案见解析【详解】（1）的定义域为．．若，则，在上单调递增．若，则当时，，单调递减；当时，，单调递增；例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．讨论函数的单调性；【答案】答案见解析【详解】∵，（1）当时，在上单调递增，（2）当时，令，则，令，则，∴在上单调递增，上单调递减，综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减精练核心考点1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数(1)讨论函数在区间内的单调性；【答案】(1)见解析【详解】（1），（Ⅰ）当，即时，，在单调递减（Ⅱ）当，即时，，在单调递增（Ⅲ）当，即时，当时，，单调递增；当时，，单调递减综上所述，（Ⅰ）当时，在单调递减（Ⅱ）当时，在单调递增（Ⅲ）当时，在单调递增，在单调递减2．（2023春·四川泸州·高二泸州老窖天府中学校考阶段练习）已知函数，其中．(1)讨论的单调性；【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减．【详解】（1），当时，当恒成立，在上单调递增；当时，令，得，令，得，在上单调递增，在上单调递减，综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减．3．（2023秋·重庆万州·高二重庆市万州第二高级中学校考期末）设函数.(1)若在点处的切线为，求a，b的值；(2)求的单调区间.【答案】(1)，；(2)答案见解析.【详解】（1）的定义域为，，因为在点处的切线为，所以，所以；所以把点代入得：.即a，b的值为：，.（2）由（1）知：.①当时，在上恒成立，所以在单调递减；②当时，令，解得：，列表得：x-0+单调递减极小值单调递增所以，时，的递减区间为，单增区间为.综上所述：当时，在单调递减；当时，的递减区间为，单增区间为.题型五：重点考查为可视为一次型的单调性讨论问题典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，讨论的单调性；【答案】当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调单调递减区间为，递增区间为.【详解】因为，所以.若，则恒成立；若，则当时，，当时，.故当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调单调递减区间为，递增区间为.例题2．（2023春·福建漳州·高二漳州三中校考阶段练习）已知函数．(1)讨论函数的单调区间；【答案】(1)若，在R递增；若，在单调递减，在单调递增.【详解】（1），函数定义域为R，，若，则，在R递增，若，，解得：，，解得：，∴在单调递减，在单调递增.精练核心考点1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.讨论的单调性；【答案】答案见解析【详解】函数的定义域为，且.①当时，，函数在上单调递减；②当时，令，可得；令，可得，此时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；2．（2023春·河北衡水·高三衡水市第二中学期末）已知函数.(1)当时，求函数的图像在点处的切线方程；(2)讨论函数的单调性；【答案】(1)(2)当时，在R上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.【详解】（1）当时，，则.根据导数的几何意义，可得函数的图像在点处的切线斜率，又.所以，切线方程为，整理可得.（2）定义域为R，.当时，在R上恒成立，所以在R上单调递增；当时，解，即，解得，解，得，则在上单调递增，解，得，则在上单调递减.综上所述，当时，在R上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.题型六：重点考查为可因式分解的二次型的单调性讨论问题典型例题例题1．（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）已知函数.(1)讨论函数的单调性：【答案】(1)答案见解析【详解】（1）易知可得，，①当时，由，，此时在上为增函数，在上为减函数；②当时，恒成立，此时在上为增函数；③当时，由或，，此时在上为增函数，在上为减函数；④当时，由或，，此时在上为增函数，在上为减函数；综上所述：当时，在上为增函数，在上为减函数；当时，在上为增函数；当时，在上为增函数，在上为减函数；当时，在上为增函数，在上为减函数；例题2．（2023·河南新乡·统考三模）已知函数.(1)讨论的单调性；【答案】(1)答案见解析【详解】（1）的定义域为，当，即时，由，得，由，得，所以在上是增函数，在上是减函数；当，即时，由，得或，由，得，所以在和上是增函数，在上是减函数，当，即时，恒成立，所以在上是增函数；当，即时，由，得或，由，得，在和上是增函数，在上是减函数例题3．（2023春·广东佛山·高二华南师大附中南海实验高中校考阶段练习）已知函数，（其中）．(1)讨论的单调性；【答案】(1)答案见解析【详解】（1）因为函数，其中，所以，令，得或，当时，，故函数在单调递增，当时，当时，，当时，，故函数在和上单调递增，在上单调递减，当，即时，当时，，当时，，故函数在和上单调递增，在上单调递减，当，即时，当时，，当时，，故函数在上单调递增，在上单调递减；综上所述，当时，函数在单调递增，当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，当时，函数在上单调递增，在上单调递减．精练核心考点1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)求函数的单调区间；【答案】(1)(2)答案见解析【详解】（1）当时，，则，又，则，故切线方程为：.（2）由，则且，当时，单调递增区间为，无递减区间；当时，，当时；当时，所以的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，，当时；当时，所以的单调递增区间为，单调递减区间为，综上：当时，仅有单调递增区间为，无递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.2．（2023春·江苏苏州·高二统考期中）已知函数．(1)若，求的极值；(2)讨论的单调性；【答案】(1)极大值为，无极小值．(2)分类讨论，答案见解析.【详解】（1）的定义域为，当时，，令，解得当时，，则在上单调递增；当时，，则在上单调递减．所以在时取得极大值为，无极小值．（2）因为当时，在上恒成立，此时在上单调递增；当时当时，，则在上单调递增；当时，，则在上单调递减；综上：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减．3．（2023春·四川成都·高二统考期中）已知函数其中，为的导函数.(1)讨论函数的单调性；【答案】(1)答案见解析【详解】（1）函数的定义域为，

①当时，令得；令得.

②当时，令得；令得.③当时，在恒成立.

④当时，令得；令得.综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.题型七：重点考查为可视为可因式分解的二次型的单调性讨论问题典型例题例题1．（2023春·甘肃张掖·高二高台县第一中学校考阶段练习）已知函数，（e为自然对数的底数，且）.(1)讨论的单调性；【答案】(1)答案见解析【详解】（1），当时，，则当时，，故在单调递减；当时，，故在单调递增.当时，由得，.若，则，故在上单调递增.若，当或时，，故在，单调递增.当时，，故在单调递减.综上所述：时，在单调递减，在单调递增；时，在，单调递增，在单调递减.时，在上单调递增.例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．(1)讨论的单调性；【答案】(1)在递减，在递增；【详解】（1）解：，当时，，又，故，在上单调递增，当时，令，解得：，令，解得：，故在递减，在递增；例题3．（2023春·湖北襄阳·高二宜城市第一中学校联考期中）在①；②的图象在点处的切线斜率为0；③的递减区间为，这三个条件中任选一个补充在下面的问题（1）中，并加以解答．已知．(1)若_________，求实数a的值；（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）(2)若，讨论函数的单调性．【答案】(1)条件选择见解析，(2)答案见解析【详解】（1）选条件①则选条件②则选条件③则依题意0和是的两个根

（2）则可以分以下几种情况讨论：①当时，令即，令即；在上单调递减，在上单调递增；②当时，令即或，令即；在上单调递增，在上单调递减；③当时，，在R上单调递增；④当时，令即或，令即在上单调递增，在上单调递减；

综上所述：①当时，在上单调递减，在上单调递增；②当时，在上单调递增，在上单调递减；③当时，在R上单调递增；④当时，在上单调递增，在上单调递减．精练核心考点1．（2023春·北京·高二人大附中校考期中）已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)当时，求的单调区间；【答案】(1)；(2)答案见解析；【详解】（1）当时，，所以，得，又，所以曲线在处的切线方程为.（2）,，令或，当时，由或，由，所以函数在和上单调递增，在上单调递减；当时，由或，由，所以函数在和上单调递增，在上单调递减；当时，由，由，所以函数在上单调递增，在上单调递减；当时，由，则函数在上单调递增.综上，当时，函数的单调增区间为和，减区间为；当时，函数的单调增区间为和，减区间为；当时，函数的单调增区间为，减区间为；当时，函数的单调增区间为，无减区间.2．（2023春·江苏常州·高二常州市北郊高级中学校考期中）已知函数，其中，e为自然对数的底数．(1)讨论的单调性；【答案】(1)见解析【详解】（1），当时，，若，则；若，则.则函数在上单调递减，在上单调递增.当时，若，则或；若，则.则函数在，上单调递增，在上单调递减.当时，，函数在上单调递增.当时，若，则或；若，则；即函数在，上单调递增，在上单调递减.综上，当时，函数在上单调递减，在上单调递增.当时，函数在，上单调递增，在上单调递减.当时，函数在上单调递增.当时，函数在，上单调递增，在上单调递减.3．（2023春·福建泉州·高二校考阶段练习）已知函数，．(1)若时，求在处的切线方程.(2)讨论函数的单调性；【答案】(1)(2)答案见解析【详解】（1）当时，，

∴切线方程为：，即.（2）因为，．所以．①当时，令，得．在上单调递减；令，得，在上单调递增．②当时，令，得．在上单调递减；令，得或．在和上单调递增．③当时，在时恒成立，在单调递增．④当时，令，得．在上单调递减；令，得或．在和上单调递增．综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，在和上单调递增；当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在和上单调递增．4．（2023春·湖北咸宁·高二鄂南高中校考阶段练习）已知函数(1)当时，求函数的极值；(2)当时，讨论函数的单调性.【答案】(1)函数的极大值为，极小值为(2)答案见详解【详解】（1）当时，，，当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增，所以当时，函数有极大值，当时，函数有极小值，所以函数的极大值为，极小值为；（2），当时，，函数是实数集上的增函数，当时，当时，单调递增，当时，单调递减，当时，，所以有当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增，综上所述：当时，函数是实数集上的增函数；当时，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减；当时，当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增.题型八：重点考查为不可因式分解的二次型的单调性讨论问题典型例题例题1．（2023春·四川成都·高二成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考期中）设函数，，其中、.(1)求的单调区间；【答案】(1)答案见解析【详解】（1）解：因为函数，，其中、，则，则.①当时，对任意的，且不恒为零，此时，函数的递增区间为；②当时，，由可得，由可得或，此时函数的增区间为、，减区间为.综上所述，当时，函数的递增区间为；当时，函数的增区间为、，减区间为.例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，求的单调区间.【答案】答案见解析【详解】函数定义域为，.令，则有.①当时，即当时，有，所以，函数的增区间为，无减区间；②当时，即当或时，解方程得，.（i）当时，则，对任意的，，此时，函数的增区间为，无减区间；（ii）当时，，由可得或，由可得，此时，函数的增区间为和，减区间为.综上所述：当时，的递增区间为和，递减区间为，当时，的递增区间为，无减区间.精练核心考点1．（2023春·黑龙江佳木斯·高二富锦市第一中学校考阶段练习）已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)讨论的单调性.【答案】(1)；(2)答案见解析．【详解】（1）当时，，，故切线方程是，即．（2），(i)当时，显然，在上单调递增；(ii)当时，令，则，∵，故可设方程的两个根为，且，∵，．令得；令得，其中；在上单调递增，在上单调递减．综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减．2．（2023·全国·高二专题练习）已知函数.讨论的单调性；【答案】见解析【详解】由题意可知的定义域为，，令，可得，方程的判别式，①当，即时，在上单调递增；②当，即或时，由，解得，令，则或；令，则；所以在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减.综上，当时，在上单调递增；当或时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.3．（2023·全国·高二专题练习）已知函数.(1)当时，求的极值.(2)讨论的单调性；【答案】(1)极大值为，无极小值.(2)答案见解析.【详解】（1）当时，，则，令，得,2+0-单调递增单调递减所以的极大值为，无极小值.（2）的定义域为，对于二次方程，有，①当时，恒成立，在上单调递减；②当时，方程有两根，若，时，；时，；故在上单调递增，在上单调递减；若，时，；时，；故在与上单调递减，在上单调递增；第二部分：方法篇方法一：单调性讨论优先考虑是否可因式分解典型例题1．（2023秋·吉林松原·高二校考期末）已知函数.(1)讨论的单调性;【答案】(1)见解析【详解】（1）因为，所以，当时,恒成立,则在上单调递减.当时,由,得,由,得,则在上单调递减,在上单调递增，综上,当时,在上单调递减;当时,在上单调递减,在上单调递增；2．（2023·高二课时练习）已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若，讨论的单调性．【答案】(1)(2)答案见解析【详解】（1）因为，所以，所以，因为，所以切线方程的斜率为，又因为切线方程过点，所以切线方程为，即，故当时，曲线在点处的切线方程为.（2）因为的定义域为，，令，解得或，当时，即，，所以函数在区间上单调递减；当，即时，令，解得或，所以函数在区间和上单调递减，令，解得，所以函数在区间上单调递增；当，即时，令，解得或，所以函数在区间和上单调递减，令，解得，所以函数在区间上单调递增.综上所述，当时，函数在区间上单调递减；当时，函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增；当时，函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增.3．（2023·广西·统考模拟预测）已知函数.(1)讨论的单调性；【答案】(1)答案见解析【详解】（1），令，则或，若，，所以