高中数学-斐波那契数列与黄金分割教学设计

高中数学——斐波那契数列与黄金分割教学设计

目录

1.教学内容解析................................................................1

2.教学目标设置...............................................................2

2.1.目标....................................................................2

2.2.目标解析.................................................................2

3.学生学情分析...............................................................3

4.教学策略分析...............................................................3

5.教学过程设计...............................................................4

5.1.课前预习、阅读探究.....................................................4

5.2.课堂展示，盘点收获.....................................................5

5.3.课堂展示，盘点收获.....................................................6

5.4.合作探究，证明等式.....................................................6

5.5.合作探究，课堂释疑.....................................................7

5.6.课堂展示，盘点收获.....................................................9

5.7.归纳总结，构建体系.....................................................9

5.8.作业布置，拓展外延.....................................................9

6.自然界中的斐波那契数列与黄金分割.........................................10

1.教学内容解析

斐波那契数列与黄金分割是人教A版2019版选择性必修第二册第四章数列

第10-11页中阅读与思考内容。“阅读与思考”栏目作为教材正文内容的补充，

它篇幅短、内容新、阅读性强。集知识性、科学性、趣味性、教育性于一体，

且根植于学生知识与能力的最近发展区，是教材的重要组成部分，是数学传统

课堂教学内容的延伸，是浸润数学文化的重要载体。

本节教材设置的目的是使学生了解斐波那契数列及斐波那契数列与黄金分

割的关联，激发学生思考与探究的兴趣，拓展学生的知识面，增强学生应用数

学的能力，从而提高学生的数学素养。依托大单元教学设计理念，教师布置阅

读任务，学生根据“阅读提纲”，经历“自主阅读一资料收集一质疑思辨一合

作交流一资料精选一制作课件”等一系列课前自主学习活动，新授课内容在完

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成等比数列教学的基础上，再开展本节课的课堂教学活动。目的是通过学生自

主阅读唤醒学生临渊羡鱼之意，激发学生退而结网之志。让学生有充分时间完

成探究式阅读，高度参与探究式阅读，达成培养学生的阅读能力、自学能力、

合作能力的教学目标，同时使课堂结构更加完善。

教学内容从兔子繁殖问题情境引入，分析其蕴含的数量关系，得出相关的数学模型一一递

推公式。事实上，由递推公式可以推演出斐波那契数列很多有趣的性质。教科书选择斐波

那契数列满足的一个等式予以介绍，用几何图形直观地呈现这个等式，由此引出“斐波那

契螺旋弧线”。斐波那契螺旋在由内往外延伸的过程里会越来越接近“黄金比例螺旋”，

既体现了数学美，又进一步激发学生探寻美的本质：“斐波那契螺旋的外矩形的宽长比工+1

会无限地趋近于黄金分割比值。”要解释其数学原理，离学生思维发展区最近的是利用数

歹的通项公式•引导学生从研究比值的角度将递推公式转化为构造等比数列，从而推导

工

出｛4｝的通项公式，利用｛用｝的通项公式学生可以从数学运算的角度考察工+1无限地趋近

于黄金分割比值。挖掘它们之间的内在联系和思维共性时，促进学生创新意识和思维的养

成。因此斐波那契数列与黄金分割是学生领悟数形结合思想、化归与转化思想、极限思想

的合适素材；是学生领悟数学和谐美、理性美与完善的结构美的合适素材；是渗透数学文

化的合适素材。

基于以上分析，确定本节课的教学重难点：

重点：“斐波那契数列与黄金分割”蕴含的数学文化、数学内涵、美学价

值、科学价值；数列作为研究对象的基本路径(定义、表示、性质、应用)。

难点：建立斐波那契数列的数学模型；斐波那契数列与黄金分割的关联；

斐波那契数列通项公式的推导。

2.教学目标设置

2.1.目标

(1)了解斐波那契数列相关数学文化；引导学生从兔子繁殖问题建立斐波那

契数列的数学模型，从而提升学生的数学建模素养；

(2)掌握斐波那契数列的一个重要性质：耳2+玛一+...+工2=工.Fn+i；

(3)了解斐波那契数列与黄金分割的关联；

(4)了解斐波那契数列通项公式的推导过程；

(5)了解大自然中和“斐波那契数列与黄金分割”相关的现象。

2.2.目标解析

达成上述目标的标志是：

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(1)学生通过课前自主查阅数学史料，课堂展示意大利数学家斐波那契的生

平及“兔子繁殖问题”中的相关规律，得到斐波那契数列的递推公式；

(2)能利用图形的结构特征探究耳？+鸟？+…+居2=居,工+],并且给出证明，体会数形结

合、化归与转化思想，发展直观想象、逻辑推理等数学核心素养；

(3)能从“斐波那契螺旋”与“黄金比例螺旋”两个图形高度吻合的几何特

征，即从形的角度直观想象斐波那契数列与黄金分割的关联；

(4)教师依据学生思维的一般规律适当引导，使学生能在复杂的问题情境中

把握事物之间的关联，将不熟悉的问题情境转化为熟悉的问题情境，通过构造

等比数列解决问题，在生生、师生合作交流下利用斐波那契数列递推公式推导

出其通项公式，并能依据通项公式进一步探究斐波那契数列与黄金分割的关联;

(5)通过学生课前预习的资料收集及学生代表展示斐波那契数列与黄金分割

的应用鉴赏，让学生整体获得和谐与优美的美学享受。

3.学生学情分析

根据数学知识的发生发展过程和学生数学学习规律安排教学过程。学生已

经掌握等差数列、等比数列的知识，能用相关知识解决问题；也能在实际问题

情境中，发现数列所蕴含的等差或等比关系。学生举一反三的能力，应用意识、

创新能力并不强，数列的一般思路和方法应用还不够灵活，需要教师适时引导，

这是本节教学的第一个难点。通过斐波那契数列的趣味激发学生的探究兴趣，

让学生进一步体验数列作为研究对象的基本路径：事实一定义一性质一应用。

培养学生学习数学的兴趣，提高数学建模的能力。

二阶线性递推式求通项是本节的第二个教学难点，如何引导学生立足代数

变换，将这个数列转化为等比数列解决问题，过程需要较多的数学探究经验，

教师可结合具体计算结果的观察加强引导。

4.教学策略分析

为了强化学生对斐波那契数列与黄金分割的整体感受，采取素养导航、推理定位、文化引

领、应用落实的“四位一体”教学设计，教学情境从《算盘书》中“兔子繁殖问题”展开，

采用历史线索和问题导向的互动式、启发式、探究式、体验式教学法。策略一，通过学生

展示引入斐波那契所提出的著名数学问题“兔子问题”，感受数学建模的认知过程，培养

学生的数感、符号感、推理能力。策略二，借助信息技术动态演示用图形表示等式：

耳一+用+...+Fn=工・耳山，归纳猜想并证明。借助希沃展示学生的小组合作学习成果,

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让学生经历探索、尝试、总结与提炼，完善证明过程。策略三，是借助信息技术动态演示

““斐波那契螺旋”与“黄金比例螺旋"，通过形状的高度接近，感知斐波那契数列中所

F,,

蕴含的黄金分割美，激发学生主动探究与思考斐波那契螺旋的外矩形的宽长比6M,借助

教师引导帮助，立足通项公式与极限思想解释其数学原理。

5.教学过程设计

5.1.课前预习、阅读探究

斐波那契数列与黄金分割阅读提纲

【阅读方式】

(1)阅读教材：普通高中教科书《数学选择性必修第二册》(人民教育出版社

A版遂10-11页，“阅读与思考”；

(2)利用互联网、图书馆查找收集资料，并阅读相关文献。

【阅读目标】

(1)查找与意大利数学家斐波那契相关的数学史料，了解数学家斐波那契的

生平及主要成就。

(2)《算盘书》中的兔子繁殖问题，分析初生兔子的对数有什么关系？成熟

兔子的对数有什么关系？兔子总对数又有什么关系？并尝试建立兔子繁殖问题

的数学模型。

⑶斐波那契数列｛£)满足等式：耳2+82+...+居2=工.居M,如何利用几何图形呈现

这个等式？并尝试证明该等式。关于斐波那契数列的性质，你还有其它发现吗？

(4)查找与黄金分割相关资料，了解黄金分割与黄金矩形的基本知识。

(5)认识“斐波那契螺旋”弧线，思考什么是“黄金比例螺旋”？并探究它

们之间存在的关系。

(6)依据所学知识，尝试由递推公式推导出斐波那契数列的通项公式。

(7)查找收集资料，举例说明大自然及生产生活中和“斐波那契数列与黄金

分割”相关的现象。

【阅读收获】

整理阅读与思考后的成果。

【阅读质疑】

阅读与思考后，你有什么疑问吗？欢迎写下来，“问题”是创新的起点！

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【设计意图】设置课前活动，通过学生的动手动脑，启发学生思考，知识

的获取、问题的来源不一定局限于课堂。引导学生带着问题阅读材料，基于问

题驱动教学模式，在学生开展自主阅读的过程中明确“我要做什么，要解决什

么问题，我有什么收获”。为学生设计适合的学习方案，花更多精力指导学生

在信息海洋中获得有益的知识策略和方法，注意个体差异，帮助每一位学生参

与到学习中，做好学生学习的设计者、指导者、帮助者。充分发挥学生的主动

性、积极性，激发学生的学习兴趣，引导学生开展独立思考、自主探究、质疑

思辨、合作交流，使学生切实学好数学知识，提升数学学科核心素养。

5.2.课堂展示，盘点收获

引导语：上一周，我们布置了阅读任务，课前大家根据阅读提纲都已做好

预习。同学们获取了大量关于斐波那契数列与黄金分割的相关知识。今天，我

们一起分享大家的阅读成果，剖析大家的阅读质疑。

首先我们有请“学生代表1”，请她介绍斐波那契生平及主要成就。

学生展示1介绍意大利数学家斐波那契。

【设计意图】数学承载着思想和文化，是人类文明的重要组成部分。学生

代表1介绍数学家斐波那契的生平及主要成就，渗透数学文化传承，激发学生

学习的兴趣。

引导语：相信大家对斐波那契有了一定的了解，那么他在《算盘书》中提

出的兔子繁殖问题到底有着怎样的规律呢？有请“学生代表2”展示她们的思考。

学生展示2介绍兔子问题中兔子繁殖规律。

【设计意图】《算盘书》中提出的兔子繁殖问题所蕴含的规律，能引导学

生用数学语言观察、思考、表达现实世界，为抽象出递推公式做准备。

合作探究，建立模型

问题1如何用符号语言表达兔子繁殖规律？

师生活动：引导学生将文字语言转化为符号语言，用表示第71个月的小兔子对数，｛“｝表

示第71个月的大兔子对数，｛&｝表示第n个月小兔子与大兔子总对数，建立数学模型，得出

递推公式。

因为每个月的大兔子对数等于前两个月的大兔子对数之和，所以有

%=既-1+—>2），

又因为每个月小兔子对数等于上个月大兔子的对数，所以有

a=

nbn_1.

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用与替换bn,有

an+l=an+an-l'

可得

an=an-i+an_2（n>2），

故有

Fn=an+bn=an-l+an-2+bn+bn-2

=Fn-1+Fn-2O>2）。

【设计意图】（1）从兔子繁殖问题中抽象出斐波那契数列，将文本的自然语

言转化为数学语言，用数学的方式表达世界；（2）摆脱数学兔子繁殖问题具体形

态的影响，获得数列的一般规律。

5.3.课堂展示，盘点收获

引导语：通过阅读，我们知道｛&｝满足等式：+B+…•6+i,如何通过图

形来表示这个等式呢？我们请“学生代表3”展示他们组的成果。

学生展示3用图形来表示等式：大一+玛2+...+居2=居.居

【设计意图】利用图形表示这个等式，发展学生直观想象数学核心素养，

并因此而引出斐波那契螺旋线，是与黄金分割关联的重要衔接点。

5.4.合作探究，证明等式

问题2证明等式尸+U+…+F；=F”.居+1。

师生活动：引导学生利用定义解决问题。

思路1迭代

由斐波那契数列的递推公式可知：

片+1=工+F”_i,

所以‘

工—2+加.工

将工=£I+E,-2代入得

居，居+1=Fn+•（耳1+工-2）

=+FJ+F„_2-小

重复上述步骤，可得

F「F"F：+Fj+Fj+…+F2.F]

又因为

月=6=19

故

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居•工+1=居2+工/+工_22+-+玛2+耳2

O

即等式62+g2+-・+工2=居.居+1成立。

思路2裂项相消

由斐波那契数列的递推公式可知

工=£,+1—工-I,

所以

—工一"，

故有

邛+―+..+居2=k+（，由一月式）+（%片一鸟鸣）

+（居•居一K・居）+…+（用由+i-工-I•居）

=F^-Fl-F2+F„-Fn+i,

又因为

耳=鸟=1

故

r-^=F2+F_2F^-F2+F2

illni+n++2]O

即等式片2+招2+…+工2=居,工+1成立。

【设计意图】（1）“推理是数学的命根子，运算是数学的童子功。”从数的

角度论证公式，在活动过程中，提升逻辑推理与数学运算核心素养；（2）在证明

的过程中提升学生的思维品质，让学生从感性的发现上升到理性的认识。

5.5.合作探究，课堂释疑

问题3什么是“斐波那契螺旋”弧线？“黄金比例螺旋”呢？如何理解

“斐波那契螺旋”弧线与“黄金比例螺旋”弧线之间的形状会越来越接近？

师生活动：从等式F'~+U+…+E：=EJ居+i的图形表示中发展出斐波那契螺旋弧线,

教师介绍黄金螺旋，并将斐波那契螺旋与黄金螺旋叠放一起对比。引导学生通过猜测、计

算归纳出*的值会趋近黄金分割比.

【设计意图】引出斐波那契螺旋与黄金螺旋，并引导学生从叠放一起的两

个图形的高度吻合，由形的角度直观想象斐波那契数列与黄金分割的关联。

问题4依据所学知识，如何由递推公式推导出斐波那契数列的通项公

式？

师生活动：学生独立思考，自主探究，教师引导学生从研究比值的角度将

递推公式转化为等比数列，生生合作、师生合作解决问题。

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解：由工=EI+K”2,

设居+几工一1=〃（/T+几工.2）,即（=（〃-Mi+入阳一,

,T=111土布

对比系数知：［”〃二1,即〃，解得2。

1+>/51-1+>/5

LI—--------%=----------

当2时，2,

r—1+VS_1+>/5+甘仁

F“-F”_[=---（居_]

此时22

:-1+V5广'1+石

,乙+―3—h1+后

故数列IJ是以2为首项,2为公比的等比数列。

则

r1+A/5l—y/s\+

Fn---------El=­（工-I-------丁工-2）

此时222

1+石耳一>1-石1-布

■工

故数列I一J是以2为首项，2为公比的等比数列。

则

小-与F.=W•（W）"1=（W）"

2222②

E,=%（¥）"-（与即

-②得：,522.

经检验知："=1,"=2时均满足上式，

Fn=~7Z［（".）"-Af）”1

因此，数列的通项公式为*22

【设计意图】要解释为什么比值会随着n的增大而趋近黄金分割比，离学生思维发展区最

近的是｛4｝的通项公式.通项公式是本节课的一个难点.引导学生按照思维的一般规律，在比

较复杂的情境中把握事物之间的关联，将不熟悉的问题转化为熟悉的情境，通过构造等比

数列解决问题，从而突破难点。培养学生理性思维能力，发展学生逻辑推理与数学运算的

核心素养。

问题5得到斐波那契数列的通项公式后，你能说明为什么乡会趋近黄金分割比吗？

师生活动：学生独立思考，自主探究，师生合作解决问题。

9=避二1工=白（9尸—（一夕）”］

设2，则45,所以有

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专［”)-"一(一。力

F.

工M小(夕)”(-0严］

当〃一＞+oo时，(一8)"-0,＞。

F.

二9

-/J+1

于)

F

--——＞(p

故"一＞+oo时，工+1。

F.

【设计意图】从数学运算的角度考察工M值，分析斐波那契数列与黄金分割的关联。培养

学生理性思维能力。

5.6.课堂展示，盘点收获

引导语：我们分别从形和数的角度研究了斐波那契数列与黄金分割的关联,

它们有哪些应用呢？有请“学生代表4”为我们解惑。

学生展示4斐波那契数列与斐波那契螺旋线的应用。

【设计意图】斐波那契数列与黄金分割鉴赏：黄金分割拥有可再生性，而

斐波那契数列与斐波那契螺旋则诠释了生命活动的自我衍生性，是长期自然选

择的结果，用数学的方式观察、思考、表达世界。

5.7.归纳总结，构建体系

问题6通过本节课的数学活动，你有哪些收获？

师生活动：老师引导学生合作交流，依据整个学习过程进行小结，用联系

的观点从新知识的获取路径进行归纳总结。

【设计意图】总结探究的过程、思路及方法，获得知识、能力及意志力的

共同进步，建构完整的认知结构，培养学生提炼、总结、概括的能力。

5.8.作业布置，拓展外延

对于同学们的“阅读质疑”，还有以下两个问题未得到解决：

(1)斐波那契数列还有其它性质吗？如:“前n项和怎么求？相邻几项会不会

有什么规律？……”

(2)与黄金分割类比，会有白银分割、青铜分割吗？符合黄金分割比的事物，

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给人以美的感受，那不符合的是不是就不美了？

请选择一个话题（或依据本堂所学另择话题），继续你的研究，将发现写成数

学小论文。

【设计意图】本节课课堂活动是基于学生的“阅读成果”及“阅读质疑”

为前提设计，针对学生部分未得到解答的困惑，设置作业，提升学生“反思、

求解、实证”等高阶思维，开拓学生视野。

6.自然界中的斐波那契数列与黄金分割

十三世纪意大利数学家列昂纳多•斐波那契（LeonardodaFibonacci）,写了

一本数学书《计算之书》影响了欧洲人的思想。菲波那契在《计算之书》中提出

了一个极为有趣的“兔子问题”。这就是本篇讨论问题的开端。

44

.皿4皿

JOLJUkdUL••

一小山一44林丛

菲波那契在“计算之书”中提出了一个极为有趣的“兔子问题”・

用一个数列来描述如下情况的兔子生长数目：

-第一个月初有一对刚诞生的兔子.

•第二个月之后（第三个月初）它们可以生育.

•每月每对可生育的兔子会诞生下一对新兔子.

斐波那契数列、以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列"，指的是这

样一个数列：

1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377、619、987........

与黄金分割关系有趣的是，这样一个完全是自然数的数列，通项公式却是

用无理数来表达的。

在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：

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F(0)=0,F(l)=l,F(n)=F(n-l)+F(n-2)[n>=2,n@N*)

这个数列有下列特性(1)当n趋向于无穷大时，前一项与后一项的比值越到

后面越来越逼近黄金分割率

即f(n)/f(n-l)f0.618・-(2)任何相邻三个数，其中前两个数之和等于第三个

数，如1+2=3,2+3=5,3+5=8,依此类推。(3)任何相邻三个数,其中第一个数

和第三个数的乘积与第二个数的平方相差lo

如图所，本•每条斜线I:的数的和就构成更波那奥数列.

OnesInteaenTriangle%SquarePowenof2FibonacciPrime*

Addingthenumbersalong

shallowdgonahgives

theFibonocaNumbers

3

6a

21353521

828S6705628

36a412612684%

451202102522101204510

551653304624623301655511

662204957929247924952206612

137828671512871716171612877152867813

1491364100120023003343230032002100136491

110545511653003500564356435SOOS30031365455105

116120560182043688008114401287011440800843681820560120161

如图所示每条斜线上数的和就构成斐波那契数列，又称黄金分割数列。

斐波那契数列的f(n)/f(n-l)会趋近于黄金比例6=(l+J5)/2,近似值卷

1.618o

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斐波那契数列中的斐波那契数会经常出现在我们的眼前——比如松果、凤梨、树叶的排列、某些工关的花褥散、黄

金矩形、黄金分割、等角螺线等。

黄金分割是一个古老的数学方法，首次提出是，公元前6世纪古希腊的毕

达哥拉斯及其学派在五角星内发现的，公元前4世纪古希腊的数学家欧多克索

斯第一次用几何的方法给出黄金分割率的计算，并建立起比例理论，公元前300

年欧几里得《几何原本》进一步系统论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分

割的论著.中世纪后，黄金分割被披上神秘的外衣，意大利数学帕乔利称之为神

圣比例，并专门为此著书立说.德国天文学家开普勒称之这一神圣分割为“中外比

”,13世纪意大利数学家菲波那契，写了《计算之书》之后，对黄金分割的认识

才从静态走向动态，自然界的变化规律已经触手可及了。15世纪末期，法兰西

教会的传教士路卡•巴乔里发现金字塔之所以能屹立数千年不倒，且形状优美，

原因在于其高度与基座每边的结构比例为“5:8"。有感于这个神秘比值的奥妙与

价值，他使用了黄金比率一词。

古往今来，这个数字一直被后人奉为科学和美学的金科玉律成为世代相传

的审美经典规律，造就了人类潜意识中根深蒂固的审美模式，对它的各种神奇

的作用和魔力，数学上至今还没有明确的解释，只是发现它屡屡在实际中发挥

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我们意想不到的作用。

不仅是艺术，在大自然、宇宙、甚至人体构造中，艺术中也存着的黄金比

例。从低等的动植物到高等的人类，从数学到天文现象中，许多优美的事物中，

几乎都暗含着这种比例结构。

在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用。

黄金矩形：

K0.618*—1.()T

黄金矩形：它的长宽比为1.618,以一个顶点为圆心，矩形的较短边为半

径作一个四分之一圆，交较长边于一点，过这个点，作一条直线垂直于较长边,

这时，生成的新矩形(不是那个正方形)仍然是一个黄金矩形，这个操作可以无限

重复，产生无数个黄金矩形。

AFD

这种长方形有许多奇怪的性质。从黄金长方形ABCD的一端把小正方形

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ABEF去掉，剩下的CDEF还是一个黄金长方形。用同样的方法，可逐步去掉

许多正方形而得到愈来愈小的黄金长方形，而黄金分割点F,H,I,J,K,L,…都排在

一值1等角螺线上，螺线的心正好是雨虚线AC和DE的交点。

平是定角

所谓等角螺线就是向彳英和切线的交角永远不变的曲线。因为是根据斐波那

契数列画出来的螺旋曲线，也称斐波那契螺旋线或黄金螺旋线。

这些发散曲线的螺旋角一般在137.5度，更为精确的数字应该是137.50776

度，因为137.5=360-360*0.618,所以这个角度又被称为黄金角度。

黄金角度十分特别，是因为没有任何360度的简分数能加以表达；360度

的5/8相当接近，8/13更为接近，13/21则算是最接近的了，但没有任何一个

分数能准确地表达出黄金角度跟360度的比例。

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正五边形的黄金比例特性：正五边形内含五角星，五角星内含正五边形，

重重无尽。正五边形的任一对角线与边长的比为黄金比例。

五角星古人称五芒星在许多文化中被看作是神圣而神奇的。五角星中线段

的比率都符合黄金分割率，被作为美丽与完美的象征。

1、生命现象

率先使用斐波那契数列的，是法国数学家埃杜瓦尔•卢卡斯。从那时起，

科学家开始注意到自然界中这样的例子，譬如，向日葵花盘和松果的螺线、植

物茎干上的幼芽分布、种子发育成形和动物椅角的生长定式。人类从胚胎、婴

儿、孩童到成年的发育规律，也遵循着黄金分割率。

罗马在数学上，定义菲波那契数列的方法叫递归(Recursion),宝塔花椰菜

是一个很明显的递归例子。每一棵花椰菜，都是由形状相同的小花椰菜组成的，

而每一簇花椰菜又是由更小些的同形状花椰菜组成的。

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植物与黄金分割

植物叶子，千姿百态，生机盎然，尽管叶子形态随种而异，但茎上的叶序

是极有规律的。从植物茎的顶端向下看，上下层中相邻的两片叶子之间约成

137.5°角.如果每层叶子只画一片来代表，第一层和第二层的相邻两叶之间的

角度差约是137.5°,以后二到三层，三到四层，四到五层……两叶之间都成这

个角度.植物学家经过计算表明：这个角度对叶子的采光、通风都是最佳的。

这个137.5°角，藏有什么"密码"呢?一周是360°,360°-137.5°

=222.5°,137.5°：222.5°心0.618.

叶子的精巧而神奇的排布中，竟然隐藏着0.618。

从分生组织长出来的新生部分，按这个固定的黄金角度相继生长，新生部

分就永不会跟任何已长成的部分朝同一方向生长。

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各种植物叶子的生长规律中自然隐藏着黄金角度。

植物叶子中黄金分割

同样在一片叶子中也有黄金分割的现象存在。主叶脉与叶柄和主叶脉的长

度之和比约为0.618。

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长，而后才能萌发新枝。所以，一株树苗在一段间隔，例如一年，以后长出一

条新枝；第二年新枝"休息”，老枝依旧萌发；此后，老枝与“休息”过一年的枝同

时萌发，当年生的新枝则次年"休息"。这样，一株树木各个年份的枝梗数，便构

成斐波那契数列。这个规律，就是生物学上著名的“鲁德维格定律，

植物茎干上的幼芽分布、种子发育成形和动物情角的生长定式，遵循着黄金

分割率。

叶片排列是沿对数螺旋上升，这也保证了叶与叶之间不会重合，下面的叶

片正好在从上面叶片间漏下阳光的空隙地方，这是采光面积最大的排列方式。

可见，沿对数螺旋按圆的黄金分割盘旋而生，是叶片排列的最优良选择。

叶、枝、花瓣也可以成螺旋式生长。

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许多呈螺旋图案的植物，花瓣数目往往是斐波那契数列中的数。有些人观

察到，毛葭的花有5块花瓣，美洲血根草有8块，柳兰有13块，紫苑有21块，

春白菊有34块，美国紫苑则有55块或89块。在水果和蔬菜中也可以找到跟斐

波那契数列有关的数字。例如，香蕉的横切面是一个五边形。

向日向日葵花盘和松果的螺线,遵循着黄金分割率。葵花有89个花辫，是斐

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波那契数列。

向日葵的花盘中有2组螺旋线，一组顺时针方向盘绕，另一组则逆时针方

向盘绕，并且彼此相嵌。虽然不同的向日葵品种中，这些顺逆螺旋的数目并不

固定，但这每组数字都是斐波那契数列中相邻的2个数。

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风梨

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松果

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多肉植物：甚至像芦荟这样的多肉植物也会呈现出“黄金螺旋”的形状。植物以“黄金螺旋”的

形式生长出新的细胞，然后就会呈现出这种形状。这种方式让植物的新生叶子与旧叶子互相之

间不会相互遮挡太多，能最大程度地享用阳光和雨露.

多肉植物

蝴蝶

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鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧

神工。

螺旋形鹦鹉螺身上的同心弧圈，每圈罗纹的直径与相邻罗纹直径之比为

"PHI.黄金分割。1.618."

2、神秘的人体比例

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♦■■

达•芬研码

DANBROWN

黄金分割不是达芬奇发现，但是达芬奇将黄金分割运用在创作中，通过他

的画，后人可以发现，他发现了黄金分割最适合人体的比率。

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维特鲁威人是列奥纳多达芬奇在1487年前后创作的世界著名素描。它是钢

笔和墨水绘制的手稿，规格为34.4cmX25.5cm。根据约1500年前维特鲁威

在《建筑十书》中的描述，达芬奇努力绘出了完美比例的人体。这幅由钢笔和

墨水绘制的手稿，描绘了一个男人在同一位置上的"十"字型和"火”字型的姿态,

并同时被分别嵌入到一个矩形和一个圆形当中。这幅画有时也被称作卡侬比例

或男子比例。肚脐到地面的高度=1.618；肩膀到指尖的距离：肘关节到指尖的

距离=1.618；臀部到地面的距离：膝盖到地面的距离=1.618。

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《达•芬奇密码》的故事始于卢浮宫，终于卢浮宫。馆长被谋杀，为了把

他知道的重大秘密传给后人，这位编制密码的高手临死前把自己的身体摆成了

达•芬奇的画作《维特鲁威人》的样子，并留下一行数字，两行莫名其妙的诗

句：

13-3-2-21-1-1-8-5

啊，严酷的魔王(0,Draconiandevil)

噢，腐腿的圣徒(oh,lamesaint)

小说的男女主人公很快破译了这个密码，数字按升序排列后是数学史上著

名的斐波那契数列，前两个数相加等于相邻的第三个数，而相邻的两个数相除

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约等于黄金分割的数字1.618；至于那两句诗，将字母打乱重新排列后竟然是:

列奥那多•达•芬奇(LeonardodaVinci)!蒙娜丽莎(TheMonaLisa)!

人体黄金分割是指人体经脐部，下、上部量高之比，小腿与大腿长度之比，

前臂与上臂之比，以及双肩与生殖器所组成的三角形等都符合黄金分割定律，

即1：0.618的近似值。人体美学观察受到种族、社会、个人各方面因素的影响，

牵涉到形体与精神、局部与整体的辩证统一，只有整体的和谐、比例协调，才

能称得上一种完整的美。

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黄金分割娩典EE片

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穴位

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人体的五大黄金穴位，都处于身体各部位的黄金分割点上，经常按摩五大

黄金穴位最能养生。

QS

5波赢波群〒波

心房的激动心室的激动恢复波

心电图也是黄金比例

37.5度，它和0.618的乘积为23.175C,在这一环境温度中，机体的新陈代谢、

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生理节奏和生理功能均处于最佳状态。在动物界，禽兽等高级温动物的体温介

乎37-39℃,这一温度正是水的液态范围0100%,两个黄金点(0.618)之一，即

38%左右。

养生学家通过多年观察发现，动和静是一个0.618比例关系，大致四分动

六分静才是较佳养生之法。医学专家分析后发现，饭吃六七成饱的人几乎不生

胃病；人的脑电波图，若高低频率