新高考数学一轮复习讲义 第15讲 导数与函数的单调性（含解析）

第15讲导数与函数的单调性（精讲）题型目录一览①导数与原函数图像之间的联系②不含参数的函数单调性③含参数的函数单调性一次函数型二次函数型Ⅰ（可因式分解）二次函数型Ⅱ（不可因式分解）指数函数型④函数单调性中的参数值（范围）问题★【文末附录-导数与函数的单调性思维导图】一、知识点梳理一、知识点梳理一、单调性基础问题1．函数的单调性函数单调性的判定方法：设函数SKIPIF1<0在某个区间内可导，如果SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为增函数；如果SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为减函数．2．已知函数的单调性问题=1\*GB3①若SKIPIF1<0在某个区间上单调递增，则在该区间上有SKIPIF1<0恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足SKIPIF1<0，才能得出SKIPIF1<0在某个区间上单调递增；=2\*GB3②若SKIPIF1<0在某个区间上单调递减，则在该区间上有SKIPIF1<0恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足SKIPIF1<0，才能得出SKIPIF1<0在某个区间上单调递减．二、讨论单调区间问题类型一：不含参数单调性讨论（1）求导化简定义域(化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间)；（2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)；（3）求根做图得结论(如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论)；（4）未得结论断正负(若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负)；（5）正负未知看零点(若导函数正负难判断，则观察导函数零点)；（6）一阶复杂求二阶(找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导)；求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导．（7）借助二阶定区间(通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段)；类型二：含参数单调性讨论（1）求导化简定义域(化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间)；（2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)；（3）恒正恒负先讨论(变号部分因为参数的取值恒正恒负)；然后再求有效根；（4）根的分布来定参(此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系)；（5）导数图像定区间；【常用结论】①使SKIPIF1<0的离散点不影响函数的单调性，即当SKIPIF1<0在某个区间内离散点处为零，在其余点处均为正（或负）时，SKIPIF1<0在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的.例如，在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，而显然SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是单调递增函数.②若函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增，则SKIPIF1<0（SKIPIF1<0不恒为0），反之不成立.因为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在这个区间为常值函数；同理，若函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递减，则SKIPIF1<0（SKIPIF1<0不恒为0），反之不成立.这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件.于是有如下结论：SKIPIF1<0SKIPIF1<0单调递增；SKIPIF1<0单调递增SKIPIF1<0；SKIPIF1<0SKIPIF1<0单调递减；SKIPIF1<0单调递减SKIPIF1<0.二、题型分类精讲二、题型分类精讲题型一导数与原函数图像之间的联系策略方法原函数的单调性与导函数的函数值的符号的关系，原函数SKIPIF1<0单调递增SKIPIF1<0导函数SKIPIF1<0（导函数等于0，只在离散点成立，其余点满足SKIPIF1<0）；原函数单调递减SKIPIF1<0导函数SKIPIF1<0（导函数等于0，只在离散点成立，其余点满足SKIPIF1<0）.【典例1】已知函数SKIPIF1<0的图象如图所示（其中SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的导函数），则SKIPIF1<0的图象大致是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由SKIPIF1<0的图象得到SKIPIF1<0的取值情况，即可得到SKIPIF1<0的单调性，即可判断.【详解】由SKIPIF1<0的图象可知当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增，故符合题意的只有C.故选：C.【题型训练】一、单选题1．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）如图是函数SKIPIF1<0的导函数SKIPIF1<0的图象，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据导函数的图象在区间SKIPIF1<0内的函数的范围，判断出函数SKIPIF1<0区间SKIPIF1<0上各点处切线的斜率的范围，根据导函数的图象得导函数函数值的符号，得函数SKIPIF1<0的单调性，再结合四个选项可得答案.【详解】由SKIPIF1<0的图象可知，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则在区间SKIPIF1<0上，函数SKIPIF1<0上各点处切线的斜率在区间SKIPIF1<0内，对于A，在区间SKIPIF1<0上，函数SKIPIF1<0上各点处切线的斜率均小于0，故A不正确；对于B，在区间SKIPIF1<0上，函数SKIPIF1<0上存在点，在该点处切线的斜率大于1，故B不正确；对于C，在区间SKIPIF1<0上，函数SKIPIF1<0上存在点，在该点处切线的斜率大于1，故C不正确；对于D，由SKIPIF1<0的图象可知，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0上各点处切线的斜率在区间SKIPIF1<0内，在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增，而函数SKIPIF1<0的图象均符合这些性质，故D正确.故选：D2．（2023·全国·高三专题练习）设SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的导函数，SKIPIF1<0的图象如图所示，则SKIPIF1<0的图象最有可能的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据导函数的图象得出函数的单调区间，根据函数SKIPIF1<0的单调性即可判断.【详解】由导函数的图象可得当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0单调递增；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0单调递减；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0单调递增.只有C选项的图象符合.故选：C.3．（2023·陕西西安·校联考一模）已知定义在SKIPIF1<0上的函数SKIPIF1<0的大致图像如图所示，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的导函数，则不等式SKIPIF1<0的解集为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】分SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两种情况求解即可.【详解】若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0单调递减，图像可知，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0单调递增，由图像可知SKIPIF1<0，故不等式SKIPIF1<0的解集为SKIPIF1<0．故选：C二、多选题4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0的导函数SKIPIF1<0的图象如图所示，则下列说法正确的是（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0内有SKIPIF1<0个极值点D．SKIPIF1<0的图象在点SKIPIF1<0处的切线的斜率大于SKIPIF1<0【答案】ACD【分析】根据导函数的正负可得SKIPIF1<0单调性，由单调性可判断AB正误；由极值点定义可知C正确；由SKIPIF1<0可知D正确.【详解】由图象可知：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上单调递增；在SKIPIF1<0上单调递减；对于A，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，A正确；对于B，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，B错误；对于C，由极值点定义可知：SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的极大值点；SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的极小值点，即SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0内有SKIPIF1<0个极值点，C正确；对于D，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线的斜率大于SKIPIF1<0，D正确.故选：ACD.三、填空题5．（2023·全国·高三专题练习）函数SKIPIF1<0的图象如图所示，记SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0最大的是________.【答案】SKIPIF1<0【分析】根据导数的几何意义结合SKIPIF1<0的图象分析判断即可【详解】根据导数的几何意义，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0处的切线斜率，又SKIPIF1<0与SKIPIF1<0处的切线单调递增，SKIPIF1<0处的切线单调递减，且SKIPIF1<0处的切线比SKIPIF1<0处的切线更陡峭，∴SKIPIF1<0，故最大为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<06．（2023春·上海·高三统考开学考试）已知定义在SKIPIF1<0上的奇函数SKIPIF1<0的导函数是SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的图象如图所示，则关于x的不等式SKIPIF1<0的解集为______.【答案】SKIPIF1<0【分析】先判断出SKIPIF1<0的单调性，然后求得SKIPIF1<0的解集.【详解】依题意SKIPIF1<0是奇函数，图象关于原点对称，由图象可知，SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0递减，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0递增，SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0的解集SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0题型二不含参数的函数单调性策略方法求函数单调区间的步骤(1)确定函数f(x)的定义域．(2)求f′(x)．(3)在定义域内解不等式f′(x)＞0，得单调递增区间．(4)在定义域内解不等式f′(x)＜0，得单调递减区间．【典例1】函数SKIPIF1<0的单调递增区间为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】求出导函数SKIPIF1<0，在定义域内解不等式SKIPIF1<0可得单调递增区间．【详解】由已知得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴函数SKIPIF1<0的单调递增区间为SKIPIF1<0．故选：B．【题型训练】一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）函数SKIPIF1<0的单调递减区间是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0和SKIPIF1<0【答案】C【分析】根据给定的函数，利用导数求出单调减区间作答.【详解】函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，求导得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0的单调递减区间是SKIPIF1<0.故选：C2．（2023·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，现给出如下结论：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0．其中正确结论个数为（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】利用导数判定三次函数的图象与性质，结合图象即可一一判定结论.【详解】求导函数可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0的单调递增区间为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0单调递减区间为SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0极大值SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0极小值SKIPIF1<0SKIPIF1<0要使SKIPIF1<0有三个解SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，那么结合函数SKIPIF1<0草图可知：SKIPIF1<0及函数有个零点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0之间，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故①正确；SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即②③正确；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（i），SKIPIF1<0（ii），把（ii）代入（i）式的平方化简得：SKIPIF1<0；即④正确；故选：D．3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】首先根据题干条件SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，化简整理得SKIPIF1<0，然后构造函数SKIPIF1<0，借助导数求解SKIPIF1<0的最小值，即可求出SKIPIF1<0的最小值.【详解】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，化简整理得：SKIPIF1<0；令SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增；即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0故选：D二、多选题4．（2023·全国·模拟预测）已知函数SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0的单调递减区间是SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0有4个零点C．SKIPIF1<0的图象关于点SKIPIF1<0对称 D．曲线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴不相切【答案】CD【分析】对A直接求导，令导函数小于0，解出即可，对B，通过求出极大值和极小值，结合其单调性即可判断，对C选项利用函数奇偶性和函数平移的原则即可判断，对D，利用函数极大值、极小值的符号即可判断.【详解】A选项：易知SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<00，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的单调递减区间为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，A错误；B选项：令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，和SKIPIF1<0上单调递增，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得极大值，因为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上没有零点，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得极小值，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上至多有两个零点，B错误；C选项：设SKIPIF1<0，函数定义域为SKIPIF1<0，关于原点对称，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为奇函数，所以SKIPIF1<0的图象关于原点对称，将SKIPIF1<0的图象向下平移2个单位长度得到SKIPIF1<0的图象，所以SKIPIF1<0的图象关于点SKIPIF1<0对称，C正确；D选项：因为SKIPIF1<0的极小值SKIPIF1<0，极大值SKIPIF1<0，所以曲线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴不相切，D正确.故选：CD.三、填空题5．（2023·云南·校联考二模）函数SKIPIF1<0的单调递增区间为____________．【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【分析】通过二次求导，证明当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即得解.【详解】由题得函数定义域为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，又SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的单调递增区间为SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0）．故答案为：SKIPIF1<06．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）函数SKIPIF1<0的单调递增区间为__________.【答案】SKIPIF1<0【分析】求导数SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解不等式即可得函数的单调递增区间.【详解】函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故函数SKIPIF1<0的单调递增区间为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.7．（2023秋·山东东营·高三东营市第一中学校考期末）函数SKIPIF1<0的单调递增区间为___________．【答案】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【分析】对函数求导，判断导函数的正负，导函数分子无法判断正负，再对分子求导，利用导函数的单调性来判断导函数的正负，进而得出原函数的单调区间.【详解】因为函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0的单调递增区间为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.8．（2023·福建·统考模拟预测）函数SKIPIF1<0的单调增区间是_______．【答案】SKIPIF1<0(或SKIPIF1<0也对)【分析】SKIPIF1<0，由复合函数单调性知：SKIPIF1<0的增区间即为所求.【详解】SKIPIF1<0，由复合函数单调性知：SKIPIF1<0的增区间即为所求，SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0(或SKIPIF1<0也对）9．（2023春·安徽亳州·高三校考阶段练习）函数SKIPIF1<0有两个零点，则SKIPIF1<0的取值范围是__.【答案】SKIPIF1<0【分析】函数SKIPIF1<0有两个零点，即方程SKIPIF1<0有两个根，构造函数SKIPIF1<0，利用导数求出函数的单调区间，从而可画出函数SKIPIF1<0的大致图像，根据图象即可得解.【详解】SKIPIF1<0函数SKIPIF1<0有两个零点，SKIPIF1<0方程SKIPIF1<0有两个根，即方程SKIPIF1<0有两个根，设SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的图像有两个交点，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减，SKIPIF1<0函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0时，取得最大值SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0函数SKIPIF1<0的大致图像，如图所示，由图像可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.题型三含参数的函数单调性策略方法解决含参数的函数的单调性问题应注意两点(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点．【典例1】已知函数SKIPIF1<0（其中a为参数）.求函数SKIPIF1<0的单调区间.【答案】答案见解析【分析】求出原函数的导函数，然后对SKIPIF1<0分类求得函数的单调区间；【详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增，当SKIPIF1<0时，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递增；综上：SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递增，无减区间，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的单调递减区间为SKIPIF1<0，单调递增区间为SKIPIF1<0；【典例2】已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.讨论函数SKIPIF1<0的单调性.【答案】答案见解析【分析】对SKIPIF1<0求导，然后分SKIPIF1<0和SKIPIF1<0两种情况讨论即可；【详解】函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增；当SKIPIF1<0时，令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减：在SKIPIF1<0上单调递增.综上，当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增.【典例3】设函数SKIPIF1<0，求函数SKIPIF1<0的单调区间.【答案】当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的单调减区间为SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的单调减区间为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，单调增区间为SKIPIF1<0.【分析】对SKIPIF1<0求导，分SKIPIF1<0和SKIPIF1<0和SKIPIF1<0三类讨论导数的正负，即可得出SKIPIF1<0的单调区间.【详解】由题意得SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，①当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，②当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，③当SKIPIF1<0时，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增.综上，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的单调减区间为SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的单调减区间为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，单调增区间为SKIPIF1<0.【典例4】已知函数SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为自然对数的底数，SKIPIF1<0）．求函数SKIPIF1<0的单调区间；【答案】答案见解析【分析】先求得SKIPIF1<0，结合SKIPIF1<0和SKIPIF1<0讨论SKIPIF1<0的正负，进而求解.【详解】函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.①当SKIPIF1<0时，对任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此时函数SKIPIF1<0的减区间为SKIPIF1<0，无增区间；②当SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，此时函数SKIPIF1<0的单调递增区间为SKIPIF1<0，递减区间为SKIPIF1<0；综上所述，当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0的减区间为SKIPIF1<0，无增区间；当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0的单调递增区间为SKIPIF1<0，递减区间为SKIPIF1<0.【题型训练】一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0，若不等式SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上恒成立，则实数SKIPIF1<0的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】SKIPIF1<0即为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求出函数SKIPIF1<0的导函数，分解SKIPIF1<0和SKIPIF1<0讨论函数SKIPIF1<0的单调性，求出函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的最小值，即可得解.【详解】解：由已知可得SKIPIF1<0即为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，显然SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上也成立，所以SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，SKIPIF1<0恒成立；当SKIPIF1<0时，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增，于是，存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，不满足SKIPIF1<0，舍去此情况，综上所述，SKIPIF1<0.故选：A.2．（2023秋·四川宜宾·高三四川省宜宾市第四中学校校考期末）已知函数SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0有四个不同的零点，则a的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】讨论SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，应用导数研究单调性，要使SKIPIF1<0有四个不同的解，即当两个区间均存在两个零点时，求a的范围即可.【详解】由题意知：SKIPIF1<0有四个不同的零点，∴SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0有四个不同的解，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，其零点情况如下：1）当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0；2）当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则有如下情况：1）当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0单调递增，不可能出现两个零点，不合题意；2）当SKIPIF1<0时，在SKIPIF1<0上SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增，在SKIPIF1<0上SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减，而SKIPIF1<0有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0有SKIPIF1<0，所以只需SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0必有两个零点.∴综上，有SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上各有两个零点，即共有四个不同的零点.故选：A.【点睛】关键点点睛：应用分类讨论，利用导数研究函数的单调性，求在满足零点个数的情况下参数范围.二、填空题3．（2023·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0，若对任意SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的取值范围是______.【答案】SKIPIF1<0【分析】SKIPIF1<0，则易得出SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，与SKIPIF1<0矛盾，故SKIPIF1<0，求出函数的导函数，对SKIPIF1<0进行讨论，判断函数的单调性，从而可得出答案.【详解】解：SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，这与SKIPIF1<0矛盾，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递减，所以SKIPIF1<0符合题意；若SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递增，故当当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，这与SKIPIF1<0矛盾，综上所述SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.三、解答题4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0．讨论SKIPIF1<0的单调性；【答案】答案见解析【分析】对函数求导，注意定义域，讨论SKIPIF1<0、SKIPIF1<0研究导数的符号，进而确定区间单调性.【详解】由题设SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0恒成立，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增当SKIPIF1<0时，令SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减综上，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增；5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0．讨论函数SKIPIF1<0的单调性；【答案】答案见解析【分析】求出导函数SKIPIF1<0，分类讨论，由SKIPIF1<0得增区间，由SKIPIF1<0得减区间．【详解】∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（1）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，（2）当SKIPIF1<0时，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，SKIPIF1<0上单调递减，综上，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0．讨论SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的单调性；【答案】答案见解析【分析】讨论SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三种情况，结合导数得出SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的单调性；【详解】由题意得SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减．当SKIPIF1<0时，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．①若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增；②若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增．综上，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增7．（2023·全国·高三专题练习）设函数SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，讨论函数SKIPIF1<0的单调性；【答案】见解析【分析】由题求导得SKIPIF1<0，分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，三种情况讨论其单调性即可.【详解】由题知，函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，所以求导得SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，和SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减，若SKIPIF1<0，恒有SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取等号，因此函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，若SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减，所以当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减；当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增；当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减.8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0.讨论函数SKIPIF1<0的单调性；【答案】答案见解析【分析】先求出函数的定义域，再求导，分SKIPIF1<0和SKIPIF1<0两种情况讨论，即可得解.【详解】由SKIPIF1<0，可知定义域SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，①当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0成立，即SKIPIF1<0成立，所以SKIPIF1<0的单调增区间为SKIPIF1<0；②当SKIPIF1<0时，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0变化时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的变化情况如下表SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0+0-0+SKIPIF1<0↗极大值↘极小值↗所以SKIPIF1<0的增区间为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上单调递增，减区间为SKIPIF1<0，综上，当SKIPIF