2024年高考数学押题卷及答案（十四）

2024年高考数学押题卷及答案（十四）

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在

答题卡相应的位置上.

1.若集合於{x|x>2},小{x|xW3},则/n正▲.

答案：（2,3]解析：4n5=（2,3]

2.函数产Gsin2x+cos2x的最小正周期是▲.

答案：“

解析：产6sin2广cos2xNsin（2T450°）nT=2口/2="

3.已知（a+i）2=2i,其中i是虚数单位，那么实数折▲.

答案：1

解析：（a+i）2=a+2ai+i?=a2-1+2ai=2ina=X

4.已知向量a与b的夹角为60°,且®=1,|引=2,那么（a+少的值为

答案：7

解析：（a+b）2=a+b2+2ab=a2+b2+2|a||b|cos60°=l2+22+2xlx2=7

5.底面边长为2nb高为1m的正三棱锥的全面积为▲m’.

答案：3g

解析：如图所示，正三棱锥S-ABC,。为顶点S在底面8c〃内

的射影，则O为正ABC。的垂心，过C作SLAB于X,连接

SHo

贝且在R/ASHO中，SH=dso2+HO°=巫。

333

2

于是'S*B=gxABxSH=当，SMBC=^XAB=V3°

所以S全面积=SABCD+3sA5As=3V3O

6.若双曲线=l的焦点到渐近线的距离为2近，则实数k的值是

k

▲.

答案：8

解析：法一：双曲线的渐近线方程为y=±&x;焦点坐标是(土石I。)。

由焦点到渐近线的距离为2夜，不妨比亚J=〃=2夜。解

Vi+1

得％=8o

法二：可以将问题变为“若椭圆小.=1的离心率为L则实数右”，这时

k3----

需要增加分

类讨论的意思

法三：结论法：在双曲线中，双曲线的焦点到渐近线的距离为b【在本题

中，则b2=k=(2而2=8]

兀—y+120,

7.若实数X,y满足.x+y2o,则£x+2-『的最大值是▲

%W0,

答案：2

解析：满足题中约束条件的可行域如图所示。

目标函数z=x+2y取得最大值，

即使得函数y=」x+三在y轴上的截距最大。

22■

结合可行域范围知，当其过点P(0,l)时，Z111ax=0+2xl=2。

8.对于定义在R.上的函数r(x),给出三个命题:

①若/(-2)=〃2),则/(X)为偶函数；

②若/(-2)"(2),则广(X)不是偶函数;

③若/(-2)=/⑵，则f(x)一定不是奇函数.

其中正确命题的序号为▲.

答案：②

解析：命题③学生很容易判为真命题.

反例:函数/(x)=O(xeR)是奇函数，且满足/(-2)*(2).

请注意以下问题：既是奇函数又是偶函数的函数是否唯一?

答案是否定的，如函数/(x)=0(xe{-l,l},

/(x)=0(xe{-1,0,1}>/(x)=0(xeR)等.

9.图中是一个算法流程图，则输出的炉

▲.

答案：11

10.已知三数^+log272,jr+log92,jr+log32成等比

数列，则公比为▲.

答案：3

解析：log,2=|log32,log272=1log32

«=x+㈣2=廿畦2J喧27"=3

x+log272x+log92log272-log92

本题首先应整体观察出三个对数值之间的关系，并由此选

定log32,得出Iog272=glog32,log92=1log32,最

后通过假设将x用log32表示.

1(，是i的整数倍)，

11.已知5X5数字方阵:中,

-1()不是力的整数倍).

54

贝°之%+1%=___▲___

j=2i=2

答案：-1

解析：假如题中出现£与，应注意如中5为1的倍数.

i=l

题中方阵是一个迷惑，应排除这一干扰因素.本题的实质就是先定义a”，

后求和.应注意

两个求和符号X中的上下标是不.一致的，解题应把求和给展开.

12.已知函数千（X）="cosx,X£［」一］,则满足与的X。的取值

223

范围为▲.

答案：甲

解析：

法1注意到函数/⑴=x2-cosx,xe［一方。是偶函数故只需考虑［0,自区间上的情

形.

由尸（%）=2x+sinx20,xe［0,（］知函数在［0,（］单调递增，

所以小。）〉/（◎在［。，自上的解集为弓，f］，

结合函数是偶函数得原问题中X。取值范围是

法27（无。）>吗）OX；-^-+g>COSXo，

作出函数y3*+Ly=c°sx在［-0勺上的图象

9222

并注意到.±巴两函数有交点可得与取值范围是［/£）U（££］.

-32332

13.甲地与乙地相距250公里.某天小袁从上午7:50由甲地出发开车前

往乙地办事.在上午9:00,10：00,11：00三个时刻，车上的导航

仪都提示“如果按出发到现在的平均速度继续行驶，那么还有1小时

到达乙地”.假设导航仪提示语都是正确的，那么在上午11：00时，

小袁距乙地还有▲公里.

答案：60

解析：设从出发到上午n时行了S公里，则科上x60=250,解得-90,此时小袁

190

距乙地还有60公里.

14.定义在口,+00)上的函数Ax)满足：①广(2x)=c〃x)(c为正常数)；②当2

WxW4时，r(^)=i-k-3|.若函数的所有极大值点均落在同一条直线

上，贝Ic=▲.

答案：1或2

解析：由已知可得:当1WXW2时，f{x)=-/(2x)=-(1-lx-3|)；

cc

当24xW4时，/(x)=l-|x-3|;当44xW8时，/(x)=c/(|)=c(l--3|),

11

由题意点(3,1),(3,1),((6,c)共线，据-c=c-1得C=1或2.

2c3-3

2

二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请把答案写在答题卡相应的位

置上.解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.(本题满分14分)某高校从参加今年自主招生考试的学生中随机抽取容

量为50的学生成绩样本，得频率分布表如下：

组号分组频数频率

第一组[230,235)80.16

第二组[235,240)①0.24

第三组[240,245)15②

第四组[245,250)100.20

第五组[250,255]50.10

合计501.00

(1)写出表中①②位置的数据；

(2.)为了选拔出更优秀的学生，高校决定在第三、四、五组中用分层抽

样法抽取6名学生进行第二轮考核，分别求第三、四、五各组参加考

核人数；

(3)在⑵的前提下，高校决定在这6名学生中录取2名学生，求2人中

至少有1名是第四组的概率.

解：⑴①②位置的数据分别为12、

0.3；......................................4分

(2)第三、四、五组参加考核人数分别为3、2、

1;...........................8分

(3)设上述6人为aA而H其中第四组的两人分别为d,e),则从6人

中任取2人的所有情形为：｛ab,ac,ad,ae,af,be,bd,be,

bf,cd,ce,cf,de,df,ef\

共有15

种・.......................................................10

分

记“2人中至少有一名是第四组”为事件4则事件力所含的基本事

件的种数有9

种......................................................

..........12分

所以尸⑷=2=|,故2人中至少有一名是第四组的概率为

..........14分

16.(本题满分14分)

如图，在三棱柱/吐44G中.

⑴若幽二4&B.CLA.B,证明：平面阳乙平面4阳；

(2)设〃是理的中点，£是4G上的一点，且4夕〃平面

B.DE,求空的值.

EC1

解：⑴因为BB^BC,所以侧面BCCB是菱形，所以B.CV

BQ............3分

又因为夕C，4夕，且4夕nBC,=B,所以阳，平面

AiBC,.............5分

又4Cu平面AB.C,所以平面AB.C，平面

A.BQ......................7分

(2)设夕口交与G于点凡连结防则平面44GC平面身庞=小

因为4皮/平面B.DE,44u平面ABC,所以

A.B//EF..............11分

所以.=尤.

ECXFCX

又因为"=处」，所以任=

FC]耳G2EC]

--.............................14分

2

17.(本题满分14分)

在△力夕C中，令/=2况其中a,b,c分别为角4B,C所对的边长.

(1)求证：胫巴；

3

⑵若8=巴，且/为钝角，求4

4

解：

⑴由余弦定理，得

a2+c2-b2a2+c2

cosB=............................................3分

lac4ac

因a?+，22ac

cosB>一•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

2

由°<一<",得’命题得

证..................................7分

(2)由正弦定理，得

sin2A+sin2C=2sin2B・................................................................................10分

因B=-，故2sin2g=1于是

4

sin2A=cos2C.......................................................................12分

因为/为钝角，所以sinA=cosC=cos(—7i-A)=sin(A-—).

44

所以.一『人一’不合，舍)•解得人彳

14分

(2)其它方法：

法1同标准答案得到sin2A"/C,用降幕公式得到=匹，或

22

cos2A+cos2(—万一A)=0,展开再处理，下略.

4

法2由余弦定理得=/+C2一&团，结合/+02=2/得行砒=62,

V2sinAsinC=sin2—,sinAsin(-K-A)=,展开后用降幕公式再合，下略.

442

法3由余弦定理得。2=/+。2一&双，结合/+02=2/?2得J5ac=/+C2,

V2sinAsinC=sin2A+sin2C,V2sinAsin(—-A)=sin2A+sin2(—-A),下略

44

18.(本题满分16分)

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆£+£=1(a>8>0)的离心率为更，

a2b~2

其焦点在圆*+,=1上.

(1)求椭圆的方程；

(2)设4B,〃是椭圆上的三点(异于椭圆顶点)，且存在锐角。，使

0M=cos0OA+sinOOB.

(i)求证：直线处与出的斜率之积为定值；

(ii)求力2+您.

解：

(1)依题意，得C=l.于是，3F收，

8=1.........................................................................2分

所以所求椭圆的方程为

y+/=1•..............................................................................................4分

(2)(i)设/(为，外，夕(泾，%),则手+才=1①，5+货=1②.

又设〃(X,。，因OM=coseOA+sin6O2,故卜=%cos"x2sm”..........R

[y=Mcos0+y2sin0.

分

因〃在椭圆上，故(…。/sin0)2+(%cose+y?sin4=1.

22

整理得(言+弘2)852。+(辛+£翔!12。+2(g1+y%)85的11。=1.

将①②代入上式，并注意cosOsin。w0,得^^+必必二。，

所以，%矶="=-;为定

Xj%22

值....................................10分

(ii)(%%)2=(一岁)2+故片+^

又(寸+y；)+(寸+£)=2,故X；+无；=2•

所以,

(242+0官=X；+y；+%；+y；=3.16分

19.(本题满分16分)

已知数列｛a｝满足：4二为二及二2,a+1=&功-1(7723),记

b〃_2=+〃；++〃；-〃,(77^^3)•

(1)求证数列｛4｝为等差数列，并求其通项公式；

(2)设％=1+3+小，数列｛点｝的前〃项和为S,求证：水s〈〃+l.

解：(1)方法一当刀23时，因b〃_2=〃；+〃；++〃；—〃i〃2%，

故b“j=a；+魅+-+a；+a~+l-ata2anan+1②.................................2

分

②-①，得bn-i-bn-2=a1+l-a]a2an(6/n+1-1)=a1+l-(an+1+l)(an+1-1)=1,为常数，

所以，数列伉｝为等差数

歹U...................................................5分

因从二aj+a：+uj——4,

b=n+3.................................8分

方法二当〃23时，<31(^2*,*3〃=1+3加1,31•••3!己犷1=1+a加2，

将上两式相除并变形，得

aa

d+1=n+2-n+\+1•................................2分

于是，当〃£N*时，

a

〃=〃；+〃；++匕2-%%n+2

=a；+a)+a；+(G5—o4+1)++(an+3—an+2+1)—axa2an+2

=a：++a；+(a“+3—a4+九—1)—(1+aa+3)=10+〃-a4>

又a=&82H3T=7,故4=T?+3(A£N*).

所以数列依｝为等差数列，且

b=n+3..........................................8分

1_1_((H+3)(H+4)+1)2

(2)方法一因C”=1+

5+3)2(〃+4)2(”+3)2(w+4)2

12分

故展一("+3)(〃+4)+1_11_1_=1+J______

'(九+3)(九+4)(几+3)(〃+4)〃+3〃+4

所以S"=(i+：_：)+(i+：_3++(1+々-一二)=〃+:-一二，...15分

4556n+3〃+44〃+4

即77VsV

7?+1................................................................................16分

方法二因&=1+1/+1二>1，故卤>1，S.>n............................................

(九+3)(〃+4)

10分

4=1+-^+」<1+—1—+—1—

"(n+3)2(n+4)2(n+2)(n+3)(n+3)(n+4)

=i+—-----—<i+^—<(i+—!—)2,

n+2n+4n+2n+2

故后<1+^—,于是S“<w(l+—'―)<，7+l...........................................

n+2n+2

16分

第(2)问，为了结果的美观，将S放缩范围放得较宽，并且可以改为求不小

于S的最小正整数或求不大于S的最大正整数.

本题(2)的方法二是错误的，请不要采用。

]

注意的=1+——r+---刁<1+-----------+------------

"5+3)2(”+4)2("+2)(〃+3)(71+3)01+4)

^1+—------<1+^—<(1+^—)2,

n+2n+4n+2n+2

故后《1+」一，于是S“<w(l+—I—)<w+l.

n+2n+2

于是S"<w(l+—L)<W+1。(这一步推理是错误的)

n+2

20.(本题满分16分)

设函数Hx)=苏-(a+8)*+8x+c,其中a>0,b,c£R.

(1)若广e)=0,求函数广(x)的单调增区间；

(2)求证：当OWxWl时，|f(x)|Wmax{尸(0),尸⑴}.(注：max{,3,8}表示

a,8中的最大值)

解：⑴由/\!)=0,得

apb....................................................1分

故f(加=ax—2ax+ax+c.

由f{x)=a(3x—4x+l)=0,得荀=1

莅=1.....................................2分

列表：

(-8,

(r(1,+

X1

38)

1)

/(无)+0—0+

f(x极大极小

增减增

)值值

由表可得，函数/U)的单调增区间是(-8,；)及(1,+

°°)•......................4分

(.2)f'(x)=3ax-2(a+5)x+左32一_a2+b2-ab.

3a3a

①当i2,或iw0时，则「(x)在［0,1］上是单调函数，

3。3。

所以尸⑴W尸(x)W/(0),或尸(0)W尸(x)W/⑴，且尸(0)+尸⑴=a>0.

所以

|f(x)|Wmax{尸(0),尸⑴}..........................................8

分

②当ovivi,即一a<8<2a,则一《±匕@W((x)Wmax{尸(0),尸⑴}.

3a3a

(i)当-时，则0<a+8W的.

22

22

_ab2〃~—b-2ab3tz-(〃+/?)212)>0

/3a3a3a*

所以

|尸(x)IWmax{7(0),广⑴}.........................................12

分

(ii)当广。＜2a时，则3-揪-2〃)(0,即豹(0.

-ab-a2-b2

所以Z7+b2-ab_4ab-a2-b2/+/—ab

>2------->0,即((0)>

3a3a3a3a

所以I尸(x)IWmax"，(0),广⑴}.

综上所述：当OWxWl时，|4(x)|Wmax{广(0),广⑴}.

16分

数学口(附加题)

21.【选做题】本题包括A,B,C,D共4小题，请从这4题

中选做2小题，每小题10分，共20分.请在答题卡上

准确填涂题目标记，解答时应写出文字说明、证明过程(第21-A题图中

或演算步骤.

A.选修4—1：几何证明选讲

如图，。。的直径/夕的延长线与弦力的延长线相交于点R£为。。上

一点，A^AC,求证：/PDF/POC.

证明：因4斤4C,力夕为直径，

故ZOAC=Z

OAE..............................................3分

所以NPOCFZOAC+Z.OCA=AOAC+Z.OAC=AEAC.

又/EAO/PDE,

所以，ZPDE-Z

POC...............................................................................................10分

B.选修4—2：矩阵与变换

已知圆C,丁+丁=1在矩阵AJ：1](a>0,b>0)对应的变换作用下变为椭圆

0b_

兰+目=1,求a,6的值.

94

解：设P(x,y)为圆。上的任意一点，在矩阵4对应的变换下变为另一个点

p'（x',y）,

则a0X即

0by.

x-ax,

4分

y'=by.

22«2x2b2y2,

又因为点P(xJ)在椭圆亍+?=1上，所以-----1----=1.

94

由已知条件可知，d+y2=i,所以4=9,氏4.

因为a>0»0所以a=3

8=2..................................................................................10分

C.选修4—4：坐标系与参数方程

在极坐标系中,求经过三点伙。,0),力⑵尖,

夕(2亚,P

(第21-C题图卜

的圆的极坐标方程.

解：设P。。)是所求圆上的任意

点,3分

贝l]oP=O8cos（6-：）,

故所求的圆的极坐标方程为

p=2A/2COS（8-：）.10分

(第21-C题答图W

汪：/?=2亚cos(：-。)亦正确.

D.选修4—5：不等式选讲

已知x,y,z均为正数.求证：-+^+—^-+-+-.

°yzzxxyxyz

证明：因为X,y,Z都是为正数，所以

二+上」(。)》2...................3分

yzzxzyxz

同理可得上+三力2二+土)2.

zx孙xxyyzy

将上述三个不等式两边分别相加，并除以2,得

工+上+二2岸+L.......io分

yzzxxyxyz

22.【必做题】本题满分10分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算

步骤.

已知函数/'(尤)=ln(ax+1)+—―,x^O>其中H>0.

l+x

(1)若〃x)在处取得极