《数据、模型与决策》 课件 6.1非线性规划

第6章非线性规划模型什么是

非线性规划?本章主要内容框架图求解非线性规划问题6.1非线性规划基本概念在前面几章中，所涉及规划问题的目标函数和约束条件都是线性的。但在许多实际问题中，往往会遇到目标函数或约束条件是非线性的情况，这类规划问题就是非线性规划问题。在规划问题中，如果目标函数或约束条件中有一个是决策变量的非线性函数，则这类规划问题称为非线性规划问题。本章要讨论的是其中一类比较简单的情形，即目标函数是决策变量的非线性函数，而约束条件全是线性的情况。6.1非线性规划基本概念例6.1

给定一根长度为400米的绳子，用来围成一块矩形菜地，问长和宽各为多少，使菜地的面积最大？解：这是一个小学数学问题，现在把它当作一个规划问题来求解。6.1非线性规划基本概念(1)决策变量设矩形菜地的长为x1米，宽为x2米。(2)目标函数本题的目标是使菜地的面积最大。(3)约束条件 ①绳子长度为400米 ②非负约束6.1非线性规划基本概念例6.1的电子表格模型6.1非线性规划基本概念非线性规划问题存在着局部最优解和全局最优解。通常，非线性规划的解是局部极大点或极小点（即局部最优解），它使得目标函数在一部分可行域上达到极大值或极小值（局部极值），具体的解与给定的决策变量初值有关，最后只能从这些局部最优解中挑选出一个最优解作为最后的答案。正是由于局部最优解的存在，使得非线性规划问题的求解要比线性规划问题的求解复杂得多。当求得一个最优解时，常常无法确定该解是否为全局最优解。但是在某些情况下，可以保证所求得的解就是全局最优解。下面6.2节、6.3节所介绍的边际收益递减的二次规划和可分离规划就属于这种情况。6.2二次规划若某非线性规划的目标函数为决策变量的二次函数，约束条件又都是线性的，就称这种规划为二次规划。二次规划是非线性规划中比较简单的一类，它较容易求解。决策变量在有限域内变动的边际收益递减的二次规划问题存在最优解，且此最优解与初值无关，即局部最优解为全局最优解。实际上，二次规划是非线性规划中比较简单的一种，只要问题不是太大，利用Excel“规划求解”工具就能求解。6.2.1非线性营销成本问题在营销过程中，营销成本往往是非线性的，而且随着销量的增加，单位营销成本也增加，也就是说，单位利润随着销量的增加而减少（边际收益递减）。例6.2考虑非线性营销成本的例1.1。（提示:第1次和第2次印刷书上有错，第3次及以后印刷的就改为如下）在例1.1的问题中，增加考虑新产品（门和窗）的营销成本。原来估计每扇门的营销成本是75元、每扇窗的营销成本是200元。因此当时估计的门和窗的单位利润为300元和500元。也就是，如果不考虑营销成本，每扇门的毛利润为375元，每扇窗的毛利润为700元。由于门和窗的营销成本随着销量的增加而呈现非线性增长，设x1为门的每周产量，x2为窗的每周产量，而门的每周营销成本为25x12，窗的每周营销成本为60x22。6.2.1非线性营销成本问题解：新的模型考虑了非线性的营销成本，所以在原来模型的基础上，需要修改目标函数。(1)决策变量设x1为门的每周产量，x2为窗的每周产量。(2)目标函数①每周门的销售毛利润为375x1，门的每周营销成本为25x12

，因此，每周门的净利润为375x1－25x12

；②每周窗的销售毛利润为700x2，窗的每周营销成本为60x22

，因此，每周窗的净利润为700x2－60x22

。本题的目标是总的净利润最大，因此6.2.1非线性营销成本问题(3)约束条件，还是原有的三个车间每周可用工时限制和非负约束。因此，该问题的数学模型为：6.2.1非线性营销成本问题例6.2的电子表格模型6.2.2运用非线性规划优化

有价证券投资组合管理大量证券投资组合的职业经理人，现在都习惯于用部分基于非线性规划的计算机模型来指导他们的工作。因为投资者不仅关心预期回报，还关注着投资带来的相应风险，所以非线性规划经常用来确定投资的组合，该投资组合在一定的假设下可以获得收益和风险之间的最优平衡。这种方法主要来自于哈里

马克维茨（HarryMarkowitz）和威廉

夏普（WilliamSharpe）开创性的研究，他们因为该项研究而获得了1990年的诺贝尔经济学奖。6.2.2运用非线性规划优化

有价证券投资组合这种方法是将3.2节的成本收益平衡问题非线性化。在这种情况下，成本是与投资有关的风险，收益是投资组合的预期回报。因此，该模型的一般表达形式为：最小化风险约束条件预期回报≥最低可接受水平这个模型关注投资组合的风险和预期收益之间的平衡。6.2.2运用非线性规划优化

有价证券投资组合投资组合优化，就是确定投资项目中的一组最优投资比例。这里所说的“最优”，可以是在一定风险水平下使得投资回报最大，也可以是在一定的投资回报水平下使得风险最小。首先介绍关于均值、方差等概念，然后举三个例子说明在不同数据条件下投资组合优化问题的建模与求解方法。1、单项投资的期望回报率与风险2、一组投资（即多项投资）的期望回报与风险6.2.2运用非线性规划优化

有价证券投资组合例6.3：投资回报率的期望值、方差、标准方差和相关系数现有三个可投资的项目：股票1，股票2和债券。它们自1981年至2000年20年的投资回报率如表8-2所示。分别计算这三个单项投资回报率的期望值、方差、标准方差，以及三个项目之间的相关系数矩阵。并计算对三个投资项目的最优投资比例，要求在总投资回报率不低于0.13的前提下，使得投资的风险最小。

表8-2三个投资项目的单项回报率历史数据例5投资组合优化模型1历史数据2时期股票1股票2债券3100.070.06420.040.130.07530.130.140.05640.190.430.0475-0.150.670.0786-0.270.640.08970.3700.061080.24-0.220.04119-0.070.180.0512100.070.310.0713110.190.590.114120.330.990.111513-0.05-0.250.1516140.220.040.1117150.23-0.110.0918160.06-0.150.119170.32-0.120.0820180.190.160.0621190.050.220.0522200.17-0.020.07解：用Excel中公式（见表8-1所示）计算这三个投资项目的单项回报率的期望值、方差、标准方差和相关系数。其Spreadsheet中的公式如表8-3所示表8-3三个投资项目的期望值、方差、标准方差和相关系数计算公式表ABCD1例投资组合优化模型25统计量计算26期望值=AVERAGE(B4:B23)=AVERAGE(C4:C23)=AVERAGE(D4:D23)27方差=VAR(B4:B23)=VAR(C4:C23)=VAR(D4:D23)28标准方差=STDEV(B4:B23)=STDEV(C4:C23)=STDEV(D4:D232930相关系数31股票1股票2债券32股票11=CORREL(B4:B23,C4:C23)=CORREL(B4:B23,D4:D23)33股票2=C321=CORREL(C4:C23,D4:D23)34债券=D32=D331计算相关系数的另一个方法是打开Excel中的“工具”菜单，选择项目“数据分析”，就会出现一张数据分析表，如图8-2所示。表8-4三个投资项目的期望值、方差、标准方差和相关系数计算结果ABCD1例5投资组合优化模型25统计量计算26单项期望值0.11300.18500.075527单项方差0.02740.11020.000828标准方差0.16560.33190.02782930相关系数31股票1股票2债券32股票11.0000-0.1959-0.028933股票2-0.19591.0000-0.013434债券-0.0289-0.01341.0000建立非线性规划模型ABCD30协方差矩阵31股票1股票2债券32股票1=B27=COVAR(B4:B23,C4:C23)=COVAR(B4:B23,D4:D23)33股票2=C32=C27=COVAR(C4:C23,D4:D23)34债券=D32=D33=D27ABCDEFG25统计量计算26单项期望值0.11300.18500.075527单项方差0.02740.11020.000828标准方差0.16560.33190.02782930相关系数31股票1股票2债券32股票11.0000-0.1959-0.028933股票2-0.19591.0000-0.013434债券-0.0289-0.01341.00003536模型3738决策变量39股票1股票2债券投资比例之和40投资比例0.50630.32430.16931=141投资比例的平方0.25640.10520.02874243总回报率期望值44实际值要求值450.1300>=0.13464748总回报率方差0.01514950总回报率方差0.1228模型运行结果见表。由该表可得本问题的最优解如下：股票1、股票2、债券的投资比例为0.5063:0.3243:0.1693。这时，投资组合的总回报率期望值达到所要求的0.13，而投资组合的总回报率的方差最小，为0.0151。（1）总回报率的值落在区间[总回报率期望值-总回报率标准方差，总回报率期望值+总回报率标准方差]的概率是68%；（2）总回报率的值落在区间[总回报率期望值-2总回报率标准方差，总回报率期望值+2总回报率标准方差]的概率是95%；（3）总回报率的值落在区间[总回报率期望值-3总回报率标准方差，总回报率期望值+3总回报率标准方差]的概率是99.7%。置信区间分析

本题中，总回报率期望值=0.13，总回报率的标准差=0.1228，所以当总回报率服从正态分布时，有：总回报率以68%的概率落在区间[0.0072，0.2528]（即[0.13-0.1228，0.13+0.1228]）；以95%的概率落在区间[-0.1156，0.3756]（即[0.13-2*0.1228，0.13+2*0.1228]）；以99.7%的概率落在区间[-0.2384，0.4984]（即[0.13-3*0.1228，0.13+3*0.1228]）。6.2.2运用非线性规划优化

有价证券投资组合例6.4

现要投资三种股票（股票1、股票2和股票3）。表6-3给出了三种股票所需要的数据（这些数据主要是从前些年的股票收益中取几个样本，接着计算了这些样本的平均值、标准差和协方差，具体计算方法见例6.3。当股票的前景与前几年的不一致时，至少要对一个股票预期收益的相应估计作出调整）。如果投资者预期回报的最低可接受水平为18%，请确定三种股票的最优投资比例，使投资组合的总风险最小。解：（这种情况要求掌握）数学模型：P249电子表格模型：P250结果分析：P251～252例6.4分析过程三种股票的投资比例（决策变量）－－投资组合x1—股票1占总投资的比例x2—股票2占总投资的比例x3—股票3占总投资的比例约束条件：这些比例相加必须等于100％：x1+x2+x3=100％根据每种股票的预期回报率，计算整个投资组合的预期回报：

总预期回报＝21％x1+30％x2+8％x3投资者当前选择的最低可接受水平为：

最低可接受预期回报＝18％总风险(方差)：每种股票的独立风险(系数为方差=标准差的平方)＋两种股票交叉风险（系数为交叉风险＝协方差的2倍），公式为：

Min总风险（方差）＝

(0.25

2)

x12+(0.45

2)

x22+(0.052)

x32+2(0.04)x1x2+2(-0.005)x1x3+2(-0.01)x2x3注意：P249表6-3给的风险系数为标准差和协方差例6.4数学模型（二次）决策变量：三种证券的投资比例（投资组合）x1—股票1占总投资的比例x2—股票2占总投资的比例x3—股票3占总投资的比例目标是总风险（方差）最小：Minz

＝

(0.25

2)

x12+(0.45

2)

x22+(0.052)

x32+2(0.04)x1x2+2(-0.005)x1x3+2(-0.01)x2x3约束条件：预期回报：21％x1+30％x2+8％x3

18％总比例：x1+x2+x3＝100％且 非负： x1，x2，x3

0这个模型的目标函数是边际收益递减的，且是二次的，所以是一个二次规划问题。是一个比较简单的非线性规划问题。例6.4

电子表格模型目标函数：Min总风险（方差）-------非线性，公式复杂结果：总风险(方差

2

)=0.0238，总风险(标准差

)=15.4%<预期回报()

＝18％（说明投资组合最终获得的实际收益不大可能为负）求总风险（方差）的一种简便方法由于目标函数“总风险（方差）”的公式是非线性的，也复杂，希望找到一种不容易出错且简便的办法构造协方差矩阵（方差、协方差）总风险（方差）=

SUMPRODUCT（MMULT（投资组合,协方差矩阵）,投资组合）注意:在输入此公式时,要在“投资组合”中先输入数据，如0寻找成本（风险）和收益（预期回报）之间的最佳平衡P251利用多次运行“规划求解”工具，将结果记录在一个表中，表格中给出了当预期回报最低可接受水平在某个范围（8％－30％，每隔2％）变动时，分别获得模型最优解时的预期回报与风险（表中还包括三种股票的投资比例）画总风险（标准差）和总预期回报的X-Y平滑散点图（曲线）投资者需要在表格和曲线中决定哪个投资组合在预期回报和风险之间提供了最佳平衡。6.2.2运用非线性规划优化

有价证券投资组合例6.5

某投资公司的最优投资组合管理。某公司正在对资产进行股票的投资组合，要投资的股票包括一只科技股、一只银行股、一只能源股。公司的金融分析师已经收集了数据，并估计了有关这些股票的收益率的期望值，以及有关这些股票的标准差和相关系数信息，具体如表6-5所示。如果公司预期回报的最低可接受水平为11%，请确定三种股票的最优投资比例，使投资组合的总风险最小。解：数学模型：P253电子表格模型：P2546.3可分离规划在二次规划中，讨论了边际收益递减的非线性规划问题。这里讨论的仍是边际收益递减的非线性规划问题，区别在于利润或成本曲线是分段直线。对于利润或成本曲线是分段直线并且边际收益递减的非线性规划问题，可利用可分离规划技术将问题转换成相应的线性规划问题。这有助于非常有效地求解模型，并且可以对线性规划问题进行灵敏度分析。可分离规划技术为利润或成本曲线上的每一段直线引入新的决策变量，以代替原来的单一决策变量。也就是为利润曲线（成本曲线）的每个线段给出一个分离的决策变量。6.3可分离规划