辽宁省丹东某中学2023-2024学年中考数学模试卷（含解析）

辽宁省丹东第九中学2023-2024学年中考数学模试卷

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1.1903年、英国物理学家卢瑟福通过实验证实，放射性物质在放出射线后，这种物质的质量将减少，减少的速度开

始较快，后来较慢，实际上，放射性物质的质量减为原来的一半所用的时间是一个不变的量，我们把这个时间称为此

种放射性物质的半衰期，如图是表示镭的放射规律的函数图象，根据图象可以判断，镭的半衰期为（）

2.下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）

A.直角梯形B.平行四边形C.矩形D.正五边形

3.把三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个三角形，第②个图案中有4个三角形，第③个图案中

有8个三角形，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中三角形的个数为（）

△ZX\d/m

①②③④

A.15B.17C.19D.24

f2x-4>0

4.把不等式组.八的解集表示在数轴上，正确的是（）

3—%>0

5.据调查，某班20为女同学所穿鞋子的尺码如表所示,

尺码（码）3435363738

人数251021

则鞋子尺码的众数和中位数分别是（）

A.35码，35码B.35码，36码C.36码，35码D.36码，36码

6.已知二次函数y=3（x-1）2+k的图象上有三点A（^2,yi）,B（2,yz）,C（-逐，y3）,则yi、y2、y3的大小

关系为（）

A.yi>y2>y3B.y2>yi>y3C.ys>yi>y2D.y3>yz>yi

7.下图是由八个相同的小正方体组合而成的几何体，其左视图是（）

8.某居委会组织两个检查组，分别对“垃圾分类”和“违规停车”的情况进行抽查.各组随机抽取辖区内某三个小区中的

一个进行检查，则两个组恰好抽到同一个小区的概率是（）

9."―*般的，如果二次函数y=ax2+^x+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程有两个不相等的

实数根.——苏科版《数学》九年级（下册）P21”参考上述教材中的话，判断方程好-2x=，-2实数根的情况是（）

X

A.有三个实数根B.有两个实数根C.有一个实数根D.无实数根

10.如图1,点P从矩形A5CD的顶点4出发，沿1以、的速度匀速运动到点C,图2是点P运动

时，AAPD的面积Na/）随运动时间x（s）变化而变化的函数关系图象，则矩形ABC。的面积为（）

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11.不等式2x—5<7—(x—5)的解集是.

12.如图，在RSA5C中，ZACB=90°,AC=BC=6cm,动点尸从点A出发，沿A5方向以每秒0c机的速度向

终点5运动；同时，动点。从点8出发沿5c方向以每秒的速度向终点C运动，将APQC沿翻折，点尸的

对应点为点P,设。点运动的时间为，秒，若四边形0PCP为菱形，则，的值为.

13.如图，在x轴的正半轴上依次间隔相等的距离取点Al,A2,A3,A4,…，An,分别过这些点做x轴的垂线与反比

例函数y=L的图象相交于点,P1,P2,P3,P4,…Pn,再分别过P2,P3,P4,…Pn作P2B」A1P1,P3B2，A2P2,P4B3_LA3P3—.,

X

PnBn-1-LAn-lPn-l,垂足分别为Bl,BuB3,B4,…,Bn-1,连接P1P2,P2P3,P3P4,…，Pn-lPn,得到一组RtAP1B1P2,

RtAP2B2P3,RtAP3B3P4,…，RtAPn-iBn-iPn,则RtAPn-lBn-lPn的面积为

14.同学们设计了一个重复抛掷的实验：全班48人分为8个小组，每组抛掷同一型号的一枚瓶盖300次，并记录盖面

朝上的次数，下表是依次累计各小组的实验结果.

1组1〜2组1〜3组1〜4组1〜5组1〜6组1〜7组1〜8组

盖面朝上次数16533548363280194911221276

盖面朝上频率0.5500.5580.5370.5270.5340.5270.5340.532

菊率差前期上的频率折线图

0.56

0.55

0.54

0.53

0.52

组别

根据实验，你认为这一型号的瓶盖盖面朝上的概率为一，理由是:

15.分解因式：4a2-1=.

1

16.分式方程一下一^=0的解为x=.

x+2x-4

17.如图，将周长为8的AABC沿BC方向向右平移1个单位得到ADEF,则四边形ABFD的周长为

三、解答题(共7小题，满分69分)

18.(10分)高考英语听力测试期间，需要杜绝考点周围的噪音.如图，点A是某市一高考考点，在位于A考点南偏

西15。方向距离125米的C点处有一消防队.在听力考试期间，消防队突然接到报警电话，告知在位于C点北偏东75。

方向的F点处突发火灾，消防队必须立即赶往救火.已知消防车的警报声传播半径为100米，若消防车的警报声对听

力测试造成影响，则消防车必须改道行驶.试问：消防车是否需要改道行驶？说明理由.取L732)

北

4

19.(5分)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线丁=履+左与双曲线y=—(x>0)交于点A(l,a).

x

求a,k的值；已知直线I过点。(2,0)且平行于直线y=履+左，点P(m,n)(m>3)

4

是直线/上一动点，过点p分别作X轴、丁轴的平行线，交双曲线y=—(x>0)于点/、N,双曲线在点M、NN

X

间的部分与线段PM、PN所围成的区域(不含边界)记为W.横、纵坐标都是整数的点叫做整点.

①当〃?=4时，直接写出区域W内的整点个数；②若区域W内的整点个数不超过8个，结合图象，求m的取值范围.

20.（8分）如图①，在正方形A5C。的外侧，作两个等边三角形A5E和AO尸，连结EO与歹C交于点则图中

ADE丝ADFC,可知ED=EC,求得ZDMC=.如图②，在矩形ABCD（AB>BC）的外侧，作两个等

边三角形A3E和AOF,连结EO与歹C交于点

（1）求证：ED=FC.

（2）若NAQE=20,求/。WC的度数.

图②

21.（10分）海中有一个小岛P,它的周围18海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点A测得小岛P在北偏

东60。方向上，航行12海里到达B点，这时测得小岛P在北偏东45。方向上.如果渔船不改变航线继续向东航行，有

没有触礁危险？请说明理由.

22.（10分）近几年“雾霾”成为全社会关注的话题某校环保志愿者小组对该市2018年空气质量进行调查，从全年365

天中随机抽查了50天的空气质量指数（AQD,得到以下数据：43、62、80、78、46、78、23、59、32、78、86、125、

98、116,86、69、28、43、58、87、75、116、178、146、57、26、43、59、77、103、126、159、201、289、315、

253、196、102、93、72、56、43、39、44、47、34、31、29、43、1.

（1）请你完成如下的统计表;

AQI0〜5051-100101〜150151〜200201〜250300以上

质量等级A（优）B（良）C（轻度污染）D（中度污染）E（重度污染）F（严重污染）

天数

(2)请你根据题中所给信息绘制该市2018年空气质量等级条形统计图；

(3)请你估计该市全年空气质量等级为“重度污染”和“严重污染”的天数.

23.(12分)如图，AB是。。的直径，D、D为OO上两点，CFLAB于点F,CE_LAD交AD的延长线于点E,且

CE=CF.

(1)求证：CE是。O的切线；

(2)连接CD、CB,若AD=CD=a,求四边形ABCD面积.

24.(14分)如图，△ABC中，AB=AC,以AB为直径的。O交BC边于点D,连接AD,过D作AC的垂线，交AC

边于点E,交AB边的延长线于点F.

(1)求证：EF是。O的切线；

(2)若NF=30。，BF=3,求弧AD的长.

参考答案

一、选择题(每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分)

1、B

【解析】

根据半衰期的定义，函数图象的横坐标，可得答案.

【详解】

由横坐标看出1620年时，镭质量减为原来的一半，

故镭的半衰期为1620年，

故选B.

【点睛】

本题考查了函数图象，利用函数图象的意义及放射性物质的半衰期是解题关键.

2、D

【解析】分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念结合矩形、平行四边形、直角梯形、正五边形的性质求解.

详解：A.直角梯形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误；

B.平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；

C.矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；

D.正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项正确.

故选D.

点睛：本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴折叠后可重合;

中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180。后与原图形重合.

3、D

【解析】

由图可知：第①个图案有三角形1个，第②图案有三角形1+3=4个，第③个图案有三角形1+3+4=8个，第④个图案

有三角形1+3+4+4=12,…第n个图案有三角形4(n-1)个(n>l时)，由此得出规律解决问题.

【详解】

解：解：•••第①个图案有三角形1个，

第②图案有三角形1+3=4个，

第③个图案有三角形1+3+4=8个，

...第n个图案有三角形4(n-1)个(n>l时)，

则第⑦个图中三角形的个数是4x(7-1)=24个，

故选D.

【点睛】

本题考查了规律型：图形的变化类，根据给定图形中三角形的个数，找出an=4(n-1)是解题的关键.

4、A

【解析】

分别求出各个不等式的解集，再求出这些解集的公共部分并在数轴上表示出来即可.

【详解】

2x-4>00

[3-X>0(2)

由①，得史2,

由②，得xVl,

所以不等式组的解集是：2WxVl.

不等式组的解集在数轴上表示为：

---，6-->.

01234

故选A.

【点睛】

本题考查的是解一元一次不等式组.熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此

题的关键.

5、D

【解析】

众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最

中间的一个数(或两个数的平均数)为中位数.

【详解】

数据36出现了10次，次数最多，所以众数为36,

一共有20个数据，位置处于中间的数是：36,36,所以中位数是(36+36)+2=36.

故选D.

【点睛】

考查中位数与众数，掌握众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；找中位数要把数据按从小

到大的顺序排列，位于最中间的一个数(或两个数的平均数)为中位数是解题的关键.

6、D

【解析】

试题分析：根据二次函数的解析式y=3(x—l)2+k,可知函数的开口向上，对称轴为x=L根据函数图像的对称性，

可得这三点的函数值的大小为y3>y2>yi.

故选D

点睛：此题主要考查了二次函数的图像与性质，解题时先根据顶点式求出开口方向，和对称轴，然后根据函数的增减

性比较即可，这是中考常考题，难度有点偏大，注意结合图形判断验证.

7、B

【解析】

解：找到从左面看所得到的图形，从左面可看到从左往右三列小正方形的个数为：2,3,1.

故选B.

8、C

【解析】

分析：将三个小区分别记为A、B、C,列举出所有情况即可，看所求的情况占总情况的多少即可.

详解：将三个小区分别记为A、B、C,

列表如下：

ABc

A(A,A)(B,A)(C,A)

B(A,B)(B,B)(C,B)

C(A,C)(B,C)(C,C)

由表可知，共有9种等可能结果，其中两个组恰好抽到同一个小区的结果有3种，

31

所以两个组恰好抽到同一个小区的概率为1=（.

故选：C.

点睛：此题主要考查了列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树

状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验.用到的知识点为：概率=所求

情况数与总情况数之比.

9、C

【解析】

试题分析：由X：得=即是判断函数）=（X-D*与函数）=，-1的

XXXX

图象的交点情况.

x1-2x=--2

x

x11-1

x

因为函数=（、-：，：与函数=-:的图象只有一个交点

X

所以方程-2--':只有一个实数根

故选c.

考点：函数的图象

点评：函数的图象问题是初中数学的重点和难点，是中考常见题，在压轴题中比较常见，要特别注意.

10、C

【解析】

由函数图象可知AB=2x2=4,BC=(6-2)x2=8,根据矩形的面积公式可求出.

【详解】

由函数图象可知AB=2x2=4,BC=(6-2)x2=8,

•••矩形ABC。的面积为4x8=32,

故选:C.

【点睛】

本题考查动点运动问题、矩形面积等知识，根据图形理解AABP面积变化情况是解题的关键，属于中考常考题型.

二、填空题(共7小题，每小题3分，满分21分)

17

11、xV—

3

【解析】

1717

解：去括号得：2x-5<7-x+5,移项、合并得：3x<17,解得：x<—.故答案为：x<—.

33

12、1

【解析】

作PD_LBC于D,PE_LAC于E,如图，AP=&t,BQ=tcm,(0<t<6)

VZC=90°,AC=BC=6cm,

.'.△ABC为直角三角形，

；.NA=NB=45。，

AAPE和^PBD为等腰直角三角形，

/.PE=AE=—AP=tcm,BD=PD,

2

.\CE=AC-AE=(6-t)cm,

•••四边形PECD为矩形，

.\PD=EC=(6-t)cm,

BD=(6-t)cm,

AQD=BD-BQ=(6-It)cm,

在RtAPCE中，PC5E1+CEW+(6-t)1,

在RtAPDQ中,PQi=PD】+DQi=(6-t)4(6-It)1,

•••四边形QPCP，为菱形,

/.PQ=PC,

•*.t1+(6-t)三(6-t)】+(6-It)I

.,.ti=l,ti=6(舍去),

At的值为1.

故答案为1.

【点睛】

此题主要考查了菱形的性质，勾股定理，关键是要熟记定理的内容并会应用.

]

13、

2n(n-l)

【解析】

解：设OA1=A1A2=A2A3=...=An-iAn-1=An-iAn=a,

•・•当x=a时，y=-，Pi的坐标为(a,-),

a9a

当x=2a时，y=',・・・P2的坐标为(2a,1

---),

2a2a

/.RtAP1B1P2的面积为一•〃•(------),

2a2a

RtAPiBiPj的面积为一•〃•(-------)9

22a3a

RtAP3B3P4的面积为一•〃•(-------),

23a4a

1111

RtAPn-lBn-lPn的面积为二=-xlx(.

2(n—V)ana2n-1n2n(n-1)

1

故答案为:

2n(n-l)

14、0.532,在用频率估计概率时，试验次数越多越接近，所以取1-8组的频率值.

【解析】

根据用频率估计概率解答即可.

【详解】

•.•在用频率估计概率时，试验次数越多越接近，所以取1-8组的频率值，

...这一型号的瓶盖盖面朝上的概率为0.532,

故答案为：0.532,在用频率估计概率时，试验次数越多越接近，所以取1-8组的频率值.

【点睛】

本题考查了利用频率估计概率的知识，解答此题关键是用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来

越精确.

15、(2a+l)(2a-1)

【解析】

有两项，都能写成完全平方数的形式，并且符号相反，可用平方差公式展开.

【详解】

4/-1=(2a+l)(2a-1).

故答案为：(2a+l)(2a-l).

【点睛】

此题考查多项式因式分解，根据多项式的特点选择适合的分解方法是解题的关键.

16、-1

【解析】

【分析】先去分母，化为整式方程，然后再进行检验即可得.

【详解】两边同乘(x+2)(x-2),得：x-2-3x=0,

解得：x=-l,

检验：当x=-l时，(x+2)(x-2)邦，

所以x=-l是分式方程的解，

故答案为：-1.

【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的一般步骤以及注意事项是解题的关键.

17、1.

【解析】

试题解析：根据题意，将周长为8的4ABC沿边BC向右平移1个单位得到△DEF,

贝！|AD=1,BF=BC+CF=BC+1,DF=AC,

X".'AB+BC+AC=1,

/.四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC=L

考点：平移的性质.

三、解答题(共7小题，满分69分)

18、不需要改道行驶

【解析】

解：过点A作AHLCF交CF于点H,由图可知,

,:ZACH=75°-15°=60°,

•••AH=AC.sin60°=125义与=125x=108.25(米).

；AH>]00米，

.•.消防车不需要改道行驶.

过点A作AHLCF交CF于点H,应用三角函数求出AH的长，大于100米，不需要改道行驶，不大于100米，需要

改道行驶.

19、(1)a=4,k-2；(2)①3,②3<mW4.5.

【解析】

4

(1)将41，。)代入y=—可求出a,将A点坐标代入y=H+左可求出k；

x

(2)①根据题意画出函数图像，可直接写出区域W内的整点个数；

②求出直线/的表达式为y=2x-4,根据图像可得到两种极限情况，求出对应的m的取值范围即可.

【详解】

4

解：(1)将41，。)代入y=—得a=4

x

将4(1,4)代入左+左=4,得％=2

(2)①区域W内的整点个数是3

②；直线/是过点。(2,0)且平行于直线y=2x+2

二直线/的表达式为y=2x—4

当2x—4=5时，即尤=4.5线段PM上有整点

3<m<4.5

■《•

•••|•

0I>>4I9<I1

【点睛】

本题考查了待定系数法求函数解析式以及函数图像的交点问题，正确理解整点的定义并画出函数图像，运用数形结合

的思想是解题关键.

20、阅读发现:90。；(1)证明见解析；(2)100°

【解析】

阅读发现：只要证明/0/。=/0。/=/4。后=4正£)=15，即可证明.

拓展应用：(1)欲证明包>=/。，只要证明.ADEgZiDFC即可.

(2)根据ZDMC=ZFDM+ZDFC=ZFDA+ZADE+ZDFC即可计算.

【详解】

解：如图①中，四边形A8C。是正方形，

：.AD=AB=CD,ZADC=90，

一ADE”ADFC,

；.DF=CD=AE=AD,

-ZFDC=60+90=150，

ZDFC=ZDCF=ZADE=ZAED=15，

:.ZFDE^60+15=75，

NMFD+ZFDM=90，

:.ZFMD=90，

故答案为90

(1)ABE为等边三角形,

.-.ZEAB=60，EA=AB.

AZ)户为等边三角形，

ZFDA=60，AD=FD.

四边形A3。为矩形，

ZBAD=ZADC^90.DC=AB.

EA—DC.

NEAD=NEAB+NBAD=150，ZCDF=ZFDA+ZADC=150，

：.ZEAD^ZCDF.

在石4。和_8歹中，

AE=CD

<ZEAD=ZFDC,

AD=DF

EAD^CDF.

:.ED=FC；

(2)EAD^CDF,

:.ZADE=ZDFC=20,

ZDMC=ZFDM+ZDFC=ZFDA+ZADE+ZDFC=60+20+20=100.

【点睛】

本题考查全等三角形的判定和性质、正方形的性质、矩形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，利用全

等三角形的寻找解决问题，属于中考常考题型.

21、有触礁危险，理由见解析.

【解析】

试题分析：过点尸作于O,在RtAPBO和RtAHLO中，根据三角函数AZ),80就可以用尸。表示出来，根

据45=12海里，就得到一个关于尸。的方程，求得PD从而可以判断如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触

礁危险.

试题解析：有触礁危险.理由：过点尸作POLAC于。.

设PD为x,

在RtAPBD中，ZPBD=90°-45°=45°.

'.BD=PD=x.

在RtAPAD中,

■:NftW=90°-60°=30°

:.AD----=A/3X

tan30°

'：AD=AB+BD

6x=12+x

/.x=p=6(V3+1)

V3-1

V6(73+1)<18

二渔船不改变航线继续向东航行，有触礁危险.

【点睛】本题主要考查解直角三角形在实际问题中的应用，构造直角三角形是解题的前提和关键.

22、(1)补全统计表见解析；(2)该市2018年空气质量等级条形统计图见解析；(3)29天.

【解析】

(1)由已知数据即可得；

(2)根据统计表作图即可得；

(3)全年365天乘以样本中“重度污染”和“严重污染”的天数和所占比例.

【详解】

(1)补全统计表如下：

AQI0〜5051〜100101—150151〜200201〜250300以上

质量等级A（优）B（良）c（轻度污染）D（中度污染）E（重度污染）F（严重污染〕

天数16207331

（3）估计该市全年空气质量等级为“重度污染”和“