中考数学必刷压轴题：抛物线之等腰直角三角形等线段旋转（含解析）

中考数学抛物线压轴题之等腰三角形

1.如图，抛物线y=ax，bx+c(a^O)与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C(0,3),且OB=OC.直线y

=x+l与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E,点Q是抛物线的顶点，设直线AD上方的抛物线上的动点

P的横坐标为m.

(1)求该抛物线的解析式及顶点Q的坐标.

(2)连接CQ,直接写出线段CQ与线段AE的数量关系和位置关系.

(3)连接PA、PD,当m为何值时S△涧=25惭？

2

(4)在直线AD上是否存在一点H,使^PQU为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存

在，请说明理由.

备用图

2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax'+bx+c的图象与x轴交于A(4,0),B两点，与y轴交于点

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)直线y=kx+l(kWO)与y轴交于点E,与抛物线交于点、P,Q(点P在y轴左侧，点Q在y轴右侧),

连接CP,CQ,若△CPQ的面积为逐，求点P,Q的坐标；

(3)在(2)的条件下，连接AC交PQ于G,在对称轴上是否存在一点K,连接GK,将线段GK绕点G顺时

针旋转90°,使点K恰好落在抛物线上？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由.

3.【模型建立】

如图1,等腰直角三角形ABC中，ZACB=90°,CB=CA,直线ED经过点C,过A作ADLED于点D,过B作

BE1ED于点E.

求证：Z\BECgZ^CDA；

【模型应用】

①已知直线L：y=9x+4与x轴交于点A,与y轴交于点B,将直线L绕着点A逆时针旋转45°至直线h,

3

如图2,求直线k的函数表达式；

②如图3,在平面直角坐标系中，点B(8,6),作BAJ_y轴于点A,作BC_Lx轴于点C,P是线段BC上的一

个动点，点Q是直线y=2x-6上的动点且在第一象限内.问点A、P、Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰

直角三角形，若能，请直接写出此时点Q的坐标，若不能，请说明理由.

4.已知，一次函数y=-3x+6的图象与x轴、y轴分别交于点A、点B,与直线y=$x相交于点C.过点

44

B作x轴的平行线1.点P是直线1上的一个动点.

（1）求点A,点B的坐标.

（2）若SA\OC=S^BCP,求点P的坐标.

（3）若点E是直线y=5x上的一个动点，当4APE是以AP为直角边的等腰直角三角形时，求点E的坐标.

4

5.如图1,抛物线的顶点A的坐标为(1,4),抛物线与x轴相交于B,C两点，与y轴交于点D(0,3).

(1)求抛物线的表达式以及点B的坐标；

(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使得DP+CP最小，如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，

请说明理由.

(3)点Q是线段BD上方抛物线上的一个动点.过点Q作x轴的垂线，交线段BD于点E,再过点Q作QF〃

x轴交抛物线于点F,连结EF,请问是否存在点Q使△QEF为等腰直角三角形？若存在，求出点Q的坐标;

若不存在，说明理由.

6.如图①，抛物线y=^x2-ax-3“交轴于A、B两点，交y轴于点C,点D为点C关于抛物线对称轴

44

的对称点.

(1)若点P是抛物线上位于直线AD下方的一个动点，在y轴上有一动点E,x轴上有一动点F,当APAD

的面积最大时，一动点G从点P出发以每秒1个单位的速度沿P-E-F的路径运动到点F,再沿线段FB以

每秒2个单位的速度运动到B点后停止，当点F的坐标是多少时，动点G的运动过程中所用的时间最少？

(2)如图②，在(1)问的条件下，将抛物线沿直线PB进行平移，点P、B平移后的对应点分别记为点P'、

B',请问在y轴上是否存在一动点Q,使得△P'QB'为等腰直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件

的Q点坐标；若不存在，请说明理由.

7.x,y是一个函数的两个变量，若当aWxWb时，有aWyWb(a<b),则称此函数为aWxWb上的闭函

数.如y=-x+3,当x=l时y=2；当x=2时y=l,即当1WXW2时，lWyW2,所以y=-x+3是iWx

W2上的闭函数.

(1)请说明y图是1<XW30上的闭函数；

X

(2)已知二次函数y=x?+4x+k是tWxW-2上的闭函数，求k和t的值；

(3)在(2)的情况下，设A为抛物线顶点，B为直线x=t上一点，C为抛物线与y轴的交点，若△ABC为

等腰直角三角形，请直接写出它的腰长为.

x

8.如图1,抛物线的顶点A的坐标为(1,4),抛物线与x轴相交于B,C两点，与y轴交于点D(0,3).

(1)求抛物线的表达式以及点B的坐标；

(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使得DP+CP最小，如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，

请说明理由.

(3)点Q是线段BD上方抛物线上的一个动点.过点Q作x轴的垂线，交线段BD于点E,再过点Q作QF〃

x轴交抛物线于点F,连结EF,请问是否存在点Q使△QEF为等腰直角三角形？若存在，求出点Q的坐标;

若不存在，说明理由.

备用图

9.如图1,抛物线y=2x?-8x+1的顶点为D,它与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点

2

C,连结BC.

(1)求线段BC的长；

(2)若点P是直线BC下方抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点E.当PE+返BE的值

2

最大时，在y轴上取一点F,求4FPD周长的最小值；

(3)如图2,当(2)中PE+返BE的值最大时，将aAEB绕点A逆时针旋转90°,记旋转后的三角形为△

2

AB'E'.点G是抛物线对称轴上的点，过x轴上一点H作y轴的平行线，分别交直线B'E'和抛物线于点M、

N,是否存在点H,使△GMN是以点M为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足条件的点H

的坐标；若不存在，请说明理由.

图1图2

10.如图一，已知抛物线y=ax、bx+c的图象经过点A(0,3)、B(1,0),其对称轴为直线1:x=2,过点

A作人(：〃*轴交抛物线于点C,NA0B的平分线交线段AC于点E,点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标

为m.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO,当m为何值时，四边形A0PE面积最大，并求出其

最大值；在四边形AOPE面积最大时，在线段OE上取点M,在y轴上取点N,当PM+MN+返AN取最小值时,

2

求出此时N点的坐标.

(3)如图二，F是抛物线的对称轴1上的一点，在抛物线上是否存在点P,使aPOF成为以点P为直角顶点

的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

11.如图，抛物线y=ax?+bx+2交x轴于点A(-3,0)和点B(1,0),交y轴于点C.

(1)求这个抛物线的函数表达式.

(2)点D的坐标为(-1,0),点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP面积的最大值.

(3)点M为抛物线对称轴上的点，问：在抛物线上是否存在点N,使AMNO为等腰直角三角形，且NMNO为

直角？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

备用图

12.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=1巨X2驾Rx+2、历与x轴交于点A,点B(点A在点B的

左侧)，与y轴交于点C,抛物线的对称轴与x轴交于点E.

(1)点D是线段AC上方抛物线上一动点，连接AC、DC、DA,过点B作AC的平行线，交DA延长线于点F,

连接CF,当4DCF的面积最大时，在抛物线的对称轴上找一点Q,使得DQ+」QE的值最小，求出此时Q点的

2

坐标.

(2)将aOBC绕点0逆时针旋转至△(»©,点B、C的对应点分别是B“C,且点R落在线段BC上，再将

△OBQ沿y轴平移得△OB©,其中直线0C与x轴交于点K,点T为抛物线对称轴上的动点，连接KT、T0”

△OiKT能否成为以6K为直角边的等腰直角三角形？若能，请求出所有符合条件的T点的坐标；若不能，请

说明理由.

13.如图，抛物线y=&x?』x+3与X轴交于点A和点B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C,连结

55

BC.

(1)如图1,点N为抛物线上的一动点，且位于直线BC上方，连接CN、BN.点P是直线AB上的动点.当

△NBC面积取得最大值时，求出点N的坐标及aNBC面积的最大值，并求此时PN+CP的最小值；

(2)如图2,点M、P分别为线段BC和线段0B上的动点，连接PM、PC,是否存在这样的点P,使APCM为

等腰三角形，△PMB为直角三角形同时成立？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

14.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x?+2x-3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧)，与y轴

交于点C,对称轴为直线1,点D(-4,n)在抛物线上.

(1)求直线CD的解析式；

(2)E为直线CD下方抛物线上的一点，连接EC,ED,当4ECD的面积最大时，在直线1上取一点M,过M

作y轴的垂线，垂足为点N,连接EM,BN,若EM=BN时，求EM+MN+BN的值.

(3)将抛物线y=x?+2x-3沿x轴正方向平移得到新抛物线y',y'经过原点0,y'与x轴的另一个交点

为F,设P是抛物线y'上任意一点，点Q在直线1上，aPFQ能否成为以点P为直角顶点的等腰直角三角

形？若能，直接写出点P的坐标，若不能，请说明理由.

图1图2图3

15.如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y=-工*2+3*+4与x轴交于A,B两点(点A在点B左侧)，与

42

(1)求抛物线的对称轴及AABC的周长；

(2)点D是线段AC的中点，过点D作BC的平行线，分别与x轴、抛物线交于点E、F,点P为直线BC上

方抛物线上的一动点，连接PD交线段BC于点G,当四边形PGEF面积最大时，点Q从点P出发沿适当的路

径运动到x轴上的点\1处，再沿射线DF方向运动遍个单位到点N处，最后回到直线BC上的点II处停止,

当点Q的运动路径最短时，求点Q的最短运动路径长及点H的坐标；

(3)如图2,将△△()(：绕点0顺时针旋转至△AQG的位置，点A、C的对应点分别为点儿、Ci,且点儿落在

线段AC上，再将△AQG沿y轴平移得△由0心2,其中直线0C与x轴交于点K,点T是抛物线对称轴上的动

点，连接KT、0,T,△OiKT能否成为以UK为直角边的等腰直角三角形？若能，请直接写出所有符合条件的

点T的坐标；若不能，请说明理由.

16.已知：如图，直线y=-x-3交坐标轴于A、C两点，抛物线y=x°+bx+c过A、C两点，

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点P为抛物线位于第三象限上一动点，连接PA,PC,试问4PAC的面积是否存在最大值，若存在,

请求出AAPC面积的最大值，以及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)点M为抛物线上一点，点N为抛物线对称轴上一点，若△NMC是以NNMC为直角的等腰直角三角形，

请直接写出点M的坐标.

图1备用图1管用图2

17.如图，抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A、B(A在B左侧)，与y轴交于点C(0,-3),点D

为抛物线的顶点，对称轴x=-l.

(1)求抛物线的解析式；

(2)求aABC的面积；

(3)P是对称轴左侧抛物线上一动点，以AP为斜边作等腰直角三角形，直角顶点M正好落在对称轴上，画

出图形并求出P点坐标.

备用图

18.如图①，已知抛物线y=ax、bx+c的图象经过点A(0,3)、B(1,0),其对称轴为直线1：x=2,过点

A作人(：〃*轴交抛物线于点C,NA0B的平分线交线段AC于点E,点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标

为m.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO,当m为何值时，四边形AOPE面积最大，并求出其

最大值；

(3)如图②，F是抛物线的对称轴1上的一点，在抛物线上是否存在点P使4POF成为以点P为直角顶点

的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

图①图②

19.如图，抛物线y=ax?+bx过A(-4,0),B(-1,3)两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B

作直线BH_Lx轴，交x轴于点H.

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)写出点C的坐标，并求出aABC的面积；

(3)点P是抛物线上一动点，且位于x轴的下方，当4ABP的面积为15时，求出点P的坐标；

(4)若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，当以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，

请直接写出此时点N的坐标.

备用图

20.如图，抛物线y=ax?+bx+3交y轴于点A,交x轴于点B(-3,0)和点C(1,0),顶点为点M.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图，点E为x轴上一动点，若△AME的周长最小，请求出点E的坐标；

(3)点F为直线AB上一个动点，点P为抛物线上一个动点，若ARFP为等腰直角三角形，请直接写出点P

的坐标.

笛用图

21.如图，已知抛物线y=ax'+bx+c(aWO)与x轴交于点A(-l,0),B(4,0),与y轴交于点C(0,4).

(1)求此抛物线的解析式；

(2)设点P(2,n)在此抛物线上，AP交y轴于点E,连接BE,BP,请判断ABEP的形状，并说明理由；

(3)设抛物线的对称轴交x轴于点D,在线段BC上是否存在点Q,使得△DBQ成为等腰直角三角形？若存

在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由.

22.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=Lx?+bx+c与x轴交于A,B两点，点B(3,0),经过点A的

2

直线AC与抛物线的另一交点为C(4,互)，与y轴交点为D,点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点(不

2

与点A,C重合).

(1)求该抛物线的解析式.

(2)过点P作PELAC,垂足为点E,作PF〃y轴交直线AC于点F,设点P的横坐标为t,线段EF的长度

为m,求m与t的函数关系式.

(3)点Q在抛物线的对称轴上运动，当△OPQ是以0P为直角边的等腰直角三角形时，请直接写出符合条件

的点P的坐标.

管用图

23.如图1,直线y=4x+2与X轴、y轴分别交于B、C两点,经过B、C两点的抛物线与x轴的另一交点

（1）求B、C两点的坐标及该抛物线所对应的函数关系式;

（2）P在线段BC上的一个动点（与B、C不重合），过点P作直线a//y轴，交抛物线于点E,交x轴于点F,

设点P的横坐标为m,ABCE的面积为S.

①求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；

②求$的最大值，并判断此时AOBE的形状，说明理由；

（3）过点P作直线b〃x轴（图2）,交AC于点Q,那么在x轴上是否存在点R,使得4PQR为等腰直角三

角形？若存在，请求出点R的坐标；若不存在，请说明理由.

24.已知如图：抛物线y=-Lx2+2x+且与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C,点

22

D为抛物线的顶点，过点D的对称轴交x轴于点E.

(1)如图1,连接BD,试求出直线BD的解析式；

(2)如图2,点P为抛物线第一象限上一动点，连接BP,CP,AC,当四边形PBAC的面积最大时，线段CP

交BD于点F,求此时DF：BF的值；

(3)如图3,已知点K(0,-2),连接BK,将ABOK沿着y轴上下平移(包括△BOK),在平移的过程中直

线BK交x轴于点M,交y轴于点N,则在抛物线的对称轴上是否存在点G,使得△GMN是以MN为直角边的

等腰直角三角形？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由.

图I

图2图3

25.如图1所示，已知抛物线y=-x?+4x+5的顶点为I),与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，E为对

称轴上的一点，连接CE,将线段CE绕点E按逆时针方向旋转90。后，点C的对应点C'恰好落在y轴上.

(1)直接写出D点和E点的坐标；

(2)点F为直线C'E与已知抛物线的一个交点，点H是抛物线上C与F之间的一个动点，若过点H作直

线HG与y轴平行，且与直线C'E交于点G,设点H的横坐标为m那么当m为何值时，S

△BGF=5：6?

(3)图2所示的抛物线是由丫=-/+4*+5向右平移1个单位后得到的，点T(5,y)在抛物线上，点P是

抛物线上。与T之间的任意一点，在线段0T上是否存在一点Q,使△PQT是等腰直角三角形？若存在，求

出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

26.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax%bx-3与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点，直线y

=x-2与x轴交于点D,与y轴交于点C.点P是x轴下方的抛物线上一动点，过点P作PF_Lx轴于点F,

交直线CD于点E,设点P的横坐标为m.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若PE=3EF,求m的值；

(3)连接PC,是否存在点P,使为等腰直角三角形？若存在，请直接写出相应的点P的横坐标m的

值；若不存在，请说明理由.

27.如图，已知直线1：y=^x+2与y轴交于点D,过直线1上一点E作EC，y轴于点C,且C点坐标为

2

(0,4),过C、E两点的抛物线y=-上x、bx+c交x轴于A、B两点(点A在点B的左侧).

3

(1)求抛物线的解析式：

(2)动点Q从点C出发沿线段CE以1单位/秒的速度向终点E运动，过点Q作QFLED于点F,交BD于点

H,设点Q运动时间为t秒，4DFH的面积为S,求出S与t的函数关系式(并直接写出自变量t的取值范

围)；

(3)若动点P为直线CE上方抛物线上一点，连接PE,过点E作EMLPE交线段BD于点M,当APEM是等腰

直角三角形时，求四边形PMBE的面积.

备用图

28.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A(-1,0)和点B(l,0),直线y=2x-l与y轴

交于点C,与抛物线交于点C、D.

(1)求抛物线的解析式；

(2)求点A到直线CD的距离；

(3)平移抛物线，使抛物线的顶点P在直线CD上，抛物线与直线CD的另一个交点为Q,点G在y轴正半

轴上，当以G、P、Q三点为顶点的三角形为等腰直角三角形时，求出所有符合条件的G点的坐标.

29.如图，抛物线Ci：y=ax?+bx-1与x轴交于两点A(-1,0),B(1,0),与y轴交于点C.

(1)求抛物线3的解析式；

(2)若点D为抛物线G上任意一点，且四边形ACBD为直角梯形，求点D的坐标；

(3)若将抛物线C先向上平移1个单位，再向右平移2个单位得到抛物线C2,直线L是第一、三象限的角

平分线所在的直线.若点P是抛物线G对称轴上的一个动点，直线k:x=t平行于y轴，且分别与抛物线

C?和直线匕交于点D、E两点.是否存在直线k,使得4DEP是以DE为直角边的等腰直角三角形？若存在求

出t的值；若不存在说明理由.

30.已知二次函数的图象如图所示.

(1)求它的对称轴与x轴交点D的坐标；

(2)将该抛物线沿它的对称轴向上平移k个单位，设平移后的抛物线与x轴，y轴的交点分别为A、B、C

三点，若NACB=90°,求此时抛物线的解析式；

(3)设(2)中平移后的抛物线的顶点为M,以AB为直径，D为圆心作。D,试判断直线CM与OD的位置关

系，并说明理由.

(4)在(2)的条件下，平行于x轴的直线x=t(0<t<k)分别交AC、BC于E、F两点，试问在x轴上

是否存在点P,使得APEF是等腰直角三角形？若存在，请直接写P点的坐标；若不存在，请说明理由.

■QQ

1.【解答】解：(1)直线y=x+l与抛物线交于A点，则点A(-1,0)、点E(0,1).

VOB-OC,C(0,3),

二点B的坐标为(3,0),

故抛物线的表达式为y=a(x+1)(x-3)=a(x-2x-3),

将点C的坐标代入，得-3a=3,

解得a=-1,

二抛物线的表达式为y=-X2+2X+3,

二函数的对称轴为x=l,故点Q的坐标为(1,4).

(2)CQ=AE,且CQ/7AE,理由：

VQ(1,4),C(0,3),

；.CQ=、]2+(4-3)2=&,

CQ的解析式为y=x+3,

又,:AE=yJ]2+]2=/^,直线AE的解析式为y=x+l,

.,.CQ=AE,CQ〃AE,

y=x+l

(3)V，

y=-x"+2x+3

.•.点D的坐标为(2,3).

如图1,过点P作y轴的平行线，交AD于点K,

y

O

TP『

图1

设点P(m,-m2+2m+3),则点K(m,m+1)

2

...XPKX(xD-xA)=yX3X(-m+2m+3-m-l)=ySADAB=/x4x3.

解得m=0或1.

(4)存在，点P的坐标为(0,3)或(1-&，2).

设点H(t,t+1),点P(m,n),n=-m2+2m+3,而点Q(1,4),

①当NQPH=90。时，

如图2,过点P作y轴的平行线，过点H、点Q作x轴的平行线，交过点P且平行于y轴的直线于点M、G,

VZGQP+ZQPG=90°,ZQPG+ZHPM=90°,

/.ZHPM=ZGQP,ZPGQ=ZHMP=90°,PH=PQ,

/.△PGQ^AHMP(AAS),

APG=MH,GQ=PM,

4-n|=|t-m|,|1-in=|n-(t+1),

解得m=2或n=3.

2

当n=3时，3=-m+2m+3,解得nn=0,m2=2(舍去),

・••点P(0,3).

②当NPQH=90°时，如图3所示，

同理可得皿=0,叱=3（舍去），故点P为（0,3）.

③当NPHQ=90。时，如图4,

解得m=l+&（舍去），012=1-V2.

故点P（1-我，2）.

综上可得，点P的坐标为（0,3）或（1-V2.2）.

2.【解答】解：（1）对称轴x=l,则点B（-2,0）,

则抛物线的表达式为：y=a（x+2）（x-4）=a（x2-2x-8）,即-8a=2,解得：a=

4

2

故抛物线的表达式为:y=-JX^X+2；

（2）设直线PQ交y轴于点E（0,1）,点P、Q横坐标分别为m,n,

△CPQ的面积=*XCEX（n-m）=旄，即n-m=2遥,

联立抛物线与直线PQ的表达式并整理得：二x2+

4

m+n=2-4k,mn=-4,

2

n-m=2旄=（m4n）2_4mn=V（2-4k）+16）

解得：k=0（舍去）或1；

将k=l代入①式并解得：x=-l±V5«

故点P、Q的坐标分别为：（-捉）、（-1+V5«

（3）设点K（1,m）,

联立PQ和AC的表达式并解得：x=2,故点G（2,金）

333

GM=I-1=A=NR,MK=

ooo

故点R的纵坐标为：A,则点R(m-LA)

33

将该坐标代入抛物线表达式解得：x=l+迤，

_3

LJ.V33

故m=2+工^,

3

故点K(1,2+返■).

3

3.【解答】解：(1)证明：:△ABC为等腰直角三角形

/.CB=CA,ZACD+ZBCE=180°-90°=90°

XVAD1CD,BE1EC

.,.ND=/E=90°

XVZEBC+ZBCE=90°

/.ZACD=ZEBC

在AACD与aCBE中，

/D=/E,ZACD=ZEBC,CA=BC,

.,.△ACD^ACBE(AAS)；

(2)过点B作BC±AB交L于C,过C作CD±y轴于D,

,/ZBAC=45O

.1△ABC为等腰RtA

由(1)可知：△CBDgz^BAO

Z.BD=AO,CD=OB

..._4，

・L・yfx+4，

o

令y=0,则x=-3

AA(-3,0),

令x=0,则y=4

/.B(0,4)

/.BD=A0=3,CD=OB=4

.•.OD=4+3=7.

AC(-4,7),

设直线k的解析式为y=kx+b,

将点A(-3,0),C(-4,7)代入y=kx+b中,

得［0=-3k+b

17=-4k+b

解得，k=-7,b=-21,

则I2的解析式：y=-7x-21；

当NAQP=900时，

由(1)知，AAMQ^AQNP(AAS),

.'.AM=QN,即8-m|=6-(2m-6),

解得：m=4或29,

3

故：Q(4,2),(里，玲.

4.【解答】解：(1)一次函数y=-9x+6的图象与x轴、y轴分别交于点A、点B,

4

则点A、B的坐标分别为:(8,0)、(0,6)；

(2)联立y=-2x+6、y=^x并解得：x=3,故点C(3,」立)，

444

SAAOC=—X8X-1^=15=SAKP=—XBPX(yP-yC)=AXBPX(6-至)，

24224

解得：BP=丝，

3

故点P(丝，6)或(-殁，6)

33

(3)设点E(m,至■m)、点P(n,6)；

4

①当NEPA=90。时，如左图，

VZMEP+ZMPE=90°,ZMPE+ZNPA=90°,

ZMEP=ZNPA,AP=PE,VAEMP^APNA(AAS),

则ME=PN=6,MP=AN,

即|m-n|=6,—m-6=8-n,

4

解得：m=丝或16,

9

故点E(丝，—)或(16,20)；

99

②当/EAP=90°时，如右图，

同理可得：A.AMP丝Z\ANE(AAS),

故MP=EN,AM=AN=6,

即§m=n-8,8-m|=6,解得：m=2或14,

故点E(2,—)或(14,—)；

22

综上，E(―,—)或(14,—)或；(2,—)或(16,20).

9922

5.【解答】解：(1)...抛物线的顶点A的坐标为(1,4),

.•.设抛物线的表达式为:y=a(x-1),+4,

把(0,3)代入得：3=a(0-1)?+4,a=-l,

，抛物线的表达式为：y=-(x-1)“'+4=-x?+2x+3；

2

令y=0,-(x-1)+4=0,解得XI=3,X2=-1,

...B的坐标是(3,0),C的坐标是(-1,0)；

(2)存在,

如图1,因为B,C关于对称轴对称，连接BD交对称轴于P,此时DP+CP的值最小,

图1;

VD(0,3),B(3,0),易得BD的解析式为：y=-x+3,

当x=1时，y=-1+3=2,

的坐标是(1,2)；

(3)如图2,存在点Q,使4QEF为等腰直角三角形，

图2

设Q(n,-r+2/3),则E(n,-n+3),F(-n+2,-n2+2n+3),

；.QE=(-n+2n+3)-(-n+3)=-n+3n,QF=12n-2,

；QE_Lx轴、QF〃x轴，

二NEQF=90°,

二当QE=QF时,△QEF为等腰直角三角形,即：-n2+3n=12n-2|,

①"n'+3n=2n-2,

解得：m=-l(不合题意，舍去)，ru=2,

则Q（2,3）；

②-n2+3n=-2n+2,

解得：n-W17>3（不合题意，舍去），门户5-后,

_22

则Q（2叵,听5）,

22__

综上，点Q的坐标为（2,3）或（±22,氏正2）.

22

6.【解答】解：（1）丫=返乂2-9*-3«,令y=0,则x=4^或-遂，

44

故点A、B的坐标分别为（-遍，0）、（4正，0）,

点C（0,-3«）、点D（3加，-3«）,

将点A、D的坐标代入一次函数表达式：y=kx+b并解得：

直线AD的表达式为：y=-3x-3j§,

44

过点作y轴的平行线交AD于点S,

设点P（X,返*2一旦*-3«）,点S（X,X-—V3）

4444

=22+

SAPAD—SPX（XD-XA）=2«（-—x-V3-—x+—x+3V3）x+3V5<—>

2444422

•••一2<0,.飞川册有最大值，当x=-*-=“时，函数取得最大值，

22a

此时点p（J5，-2岁）；

作点P关于y轴的对称点P'（-J3，-2坐），过点B作与X轴负方向夹角为30°的直线BH,

过点P'作PHLBI1交于点H,P'H于y轴、x轴分别交于点E、F,则此时t最小，

图1

.直线BH与x轴负方向夹角为30°,贝UFH=2BF,

2

t=PE+EF+工FB=P'E+EF+FH=P'H,

2

设：直线BH的表达式为：y=-Y3x+s,

3

将点B的坐标代入上式并解得：

直线BH的表达式为：y=-返x+4”•①，

3_

同理可得直线P'H的表达式为：y=J§x+3-等•…②，

则点F(-1-V3.0),

则直线P'H的倾斜角为60°,

联立①②并解得：x=27+2«,24-9但

88

即点H(----Q...3,-----，3”)

88

/0，“27+10

t=P'H=2。(XH-xi-、)=------加-；

4_

故点为F0)时，t最小(町出返)；

24

(2)存在，理由：

同理可得直线PB的表达式为：y=3x-6“，

2

则tan/GB'P'=—=tana,则cosa=,sina=—

2V13V13

P'B'=PB=Y151,则点B'在点P'右侧的距离为：PBcosZa=373，

4

同理点B'在点P'上方的距离为：2返，

2

则设：点P'、B'的坐标分别为：(m,3111-6“)，(m+3«,旦小-且正),

222

①当NB'QP'为直角时，如图(左侧图)，

图2

过点B'作B'G，y轴于点G,

VZB,QG+NP'0H=90°,ZB(QG+NGB'Q=90°,.\ZGB,Q=NP'OH,

NB'GQ=ZQHP,=90°,QP'=QB',

△B,GQ^AQHPZ(AAS),则B'G=OH,GQ=P'H,

即:_n=m,m+3-73-n--|-m+6-73>

解得：m=,n=-9y；

48_

同理当直线向下平移时：n=-空巨；

8

②当/QB'P'为直角时，

同理可得：m+3-73_n）=n-—m+-1-^3'—n>_-—m+6-\［2=m+3yf2>

22222）

解得：m=2返，n=型巨，

24_

同理当直线向下平移时：n=-反返；

4

③当NQP'B'为直角时，

经验证同②重复;

综上，点Q的坐标为：（0,--V3）或（0，V3）或（0,^5）或（0,

8844

7.【解答】解：（1）•；k=30,

/.当1WXW30时，y随x的增大而减小.

当x=l时，y=30；

当x=30时,y=l.

・・・lWyW30.

二反比例函数ya是1WXW30上的闭函数；

X

（2）•；x=--^-=-2,a=l>0,

2a

.•.二次函数y=x，4x+k在闭区间［t,-2］上y随x的增大而减小.

•.•二次函数y=X、4x+k是闭区间［t,-2］上的“闭函数”,

二当x=-2时，y=k-4；当x=t时，y=t，4t+k.

k-4=t

,t2+4t+k=-2

k[=lk2

解得，2~

t[=-3

t2=-2

Vt<-2,

k2=2

,舍去,

t2=-2

.'.k=l,t=-3.

(3)由(2)知，抛物线解析式为：y=x，4x+l,或y=(x+2)2-3

由二次函数的图象交y轴于C点，A为此二次函数图象的顶点，得

A(-2,-3),C(0,1).

设B(-3,a),

由勾股定理，得AC2=2?+(-3-1)2=20,AB2=(-2+3)2+(-3-a)2=10+6a+a2,BC2=32+(1-a)2

10-2a+a2

①当/ABC=90°时，AC2=AB2+BC2,即20=10+6a+a、10-2a+a\贝!1a=0.

此时AB2=BC2=10,故AB=BC=J75；

②当NACB=90。时，AB2=AC2+BC-,此时a=$,而ACWBC,不满足条件，舍去.

③同理，当NBAC=90°时也不满足条件.

综上所述，AABC的腰长为，而.

故答案是：Vw.

8.【解答】解：(1)•..抛物线的顶点A的坐标为(1,4),

.•.设抛物线的表达式为:y=a(x-1),+4,

把(0,3)代入得：3=a(0-1)?+4,a=-1,

二抛物线的表达式为:y=-(x-1)-+4=-X2+2X+3；

2

令y=0,-(x-1)+4=0,解得XI=3,X2=-1,

...B的坐标是(3,0),C的坐标是(-1,0)；

(2)存在,

如图1,因为B,C关于对称轴对称，连接BD交对称轴于P,此时DP+CP的值最小,

图1;

VD(0,3),B(3,0),易得BD的解析式为：y=-x+3,

当x=1时，y=-1+3=2,

的坐标是(1,2)；

(3)如图2,存在点Q,使4QEF为等腰直角三角形，

图2

设Q(n,-r+2/3),则E(n,-n+3),F(-n+2,-n2+2n+3),

；.QE=(-n+2n+3)-(-n+3)=-n+3n,QF=12n-2,

；QE_Lx轴、QF〃x轴，

二NEQF=90°,

二当QE=QF时,△QEF为等腰直角三角形,即：-n2+3n=12n-2|,

①"n'+3n=2n-2,

解得：m=-l(不合题意，舍去)，ru=2,

则Q（2,3）；

②-n2+3n=-2n+2,

解得：n,=Wn>3（不合题意，舍去），n尸5-A,

_22

则Q（三叵听5）.

22__

综上，点Q的坐标为（2,3）或（±22,氏正2）.

22

9.【解答】解：⑴抛物线y=2x?-8x+/•的顶点为D,它与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y

轴交于点C,

则点A、B、C的坐标分别为：（工，0）、（工，0）、（0,工），

222

BC-N1；

2

（2）设点P（m,2m2-8m+—）,

2

由B、C的坐标得直线BC的表达式为：y=-x/,则直线BC的倾斜角为45°,

则点E（m,-m+—）,