2024-2025学年安徽省蚌埠二中高二（上）开学数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年安徽省蚌埠二中高二（上）开学数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z满足(1−i)z=1+i，其中i为虚数单位，则z=(

)A.i B.−i C.1+i D.1−i2.△ABC是边长为1的正三角形，那么△ABC的斜二测平面直观图△A′B′C′的面积为(

)A.34 B.38 C.3.已知l，m表示不同的直线，α，β表示不同的平面，则下列说法正确的是(

)A.若l//α，且l//β，则α//β

B.若α⊥β，l⊥β，m//α，则m//l

C.若m⊥n，m⊥α，n//β，则α⊥β

D.若α⊥β，l⊥β，l⊄α，则l//α4.已知函数f(x)=sin(x+φ)+3cosA.33 B.−33 5.根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是(

)A.a=8，b=16，A=30°，有两解

B.b=18，c=20，B=60°，有一解

C.a=30，b=25，A=150°，有一解

D.a=5，c=2，A=90°，无解6.已知圆锥的顶点为P，侧面面积为45π，母线长为25,O为底面圆心，A，B为底面圆O上的两点，且∠AOB=π3A.510 B.−510 7.已知函数f(x)=sin(ωx−π3)(ω>0)在区间[0,π3]A.1 B.2 C.3 D.48.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA1−sinA=1+cos2Bsin2B，则2asinC+5cA.23 B.62 C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.关于函数f(x)=2sin(2x−π3)+1，下列结论正确的是A.(π6,0)是f(x)的一个对称中心

B.函数f(x)在(0,π6)上单调递增

C.函数f(x)图像可由函数g(x)=2cos2x+1的图像向右平移5π12个单位得到

10.已知a≠e,|e|=1，满足：对任意t∈R，恒有A.a⋅e=0 B.e⋅(a−11.如图，若正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，线段A.直线AC1与平面ABCD的夹角的余弦值为63

B.当E与D1重合时，异面直线AE与BF所成角为π3

C.平面C1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若tanθ=2，则sinθ(cosθ−sinθ)=______．13.已知三棱台ABC−A1B1C1的体积为V，记上底面A1B1C1、下底面ABC的面积分别为S1，S14.△ABC中，AB=AC=8，延长线段AB至D，使得∠A=2∠D，则BD+BC的最大值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知|a|=2,|b|=3，且a⋅b=−4．

(1)若(a+kb)⊥16.(本小题15分)

已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图像如图所示．

(1)求函数f(x)的解析式及对称中心；

(2)求函数f(x)在[π12,π2]上的值域．

(3)先将f(x)的图像纵坐标缩短到原来的12倍，再向左平移π12个单位后得到17.(本小题15分)

如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，△ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，∠APC=90°．

(1)证明：平面PAB⊥平面PAC；

(2)设DO=2，圆锥的侧面积为3π18.(本小题17分)

如图，△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinC+3acosC−3(b+c)=0，D为线段BC上一点，且BD=2DC．

(1)求角A；

(2)若AD=3，求19.(本小题17分)

已知三棱锥P−ABC的棱AP、AB、AC两两互相垂直，且AP=AB=AC=43．

(1)若点M、N分别在线段AB、AC上，且AM=MB，AN=3NC，求二面角P−MN−A的余弦值；

(2)若以顶点P为球心，8为半径作一个球，球面与该三棱锥P−ABC的表面相交，试求交线长是多少？

答案解析1.A

【解析】解：∵(1−i)z=1+i，

∴z=1+i1−i=(1+i)2(1−i)(1+i)=i．2.D

【解析】解：正三角形ABC的边长为1，故面积为34，而原图和直观图面积之间的关系S直观图S原图=24，3.D

【解析】解：对于A：若l//α且l//β，则α//β或α与β相交，故A错误；

对于B：若α⊥β，l⊥β，则l//α或l⊂α，又m//α，

当l//α，则l与m平行或相交或异面，

当l⊂α，则l与m平行或异面，故B错误；

对于C：若m⊥α，m⊥n，则n//α或n⊂α，

又n//β，所以α//β或α与β相交(不垂直)或α⊥β，故C错误；

对于D：若α⊥β，l⊥β，则l//α或l⊂α，又l⊄α，所以l//α，故D正确．

故选：D．

根据空间中线面、面面的位置关系一一判断即可．

本题考查空间中线面、面面的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．4.D

【解析】解：因为函数f(x)为奇函数，则f(0)=sinφ+3cosφ=2sin(φ+π3)=0，

所以φ+π3=kπ，k∈Z，解得φ=kπ−π3，k∈Z，

tanφ=tan(kπ−5.C

【解析】解：对于A，由正弦定理有，asinA=bsinB，解得sinB=bsinAa=16×128=1，则B=90°，此时三角形有唯一解，错误；

对于B，由正弦定理有，bsinB=csinC，解得sinC=csinB6.A

【解析】解：设底面半径为r，又母线长为l=25，侧面面积为45π，

所以πrl=45π，即πr×25=45π，解得r=2，

则OP=(25)2−22=4，

取OP、OB、AB的中点E、G、F，连接EG、GF、EF、OF，

则EG/​/PB且EG=12PB=5，GF//OA且GF=12OA=1，OF=22−12=3，

所以∠EGF为直线OA与PB所成角(或补角)，

又EF=OE2+OF2=22+(3)7.B

【解析】解：0≤x≤π3，则ωx−π3∈[−π3,π3ω−π3]，

①若π3ω−π3≤π2，即0<ω≤52时，f(x)在[0,π3]单调递增，

f(x)max=f(π3)=sin(π3ω−π3)=ω8.C

【解析】解：cosA1−sinA=1+cos2Bsin2B=2cos2B2sinBcosB=cosBsinB，得cosB−cosBsinA=sinBcosA，

即cosB=sinBcosA+cosBsinA=sin(B+A)=sinC，

△ABC中，cosB=sinC>0，由1−sinA≠0，则A≠π2，C≠π2−B，所以C=π2+B，

sinA=sin(π−B−C)=sin[π−B−(π2−B)]=sin(π2−2B)=cos2B，

9.BC

【解析】解：A选项：由f(x)=2sin(2x−π3)+1，令2x−π3=kπ，k∈Z，解得x=π6+k2π，k∈Z，所以其对称中心为(π6+k2π,1)，所以(π6,0)不是其对称中心，A选项错误；

B选项：令2kπ−π2≤2x−π3≤2kπ+π2，k∈Z，解得kπ−π12≤x≤kπ+5π12，k∈Z，即函数的单调递增区间为[kπ−π12,kπ+5π12]，k∈Z，又(0,π6)⊆[kπ−π12,kπ+5π12]，k∈Z，故B正确；

C选项：由g(x)=2cos2x+1=2sin(2x+π2)+1，向右平移5π12可得10.BC

【解析】解：不妨设OE=e=(1,0),OA=a,OT=te=(t,0)，

则|a−te|=|OA−OT|=|TA|，其几何意义为定点A到x轴上的动点T的距离，

显然当AT⊥x轴时，|TA|取得最小值，

若对任意t∈R，恒有|a−te|≥|a−e|，即|TA|≥|OA−OE|=|EA|，

所以EA⊥x轴，

所以(a−e)⊥e，即e⋅(a−e)=011.ACD

【解析】解：对于A，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，有CC1⊥平面ABCD，

所以直线AC1与平面ABCD所成的角就是∠CAC1，且CC1⊥AC，

又由正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，

所以AC=22,AC1=23，

则cos∠CAC1=ACAC1=2223=63，选项A正确；

对于B，当E与D1重合时，由于EF=2,B1D1=22，可知此时F为B1D1的中点，

如上图，连接BC1，C1F，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，

易由AB//C1D1且AB=C1D1，可得四边形ABC1D1是平行四边形，所以AD1//BC1，

所以异面直线AE与BF所成角就是∠C1BF或其补角，

由于BB1⊥平面A1B1C1D1，B1F⊂平面A1B1C1D1，

所以B1B⊥B1F，

则BF=BB12+FB12=4+2=6，

又因为BC1=22,C1F=2，

所以cos∠C1BF=C1B2+B12.−2【解析】解：因为tanθ=2，

所以sinθ(cosθ−sinθ)=sinθcosθ−sin2θ=sinθcosθ−sin2θsin213.17【解析】解：根据题意可得小三棱锥与大三棱锥的相似比为1：2，

∴小三棱锥的高与三棱台ABC−A1B1C1的高相等，

∴三棱锥B−A1B1C1的体积与三棱台上面的小三棱锥的体积相等，

又小三棱锥与大三棱锥的体积比为1：8，

∴小三棱锥的体积为三棱台ABC−A1B1C1的体积的17，

∴三棱锥B−A1B1C1的体积为14.18

【解析】解：如图所示，

设∠A=2∠D=2θ，

在△ABC中，由AB=AC=8，则∠ABC=∠ACB=π−∠A2=π2−θ，

再由正弦定理得BCsinA=ABsin∠ACB，则BC=8sin2θcosθ=16sinθ，

又在△ACD中，由正弦定理得ADsin∠ACD=ACsin∠D，

即ADsin(π−θ−2θ)=8sinθ，则AD=8sin3θsinθ=8(sinθcos2θ+sin2θcosθ)sinθ=8(4sinθcos2θ−sinθ)sinθ=32co15.解：(1)若(a+kb)⊥a，则(a+kb)⋅a=0，即a2+k(a⋅b)=0，可得22−4k=0，解得k=1；

(2)由(【解析】(1)根据两个向量垂直的条件，建立关于k的等式，解之可得实数k的值；

(2)先利用向量模的公式与数量积的运算性质，求出|a+b|与b⋅(a16.解：(1)根据函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图像，

可得A=2,34⋅2πω=5π12+π3，故ω=2．

再根据五点法作图，2×5π12+φ=π2+2kπ,k∈Z，

由于|φ|<π，

所以φ=−π3；

故有f(x.)=2sin(2x−π3)．

令2x−π3=kπ,k∈Z，解得x=π6+kπ2,k∈Z．

故函数f(x)对称中心为(π6+kπ2,0),k∈Z．

另解：根据图像可得：(−π3,0)是f(x)的图像的一个对称中心，

故函数的对称中心为(kπ2−π3,0),k∈Z．

(2)∵x∈[π12,π2]，

∴2x−π3【解析】(1)直接利用函数的性质求出函数的关系式，进一步求出函数的对称中心；

(2)利用函数的定义域求出函数的值域；

(2)利用函数图象的平移变换和伸缩变换求出函数的解析式，进一步求出函数的单调递减区间．

本题考查的知识点：函数图象的平移变换和伸缩变换，正弦型函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题．17.解：(1)连接OA，OB，OC，△ABC是底面的内接正三角形，

所以AB=BC=AC．

O是圆锥底面的圆心，所以：OA=OB=OC，

所以AP=BP=CP=OA2+OP2=OB2+OP2=OC2+OP2，

所以△APB≌△BPC≌△APC，

由于∠APC=90°．

所以∠APB=∠BPC=90°

所以AP⊥BP，CP⊥BP，AP，PC⊂平面APC，

由于AP∩CP=P，

所以BP⊥平面APC，

由于BP⊂平面PAB，

所以：平面PAB⊥平面PAC．

(2)设圆锥的底面半径为r，圆锥的母线长为l，

所以l=2+r2．

由于圆锥的侧面积为3π，

所以【解析】(1)首先利用三角形的全等的应用求出AP⊥BP，CP⊥BP，进一步求出二面角的平面角为直角，进一步求出结论．

(2)利用锥体的体积公式和圆锥的侧面积公式的应用及勾股定理的应用求出结果．

本题考查的知识要点：面面垂直的判定和性质的应用，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．18.解：(1)∵asinC+3acosC−3(b+c)=0，

由正弦定理可得sinAsinC+3sinAcosC−3(sinB+sinC)=0，

即sinAsinC+3sinAcosC−3sin(A+C)−3sinC=0，

∴sinAsinC+3sinAcosC−3sinAcosC−3cosAsinC−3sinC=0，

∴sinAsinC−3cosAsinC−3sinC=0，

∵A∈(0,π)，∴sinC>0，∴sinA−3cosA=3，∴sin(A−π3)=32，

又A−π3∈(−π3,2π3)，∴A−π3=π3，∴A=2π3．

(2)∵BD=2DC，