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第=page11页,共=sectionpages33页第=page11页,共=sectionpages33页长方形和正方形(思维导图+知识梳理+典例分析+高频考题+答案解析)思维导图思维导图知识梳理知识梳理【长方形的特征及性质】1、长方形特征:是一种平面图形,长方形的四个角都是直角,同时长方形的对角线相等.2、长方形的性质:(1).长方形的4个内角都是直角;(2).长方形对边相等;(3).长方形既是轴对称图形,也是中心对称图形(对称轴是任何一组对边中点的连线),它至少有两条对称轴.对称中心是对角线的交点.(4).长方形是特殊的平行四边形,长方形具有平行四边形的所有性质3、长方形的判定:(1)、定义:有一个角是直角的平行四边形是长方形(2)、定理1:有三个角是直角的四边形是长方形4、矩形的面积:S矩形=长×宽=ab.【正方形的特征及性质】1.定义:有一组邻边相等且一个角是直角的平行四边形叫做正方形.2.性质:(1)边:两组对边分别平行;四条边都相等;相邻边互相垂直(2)内角:四个角都是90°;(3)对角线:对角线互相垂直;对角线相等且互相平分;每条对角线平分一组对角;(4)对称性:既是中心对称图形,又是轴对称图形(有四条对称轴).(5)正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质.(6)正方形是特殊的长方形.【周长的认识】定义:环绕有限面积的区域边缘的长度积分,叫做周长,也就是图形一周的长度。周长用字母C表示。
2、常用公式:
(1)三角形:C=a+b+c(abc为三角形的三条边)
(2)四边形:C=a+b+c+d(abcd为四边形的边长)
(3)长方形:C=2(a+b)(a为长,b为宽)
(4)正方形:C=4a(a为正方形的边长)
(5)多边形:C=所有边长之和。【长方形的周长】1、计算方法:(1)、周长=长+宽+长+宽(2)、周长=长×2+宽×2(3)、周长=(长+宽)×2.【正方形的周长】正方形周长是围成正方形的边长总和,由于正方形的特征是4条边都相等,所以正方形周长=边长×4,即用字母表示为c=4a.典例分析典例分析【典例1】一根铁丝长20米,如果用它围成一个正方形,可以围成一个边长几米的正方形?如果用它围成一个宽4米的长方形,围成长方形的长是多少米?【答案】5米;6米【思路分析】用铁丝围成一个正方形,则正方形的周长就等于铁丝的长度。正方形的边长=周长÷4,据此求出正方形的边长为20÷4米。用这根铁丝围成一个长方形,则长方形的周长就等于铁丝的长度。长方形的长=周长÷2-宽,据此求出长方形的长为20÷2-4米。【详解】20÷4=5(米)20÷2-4=10-4=6(米)答:可以围成一个边长为5米的正方形。围成的长方形的长是6米。【名师点评】熟练掌握长方形和正方形的周长公式:长方形的周长=(长+宽)×2,正方形的周长=边长×4。解决类似问题时,应先明确用铁丝围成的长方形和正方形的周长均等于铁丝的长度,再进一步计算。【典例2】王爷爷要围一个长6米,宽3米的长方形小花园,四周围上篱笆,篱笆长多少米?如果一面靠墙,篱笆至少需要多长?【答案】18米;12米;【思路分析】根据长方形的周长=(长+宽)×2,代入数据求解篱笆的长度,如果花园的一面靠墙,求篱笆长度至少是多少米,让长方形的长边靠墙,这样篱笆的周长就减少1条长边的距离,据此解答。【详解】(3+6)×2=9×2=18(米)18-6=12(米)答:篱笆的长度是18米,如果一面靠墙,篱笆至少需要12米。【名师点评】本题考查长方形周长的应用,掌握长方形周长公式是解题的关键。【典例3】小明有4块长60厘米,宽20厘米的长方形木板(如图),小明打算用这4块木板拼成一块大的长方形大木板。有几种不同的拼接方法?拼出的每一个长方形的周长是多少?怎样连接周长最短?【答案】4种;520厘米,280厘米,320厘米,280厘米;第2种和第4种拼法周长最短【思路分析】将这四块长方形木板拼成一个大长方形,可以有以下几种拼法:第一种,拼成长60×4厘米,宽20厘米的长方形,如下所示:第二种,拼成长20×4厘米,宽60厘米的长方形,如下所示:第三种,拼成长60×2厘米,宽20×2厘米的长方形,如下所示:第四种,拼成长60+20厘米,宽20×3厘米的长方形,如下所示:再根据长方形的周长=(长+宽)×2,求出各个长方形的周长,再比较解答。【详解】第一种拼法:(60×4+20)×2=260×2=520(厘米)第二种拼法:(20×4+60)×2=140×2=280(厘米)第三种拼法,(20×2+60×2)×2=160×2=320(厘米)第四种拼法:(20×3+60+20)×2=140×2=280(厘米)280<320<520答:有4种拼法,每种拼法的长方形周长分别为520厘米,280厘米,320厘米,280厘米。第2种和第4种拼法周长最短。【点精】本题考查长方形的拼组问题,通过画图能帮助学生更好的理解题意,找出拼成长方形的全部拼法。熟练掌握长方形的周长公式:长方形的周长=(长+宽)×2。【典例4】为一个长方形花坛加围栏,花坛的长是9米,宽是6米,则围栏的长度至少是多少米?如果花坛的一面靠墙,那么花坛的围栏长度至少是多少米?【答案】30米,21米【思路分析】根据长方形的周长=(长+宽)×2,代入数据求解围栏的长度,如果花坛的一面靠墙,求花坛的围栏长度至少是多少米,让长方形的长边靠墙,这样围栏的周长就减少1条长的距离,据此解答。【详解】(9+6)×2=15×2=30(米)30-9=21(米)答:则围栏的长度至少是30米,如果花坛的一面靠墙,那么花坛的围栏长度至少是21米。【名师点评】本题考查长方形周长的应用,掌握长方形周长公式是解题的关键。【典例5】小红做手工裁纸,在一张边长为35厘米的正方形卡纸上剪去两个长为15厘米,宽为6厘米的长方形(如图),剩下的纸的周长是多少厘米?【答案】140厘米【思路分析】根据题意可知:在这个正方形卡纸中剪去两个长为15厘米,宽为6厘米的长方形,面积减少了但周长不变,根据正方形的周长公式:C=4a,把数据代入公式解答。【详解】35×4=140(厘米)答:剩下的纸的周长是140厘米。【名师点评】此题主要考查正方形周长公式的灵活运用,关键是熟记公式,明确:在一个边长为35厘米的正方形卡纸上剪去两个长为15厘米,宽为6厘米的长方形,面积减少了但周长不变。高频考题高频考题1.用两个长是10厘米,宽是5厘米的长方形可以拼成一个长方形,也可以拼成一个正方形。它们的周长分别是多少厘米?2.一张长方形的纸,长30厘米,宽21厘米。从这张纸上剪下一个最大的正方形。正方形的周长是多少厘米?剩下的图形的周长是多少厘米?3.用两个长是8厘米,宽是4厘米的长方形分别拼成一个大长方形或一个正方形。拼成后的长方形或正方形的周长分别是多少?4.如图:在一个围墙边上围了一个正方形的篱笆和一个长方形的篱笆,它们的周长相等。正方形篱笆的边长是6米,长方形篱笆的长是8米,那么长方形篱笆的宽是多少米?5.有两根同样长的铁丝,其中一根围成了一个长7厘米,宽5厘米的长方形,另-根围成了一个正方形。这个正方形的边长是多少厘米?6.李爷爷想在长方形菜地的四周用栅栏围一圈,菜地的长是26米,宽是18米,这里有100米的栅栏,够用吗?7.一块长方形的菜地,长18米,宽9米,这块菜地一面靠墙,其他三面要围上竹篱笆,至少需要竹篱笆多少米?8.王爷爷家的一块一面靠墙的长方形菜地(如图),长19米,宽比长少3米,现在要给其它三面围上篱笆,至少要围多少米的篱笆?9.李伯伯要在墙边围一块长50米,宽20米的长方形地养鸡,这块地一边靠墙,另外三边用篱笆围,有两种围法可以选择(如图),哪一种围法用的篱笆少一些?少用多少米?10.一块长方形菜地,长25米,宽15米,如果在它的四周围成篱笆,篱笆长多少米?如果这块菜地有一面靠墙,围上篱笆至少长多少米?11.老师把同学们的数学作业制作成了一个展示墙。(1)展示墙长40分米,宽20分米。用花边装饰展示墙的四周,花边长多少米?(别忘了单位换算哦!)(2)如果每行贴12份作业,4行粘完,如果每行贴8份,能粘几行?12.小东在一张长20厘米,宽8厘米的长方形彩纸上剪下一个最大的正方形,这个正方形的周长是多少厘米?(先画出最大的正方形)13.王大爷想用篱笆围一块长6米,宽4米的长方形菜地。(一面靠墙)(1)当长方形的长这面靠墙,至少需要多长篱笆?(2)当长方形的宽这面靠墙,至少需要多长篱笆?14.把一块长10米,宽7米的长方形地分成两部分,一部分是最大的正方形,用来种西红柿,另一部分种黄瓜。在黄瓜地的四周围上篱笆,篱笆长多少米?15.一个正方形展示台的边长是90厘米,给它配一块与台面同样大的台布,这块台布的面积是多少平方分米?在它的四周围上一圈玻璃,至少需要多长的玻璃?16.一块长方形菜地一边靠墙(如图),长42米,宽18米,李叔叔给菜地围上篱笆,篱笆至少要多少米?17.一间房间的地面为长方形。现要用边长为80厘米的正方形瓷砖铺地,铺好后,从长的方向数有8块瓷砖,从宽的方向数有4块瓷砖。那么这间房间的地面的周长是多少分米?18.公园正方形花坛边长是15米,四周围了一圈不锈钢栏杆。
(1)花坛的面积是多少平方米?
(2)栏杆总长是是多少米?19.小明的爸爸在河边挖了一块长方形菜地,长8米,宽5米。他用篱笆把不靠河边的三面围了起来,至少得用多少米篱笆?(靠河边的一边较长)20.有一个长方形菜地,长是15米,宽是9米。一面靠墙,其他三面围竹篱笆(如图所示),竹篱笆有多少米?21.两根同样长的铁丝,一根围成了长方形,一根围成了正方形,围成的长方形的长是12厘米,宽是6厘米,围成的正方形的边长是多少?22.学校足球场的边线长90米,端线长45米,如果你沿着足球场的边线和端线走一圈,一共走了多少米?23.一块一面靠墙的长方形菜地(如图),长8米,宽4米,现在要给其它三面围上篱笆,至少要围多少米的篱笆?24.一张长方形纸,长20厘米,宽16厘米。从这张纸上剪下一个最大的正方形。正方形的周长是多少厘米?剩下的图形的周长是多少厘米?25.下面这个图形分别由两个同等大小的长方形木条拼成,已知长方形的长是15分米,求下图的周长是多少米?26.李叔叔用一根铁丝围成一个长12厘米的长方形,这根铁丝刚好可以改围成边长是10厘米的正方形,长方形的宽是多少厘米?27.李阿姨要在一块8分米,宽5分米的长方形桌布上剪下一个最大的正方形,所剩桌布的周长是多少?(先画图,再解答)28.小华家给长方形的院子装上了篱笆墙,由于门宽2米所以篱笆墙共长16米,而这个长方形的宽是长的一半。长和宽各是多少米?29.如图,李爷爷在后院用篱笆围了个长45分米、宽24分米的长方形菜地(其中一面靠墙)。李爷爷围这块菜地用了多长的篱笆?30.把两个大小相同的正方形拼成一个长方形后,周长比原来两个正方形的周长的和减少10厘米。原来一个正方形的周长是多少?第=page11页,共=sectionpages22页第=page11页,共=sectionpages22页答案解析答案解析1.长方形的周长50厘米;正方形的周长40厘米【思路分析】把长方形的两条宽拼在一起就能拼出一个长方形,长是20厘米、宽5厘米;把两条长边拼在一起就能拼出一个边长10厘米的正方形。由此分别计算周长即可。【详解】(10+10+5)×2=25×2=50(厘米)10×4=40(厘米)答:长方形的周长是50厘米;正方形的周长是40厘米。【名师点评】明确拼成的长方形的长、宽或正方形的边长是多少是解答本题的关键。2.84厘米;60厘米;【思路分析】从一个长方形上剪去一个最大的正方形,则正方形的边长等于原长方形的宽,正方形的周长=边长×4,依此计算出正方形的周长;剩下部分为长方形,用原来长方形的长减去长方形的宽计算出剩下的长方形的长,长方形的周长=(长+宽)×2,依此计算出剩下部分的周长即可。【详解】如图所示:21×4=84(厘米)30-21=9(厘米)(9+21)×2=30×2=60(厘米)答:正方形的周长是84厘米,剩下的图形的周长是60厘米。【名师点评】此题考查的是平面图形的分割,以及正方形和长方形的周长的计算,应熟记:长方形的周长=(长+宽)×2,正方形的周长=边长×4。3.40厘米、32厘米【思路分析】根据题意可知,拼成的长方形的长是2个8厘米,宽是4厘米,拼成的正方形的边长是8厘米(图见详解),长方形的周长=(长+宽)×2,正方形的周长=边长×4,依此进行计算。【详解】拼图如下:(8+8+4)×2=(16+4)×2=20×2=40(厘米)8×4=32(厘米)答:拼成后的长方形的周长是40厘米,正方形的周长是32厘米。【名师点评】此题考查的是组合图形周长的计算,熟练掌握长方形和正方形的周长的计算,是解答此题的关键。4.5米【思路分析】在一个围墙边上围了一个正方形的篱笆和一个长方形的篱笆,它们的周长是3条边的长度,正方形篱笆的边长是6米,正方形篱笆长=边长×3=6×3=18(米),又因为它们的周长相等,所以长方形篱笆长也为18米,长方形篱笆的长是8米,根据长方形周长=(长+宽)×2,可得长方形篱笆的宽是(18-8)÷2米;据此解答。【详解】(3×6-8)÷2=(18-8)÷2=10÷2=5(米)答:长方形篱笆的宽是5米。【名师点评】此题主要考查正方形、长方形周长公式的灵活运用,关键是熟记公式。注意:靠墙一边不用计入周长。5.6厘米【思路分析】根据长方形的周长=(长+宽)×2,求出长方形的周长,也就是铁丝的长度。再根据正方形的边长=周长÷4,求出这个正方形的边长。【详解】(7+5)×2=12×2=24(厘米)24÷4=6(厘米)答:这个正方形的边长是6厘米。【名师点评】本题考查长方形和正方形周长公式的实际应用,关键是熟记公式。6.够用【思路分析】求所用栅栏的长度就是求这个长方形的周长,据此利用长方形的周长公式:周长=(长+宽)×2,代入数值计算即可。【详解】(米)答:有100米的栅栏够用。【名师点评】此题主要考查长方形周长的计算,根据公式解答即可。7.36米【思路分析】菜地的长边靠墙,使用的竹篱笆最少,竹篱笆的长度为菜地的长加2个宽的长度,据此即可解答。【详解】18+9×2=18+18=36(米)答:至少需要竹篱笆36米。【名师点评】要使竹篱笆最少,菜地的长边就要靠墙,这是解答本题的关键。8.51米【思路分析】当长方形的一条长靠墙时,围成的篱笆最少;先用19减去3,求出长方形的宽;再用1条长加上2条宽的长度,求出至少要围多少米的篱笆。【详解】19-3=16(米)19+2×16=19+32=51(米)答:至少要围51米的篱笆。【名师点评】解答此题的关键是明确当长方形的一条长靠墙时,围成的篱笆最少。9.第一种围法;30米【思路分析】第一种围法,长边靠墙,篱笆长度为长+2×宽。第二种围法,宽边靠墙,篱笆长度为宽+2×长。再将两种围法用的篱笆长度比较大小,最后求出它们的差,即少用多少米。【详解】第一种围法:50+2×20=50+40=90(米)第二种围法:20+2×50=20+100=120(米)90米<120米120-90=30(米)答:第一种围法用的篱笆少一些,少用30米。【名师点评】本题考查长方形的周长公式的灵活运用,长边靠墙时,篱笆最短。宽边靠墙时,篱笆最长。10.80米;55米【思路分析】(1)根据长方形的周长公式C=(a+b)×2,把菜地的长25米,宽15米代入公式即可求出篱笆的长;(2)如果一面靠墙,要求篱笆至少所用的米数,也就是菜地的长边靠墙,需要的篱笆的米数最少;由此解答。【详解】(25+15)×2=40×2=80(米)25+15×2=25+30=55(米)答:篱笆长80米;如果这块菜地有一面靠墙,围上篱笆至少长55米。【名师点评】此题主要考查长方形周长公式的实际应用;注意要求一面靠墙,篱笆至少长多少米,就是长边靠墙;由此解决问题。11.(1)12米;(2)6行【思路分析】(1)计算花边长也就是求长方形的周长,长方形的周长=(长+宽)×2,依此计算,最后将单位化成米,10分米=1米,依此换算。(2)先用12乘4计算出展示墙能展示作业的总份数,然后用展示墙能展示作业的总份数除以8即可,依此计算。【详解】(1)(40+20)×2=60×2=120(分米)120分米=12米答:花边长12米。(2)12×4=48(份)48÷8=6(行)答:如果每行贴8份,能粘6行。【名师点评】此题考查的是归总问题的计算,以及长方形的周长的计算,分米与米之间的换算,应熟练掌握。12.32厘米【思路分析】从长方形纸上剪下最大的正方形,则这个正方形的边长等于长方形的宽。根据正方形的周长=边长×4解答。【详解】8×4=32(厘米)答:正方形的周长是32厘米。【名师点评】解决本题的关键是明确最大正方形的边长等于长方形的宽。13.(1)14米(2)16米【思路分析】(1)当长方形的长这面靠墙,所需篱笆的长度等于这个长方形的一条长边与两条宽边的和;据此列式计算即可。(2)当长方形的宽这面靠墙,所需篱笆的长度等于这个长方形的两条长边与一条宽边的和;据此列式计算即可。【详解】(1)6+4×2=6+8=14(米)答:至少需要14米篱笆。(2)6×2+4=12+4=16(米)答:至少需要16米篱笆。【名师点评】此题主要考查长方形的周长公式的灵活运用,画图能更好的理解题意。14.20米【思路分析】篱笆的长=(黄瓜地的长+黄瓜地的宽)×2;其中,黄瓜地的长=长方形地的宽,黄瓜地的宽=长方形地的长-长方形地的宽。【详解】10-7=3(米)(7+3)×2=10×2=20(米)答:篱笆长20米。【名师点评】本题的重点是求出黄瓜地的宽是多少米,再根据长方形的周长公式进行计算。15.81平方分米;36分米【思路分析】先把单位进行换算,即90厘米=9分米,那么台布的面积=边长×边长,玻璃的长度=边长×4,据此作答即可。【详解】90厘米=9分米9×9=81(平方分米)9×4=36(分米)答:这块台布的面积是81平方分米,在它的四周围上一圈玻璃,至少需要36分米的玻璃。【名师点评】本题考查的是正方形的周长和面积的计算,注意单位的统一。16.78米【思路分析】一边靠墙,那么所需要的篱笆长度是其余三条边的长度之和,直接相加即可。【详解】42+18+18=78(米)答:篱笆至少要78米。【名师点评】求这种不规则图形,可以从周长的定义入手,将一周的长度相加即可。17.192分米【思路分析】用80分别乘8和4计算出长方形的长和宽,长方形的周长=(长+宽)×2,依此计算出这间房间的地面的周长,最后将单位化成分米即可,10厘米=1分米,依此换算。【详解】80×8=640(厘米)80×4=320(厘米)(320+640)×2=960×2=1920(厘米)1920厘米=192分米答:这间房间的地面的周长是192分米。【名师点评】此题考查的是长方形的周长的计算以及分米、厘米的换算,应先分别计算出长方形的长、宽再解答。18.(1)225平方米(2)60米【思路分析】(1)根据正方形的面积公式:S=a2代入数据进行解答;(2)根据正方形的周长公式:S=4a代入数据进行解答。【详解】(1)15×15=225(平方米)答:花坛的面积是225平方米。(2)15×4=60(米)答:栏杆总长是60米。【名师点评】本题主要考查了学生对正方形周长和面积公式的灵活运用情况。19.18米【思路分析】根据长方形的周长=(长+宽)×2,靠河边的一边较长,即菜地长边靠河边,篱笆长度为长+2×宽。【详解】5×2+8=10+8=18(米)答:至少得用18米篱笆。【名师点评】本题考查长方形周长公式的实际应用,关键是明确篱笆长度为长+2×宽。20.39米【思路分析】根据题图可知,菜地的宽边靠墙,则竹篱笆的长度为2×长+宽,据此解答即可。【详解】2×15+9=30+9=39(米)答:竹篱笆有39米。【名师点评】本题考查长方形周长公式的灵活运用。长方形的周长=(长+宽)×2。解决本题时应注意菜地一面靠墙,则竹篱笆的长度为剩下三边长度和。21.9厘米【思路分析】长方形的周长=(长+宽)×2,依此先计算出长方形的周长,然后用长方形的周长除以4即可。【详解】(12+6)×2=18×2=36(厘米)36÷4=9(厘米)答:围成的正方形的边长是9厘米。【名师点评】此题考查的是长方形的周长的计算,以及根据正方形的周长计算边长,应熟练掌握。22.270米【思路分析】长方形的周长=(长+宽)×2,据此求出足球场的周长,也就是沿着足球场走一圈的路程。【详解】(90+45)×2=135×2=270(米)答:一共走了270米。【名师点评】熟练掌握长方形的周长公式,灵活运用公式解决问题。23.16米【思路分析】由图示可知,长方形菜地的长边靠墙,要给其它三面围上篱笆,则篱笆的长度为1条长边和2个宽边之和。【详解】4+4+8=16(米)答:至少要围16米的篱笆。【名师点评】本题考查长方形周长的实际应用,明确靠墙一边不需要篱笆是解答此题的关键。24.64厘米;40厘米【思路分析】根据题意可知:从这张纸上剪下一个最大的正方形,所剪正方形的边长等于长方形的宽,根据正方形的周长公式:C=4a,把数据代入公式即可求出正方形的周长;剩下部分还是长方形,长是16厘米,宽是4厘米,根据长方形的周长公式:C=(a+b)×2,把数据代入公式解答。【详解】16×4=64(厘米)(20-16+16)×2=(4+16)×2=20×2=40(厘米)答:正方形的周长是64厘米;剩下的
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