山东省临沂市2024-2025学年高二数学上学期期中试题

PAGEPAGE10山东省临沂市2024-2025学年高二数学上学期期中试题留意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。一、选择题：本题共8小题。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．椭圆的焦点坐标为（）A．（±1，0） B．（0，±1） C．（，0） D．（0，）2．过点（2，－1）且方向向量为（1，2）的直线的方程为（）A． B．C． D．3．如图，在正方体中，（）A． B． C． D．4．若直线平分圆的周长，则的值为（）A．2 B．－2 C．－3 D．35．如图为某种礼物着陆伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为60°．已知礼物的质量为，每根绳子的拉力大小相同．若重力加速度取，则着陆伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小为（）A． B． C． D．6．已知两点，，直线过点且与线段有交点，则直线的倾斜角的取值范围为（）A． B．C． D．7．设是圆：上的一动点，定点，线段的垂直平分线交线段于点，则点的轨迹方程为（）A． B． C． D．8．在一个平面上，机器人从与点的距离为5的地方绕点顺时针而行，在行进过程中保持与点的距离不变．它在行进过程中到过点与的直线的最近距离为（）A．3 B．4 C．5 D．6二、选择题：本题共4小题。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9．下列说法正确的是（）A．直线必过定点（2，1）B．直线在轴上的截距为－2C．直线的倾斜角为120°D．若直线沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为10．如图，在长方体中，，，，以直线，，分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则（）A．点的坐标为（5，4，3）B．点关于点对称的点为（8，5，－3）C．点关于直线对称的点为（0，5，3）D．点关于平面对称的点为（8，－5，0）11．若圆：与圆：的交点为，，则（）A．公共弦所在直线方程为B．线段中垂线方程为C．公共弦的长为D．在过，两点的全部圆中，面积最小的圆是圆12．如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球旁边一点处变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在点处其次次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，且轨道Ⅱ的右顶点为轨道Ⅰ的中心．设椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴长分别为和，半焦距分别为和，离心率分别为，，则下列结论正确的是（）A． B．C． D．椭圆Ⅱ比椭圆Ⅰ更扁三、填空题：本题共4小题。13．向量，，若与共线，则______．14．若中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆过点，且长轴长是短轴长的倍，则其标准方程为______．15．已知圆：，从点发出的光线，经直线反射后，恰好经过圆心，则入射光线的斜率为______．16．某圆拱桥的水面跨度为，拱高，此拱桥所在圆的半径为______；现有一船，宽，载货后宽度与船的宽度相同，若这条船能从桥下通过，则此船水面以上最高不能超过______．四、解答题：本题共6小题。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知直线过定点．（1）若直线与直线垂直，求直线的方程；（2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程．18．如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点．（1）求直线到平面的距离；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．19．已知直线：和圆：．（1）若直线交圆于，两点，求弦的长；（2）求过点（4，－1）且与圆相切的直线方程．20．如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．过对称轴的截口是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上．由椭圆一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点．已知，，．（1）试建立适当的坐标系，求截口所在的椭圆的方程；（2）如图，若透亮窗所在的直线与截口所在的椭圆交于一点，且，求的面积．21．如图，在四棱锥中，平面，，，，为的中点．（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）点在线段上，当为何值时，直线与平面所成角的正弦值为？22．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过点且不平行于坐标轴的直线交椭圆于，两点．（1）求的周长；（2）椭圆上是否存在点，使得点到直线：的距离最大？若存在，求出最大距离；若不存在，说明理由．数学试题参考答案及评分标准2024．11一、选择题：本题共8小题。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．A 2．C 3．B 4．D 5．B 6．C 7．B 8．A二、选择题：本题共4小题。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9．ACD 10．BC 11．AD 12．ABC三、填空题：本题共4小题。13．414．或15．－216．13；7四、解答题：本题共6小题。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．解：（1）直线的斜率为，∵直线与直线垂直，∴直线的斜率为2，又直线经过点，∴直线的方程为，即．（2）当直线过原点时，设直线的方程为，∵直线过定点，∴，∴直线方程为，即．当直线不过原点时，设直线的方程为，即，∵直线过定点，∴，∴直线方程为，即，综上，直线方程为或．18．解：（1）以为原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间坐标系，则，，，，．∴，，，，．∵．∴，∴平面，∴点到平面的距离即为直线到平面的距离，设平面的法向量为，则，∴，∴，取，则，，∴，又，∴点到平面的距离为．（2）设平面的法向量为，则，∴，∴，取，则，∴，∴，∴平面与平面所成锐二面角的余弦值．19．解：（1）将圆：化成标准方程：，∴圆的圆心为，半径．∴圆心到直线：的距离，∴．（2）①当直线斜率不存在时，过点（4，－1）的直线为，是圆的一条切线；②当直线的斜率存在时，设圆的切线方程为，即．∴圆心到直线的距离为，即，解之得．∴此时切线方程为，化简得．综上所述，所求的直线方程为：或．20．解：建立如图所示的平面直角坐标系，设截口所在椭圆的方程为：，因为，，，所以在直角中，，故，，又，，所以，所以，所求的椭圆方程为．（2）∵点在椭圆上，，又，即为直角三角形，∴，∴有，得：，故的面积为：．21．解：（1）∵平面，且，平面，∴，，又∵，∴,，两两相互垂直．以，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图：则由，，可得，，，，，又∵为的中点，∴．∴，，所以，所以异面直线，所成角的余弦值为．（2）设，则，∴，，，设平面的一个法向量为，则，即，令，解得，，∴是平面的一个法向量．∵直线与平面所成角的正弦值为，∴，解得，所以当为时，直线与平面所成角的正弦值为．22．解：（1）由椭圆：可知，椭圆的长轴长，由椭圆的定义可知，，，又∵直线过焦点交椭圆与，两点．∴的周长为：．（2）假设椭圆上存在点，使得点到直