第01讲二次函数(原卷版+解析)

第01讲二次函数1.二次函数的概念一般地，形如y=ax2+bx+c（a≠0，a,b,c为常数）的函数是二次函数.若b=0，则y=ax2+c；若c=0，则y=ax2+bx；若b=c=0，则y=ax2.以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax2+bx+c（a≠0）是二次函数的一般式.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①（a≠0）；②（a≠0）；③（a≠0）；④（a≠0），其中；⑤（a≠0）.要点：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a的绝对值越大，抛物线的开口越小.2.二次函数解析式的表示方法1.一般式：（，，为常数，）；2.顶点式：（，，为常数，）；3.两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）（或称交点式）.要点：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.2.确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下第一步，设：先设出二次函数的解析式，如或，或，其中a≠0；第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)；第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数；第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中．要点：在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式：①当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数的解析式为；②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时．可设函数的解析式为；③当已知抛物线与x轴的两个交点(x1，0)，(x2，0)时，可设函数的解析式为．例1．下列函数解析式中，一定为二次函数的是（

）A．y=3x-1 B．y=ax2+bx+c C．s=2t2-2t+1 D．y=x2+例2．函数是关于x的二次函数，则m的值是（

）A．3 B． C． D．或3例3．下列函数关系中，是二次函数的是（

）A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系B．当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系C．等边三角形的周长C与边长a之间的关系D．半圆面积S与半径R之间的关系例4．在半径为4cm的圆中，挖去了一个半径为xcm的圆面，剩下一个圆环的面积为ycm2，则y与x的函数关系式为（

）A． B． C． D．例5．当函数是二次函数时，a的取值为（）A． B． C． D．例6．二次函数，当函数值为2时，自变量的值是（）A．x=-2 B．x="2" C．x=1 D．x=-1例7．函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数)是二次函数的条件是(

)A．a≠0，b≠0，c≠0 B．a<0，b≠0，c≠0C．a>0，b≠0，c≠0 D．a≠0例8．已知二次函数y＝ax2＋4x＋c，当x等于﹣2时，函数值是﹣1；当x＝1时，函数值是5．则此二次函数的表达式为（

）A．y＝2x2＋4x﹣1 B．y＝x2＋4x﹣2C．y＝-2x2＋4x+1 D．y＝2x2＋4x+1例9．已知二次函数的与的部分对应值如下表：…026……262…当时，的值是（

）A． B． C．2 D．6例10．若抛物线经过三点，则此抛物线的表达式为（

）A． B． C． D．例11．抛物线过三点，求抛物线的解析式__________．例12．一个二次函数，当自变量时，函数值，且过点和点，则这个二次函数的解析式为________________．一、单选题1．下列函数是y关于x的二次函数的是（

）A． B．C． D．2．下列实际问题中的y与x之间的函数表达式是二次函数的是（

）A．正方体集装箱的体积ym3，棱长xmB．高为14m的圆柱形储油罐的体积ym3，底面圆半径xmC．妈妈买烤鸭花费86元，烤鸭的重量y斤，单价为x元/斤D．小莉驾车以108km/h的速度从南京出发到上海，行驶xh，距上海ykm3．已知是二次函数，则的值为（

）A．0 B．1 C．－1 D．1或－14．设y＝y1﹣y2，y1与x成正比例，y2与x2成正比例，则y与x的函数关系是（）A．正比例函数 B．一次函数C．二次函数 D．以上均不正确5．对于y=ax2+bx+c，有以下四种说法，其中正确的是（

）A．当b=0时，二次函数是y=ax2+c B．当c=0时，二次函数是y=ax2+bxC．当a=0时，一次函数是y=bx+c D．以上说法都不对6．在抛物线上的点是（

）A． B． C． D．7．在二次函数y＝﹣x2+5x﹣2中，a、b、c对应的值为（）A．a＝1，b＝5，c＝﹣2 B．a＝﹣1，b＝5，c＝2C．a＝﹣1，b＝5，c＝﹣2 D．a＝﹣1，b＝﹣5，c＝﹣28．已知抛物线经过点，那么的值是（

）A． B． C． D．9．抛物线上部分点的横坐标、纵坐标的对应值如下表所示：x…0123…y…0…从上表可知，时，的值为（

）A． B． C． D．010．已知函数y=ax2+bx+c，其中a，b，c可在0，1，2，3，4五个数中取值，则不同的二次函数的个数共有（）A．125个 B．100个 C．48个 D．10个二、填空题11．下列函数①；②；③；④；⑤．其中是二次函数的是____________．12．如果函数是二次函数，那么的值一定是______．13．已知函数y=（m﹣2）x2+mx﹣3（m为常数）．（1）当m_______时，该函数为二次函数；（2）当m_______时，该函数为一次函数．14．已知函数．若这个函数是二次函数，求的取值范围__________________15．已知二次函数，当时，函数的值是_________．16．已知点（3，a）在抛物线y=-2x2+2x上，则______．17．若二次函数的图像经过点，则代数式的值等于______．18．定义：由a，b构造的二次函数叫做一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”，一次函数y＝ax＋b叫做二次函数的“本源函数”（a，b为常数，且）．若一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”是，那么二次函数的“本源函数”是______．三、解答题19．下列式子哪些是二次函数？如果是，请指出其二次项系数、一次项系数和常数项．(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)(为常数)．20．圆的半径是，假设半径增加时，圆的面积增加．（1）写出y与x之间的关系式；（2）当圆的半径分别增加时，圆的面积各增加多少？21．已知y关于x的函数y=（m2+2m）x2+mx+m+1.（1）当m为何值时，此函数是一次函数？

（2）当m为何值时，此函数是二次函数？22．一个二次函数．（1）求k的值．（2）求当x=3时，y的值？23．已知二次函数的图象经过点、、，求这个二次函数解析式和顶点坐标．24．二次函数中的满足下表：x⋯-10123⋯⋯0-3-4-3m⋯(1)求这个二次函数的解析式．(2)求的值．25．某工厂计划为一批长方体形状的产品表面涂上油漆，长方体的长和宽相等，高比长多．（1）长方体的长和宽用表示，长方体的表面积的表达式是什么？（2）如果涂漆每平方米所需要的费用是5元，油漆每个长方体所需费用用y（元）表示，那么y的表达式是什么？26．如图2-4所示，长方形ABCD的长为5cm，宽为4cm，如果将它的长和宽都减去x(cm)，那么它剩下的小长方形AB′C′D′的面积为y(cm2)．(1)写出y与x的函数关系式；(2)上述函数是什么函数?(3)自变量x的取值范围是什么?27．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝30cm，∠A＝60°，动点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时动点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是ts，过点D作DF⊥BC于点F，连接EF．(1)若四边形AEFD为菱形，则t值为多少？(2)在点D、E的运动过程中，设四边形ADFE的面积为y，请求出y与t的函数关系式？第01讲二次函数1.二次函数的概念一般地，形如y=ax2+bx+c（a≠0，a,b,c为常数）的函数是二次函数.若b=0，则y=ax2+c；若c=0，则y=ax2+bx；若b=c=0，则y=ax2.以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax2+bx+c（a≠0）是二次函数的一般式.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①（a≠0）；②（a≠0）；③（a≠0）；④（a≠0），其中；⑤（a≠0）.要点：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a的绝对值越大，抛物线的开口越小.2.二次函数解析式的表示方法1.一般式：（，，为常数，）；2.顶点式：（，，为常数，）；3.两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）（或称交点式）.要点：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.2.确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下第一步，设：先设出二次函数的解析式，如或，或，其中a≠0；第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)；第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数；第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中．要点：在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式：①当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数的解析式为；②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时．可设函数的解析式为；③当已知抛物线与x轴的两个交点(x1，0)，(x2，0)时，可设函数的解析式为．例1．下列函数解析式中，一定为二次函数的是（

）A．y=3x-1 B．y=ax2+bx+c C．s=2t2-2t+1 D．y=x2+【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的定义求解即可．解：A、y=3x-1是一次函数，不是二次函数，不符合题意；B、y=ax2+bx+c，当时，不是二次函数，不符合题意；C、s=2t2-2t+1是二次函数，符合题意；D、y=x2+中不是整式，故y=x2+不是二次函数，不符合题意．故选：C．【点睛】此题考查了二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握二次函数的定义．二次函数定义：一般地，把形如（a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．x为自变量，y为因变量．例2．函数是关于x的二次函数，则m的值是（

）A．3 B． C． D．或3【答案】D【解析】【分析】根据二次函数的定义条件列出方程与不等式即可得解．解：∵函数是关于x的二次函数，∴，且，由得，或，∴m的值是3或-1，故选D．【点睛】本题考查了二次函数的定义、解一元二次方程等知识，解答本题的关键是根据二次函数的定义列出方程与不等式．例3．下列函数关系中，是二次函数的是（

）A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系B．当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系C．等边三角形的周长C与边长a之间的关系D．半圆面积S与半径R之间的关系【答案】D【解析】【分析】根据二次函数的定义，分别列出关系式，进行选择即可．A选项为，是一次函数，错误；B选项为不是二次函数，错误；C选项为，是正比例函数，错误；D选项为，是二次函数，正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了二次函数定义，根据题意列出函数关系式是解题的关键．例4．在半径为4cm的圆中，挖去了一个半径为xcm的圆面，剩下一个圆环的面积为ycm2，则y与x的函数关系式为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】先求出原来的圆的面积，再用x表示挖去的圆的面积，相减得到圆环的面积．解：圆的面积公式是，原来的圆的面积=，挖去的圆的面积=，∴圆环面积．故选：A．【点睛】本题考查二次函数的列式，解题的关键是根据题意用x表示各个量，然后列出函数关系式．例5．当函数是二次函数时，a的取值为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由函数是二次函数得到a-1≠0即可解题.解：∵是二次函数,∴a-1≠0,解得：a≠1,故选你D.【点睛】本题考查了二次函数的概念,属于简单题,熟悉二次函数的定义是解题关键.例6．二次函数，当函数值为2时，自变量的值是（）A．x=-2 B．x="2" C．x=1 D．x=-1【答案】C【解析】试题分析：把代入二次函数，即可求得结果.由题意得，解得故选C.考点：函数图象上的点的坐标的特征点评：解方程的能力是初中数学学习中极为重要的基本功，在中考中极为常见，在各种题型中均有出现，一般难度不大，需特别注意.例7．函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数)是二次函数的条件是(

)A．a≠0，b≠0，c≠0 B．a<0，b≠0，c≠0C．a>0，b≠0，c≠0 D．a≠0【答案】D【解析】试题解析：根据二次函数定义中对常数a，b，c的要求，只要a≠0，b，c可以是任意实数，故选D．例8．已知二次函数y＝ax2＋4x＋c，当x等于﹣2时，函数值是﹣1；当x＝1时，函数值是5．则此二次函数的表达式为（

）A．y＝2x2＋4x﹣1 B．y＝x2＋4x﹣2C．y＝-2x2＋4x+1 D．y＝2x2＋4x+1【答案】A【解析】【分析】将2组x、y值代入函数，得到关于a、c的二元一次方程，求解可得函数表达式．解：根据题意得，解得：，∴抛物线解析式为y＝2x2＋4x﹣1．故选：A．【点睛】本题考查根据二次函数经过的点的信息，求得函数中的位置参数．例9．已知二次函数的与的部分对应值如下表：…026……262…当时，的值是（

）A． B． C．2 D．6【答案】A【解析】【分析】运用待定系数法求出函数解析式，再把代入求出的值即可．解：把（2，-6），（0，2），（2，6）三点坐标代入，得解得，∴二次函数解析式为∴当时，故选：A【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求出函数解析式，以及二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．．例10．若抛物线经过三点，则此抛物线的表达式为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】利用交点式设出抛物线解析式再计算即可.∵抛物线经过∴设抛物线解析式为把代入得：∴抛物线解析式为故选A.【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数解析式，根据已知条件选择合适的方法是解题的关键.例11．抛物线过三点，求抛物线的解析式__________．【答案】【解析】【分析】把三个点的坐标代入二次函数解析式，利用待定系数法求解即可．解：将（0，4），（1，3），（-1，4）代入抛物线中，得，解得，∴抛物线的解析式为．故答案为：．【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，解题的关键在于能够熟练掌握待定系数法．例12．一个二次函数，当自变量时，函数值，且过点和点，则这个二次函数的解析式为________________．【答案】【解析】【分析】利用待定系数法求解函数解析式．解：依题意，设函数解析式为∵当自变量时，函数值∴，解得∴函数的解析式为故答案为：．【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，掌握待定系数法的解题步骤准确计算是解题关键．一、单选题1．下列函数是y关于x的二次函数的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据二次函数的定义：“形如（其中为常数，且）”的函数叫做二次函数，对各选项进行一一分析判定即可．【解析】解：由二次函数的定义：“形如（其中为常数，且）”的函数叫做二次函数A.，是一次函数，没有二次项，故选项A不正确；B.，是一次函数，没有二次项，故选项B不正确；C.，是二次函数，二次项系数不为0，故选项C正确

D.，当a=0时，是一次函数，当a≠0时，是二次函数，不能确定是一次还是二次函数，故选项D不正确．故选C．【点睛】本题考查二次函数的识别，掌握二次函数的定义是解题关键．2．下列实际问题中的y与x之间的函数表达式是二次函数的是（

）A．正方体集装箱的体积ym3，棱长xmB．高为14m的圆柱形储油罐的体积ym3，底面圆半径xmC．妈妈买烤鸭花费86元，烤鸭的重量y斤，单价为x元/斤D．小莉驾车以108km/h的速度从南京出发到上海，行驶xh，距上海ykm【答案】B【分析】根据二次函数的定义逐项判断即可．【解析】解：A．正方体集装箱的体积ym3，棱长xm，则y=x3，故不是二次函数；B．高为14m的圆柱形储油罐的体积ym3，底面圆半径xm，则y=14πx2，故是二次函数；C．妈妈买烤鸭花费86元，烤鸭的重量y斤，单价为x元/斤，则，故不是二次函数；D．小莉驾车以108km/h的速度从南京出发到上海，行驶xh，距上海ykm，则y＝南京与上海之间的距离-108x，故不是二次函数．故选：B．【点睛】本题考查二次函数的定义，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用二次函数的定义去判断．3．已知是二次函数，则的值为（

）A．0 B．1 C．－1 D．1或－1【答案】B【分析】根据二次函数定义：形如的函数叫二次函数，从三个方面：①含有一个未知数；②所含未知数的最高次数为2次；③是一个整式理解即可得到答案．【解析】解：是二次函数，，解得，故选B．【点睛】本题考查二次函数的定义，从三个方面：①含有一个未知数；②所含未知数的最高次数为2次；③是一个整式去理解概念是解决问题的关键．4．设y＝y1﹣y2，y1与x成正比例，y2与x2成正比例，则y与x的函数关系是（）A．正比例函数 B．一次函数C．二次函数 D．以上均不正确【答案】C【分析】设y1＝k1x，y2＝k2x2，根据y＝y1﹣y2得到y＝k1x﹣k2x2，由此得到答案．【解析】解：设y1＝k1x，y2＝k2x2，则y＝k1x﹣k2x2，所以y是关于x的二次函数，故选：C．【点睛】此题考查列函数关系式，正确理解正比例函数的定义是解题的关键．5．对于y=ax2+bx+c，有以下四种说法，其中正确的是（

）A．当b=0时，二次函数是y=ax2+c B．当c=0时，二次函数是y=ax2+bxC．当a=0时，一次函数是y=bx+c D．以上说法都不对【答案】D【分析】根据二次函数的定义和一次函数的定义判断即可．【解析】A.当b=0，a≠0时．二次函数是y=ax2+c，故此选项错误；B.当c=0，a≠0时，二次函数是y=ax2+bx，故此选项错误；C.当a=0，b≠0时．一次函数是y=bx+c，故此选项错误；D.以上说法都不对，故此选项正确．故选D．【点睛】本题主要考查了二次函数和一次函数的定义，注意二次函数y=ax2+bx+c的二次项系数，一次函数的一次项系数．6．在抛物线上的点是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分别计算自变量为和3时的函数值，然后根据二次函数图象上点的坐标特征进行判断．【解析】解：∵当时，；当时，；当时，；当时，；∴点在抛物线上．故选：D．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式，解题的关键是正确的计算．7．在二次函数y＝﹣x2+5x﹣2中，a、b、c对应的值为（）A．a＝1，b＝5，c＝﹣2 B．a＝﹣1，b＝5，c＝2C．a＝﹣1，b＝5，c＝﹣2 D．a＝﹣1，b＝﹣5，c＝﹣2【答案】C【分析】根据二次函数的相关定义进行辨别即可．【解析】解：∵y＝﹣x2+5x﹣2，∴a＝﹣1，b＝5，c＝﹣2，故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的相关定义，理解二次函数的定义是解题的关键．8．已知抛物线经过点，那么的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】把点代入抛物线，解三元一次方程组即可求解．【解析】解：∵抛物线经过点，∴，解得，，∴，故选：．【点睛】本题主要考查二次函数与三元一次方程组的综合，掌握二次函数的代入法，解三元一次方程组的方法是解题的关键．9．抛物线上部分点的横坐标、纵坐标的对应值如下表所示：x…0123…y…0…从上表可知，时，的值为（

）A． B． C． D．0【答案】D【分析】根据题意，利用待定系数法求出二次函数解析式，然后把代入解析式，即可得出答案．【解析】解：把，、，和，代入，可得：，解得：，∴抛物线解析式为，当时，，∴当时，的值为．故选：D【点睛】本题考查了待定系数法求出二次函数解析式、求函数值，解本题的关键在正确得出二次函数解析式．10．已知函数y=ax2+bx+c，其中a，b，c可在0，1，2，3，4五个数中取值，则不同的二次函数的个数共有（）A．125个 B．100个 C．48个 D．10个【答案】B【分析】根据二次函数的定义得到，依据a、b、c的选法通过计算即可得到答案【解析】由题意，∴a有四种选法：1、2、3、4，∵b和c都有五种选法：0、1、2、3、4，∴共有=100种，故选：B【点睛】此题考查二次函数的定义，有理数的乘法运算，根据题意得到a、b、c的选法是解题的关键．二、填空题11．下列函数①；②；③；④；⑤．其中是二次函数的是____________．【答案】②④/④②【分析】根据二次函数的定义，函数式为整式且自变量的最高次数为2，二次项系数不为0，逐一判断．【解析】解：①为一次函数；②为二次函数；③自变量次数为3，不是二次函数；④为二次函数；⑤函数式为分式，不是二次函数．故答案为②④．【点睛】本题考查二次函数的定义，能够根据二次函数的定义判断函数是否属于二次函数是解决本题的关键．12．如果函数是二次函数，那么的值一定是______．【答案】0【分析】根据二次函数的定义判断即可．【解析】∵函数是二次函数，∴，，解得．故答案为：0．【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，形如（a,b,c是常数，且）的函数叫做二次函数，正确把握二次函数的定义是解题关键．13．已知函数y=（m﹣2）x2+mx﹣3（m为常数）．（1）当m_______时，该函数为二次函数；（2）当m_______时，该函数为一次函数．【答案】≠2=2【分析】（1）根据二次函数的定义，二次项的系数不能为0，列出不等式，求解得出m的取值范围；（2）根据一次函数的定义，一次项的系数不能为零，且二次项的系数应该为0，据此求解得出m的值；【解析】解：（1）∵函数y=（m﹣2）x2+mx﹣3为二次函数，∴m﹣2≠0，∴m≠2．（2）∵函数y=（m﹣2）x2+mx﹣3为一次函数，∴m﹣2=0，m≠0，∴m=2．故答案为：（1）≠2；（2）=2【点睛】本题考查的是二次函数的定义，一次函数的定义，利用函数的定义建立方程或不等式是解本题的关键．14．已知函数．若这个函数是二次函数，求的取值范围__________________【答案】且【分析】根据二次函数的定义，即可得不等式，解不等式即可求得．【解析】解：函数是二次函数，，解得，故答案为：且．【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握和运用二次函数的定义是解决本题的关键．15．已知二次函数，当时，函数的值是_________．【答案】-1【分析】将x的值代入计算即可；【解析】解：当时==-1故答案为：-1【点睛】本题考查了二次函数的值，正确计算是解题的关键．16．已知点（3，a）在抛物线y=-2x2+2x上，则______．【答案】-12【分析】把点（3，a）代入解析式即可求得a的值．【解析】解：∵点（3，a）在抛物线y=-2x2+2x上，∴a=-2×32+2×3=-18+6=-12，故答案为：-12．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键．17．若二次函数的图像经过点，则代数式的值等于______．【答案】2017【分析】由题意可把点代入二次函数解析式得，则有，进而整体代入求值即可．【解析】解：∵二次函数的图像经过点，∴，∴，∴；故答案为2017．【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．18．定义：由a，b构造的二次函数叫做一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”，一次函数y＝ax＋b叫做二次函数的“本源函数”（a，b为常数，且）．若一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”是，那么二次函数的“本源函数”是______．【答案】【分析】由“滋生函数”和“本源函数”的定义，运用待定系数法求出函数的本源函数．【解析】解：由题意得解得∴函数的本源函数是．故答案为：．【点睛】本题考查新定义运算下的一次函数和二次函数的应用，解题关键是充分理解新定义“本源函数”．三、解答题19．下列式子哪些是二次函数？如果是，请指出其二次项系数、一次项系数和常数项．(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)(为常数)．【答案】(1)不是二次函数，是一次函数(2)，是二次函数，二次项系数是、一次项系数是0，常数项是0(3)不是二次函数(4)，是二次函数，二次项系数是、一次项系数是2，常数项是-3(5)时，不是二次函数(6)时，不是二次函数【分析】（1）观察函数解析式，不含二次项，不是二次函数；（2）根据二次函数的定义即可判断；（3）根据二次函数的定义即可判断；（4）根据二次函数的定义即可判断；（5）根据二次函数的定义即可判断；（6）根据二次函数的定义即可判断．【解析】（1）不是二次函数，是一次函数；（2），是二次函数，二次项系数是、一次项系数是0，常数项是0；（3）不是二次函数；（4），是二次函数，二次项系数是、一次项系数是2，常数项是；（5）时，不是二次函数；（6）时，不是二次函数．【点睛】本题考查了二次函数的识别，掌握二次函数的定义是解题的关键．二次函数的定义：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数．20．圆的半径是，假设半径增加时，圆的面积增加．（1）写出y与x之间的关系式；（2）当圆的半径分别增加时，圆的面积各增加多少？【答案】（1）；（2），，【分析】（1）根据圆的面积公式可得，再整理即可．（2）分别把，，2代入可得的值．【解析】解：（1）由题意得：；（2）当时，；当时，；当时，．【点睛】本题主要考查了函数关系式，解题的关键是掌握圆的面积公式．21．已知y关于x的函数y=（m2+2m）x2+mx+m+1.（1）当m为何值时，此函数是一次函数？

（2）当m为何值时，此函数是二次函数？【答案】（1）m=-2;（2）m≠﹣2且m≠0【分析】（1）根据一次函数的定义即可求解；（2）根据二次函数的定义即可求解.【解析】（1）∵函数y=（m2+2m）x2+mx+m+1，是一次函数，∴m2+2m=0，m≠0，

解得：m=﹣2；

（2））∵函数y=（m2+2m）x2+mx+m+1，是二次函数，∴m2+2m≠0，

解得：m≠﹣2且m≠0．【点睛】此题主要考查一次函数与二次函数的定义，解题的关键是熟知各函数的特点.22．一个二次函数．（1）求k的值．（2）求当x=3时，y的值？【答案】（1）k=2；（2）14【分析】（1）根据二次函数的定义列出关于k所满足的式子，求解即可；（2）在（1）的基础上，先求出二次函数解析式，然后代入x=3求解即可．【解析】解：（1）依题意有，解得：k=2，∴k的值为2；（2）把k=2代入函数解析式中得：，当x=3时，y=14，∴y的值为14．【点睛】本题考查二次函数的定义，以及求二次函数的函数值，理解并掌握二次函数的基本定义是解题关键．23．已知二次函数的图象经过点、、，求这个二次函数解析式和顶点坐标．【答案】二次函数解析式为，顶点坐标为【分析】设二次函数的解析式为，再把、、分别代入得到关于a、b、c的方程组，解方程组求出a、b、c的值，从而得到二次函数的解析式和顶点坐标．【解析】设二次函数的解析式为，由题意得，解得．故二次函数的解析式为，∴，∴顶点坐标为．【点睛】此题考查了待定系数法求解二次函数表达式，解题的关键是熟练掌握待定系数法求解二次函数表达式．24．二次函数中的满足下表：x⋯-10123⋯⋯0-3-4-3m⋯(1)求这个二次函数的解析式．(2)求的值．【答案】(1)(2)0【分析】（1）根据表格数据待定系数法求解析式即可求解．（2）根据二次函数的对称性即可求解．【解析】（1）解：根据表格可知对称轴为直线，且时，即顶点为，设解析式为，当时，，即，解得，∴这个二次函数的解析式为：，即（2）解：∵对称轴为直线，∴当与时的函数值相等，∴【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解