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文档简介
辽宁省名校联盟2024-2025学年高一第一次月考—数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,满分150分,考试时间120分钟一、选择题:本题共小题,每小题分,共分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.给出下列关系式,其中正确的是()。A、B、C、D、【答案】B【解析】A选项,是没有任何元素的集合,错,B选项,∵,∴,对,C选项,是正整数集合,错,D选项,,元素是点坐标,错,故选B。2.已知命题:,,则命题的否定为()。A、,B、,C、,D、,【答案】B【解析】命题:,否定为,,故选B。3.已知,则下列命题正确的是()。A、若且,则B、若,则C、若,则D、若且,则【答案】B【解析】A选项,当时,满足且,但是不满足,错,B选项,,∴,∴,即,即,对,C选项,当时,,若成立,则需,∴,∴与矛盾,错,D选项,当时,若且,则不能得出,错,故选B。4.已知:,那么的一个充分条件是()。A、B、C、D、【答案】C【解析】A选项,∵推不出,∴不是:的充分条件,错,B选项,∵推不出,∴不是:的充分条件,错,C选项,∵一定能推出,∴是:的充分条件,对,D选项,∵推不出,∴不是:的充分条件,错,故选C。5.设全集,且的子集可表示由、组成的位字符串,如:表示的是自左向右的第个字符为,第个字符为,其余字符均为的位字符串,并规定,空集表示的字符串为;对于任意两集合、,我们定义集合运算,。若、,则表示的位字符串是()。A、B、C、D、【答案】C【解析】由题意可得若、,则,∴此集合的第个字符为,第个字符为,第个字符为,其余字符均为,即表示的位字符串是,故选C。6.已知方程的两根分别是和,且满足,则实数的取值范围为()。A、B、C、D、【答案】C【解析】∵方程的两根分别是和,∴,解得或,、,∵,∴,解得,∴实数的取值范围为,故选C。7.已知命题:,命题:()。若命题是命题的充分不必要条件,则实数的取值范围为()。A、B、C、D、【答案】B【解析】由题意:中,解得,在:()中,解得,∵是的充分不必要条件,∴,等号不同时成立,∴,∴实数的取值范围为,故选B。8.若关于的不等式()的解集为空集,则的最小值为()。A、B、C、D、【答案】D【解析】,,得,∴,令,则,∴,故选D。二、选择题:本题共小题,每小题分,共分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得分,部分选对的得部分分,有选错的得分。9.已知集合、集合,则下列说法正确的是()。A、B、C、D、有个真子集【答案】BD【解析】由题意得集合表示直线上所有的点,集合表示上所有的点,是点集,A选项错,由得或,∴,∴B选项对,C选项错,∴有个真子集:、、,D选项对,故选BD。10.已知条件:,条件:,且是的必要条件,则实数的值可以是()。A、B、C、D、【答案】ABC【解析】设集合、集合,∵是的必要条件,∴,当时,由无解可得,符合题意,当时,或,当时,由解得,当时,由解得,综上所述,实数的取值为、、,故选ABC。11.已知关于的方程只有一个实数根,则实数的可能取值为()。A、B、C、D、【答案】ABD【解析】对方程,去分母可得:,且且,此时,当时,即时,此时方程为,即,解得,符合题意,当,即时,方程有两根、,当或时,为增根,此时方程只有一个实根,当时,,符合题意,当时,,符合题意,综上所述,实数的可能取值为或或,故选ABD。三、填空题:本题共小题,每小题分,共分。12.已知实数满足:,则。【答案】【解析】。13.若两个正实数、满足,且存在这样的、使不等式有解,则实数的取值范围为。【答案】【解析】∵两个正实数、满足,两边同除以得,∴,当且仅当,即、时,等号成立,则的最小值为,若不等式有解,则,即,解得或,∴实数的取值范围为。14.已知关于的不等式组仅有一个整数解,则实数的取值范围为。【答案】【解析】由不等式,解得或,解方程,解得、,①若,即时,不等式的解集为,若不等式组只有一个整数解,则,解得,②若,即时,不等式的解集为,若不等式组只有一个整数解,则,解得,综上所述,实数的取值范围为。四、解答题:本题共小题,共分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(本小题满分分)某光伏企业投资万元用于太阳能发电项目,经计算()年内的总维修保养费用为万元,该项目每年可给公司带来万元的收入。假设到第年年底,该项目的纯利润为万元。(纯利润累计收入-总维修保养费用投资成本)(1)写出纯利润的表达式,并求该项目从第几年起开始盈利;(2)若干年后,该公司为了投资新项目,决定转让该项目,现有以下两种处理方案:①年平均利润最大时,以万元转让该项目;②纯利润最大时,以万元转让该项目;你认为以上哪种方案最有利于该公司的发展?请说明理由。【解析】(1)由题意可知(),2分令,即,即,解得,∴从第年起开始盈利;5分(2)若选择方案①,设年平均利润为万元,则,当且仅当时,即时等号成立,∴当时,取得最大值,8分此时该项目共获利(万元),若选择方案②,纯利润,∴当时,取得最大值,此时该项目共获利(万元),11分以上两种方案获利均为万元,但方案①只需年,而方案②需年,∴仅考虑该项目的获利情况时,选择方案①更有利于该公司的发展。13分16.(本小题满分分)根据要求完成下列问题:(1)已知,是否存在正实数、使得?若存在,求出、的值;若不存在,请说明理由;(2)已知,比较与的大小并说明理由;(3)利用(1)的结论解决下面问题:已知、均为正数,且,求的最大值。【解析】(1)不存在,∵、,∴,又∵,∴,∴,∴不存在、使得;5分(2),证明如下:,当且仅当时等号成立,∴;10分(3)由(1)得,∴,∴,当且仅当,即、时等号成立,∴的最大值为。15分17.(本小题满分分)根据要求完成下列问题:(1)已知命题:,命题:(),且命题是命题的必要不充分条件,求实数的取值范围。(2)已知不等式的解集与关于的不等式()的解集相同,若实数满足,求的最小值。【解析】(1)命题:,解得,设命题表示集合,2分设命题表示集合,∵命题是命题的必要不充分条件,∴,4分,即,5分当时,,,符合要求,可取,当时,解得,∵,∴,解得,经检验,符合要求,可取,当时,解得,∵,∴,解得,经检验,符合要求,可取,综上所述,实数的取值范围为;8分(2)由得,解得,10分又由得,其解集为,∴和是方程的两根,根据韦达定理得、,∴、,∴,13分则,当且仅当时,即时取等号,即、时,有最小值为。15分18.(本小题满分分)根据要求完成下列问题:(1)已知函数的图像都在轴上方,求实数的取值范围;(2)关于的不等式的解集为,且,求实数的取值范围。【解析】(1)当时,即时,解得或,1分当时,的图像不可能都在轴上方,不符合题意,舍去,2分当时,的图像都在轴上方,符合题意,可取,3分当时,若函数的图像都在轴上方,则只需且,即且,解得,7分综上所述,,即实数的取值范围为;8分(2)由题意可知且方程的两根为、,则,解得或,∴或,10分根据韦达定理得、,11分又∵,∴,∴,∴且,∴,16分综上所述,,∴实数的取值范围为。17分19.(本小题满分分)根据要求完成下列问题:(1)已知集合、集合,且满足,求实数的取值范围;(2)设数集满足:,又若实数是数集中的一个元素,则一定也是数集中的一个元素,求证:①若,则集合中还有其他两个元素;②集合不可能是单元素集合。【解析】(1)当时,,此时,1分当时,∵,∴或关于的方程的根均为负数,2分当时,关于的方程无实数根,∴,解得,4分当关于的方程的根、均为负数时,有,解得,即,7分综上所述,实数的
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