2025届江苏苏州高三年级上册期初阳光调研数学试题（含答案）

2025届江苏苏州高三上学期期初阳光调研数学

试题+答案

2025届高三年级期初阳光调研试卷

数学2024.9

注意事项

学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：

L本卷共4页，包含单项选择题(第1题~第8题)、多项选择题(第9题~第11题)、填空

题(第12题~第14题)、解答题(第15题~第19题).本卷满分150分，答题时间为120

分钟.答题结束后，请将答题卡交回.

2.答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡

的规定位置.

3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效.作答必须用

0.5毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整，笔迹清楚.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.若i是虚数单位，则2二=

A.l-2iB.-l-2iC.l+2iD.-1+21

2.已知集合A={司2<%<6},B=(X|X2-4X<0},则An^=

A.(0,6)B.(4,6)C.[2,4)D.(-OO,0)U[2,+oo)

3.将函数/(x)=sinx的图象先向左平移w个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变

为原来的;，得到函数y=g(x)的图象，则g

V241

A.-------B.lC.—D.-1

22

4.已知向量Z=(l,—1),^=(x-2,x2),则“x=—2”是的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.“绿水青山就是金山银山”的理念深入人心，人民群众的生态环境获得感、幸福感、安全感不断提升.某

校高一年级举行环保知识竞赛，共500人参加，若参赛学生成绩的第60百分位数是80分，则关于竞赛成

绩不小于80分的人数的说法正确的是

A.至少为300人B.至少为200人C.至多为300人D.至多为200人

6.已知正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，则该正四棱锥侧棱和底面所成角的余弦值为

V31A/15Vio

A.B.—C.-------D.------

2255

7.已知函数/(x)=ex+e(x—a—1)(e为自然对数的底数)，g(x)=ln(xe)—a的零点分别为玉，马，

则土的最大值为

%

12

A.eB.-C.lD.-

ee

8.在平面直角坐标系xOy中，A,B为双曲线。：必一,2=1右支上两点，若AB=6,则AB中点横坐标的

最小值为

4出16

A,272B.V10C.——D.—

3

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.已知二项式j—]

I的展开式,则

A.二项式系数最大的项为第3项B.常数项为第5项

C.展开式中含V的项为60炉D.展开式中所有项的系数和为64

io.如图,已知直线4〃?2,A是4,4之间的一定点，A到/]的距离AE=1,A到4的距离A。=2.8,C

分别在I1,4上，设NACZ)=a,则

B.^ABLAC,则△ABC面积的最小值为2

C.若△A2C为等边三角形，则tana=Y312

D.若NBAC=60。，则——+—的最大值为1

2ABAC

11.若数列｛%｝满足：％=1,对VM,〃eN*有‘=’+工成立.则

an+manam

1

A,^2024=2024

*2

B.3/iEN,使得+•…〃；+］〉~

a

C.对X/几EN*,都有%+%+〃3H-----^n>ln（n+l）

D.对VnGN*,都有%+/+a4H—+an+1<ln（n+1）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.ZXA2C内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若3=30。，b=>J13,c=2,则a=.

13.已知直线/:（2左+l）x—6―1=0（其中左为常数），圆。：必+,2=8,直线/与圆o相交于A,8两

点，则AB长度最小值为.

14.如图，线段AO,8c相交于O,且AB,AD,BC,C。长度构成集合{1,5,9,x},ZABO=ZDCO=9Q°,

则x的取值个数为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.（13分）

2024年7月26日第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎开幕，为了保证奥运赛事的顺利组织和运行，以

及做好文化交流、信息咨询、观众引导等多方面的工作，每项比赛都需要若干名志愿者参加服务，每名志

愿者可服务多个项目.8月7日100米跨栏、200米、400米、800米、1500米、5000米比赛在法兰西体育

场举行.

（1）志愿者汤姆可以在以上6个项目中选择3个参加服务，求汤姆在选择200米服务的条件下，选择

1500米服务的概率；

（2）为了调查志愿者参加服务的情况，从仅参加1个项目的志愿者中抽取了10名同学，其中6名参加

5000米服务，4名参加800米服务.现从这10名同学中再选3名同学做进一步调查.将其中参加800米服务

的人数记作X,求随机变量X的分布列和数学期望.

16.（15分）

如图，在三棱锥。一ABC中，△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形，△ABD是边长为2的正三角形，

E为AD的中点，/为OC上一点，且平面平面ABD

D

(1)求证：4。工平面8所；

(2)若平面ABC，平面AB。，求平面8E尸与平面BCO夹角的余弦值.

17.(15分)

已知函数/(%)=sinx+eX—4x,e为自然对数的底数，函数g(x)=d—ax+3.

(D若〃x)在(0,1)处的切线也是g(x)的切线，求实数a的值；

(2)求“X)在(f,+co)上的零点个数.

18.(17分)

226

在平面直角坐标系xOy中，椭圆二+匚=1(。>匕〉0)的离心率为二，A为椭圆左顶点，已知点

ab2

2

P(l,2),且直线朋的斜率为］.过点M«,0)作直线/交椭圆于B,C两点(8在x轴上方，C在x轴下

方)，设PB,PC两直线分别交椭圆于另一点。，E(B,E分别在线段尸D,PC上).

(1)求椭圆的标准方程；

Q

(2)当f=l时，若/的斜率小于零，且△PBC的面积为一，求证：/BMD=/DPC；

(3)若存在实数X,使得屁=2反，求此时直线DC的斜率.

19.(17分)

如果数列｛%｝满足a*<anan+2(neN*),则称之为凸数列.

现给定函数/(力及凸数列｛%｝,它们满足以下两个条件：

①0<a,<%；

②对V让2,有/(%)-，(%)|。"|%-%|«，(%)-7(%)|(4为正常数).

(1)若数列｛〃｝满足仇>1,bn+｝=-｛bn+工］,且数列｛%｝满足cn=,请判断｛%｝是否为凸

21b\b-1

数列，并说明理由；

10

(2)若|/(%)_/(%)|=2,求证：2旧+1一同＞18；

i=2

(3)对任何大于等于2的正整数i,j且，W),求证：—/(%)卜.—巴1

苏州市2025届高三期初阳光调研试卷

高三数学

2024.9.19

一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

L若i是虚数单位，则早=()

A.1—2iB.-1-2iC.14-2iD.-1+2i

【答案】B

L〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜J〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜Z〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜、〜〜、〜〜~〜〜1

5【解析】"■=七?=一⑵一i2)=-l-2i,选B\

〈1r/

2.已知集合A={HI24rrV6},B={rrla;?—4工＜0},则ADB=()

A.(0,6)B.(4,6)C.[2,4)D.(-oo,0)U[2,+oo)

【答案】C

rX'V〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜一〜、〜〜〜C.〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜、〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜1

；)因为8={zl3：2—4rrV0}={句0Ma;V4},所以ZnB=[2,4),故选C

、〜〜〜2、〜〜7〜〜〜〜〜ZW、•.〜〜〜〜2WW〜7W〜〜〜〜W〜、〜〜、〜〜2〜〜〜〜7〜〜WWWZ〜2〜〜〜、W〜7〜〜W2〜〜1

3.将函数/(0=sinz的图象先向左平移f个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变

为原来的专，得到函数y=gQ)的图象，则g(£)=()

A.~B.1C.D.—1

【答案】A

L〜〜、〜〜〜〜〜〜、、〜〜〜〜〜〜〜w〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜W〜〜〜〜〜〜〜〜〜、〜〜〜、〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜、〜〜、〜〜W〜、〜〜〜〜〜〜、W~ZZ〜I

?L-g{x)=sin(2x+y),所以g(g)=sin(3r+亍)=-sin宁=-*^,故选A

4.已知向量a=(l,-l),b=(工一2,一),则”;r=-2”是％〃的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

~、

；I】若。〃札则/=—(二-2)=H=-2或1,所以“工三—2“是”〃标的充分不必要条件，故选A

'〜W~〜〜、〜〜-Ji^、〜、、〜〜〜〜〜〜〜〜~~〜〜、、

5.“绿水青山就是金山银山”的理念深入人心，人民群众的生态环境获得感、幸福感、安全感不断提升.某校

高一年级举行环保知识竞赛，共500人参加，若参赛学生成绩的第60百分位数是80分，则关于竞赛成绩

不小于80分的人数的说法正确的是()

A.至少为300人B.至少为200人C.至多为300人D.至多为200人

【答案】B

；【.1若第60百分位数是80分,至少65OOX6O%=3OO人小于或等于80分，则不小于80分的人数至:

;少为500-300=200人，故选B

I〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜、、〜〜〜〜〜、〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜、〜、〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜1

6.已知正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，则该正四棱锥侧棱和底面所成角的余弦值为()

A返C是D四

2255

【答案】D

L~~〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜一〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜、〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜~i

，如图，设正四棱锥底面边长为BC=2a,侧高PE=/z,则由题得2X4a2=4X春・2a•九=2a=/i,?

?2?

I〜〜〜〜〜〜〜、〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜、〜〜〜〜〜〜'〜〜Z〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜、〜〜7〜〜〜〜〜〜W〜〜〜〜7〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜、〜7〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜1

•1・

?所以侧以PC=JCE'+PE?=瓜5因为OC=蓼a,正四棱锥侧棱和底面所成角即为ZPCO,

jcos"。。：器=爰=嘈■，故选D

7.已知函数/3)=j+63-&-1)(6为自然对数的底数),93)=1113优)一。的零点分别为%％则生的

。2

最大值为()

19

A.eB.—C.1D.—

ee

【答案】C

1〜〜〜〜W〜〜〜〜~〜〜〜〜〜〜〜~〜〜〜〜〜〜7〜〜〜〜'V-、'~~~~w〜〜、、〜~〜〜、〜〜〜〜〜、〜、^^•、〜~~<vw〜w〜〜〜~~、〜、〜、〜〜〜〜〜1

j【解析】由题得优望;二尸=占，+e(5—)=0|

z,l2

\=>e4-exl=e(ln(x2e)+1)=+err1=e•lnex2+ex2

?令，2(rr)=6]+=,则九(电)=/z(lnec2),易知人(力为R上单增函数，所以为=Ineg

j...亘=£=g±1,令皿3:)=巫±1,”)=—警=()=>工=1,

gg0x2

J当iW(0,1)时,nVQ)>0,m(x)单调递增，当°£(1,+<»)时,m/Q)<0,m(z)单调递减，

??

*所以m3)最大值为m(i)=i,即色的最大值为i,故选c

(X2?

8.在平面直角坐标系xOy中,A,B为双曲线C:x2-y2=l右支上两点，若4B=6,则A3中点横坐标的最

小值为()

A.2®B.网C.D.冬

JJ

【答案】A

/〜〜〜〜"X,〜〜〜〜〜〜^V*V~〜〜〜~〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜'、♦'、、',〜〜〜"V〜、〜~-V〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜~~〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜1

JI取右焦点F(〃,0),设4©,劭),b(g，如)，力b中点M3),y°),

:48”在右准线工=察上的射影分别为。,O,N,!

\则MZV=曲一察=-4"BD_=.”琴F,当德=呼,当4B,P三点共线时取等，所以g>2〃?

?故选A

I〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜、〜〜〜、〜7W〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜」.-1-〜〜W〜、〜〜〜〜〜〜〜〜~*X-〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜W〜'〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜“

二、选择题:本题共3小题,每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部进对

的得6分,部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知二项式卜+/丁的展开式，则()

A.二项式系数最大的项为第3项B.常数项为第5项

C.展开式中含/的项为60dD.展开式中所有项的系数和为64

【答案】BC

k〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜~〜〜〜〜〜〜〜~〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜~~〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜I

:由二项式系数的性质知，二项式系数最大的项为第4项,系数为a=20,A错误；

\二项式的通项为T+i=Ga尸•(春)'=256/立,当6-•|r=0=r=4,所以常数项为第4+1=5j

I项,B正确;

??

\当6-9=3"=2,所以含d项为第3项，即22・。标=60日C正确

；对于D,令工=1,则展开式所有项的系数和为3°=729,D错误

；故选BC

I〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜N〜〜〜〜〜、〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜、〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜一

10.如图，已知直线人1111A是I],%之间的一定点,A到Z,的距离AE=1,A到，2的距离AD=2.B,C分别在

44上,设乙48=°,则

A.若a=30°,AB_LAC,则43=2B.若AB_L4。，则△ABC面积的取小值为2

C.若乙45。为等边三角形，则tana=空D.若Z.BAC=60°,则表+的取大值为1

【答案】BCD

，〜〜~〜〜〜W〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜'〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜、〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜'〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜，

:斤】对于A,若48_LAC,a=30°,则NEAB=30°,所以43=--=卒，A错误：

cos30J

-3-

911o?

对于B,若则AC=1-,A8==^,所以5枷0=春43・47=一^>2,当且仅当a|

sinacosa幺sin2a

=与时取最小,B正确；；

若ZR4C=60°,则AC='一,AB=-；\o..,f

若AABC为等边三角形，则AC=AB=>--r—=---/八。2cos(a+30°)=sina=>tana=»\

smacos(a+30)/\

C正确；

=cos(a+30°)+sina=^sina+^^cosa=sin(a+600)&1,当a=30°时取等,D正确,

故选BCD

11.若数列｛QJ满足:Qi=1,对Pm,n£N*有—--=1F—成立.则()

^n-Mrt厮a〃i

A.Q2024=2024

B.€N\使得信+a；H----1■诵+1>名

C.对Vri£N*,都有％+电+a才十一中如>ln(n+1)

D.对Vn£N,都有©+Q3+Qi+…+。7什1Vln(n+1)

【答案】ACD

/v»v、〜nw、~w~*v*v"v~、〜〜、、〜〜〜〜〜zzz〜z〜〜〜zz~~〜〜zzzzw〜〜〜〜〜〜〜〜〜zzzz〜〜w〜z〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜wzzzz〜1

,.：,,■令m=l,则」-毛工+工=」——L=l,故是首项为1公差为1的等差数列，

。门+】4。1。川+】QnI@nJ，

故吉=小即a"=!\

所以<12«21=2024,A正确j

对于B,因为熹=,<缶^=2(高一小)\

所以a"城+…+*=/+*+…+瓦为V2信一/+/一>…*苏匕—万3)\,

-—c2「V号，故不存在neN,，使得足+扇-I----Fa"i>"I""B错误；S

对于C,因为ln(l+c)&c,当出=0时取等，所以ln(l+,)Vl,皿1+*)V〃,…,ln(l+《)|

累加得4~+J4----F->In(本•.…九+1)n%+Q?+Q、」---卜4>ln(n+1),C正确

1./TL\/九//

对于D,因为ln(l+,)>击=ln(l+?)>1T，所以11r<皿1+打击<ln(l+/…/

?

—377<111(1+—),累加得4~+4-4----\—TTVln(n+l),即a24-a3+a.jH-----FOn+i<ln(n+1),D正;

九十1\九，2Jn~v1?

:确

[故选ACDJ

三、填空题:本题共3小题,每小题5分，共15分.

12.ZVLBC内角4B,C的对边分别为a,b>c,若5=30°力=，*,。=2,则。=.

【答案】3代

〜〜〜〜W〜〜〜〜Z〜ZZ〜〜Z〜〜〜Z〜Z〜-2、*S、、、、、〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜Z\z〜〜〜〜W〜〜〜/^*~*x***v~~~〜〜〜〜〜〜〜〜I

^2<*2_L2?

由余弦定理COSJB=-^—■=^>a2—2V3a-9=0=>(a-3V3)(a+V3)=0=>a=3V3

'ZZZZ、〜〜〜〜〜WWW~~ZWZZZW〜〜〜〜w〜〜7〜ZZZZ〜〜77〜z〜〜〜ZZZZ〜〜〜、〜〜ZZZZ〜W2〜〜7〜WZZZ〜~W〜Z〜〜〜〜zzzzz'

13.已知直线，:(2卜+1)。一物一1=0(其中k为常数)，圆0注2+/=8,直线/与圆0相交于45两点,则43

长度最小值为.

【答案】24

4

14.如图，线段AD,BC相交于O,且AB,AD,BC,CD长度构成集合{1,5,9,x},AABO=4DCO=90°,则x

的取值个数为.

【答案】6

；【解析】(AB+CDy+BC'uAD)①工＜9时,上。=9,

，若48或8=刀，则(工+1)2+25=81,得：r=2VH-1或(®+5)24T1=81,得H=4\后—5

;若BC=rr,则36+/=81得工=3百，

?②工＞9时,AD=z,则H=3/1^或5函或，

f故工的可能取值有6个

I〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜、--〜、、〜A〜〜〜〜〜〜、〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜、〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜L

四、解答题，本题共5小题，共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)

2024年7月26日第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎开幕，为了保证奥运赛事的顺利组织和运行，

以及做好文化交流、信息咨询、观众引导等多方面的工作，每项比赛都需要若干名志愿者参加服务，每名

志愿者可服务多个项目.8月7日100米跨栏、200米、400米、800米、1500米、5000米比深在法兰西体

育场举行.

(1)志愿者汤姆可以在以上6、个项目中选择3个参加服务,求汤姆在选择200米服务的条件下，选择1500

米服务的概率：

(2)为了调查志愿者参加服务的情况，从仅参加1个项目的志愿者中抽取了10名同学，其中6名参加

5000米服务，4名参加800米服务.现从这10名同学中再选3名同学做进一步调查.将其中参加800米服

务的人数记作X,求随机变量X的分布列和数学期望.

1

^\/〜〜〜〜〜~~z〜、•'^^!〜〜〜〜〜〜〜〜〜z〜〜〜、〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜'〜〜〜〜〜z〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜1

；【注折)(1)设汤姆选择200米服务为事件A,汤姆选择1500米为事件B,

,5,

则P(B⑷=以⑷3)=g.=_!,=2

AJ{)。⑷cl105

(2)随机变量X的可能取值为0,1,2,3,

则P(X=0)=m=器P(X=1)=午060

5o"u5o-120,

p(Y—O\——36p/y__C4_4

()一~CT-两'P(X—初一蕊一两,

X的分布列为;

X0123

P2060364

120120120120

数学期望E（X）=0x患+1X黑+2X盖+3X盒4

或随机变量X服从超几何分布X-H（3,4,10）,则E（x）=*=4

1UO

16.（15分）

如图，在三棱锥O-ABC中，△ABC是以力B为斜边的等腰直角三角形，△ABD是边长为2的正三角

形，E为4。的中点，F为。。上一点,且平面BEF_L平面

（1）求证:AD_L平面BEF;

（2）若平面ABC±平面力求平面BE尸与平面BCD夹角的余弦值.

〜〜〜、W〜e,（\〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜Z〜〜W〜〜〜〜Z〜〜〜〜〜〜〜〜〜U〜〜〜〜〜

因为平面BEF_L平面ABD,平面BEF0平面ABD=BE,

因为A4BC为正三角形,E为AD中点，所以AD_LBE,4OU平面ABD,所以ADJ.平面BEF

⑵取AB中点O,连结CO,DO,因为为正三角形，AABC是以AB为斜边的等腰直角三角形，

则。O_L4B,CO_LAB,

因为平面ABC_L平面AB」D,平面43。Cl平面ABD=AB,

则DO_L平面ABC,即DO±AB,DO±&O,即OC,。4,OD两两垂直，以OAQCQD为空间基底

建立空间直角坐标系，如图所示，则A[0,l,0）,B（0,-l,0）,C（l,0,0）,D（0,0,/）,

所以用=（1,1,0）,丽=（0,1,抬力设平面BCD的法向量为芯=Q,%z）,

则修需=肆三令E则y=-g哈即亢=（一雪）

因为力D±平面BEF,则助=（0,—1,JW）为平面BEF的一个法向量

〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜、〜〜〜〜〜〜~〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜、〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜、〜〜〜、〜〜〜

-6-

17.(15分)

已知函数/(x)=sinx+ex—Ax,e为自然对数的底数，函数g(x)=x3—ax+3.

(1)若/Q)在(0,1)处的切线也是g(x)的切线，求实数a的值；

(2)求/(工)在(-K,+8)上的零点个数.

/[⑴/㈤=8srr+eH-4,广(0)=-2,即/®在(0,1)处切线的斜率k=-2,所以/㈤在(0,1)处'

\的切线为？=-2工+1,设直线与gQ)的切点为3。，9(4)),因为g，(rr)=3#一公

5所以g(z)在(x,g(x))处切线为y—g(a；o)=(3xS~a)(x—x)=>y=(3x^—a)x—2x'i+3

?n0n?

:由题意得=F可，所以实数a的值为5

|l-2xo4-3=1(a=5

$⑵/㈤=cosx+e1—4,当rcW(―7r,0)时,r(c)=cosx+ex-4<cosx—3<0,所以/(①)在(―兀,0)，

;上单调递减,/(。)>/(0)=1,所以/3)在(-7T,0)上无零点，

\当±>0时J〃(c)=ez-sinx>1—sinx>0,所以r(~)在(0»+8)上单调递增，

2

；/'(I)=cosl+e—4v0,((2)=cos2+e-4>0,所以三配€(l,2),/\x0)=0,

\当。w(O,Xo)时,r(c)<0,/(x)单调递减，当。£(到,+8)时,r(。)>0J(x)单调递增

;而f(o)=1>0,/(1)=sinl+e-4V0,所以存在受W(0,1)J(g)=0,

\又/(3)=sin3+e3-12>0,所以存在的€(1,3),、/(5)=0

?综上,/(工)在(一兀,+8)上共有2个零点.

I〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜•>-〜〜〜A2〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜1

18.(17分)

在平面直角坐标系忒加中，椭圆三+旨=l(a>b>0)的离心率为坐，4为椭圆左顶点，已知点

ab2

P(l,2),且直线B4的斜率为看过点M(t,0)作直线，交椭圆于8,。两点(B在z轴上方，。在h轴下

方)，设PBPC两直线分别交椭圆于另一点D,E(B,E分别在线段PD,PC上).

(1)求椭圆的标准方程；

(2)当t=l时，若Z的斜率小于零，且△PBC的面积为|■，求证:NBMD=ZDPC；

D

•7・

（3）若存在实数/I,使得BE=求此时直线的斜率.

【解析】⑴因为A(-a,O),kPA="一=义=a=2,又椭圆离心率e=?=卑=c=/,

JL十QJCLJL

所以/=a2—,2=1,即椭圆的标准方程为亨+/=1

（2）由题意可设直线Z方程为％=+1,6（电,劭）,。（团2,协）,

x=my+l

x2,o1=(/+4)娟+2my-3=0,△>0,初=一.71，%幼=7,.

(才+矿=1m4-4m-4-4

243

所以$&.=彳Efl=l^(yi-y2)l=\m\y/(yl+y2)-4yly2=|m|--^+.=A

/m+4o

=>m=±l,因为直线/斜率小于零，所以m=—l

即直线l：y=-x+1,联立方程即为5g2—2g—3=0

=（g-l）（5g+3）=0=>g=l或片一名,

可得点B（O,1）,C（|■，—春），

fy=i+l

法1：此时直线PB.y=x+l,联立桶圆方程IM1=>x(5x4-8)=0

=>3；=0或—4，即知=一当，

O0

所以加二一卷，即点一卷2一卷］所以如?=—£~~

5

所以tan/BMD=.，艇「哪一=提

岛七一岛吸8_

因为上巾=---=—y-,kPD=kpB=YZQT=L；•tanZL>PC=

1一51+kpckpD

所以tanNbMD=tanZDPC,即4BMD=£DPC

法2：因为际B=1,%C=-1,则AD=8C,又BC，PD、BM=BP=血、所以及△BFCNABMD

所以ZBMD=/DPC

法3:根据km=1,kllc=-l,所以对称性可得到。（一5,一/班以。。d.PM.

因此M为△P3C的垂心，设DM与P