专题02方程与不等式-2023年中考数学一模试题分项汇编

专题02方程与不等式一、单选题1．（2023·浙江温州·统考一模）解方程，以下去分母正确的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】各项同时乘以运算即可．【详解】解：，去分母得，，故选：A．【点睛】本题考查了解一元一次方程去分母．解题的关键在于正确的运算．2．（2023·统考一模）在《孙子算经》中记载了这样一个问题，大意为：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺．将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺．设绳长x尺，木长y尺，根据题意可列二元一次方程组（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题的等量关系是：绳长木长；木长绳长，据此可列方程组求解．【详解】解：设绳长尺，长木为尺，依题意得，故选：B．【点睛】此题考查二元一次方程组问题，关键是弄清题意，找准等量关系，列对方程组，求准解．3．（2023·浙江温州·统考一模）将方程去分母，结果正确的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据解一元一次方程的步骤可进行求解．【详解】解：将方程去分母得：；故选A．【点睛】本题主要考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．4．（2023·浙江宁波·模拟预测）在解方程时，第一步应先“去分母”，去分母后所得方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】方程两边同乘以，计算即可得出答案．【详解】解：方程两边同乘以，可得：．故选：A【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的基本步骤是解本题的关键．5．（2023·浙江杭州·模拟预测）某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为96元，设平均每次降价的百分率为x，根据随意，所列方程正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】结合题意分析：第一次降价后的价格=原价×（1降低的百分率），第二次降价后的价格=第一次降价后的价格×（1降低的百分率），把相关数值代入即可．【详解】解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程150（1x）2=96，故选：C．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是能够分别表示出两次降价后的售价．6．（2023·浙江嘉兴·统考二模）若关于的一元二次方程有两个相等实数根，则的值是（

）A． B．1 C． D．4【答案】D【分析】根据关于x的一元二次方程有两个相等的实数根可知b2﹣4ac＝0，求出a的取值即可．【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等实数根，，解得：．故选：D．【点睛】本题考查的是根的判别式，即一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与b2﹣4ac有如下关系：①当b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当b2﹣4ac＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当b2﹣4ac＜0时，方程无实数根．7．（2023·浙江嘉兴·统考二模）不等式组的解是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用不等式的性质，先求出两个不等式的解集，再求其公共解．【详解】解：，由①式得x＞1；由②式得x＞3，所以不等式组的解集为x＞3．故选：B．【点睛】此题考查解不等式组；求不等式组的解集，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．8．（2023·浙江温州·校考一模）方程的根是（

）A． B． C． D．或【答案】C【分析】将方程两边同乘以即可得．【详解】解：，方程两边同乘以得：，经检验，是分式方程的根，故选：C．【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题关键．9．（2023·浙江宁波·模拟预测）用一根绳子环绕一棵大树，若环绕大树3周，则绳子还多5尺；若环绕大树4周，则绳子又少了2尺，这根绳子有多长？环绕大树一周需要多少尺？设绳子有x尺，环绕大树一周需要y尺，所列方程组中正确的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据“若环绕大树3周，则绳子还多5尺；若环绕大树4周，则绳子又少了2尺”，列出二元一次方程组即可．【详解】解：由题意可得故选D．【点睛】此题考查的是二元一次方程组的应用，掌握实际问题中的等量关系是解题关键．10．（2023·浙江宁波·统考一模）我国民间流传着一道数学问题：只闻隔壁人分银，不知多少银和人：每人7两多7两，每人半斤少半斤（注；古代1斤＝16两）．试问各位善算者，多少人分多少银．设有人，分两银，根据题意列二元一次方程组正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据“每人7两多7两，每人半斤少半斤”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．【详解】解：设有人，分两银，∵每人7两多7两，∴，∵每人半斤少半斤，∴，∴根据题意列出的二元一次方程组为．故选：D．【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．11．（2023·浙江宁波·校考一模）《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作．在它的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的．《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图1、图2．图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数，的系数与相应的常数项．把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是，类似地，图2所示的算筹图我们可以表述为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据已知的等式的意义列方程组即可．【详解】解：图2所示的算筹图我们可以表述为，故选：B．【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，正确理解图形的含义是解题的关键．12．（2023·浙江温州·统考一模）若关于x的方程没有实数根，则c的值可能为（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】D【分析】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于c的不等式，求出c的取值范围，再对各个选项进行判断即可．【详解】解：∵关于x的方程没有实数根，，解得：，∴c的值可能为2．故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式和解一元一次不等式，熟练掌握一元二次方程根的情况和判别式的关系是解决问题的关键．13．（2023·浙江湖州·统考一模）若，则下列各式中正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先解不等式，可得，再通过举反例的方法可判断A，B，C，再解不等式可得，从而可得结论．【详解】解：∵，∴，当时，则，故选项A不符合题意；当时，则，故选项B不符合题意；∵，∴，故选项C不符合题意；∵，∴，当时，一定成立，故选项D符合题意；故选：D．【点睛】本题考查的是举反例的方法解决选择题，一元一次不等式的解法，掌握“举反例的方法”是解本题的关键．14．（2023·浙江嘉兴·校考一模）不等式的解集在数轴上表示正确的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．【详解】解：移项得，，合并同类项得，，x的系数化为1得，．在数轴上表示为：故选：C．【点睛】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知实心点与空心点的区别是解题的关键．15．（2023·浙江·模拟预测）已知关于x、y的二元一次方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题可知，关于x，y的方程组的解为，进而求出的值即可得解．【详解】解：∵关于x、y的二元一次方程组的解为，∴关于x，y的方程组的解为，∴，故选A．【点睛】本题考查解二元一次方程组．解题的关键是利用整体思想，得到．16．（2023·浙江温州·一模）若方程有两个相等的实数根，则m的值为（

）A．4 B．2 C．1 D．0【答案】C【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，解之即可得出结论．【详解】解：∵关于x的方有两个相等的实数根，∴，解得：．故选C．【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．17．（2023·浙江杭州·模拟预测）已知关于的方程的两实数根为，，若，则的值为（

）A． B． C．或3 D．或3【答案】A【分析】利用根与系数的关系以及求解即可．【详解】解：由题意可知：，且∵，∴，解得：或，∵，即，∴，故选：A【点睛】本题考查根与系数的关系以及根据方程根的情况确定参数范围，解题的关键是求出，再利用根与系数的关系求出或（舍去）．18．（2023·浙江舟山·校联考一模）已知关于，的二元一次方程组，有下列说法：①当时，方程的两根互为相反数；②不存在自然数，使得，均为正整数；③，满足关系式；④当且仅当时，解得为的倍．其中正确的是(

)A．①②③④ B．①③④ C．②③ D．①②④【答案】B【分析】利用加减法求出关于、的二元一次方程组的解(用含的代数式表示)，再根据A、B、C、D所述列出算式、方程和不等式组，解集不存在的即为正确答案．【详解】二元一次方程组得，，当时，，故当时，方程两根互为相反数；故①符合题意；，，代入得，，，满足关系式，故③符合题意；当时，，，当且仅当时解得为的倍，故④符合题意；当，时，则，，当时，，，(，均为正整数)，存在自然数使得，均为正整数，故②不符合题意．故选：B．【点睛】此题考查二元一次方程组的解，同时涉及方程组的解集，解题关键在于掌握运算法则．19．（2023·浙江金华·校联考模拟预测）关于x的方程x（x﹣1）＝3（x﹣1），下列解法完全正确的是（）ABCD两边同时除以（x﹣1）得，x＝3整理得，x2﹣4x＝﹣3∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣3，b2﹣4ac＝28∴x＝＝2±整理得，x2﹣4x＝﹣3配方得，x2﹣4x+2＝﹣1∴（x﹣2）2＝﹣1∴x﹣2＝±1∴x1＝1，x2＝3移项得，（x﹣3）（x﹣1）＝0∴x﹣3＝0或x﹣1＝0∴x1＝1，x2＝3A．A B．B C．C D．D【答案】D【分析】A.不能两边同时除以（x﹣1），会漏根；B.化为一般式，利用公式法解答；C.利用配方法解答；D.利用因式分解法解答【详解】解：A.不能两边同时除以（x﹣1），会漏根，故A错误；B.化为一般式，a＝l，b＝﹣4，c＝3，故B错误；C.利用配方法解答，整理得，x2﹣4x＝﹣3，配方得，x2﹣4x+22＝1，故C错误；D.利用因式分解法解答，完全正确，故选：D【点睛】本题考查解一元二次方程，涉及公式法、配方法、因式分解法等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．20．（2023·浙江绍兴·模拟预测）利用函数知识对关于代数式的以下说法作出判断，则正确的有（）①如果存在两个实数，使得，则②存在三个实数，使得③如果，则一定存在两个实数，使④如果，则一定存在两个实数，使A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】根据二次函数的性质、根的判别式一一判断即可；【详解】解：①错误，或时，与不一定等于0；②错误，一元二次方程最多存在两个不同的实数根；③正确，∵，则△＞0，抛物线与x轴有两个不同的交点，故一定存在两个实数，使；④错误，∵，∴△不一定＞0，抛物线可能与x轴没有交点，结论不一定成立．故选：A．【点睛】本题考查二次函数图象与轴的交点、一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．二、填空题21．（2023·浙江温州·校考一模）不等式组的解为_______．【答案】【分析】先求出两个不等式的解，再找出它们的公共部分即为不等式组的解．【详解】，解不等式①得：，解不等式②得：，则不等式组的解为，故答案为：．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．22．（2023·浙江宁波·校考一模）如果关于x的方程2无解，则a的值为______．【答案】1或2．【分析】分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．【详解】去分母得：ax﹣1=2(x﹣1)ax﹣2x=﹣1，(a﹣2)x=﹣1，当a﹣2=0时，∴a=2，此时方程无解，满足题意，当a﹣2≠0时，∴x，将x代入x﹣1=0，解得：a=1，综上所述：a=1或a=2．故答案为：1或2．【点睛】本题考查分式方程的解法，解题的关键是熟练运用分式方程的解法，本题属于基础题型．23．（2023·浙江丽水·统考一模）已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_______．【答案】//【分析】利用判别式的意义得到Δ＝（﹣3）2﹣4•k＞0，然后解不等式即可．【详解】解：根据题意得Δ＝（﹣3）2﹣4•k＞0，解得．故答案为：．【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．24．（2023·浙江宁波·校考一模）燃放烟花爆竹是中国春节的传统民俗，在江北区一烟花爆竹销售点了解到，某种品牌的烟花除夕每箱进价元，售价元，销售量箱．而年除夕当天和去年当天相比，该店的销售量下降了（a为正整数），每箱售价提高了，成本增加了，其销售利润仅为去年当天利润的．则的值为______．【答案】【分析】根据题意列出关系式，即可得出的值，不符合题意的舍去．【详解】解：根据题意得：，整理得：，即，解得：（舍去）或，故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，，找出题中的等量关系是解答本题的关键．25．（2023·浙江温州·统考一模）不等式组的解为______．【答案】【分析】分别计算不等式的解集，进而可得不等式组的解集．【详解】解：，解得，∴不等式的解集为；，解得，∴不等式的解集为；∴不等式组的解集为，故答案为：．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组．解题的关键在于正确的运算．26．（2023·统考一模）不等式组的解为______．【答案】【分析】分别解两个不等式，然后根据大小小大中间找确定不等式组的解集．【详解】解：，解不等式①得：，解不等式②得：，∴不等式组的解集为：．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分得到不等式组的解集．27．（2023·浙江温州·统考一模）不等式组的解集为_____________．【答案】【分析】解第一个不等式得，解第二个不等式得，然后求出它们的公共部分即可得到不等式组的解集．【详解】解：，解不等式①，得：，解不等式②，得：，所以，不等式组的解集为：，故答案为：．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组：先分别求出各个不等式的解集，则它们的公共部分即为不等式组的解集；按照“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，大于大的小于小的为空集”得到公共部分．28．（2023·浙江杭州·模拟预测）不等式组的解为_________．【答案】【分析】分别解出两个不等式的解集，并将解集表示在数轴上，找到公共解集即可．【详解】解：解不等式①得，解不等式②得，将解集表示在数轴上，如图，不等式组的解集为故答案为：．【点睛】本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．29．（2023·浙江温州·统考一模）不等式组的解集是______．【答案】【分析】分别解出每个一元一次不等式，然后取它们公共部分的解即为原不等式组的解集．【详解】解：因为，所以因为，，所以则不等式组解集为故答案为：．【点睛】本题考查解一元一次不等式组知识内容，解答本题的关键是明确解一元一次不等式组的方法．30．（2023·浙江温州·统考一模）不等式组的解集是______．【答案】【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．【详解】解：解不等式得，，解不等式得，，故不等式组的解集为：．故答案为：．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．31．（2023·浙江温州·统考一模）不等式组的解为______.【答案】【分析】先求出各不等式的解集，再求出两个不等式的公共解．【详解】解：，由①得：，由②得：，∴原不等式的解集：．故答案为：．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．32．（2023·浙江杭州·杭州育才中学校考一模）若，且，则x的取值范围为________．【答案】【分析】根据用x的代数式表示出y，根据列出不等式，解不等式即可得出答案．【详解】∵，∴，∵，∴，解得．故答案为：．【点睛】本题考查了不等式的性质，二元一次方程，根据列出不等式是解题的关键．33．（2023·浙江宁波·校考一模）已知，求的值为______．【答案】3【分析】把看作一个整体，设，利用换元法得到新方程，求解即可．【详解】解：设，据题意，得，解得，∵，∴不符合题意舍去，∴．故答案为：3．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是将看作一个整体，熟练应用换元法．34．（2023·浙江衢州·统考一模）如图，有一张长方形桌子的桌面长，宽．有一块长方形台布的面积是桌面面积的2倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相等．若设台布垂下的长度为，则可列出x满足的方程为______．（不必化简）【答案】【分析】设各边垂下的长度为，则台布的长为，宽为，根据台布的面积是桌面面积的2倍．即可得出关于的一元二次方程．【详解】解：设各边垂下的长度为，则台布的长为，宽为，依题意，得：，故答案为：．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．35．（2023·浙江温州·校联考模拟预测）关于的方程有两个相等的实数根，则的值是__________．【答案】16【分析】根据方程有两个相等的实数根得到，求解即可．【详解】解：∵方程有两个相等的实数根，∴，即，解得，故答案为：16．【点睛】此题考查一元二次方程根的判别式：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，熟记根的判别式是解题的关键．36．（2023·浙江金华·校考一模）已知一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为________________．【答案】9【分析】根据根的判别式的意义得到△，然后解关于的方程即可．【详解】解：根据题意得△，解得．故答案为：9．【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根．37．（2023·浙江·模拟预测）已知x，y，n满足，若，则x的取值范围是_________．【答案】【分析】先利用加减消元法消去n，从而用x表示出y，再根据建立关于x的不等式进行求解即可．【详解】解：用②+①×5得：，∴，∵，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了加减消元法，解一元一次不等式，正确用用x表示出y是解题的关键．38．（2023·浙江绍兴·模拟预测）一项工程甲队单独完成此项工程需60天，甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的．若由甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合作_____天可以完成此项工程．【答案】30【分析】根据题意先求得乙队单独完成这项工程所需天数，设剩下的工程再由甲、乙两队合作天可以完成此项工程，依题意列一元一次方程解方程求解即可．【详解】一项工程甲队单独完成此项工程需60天，甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的乙队单独完成这项工程所需天数为（天），设剩下的工程再由甲、乙两队合作天可以完成此项工程，依题意，得解得故答案为：【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，先求得乙队单独完成这项工程所需天数是解题的关键．39．（2023·浙江金华·统考一模）一元二次方程x2+bx+2021＝0的一个根为x＝﹣1，则b的值为____．【答案】2022【分析】把代入方程得，然后解关于的方程即可．【详解】解：把代入方程得,，解得：，故答案是：2022．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．40．（2023·浙江温州·校考一模）已知整数满足，如果关于的一元二次方程的根为有理数，则的值为______．【答案】或或【分析】根据一元二次方程的求根公式，求出方程的根的表达式，再根据方程的根为有理数且为整数，即可进行解答．【详解】解：∵，，，∴，，，，∴，∵，∴，∵一元二次方程的根为有理数，∴为有理数，∴，，，，，，∵为整数，∴，，时，或或，故答案为：或或．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的求根公式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的求根公式以及有理数和整数的定义．三、解答题41．（2023·浙江台州·统考一模）解不等式：．【答案】【分析】根据解一元一次不等式的解法步骤求解即可．【详解】解：去分母，得：，移项、合并，得：，∴原不等式的解集为．【点睛】本题考查解一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的解法步骤是解答的关键．42．（2023·浙江宁波·校考一模）（1）计算：sin30°﹣（﹣2）0+2﹣1；（2）解方程组：．【答案】（1）0；（2）．【分析】原式利用特殊角的三角函数值，以及零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值；方程组利用加减消元法求出解即可．【详解】解：原式；（2），得：，把代入得：，则方程组的解为．【点睛】此题考查了解二元一次方程组，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．43．（2023·浙江杭州·模拟预测）解不等式组：【答案】．【分析】首先分别解两个不等式，然后根据两个不等式解集的关系确定不等式组的解集即可．【详解】由题意得：解不等式①：去分母得：移项得：解得解不等式②：去分母得：解得∴不等式组的解集为．【点睛】本题考查了求一元一次不等式组的解集，关键是掌握求解一元一次不等式解集的方法，熟记口诀是本题的关键．44．（2023·浙江宁波·统考一模）（1）计算：．（2）解不等式组：【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据完全平方式，单项式乘多项式，合并同类项法则，进行运算即可；（2）先求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．【详解】解：（1）；（2）由①得，由②得，∴不等式组的解为．【点睛】本题主要考查了整式混合运算，解不等式组，解题的关键是熟练掌握完全平方公式和解不等式组的一般方法，准确计算．45．（2023·统考一模）解方程：【答案】【分析】按照去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1的步骤，进行解答即可．【详解】解：去分母，得：，移项，得：，合并同类项，得：，系数化为1，得：．【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是在掌握解一元一次方程的方法和步骤．46．（2023·浙江宁波·统考一模）（1）计算∶（2）解不等式组∶【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用完全平方公式和单项式乘多项式的法则展开，再合并即可求解；（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【详解】解：（1）；（2），解不等式得：；解不等式得：；则不等式组的解集为．【点睛】本题考查的是整式的运算，解一元一次不等式组．正确求出每一个不等式解集是解一元一次不等式组的基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．47．（2023·浙江宁波·校考一模）解方程：(1)；(2)．【答案】(1)无解；(2)【分析】（1）将分式方程化为整式方程求解，再检验即可；（2）原分式方程可整理为，即说明，解出x的值，再检验即可．【详解】（1）解：方程两边同时乘，得：，解得：，经检验，是原分式方程的增根，∴原方程无解；（2）解：，，，，，∴，解得：．经检验是原分式方程的解，∴原方程的解为．【点睛】本题考查解分式方程．掌握解分式方程的步骤是解题关键．48．（2023·浙江宁波·一模）（1）计算：（2）解不等式组，并将解集在数轴上表示．【答案】（1）；（2）；数轴见解析【分析】（1）根据单项式乘多项式的法则和完全平方公式分别进行计算，再把所得的结果合并即可；（2）先分别求出两个不等式的解集，再把解集在数轴上表示出来，找出解集的公共部分即可．【详解】（1）解：原式，；（2）解：，由①得：，由②得：，在数轴上表示：则不等式组的解集为：，【点睛】此题考查了整式的混合运算和解一元一次不等式组，用到的知识点是整式混合运算的法则和乘法公式，解一元一次不等式组，注意结果的符号．49．（2023·浙江宁波·校考一模）化简与解不等式组(1)化简：(2)解不等式组：．【答案】(1)(2)【分析】（1）首先利用完全平方公式和单项式乘以多项式的运算法则展开，然后合并即可；（2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．【详解】（1）原式；（2）解不等式，得：，解不等式，得：，故不等式组的解集为：．【点睛】此题考查了整式的混合运算，解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握以上运算法则．50．（2023·浙江宁波·校考一模）某市为了提升菜篮子工程质量，计划用大、中型车辆共辆调拨不超过吨蔬菜和吨肉制品补充当地市场．已知一辆大型车可运蔬菜吨和肉制品吨；一辆中型车可运蔬菜吨和肉制品吨．（1）符合题意的运输方案有几种？请你帮助设计出来；（2）若一辆大型车的运费是元，一辆中型车的运费为元，试说明中哪种运输方案费用最低？最低费用是多少元？【答案】（1）符合题意的运输方案有种，方案：安排辆大型车，辆中型车；方案：安排辆大型车，辆中型车；方案：安排辆大型车，辆中型车；（2）方案1安排辆大型车，辆中型车所需费用最低，最低费用是元．【分析】设安排辆大型车，则安排辆中型车，根据辆车调拨不超过吨蔬菜和吨肉制品补充当地市场，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，结合为整数即可得出各运输方案；根据总运费＝单辆车所需费用租车辆车可分别求出三种租车方案所需费用，比较后即可得出结论．【详解】解：（1）设安排辆大型车，则安排辆中型车，依题意，得：解得：．为整数，．符合题意的运输方案有种，方案：安排辆大型车，辆中型车；方案：安排辆大型车，辆中型车；方案：安排辆大型车，辆中型车．方案1所需费用为：（元），方案2所需费用为：（元），方案3所需费用为：（元）．，方案1安排辆大型车，辆中型车所需费用最低，最低费用是元．答：（1）符合题意的运输方案有种，方案：安排辆大型车，辆中型车；方案：安排辆大型车，辆中型车；方案：安排辆大型车，辆中型车；（2）方案1安排辆大型车，辆中型车所需费用最低，最低费用是元．【点睛】本题考查一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．51．（2023·浙江衢州·统考一模）“冰墩墩”和“雪容融”作为第届北京冬奧会和残奥会的吉祥物深受大家喜爱，下图是某文旅店订购情况:(1)表示出“雪容融”的单价．(2)若“冰墩墩”的订购单价比“雪容融”的订购单价多元．①分别求出这两种吉祥物的数量．②该文旅店分别以元和元的单价销售“冰墩墩”和“雪容融”，在“冰墩墩”售出一半，“雪容融”售完时，文旅店为了尽快卖完，决定对剩余的“冰墩墩”每个降价元销售，很快全部售完，若要保证文旅店总利润不低于元，求的最大值．【答案】(1)；(2)①“冰墩墩”的订购的数量个．“雪容融”的订购的数量个；②的最大值元．【分析】（1）根据总花费及购买的数量即可解答；（2）①分别表示出“冰墩墩”的订购单价，“雪容融”的订购单价，再根据“冰墩墩”的订购单价比“雪容融”的订购单价多元列方程即可解答；②根据题意为了保证文旅店总利润不低于元，列出不等式求解即可．【详解】（1）解：∵“雪容融”的总花费为：元，购买的数量为个，∴“雪容融”的单价：．（2）解：①“冰墩墩”的订购单价为：；“雪容融”的订购单价：，∴根据题意可得：，解得：，∴（个），答：“冰墩墩”的订购的数量个，“雪容融”的订购的数量个；②根据题意可得，∴，∴的最大值为：元，答：的最大值元．【点睛】本题考查了分式方程与实际问题，一元一次不等式与实际问题，审清题意，找出等量关系是解题的关键．52．（2023·浙江宁波·统考一模）某次干旱灾情，甲地急需抗早用水万吨，乙地万吨，现有、两水库决定各调出万吨水支援甲、乙两地抗旱，已知从水库到甲地千米，到乙地千米；从水库到甲地千米，到乙地千米．(1)设从水库调往甲地水量为万吨，完成下表，并直接写出的取值范围是_______．调入地水量/万吨调出地甲乙总计总计(2)若调运水的费用为元/万吨·千米，求调运总费用的最小值．【答案】(1)，表格见解析(2)元【分析】（1）根据由到甲和乙的总和是万吨，即可表示出由到乙是万吨，再根据到甲的总和是万吨，即可表示，再根据题意列出不等式组，解之可得的取值范围；（2）首先用表示出调运量的和，根据调运总费用＝调运水的费用×调运量的和，再根据一次函数的性质即可得出答案．【详解】（1）解：如图所示：调入地水量/万吨调出地甲乙总计总计依题意得：，解得：，∴的取值范围是.故答案为：。（2）设从水库调往甲地水量为万吨，依题意，得：，∵，∴随的增大而增大，∵，∴当时，调运总费用最小，最小值为（元），∴调运总费用的最小值为元。【点睛】本题考查一次函数的应用，一元一次不等式组的应用。正确把调运总费用表示成的函数是解题的关键．53．（2023·浙江台州·统考一模）某种气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强p（单位：）是气球的体积V（单位：）的反比例函数．现测得几组实验数据记录如下：体积V（单位：）……压强p（单位：）……(1)求p关于V的函数解析式；(2)当气球内气体的压强大于时，气球将爆炸，为了安全起见，求气球的体积V的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用待定系数法即可求出函数解析式；（2）列出不等式求解即可．【详解】（1）设p关于V的函数解析式为，由题意可知，∴∴p关于V的函数解析式为．（2）当时即解得，经检验是原方程的根，∵∴函数在第一象限内气压p随V的增大而减小，∵根据题意∴为了安全起见，∴气球的体积V的最小值为．【点睛】本题考查了反比例函数的实际应用、待定系数法求反比例函数、解分式方程等知识点，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．54．（2023·浙江舟山·统考一模）在学习一元二次方程的根与系数关系一课时老师出示了这样一个题目：已知关于x的方程的两实数根为，，若，求m的值．波波同学的解答过程如框：解：由题意可知：∵，∴，解得：或波波的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．【答案】波波的解法不正确；．【分析】先根据方程有两实数根为，，利用根得判别式确定的取值，在利用根与系数关系求解即可．【详解】解：波波的解法不正确；由题意可知：∵，∴，解得：或（舍去），∴．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，注意利用根与系数的关系前提是方程有实数根．55．（2023·浙江舟山·校联考一模）某商场第1次用39万元购进，两种商品，销售完后获得利润6万元，它们的进价和售价如表（总利润=单价利润×销售量）：价格商品进价（元/件）售价（元/件）1200135010001200(1)该商场第1次购进，两种商品各多少件？(2)商场第2次以原进价购进，两种商品，购进商品的件数不变，而购进商品的件数是第1次的2倍，商品按原售价销售，而商品打折销售，若两种商品销售完毕，要使得第2次经营活动获得利润等于5.4万元，则种商品是按几折销售的？【答案】(1)商场第1次购进A商品200件，B商品150件(2)B种商品打九折销售的【分析】（1）设第1次购进A商品x件，B商品y件，根据该商场第1次用39万元购进A、B两种商品且销售完后获得利润6万元，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设B商品打m折出售，根据总利润＝单件利润×销售数量，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】（1）解：设第1次购进A商品x件，B商品y件．根据题意得：，解得：．答：商场第1次购进A商品200件，B商品150件．（2）设B商品打m折出售．根据题意得：，解得：．答：B种商品打九折销售的．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．56．（2023·浙江金华·校考一模）某品牌服装公司新设计了一款服装，其成本价为60（元/件）．在大规模上市前，为了摸清款式受欢迎状况以及日销售量y（件）与销售价格x（元/件）之间的关系，进行了市场调查，部分信息如表：销售价格x（元/件）8090100110日销售量y（件）240220200180(1)若y与x之间满足一次函数关系，请直接写出函数的解析式______（不用写自变量x的取值范围）；(2)若该公司想每天获利8000元，并尽可能让利给顾客，则应如何定价？(3)为了帮助贫困山区的小朋友，公司决定每卖出一件服装向希望小学捐款10元，该公司应该如何定价，才能使每天获利最大？（利润用w表示）【答案】(1)(2)应定价100元(3)135元【分析】（1）待定系数法求一次函数解析式即可；（2）根据总利润等于单件利润乘以销售数量，列出方程进行求解即可；（3）根据总利润等于单件利润乘以销售数量，确定二次函数解析式，利用二次函数的性质求最值即可．【详解】（1）解：设一次函数的解析式为：，由图表可知：在一次函数的图象上，则：，解得：，∴；（2）解：由题意，得：，解得，，∵公司尽可能多让利给顾客，∴应定价100元；（3）解：由题意，得，，∵，∴当时，w有最大值，最大值为8450．答：当一件衣服定为135元时，才能使每天获利最大．【点睛】本题考查二次函数的实际应用．根据题意，正确的列出一次函数解析式，一元二次方程，二次函数的解析式，是解题的关键．57．（2023·浙江舟山·校考一模）某文具店最近有A，B两款纪念册比较畅销，该店购进A款纪念册5本和B款纪念册4本共需156元，购进A款纪念册3本和B款纪念册5本共需130元．在销售中发现：A款纪念册售价为32元/本时，每天的销售量为40本，每降低1元可多售出2本；B款纪念册售价为22元/本时，每天的销售量为80本，B款纪念册每天的销售量与售价之间满足一次函数关系，其部分对应数据如下表所示：售价（元/本）…22232425…每天销售量（本）…80787674…(1)求A，B两款纪念册每本的进价分别为多少元；(2)该店准备降低每本A款纪念册的利润，同时提高每本B款纪念册的利润，且这两款纪念册每天销售总数不变，设A款纪念册每本降价m元．①直接写出B款纪念册每天的销售量（用含m的代数式表示）；②当A款纪念册售价为多少元时，该店每天所获利润最大，最大利润是多少？【答案】(1)A，B两款纪念册每本的进价分别为20元和14元；(2)①B款纪念册销售量为(802m)本；②当A款纪念册售价为26元时，该店每天所获利润最大，最大利润是1264元．【分析】（1）设A，B两款纪念册每本的进价分别为a元和b元，根据题意列出二元一次方程组，求解即可；（2）①设A款纪念册每本降价m元，根据这两款纪念册每天销售总数不变，则B款纪念册销售量为(802m)本；②先利用待定系数法求得B款纪念册每天的销售量与售价之间的一次函数关系式，再根据每周的利润=每本的利润×每周的销售数量，再根据二次函数的性质可得答案．【详解】（1）解：设A，B两款纪念册每本的进价分别为a元和b元，依题意得，解得，答：A，B两款纪念册每本的进价分别为20元和14元；（2）解：①设A款纪念册每本降价m元，则A款纪念册销售量为(40+2m)本，售价为(32m)元，则每册利润为32m20=12m（元），∵这两款纪念册每天销售总数不变，∴B款纪念册销售量为(802m)本；②设B款纪念册每天的销售量与售价之间的一次函数关系式为y=kx+n，∴，解得，∴B款纪念册每天的销售量与售价之间的一次函数关系式为y=2x+124，由①得：B款纪念册销售量为(802m)本，售价为802m=2x+124，即x=22+m(元)，则每本利润为22+m14=8+m(元)，设该店每天所获利润为w元，则w=(40+2m)(12m)+(802m)(8+m)=4m2+48m+1120=4(m6)2+1264，∵4<0，∴当m=6时，w有最大值，最大值为1264元，此时A款纪念册售价为326=26(元)，答：当A款纪念册售价为26元时，该店每天所获利润最大，最大利润是1264元．【点睛】本题考查二元一次方程组、一次函数及二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和函数关系式．58．（2023·浙江温州·一模）某产家在甲、乙工厂生产同一商品，并将其分几天运往A地240吨，B地260吨，表1是两个工厂的商品记录，表2为该商品的运费标准（m，n为常数）．表1时间甲工厂商品记录乙工厂商品记录甲、乙两工厂总运费第1天生产商品200吨生产商品300吨第2天运往A地30吨运往A地10吨，运往B地20吨1230元第3天运往B地20吨运往B地40吨1460元甲、乙两厂往A，B地运输该商品的运费标准（单位：元/吨）表2目的地工厂AB甲2025乙mn(1)求m，n的值．(2)若运费标准不变，要使剩余商品按要求运往A，B两地，且总运费最少，请给出剩余商品的运输方案．(3)若从第4天开始，运输公司将甲工厂往B地的运费提高a元/吨，乙工厂往B地的运费降低a元/吨，其中a为正整数，若可用不超过7150元的费用按要求完成剩余商品的运输，求a的最小值．【答案】(1)(2)甲工厂不向A地运送，只向B地运送150吨商品，乙工厂分别往A，B两地各运送200吨和30吨商品(3)a的最小值为6【分析】（1）根据第二天和第三天的总运费可列出二元一次方程组求解即可；（2）设甲厂往A地运x吨商品，则运往B地吨商品，乙厂运往A地吨商品，运往B地吨商品．设总运费为w元，根据题意列出w和x的一次函数，根据函数的性质求解即可；（3）根据题意列出一次函数，根据一次函数的性质求解即可【详解】（1）由题意得，解得．（2）第4天开始，甲厂剩余150吨商品，乙厂剩余230吨商品，A地还需200吨商品，B地还需要180吨商品，设甲厂往A地运x吨商品，则：运往B地吨商品，乙厂运往A地吨商品，运往B地吨商品．设总运费为w元，则，∴，当时，w最小，∴运输方案为甲工厂不向A地运送，只向B地运送150吨商品，乙工厂分别往A，B