数理统计 - 随机变量的数字特征

PAGE2第四章随机变量的数字特征一、基本内容与公式1.一维随机变量的数字特征离散型随机变量的概率分布为：数学期望：（绝对收敛）方差：均方差：连续型随机变量的密度函数为:数学期望：（绝对收敛）方差：均方差：2.一维随机变量函数的数学期望离散型随机变量的概率分布为：的数学期望：连续型随机变量的概率密度为,则的数学期望：一维随机变量数字特征的性质；；（为常数）；；；4.几种重要分布的数字特征0-1分布：两项分布：泊松分布：均匀分布：指数分布：正态分布：二维随机变量的数字特征离散型随机变量的概率分布为，，,.连续型随机变量的联合概率密度为，为边缘分布，，，二维随机变量函数的数字特征离散型随机变量的概率分布为，的数学期望为：连续型随机变量的联合概率密度为，的数学期望为：7.二维随机变量数学期望和方差的性质若独立,有若独立,有8.协方差和相关系数协方差：相关系数：与不相关；与负相关；与正相关协方差和相关系数的性质若相互独立,有；若相互独立，有，不相关；反之若，不相关，但未必独立。与有线性关系对服从二维正态分布的随机变量，相互独立不相关注：教学基本要求理解随机变量的数学期望和方差的定义和意义。会计算离散型和连续型随机变量的数学期望与方差、均方差。会计算简单的随机变量函数的数学期望。熟练掌握两点分布、两项分布、泊松分布、均匀分布和正态分布的数学期望与方差。会计算二维随机变量的数学期望与方差。会计算二维随机变量函数的数学期望与方差理解协方差的定义，掌握协方差的性质，会计算协方差。理解相关系数的定义，掌握相关系数的性质，会计算相关系数。理解两个随机变量相互独立与不相关之间的关系。三、典型例题分析例１设表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射击目标的概率为，求的数学期望。解：因为。由题意：，于是，。例2设随机变量相互独立，且。随机变量，求。解：由题意，得；；；于是，有；。例3按规定，某车站每天8:00~9:00和9:00~10:00之间都恰有一辆客车到站,但到站的时刻是随机的,且两者到站的时间相互独立.其规律为8:00~9:00到站时间9:00~10:00到站时间8:109:108:309:308:509:50概率1/52/52/5一旅客8:20到车站,求他候车时间的数学期望.解：设旅客的候车时间为。该旅客乘9：10的车，意味着:00~9:00，这班车在8:10开走了。候车时间50分钟，对应的概率为“第一班车8:10开走，第二班车9:10开，两事件同时发生的概率”，即。他候车70分钟、90分钟对应的概率类似处理。于是候车的分布律为：1030507090因此其数学期望为（分）。例4某射手每次射中目标的概率为,现带有5发子弹准备对一目标连续射击（每次打一发），一旦射中或子弹打完了就立刻转移到别的地方。问他在转移前平均射击几次？解：设表示在转移前射击的次数，则的概率分布为：12345于是，所求平均射击次数为：例5某人有9把钥匙，其中只有一把能打开一门。今任取一把试开，不能打开者除去，求打开此门所需要试开次数（记为随机变量）的数学期望和方差。解：的可能取值为：1，2，…，9于是；；；；…………；于是，的概率分布为：；其数学期望为：；；。例6设随机变量的概率密度为，求。解：是偶函数）例7已知随机变量X的分布函数,求解：由随机变量的分布函数，得其概率密度为：；于是，；；。例8设随机变量X的概率密度为：，且已知，求常数。解：由；由，即；由，即；解上述方程组，得。例9设随机变量X的分布律为：，求。解：由X的分布律得：于是，；。。例10假设公共汽车起点站于每时的10分、30分、50分发车，某乘客不知发车的时间，在每小时内任一时刻到达车站是随机的，求乘客到车站等车时间的数学期望。解：由于乘客在每小时内任一时刻到达车站是随机的，因此可以认为乘客到达车站的时刻为中的均匀分布，于是其分布密度为：；显然，乘客等候时间是其到达车站时刻的函数，可用如下公式表示：于是，。例11对圆的直径作近似测量，设其值均匀地分布在区间内，求圆面积的数学期望。解：设圆的直径为随机变量，面积为随机变量的函数；由于服从均匀分布，所以的分布密度为：于是，。例12过半径为R的圆周上一点任意作这圆的弦。求这些弦的平均长度。解：设弦与直径的夹角为随机变量，则弦长为的函数，。因为服从上的均匀分布，所以的分布密度为：于是，。例13设二维随机变量的联合分布律为：0101求：的数学期望。解：由二维随机变量的联合分布律得：(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)0001所以，.例14设二维随机变量的联合分布律为：01001问与是否独立？是否相关？解：由二维随机变量的联合分布律可得与的边缘分布律：； 由于，所以与不独立。于是。由的联合分布,可得:,所以，；于是相关系数，所以与不相关。例15将一枚硬币重复掷n次，以，分别表示正面向上和反面向上的次数，则，的相关系数等于（）-1；B）0；C）；D）1解：由题意知，，于是与线性相关，而且，因此，应选A。例16设随机变量的联合概率密度为：求：解：由二维随机变量的联合分布律，得关于的边缘分布律：；于是，；；；;.例17设随机变量的联合概率密度为：判别与是否独立？是否相关？（2）求。解：（1）由联合分布，得关于与的边缘分布：因为；所以，与不独立。，，，于是，，所以，与不相关。，，，，；。例18设随机变量与独立，且，试求的概率密度。解：因为服从正态分布的随机变量的线性组合仍服从正态分布，所以只需确定的数学期望与方差即可求出的概率密度。而，，与独立，所以，的概率密度。例19设，问与是否相关？解：因为；由于，于是，，所以，故与不相关。例20设随机变量相互独立，且它们的密度函数分别