空间向量的应用 2025年高考数学基础专项复习

第七章立体几何与空间向量2025年高考数学专项复习第六节空间向量的应用目录利用空间向量研究直线、平面的位置关系壹利用空间向量求线线角贰利用空间向量求线面角叁利用空间向量求空间距离伍利用空间向量求二面角肆基于长方体模型渗透数学建模思想陆利用空间向量研究直线、平面的位置关系壹教材知识萃取1.直线的方向向量和平面的法向量直线的方向向量平面的法向量教材知识萃取2.空间位置关系的向量表示位置关系向量表示

教材知识萃取思维拓展确定平面法向量的方法（1）直接法：观察是否有垂直于平面的直线，若有，则此直线的方向向量就是平面的法向量.

教材知识萃取

教材知识萃取方法技巧1.利用空间向量证明平行问题的方法线线平行证明两条直线的方向向量共线.线面平行（1）证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；（2）证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行；（3）证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示.面面平行（1）证明两个平面的法向量平行；（2）转化为线线平行、线面平行问题.教材知识萃取2.利用空间向量证明垂直问题的方法线线垂直证明两直线的方向向量垂直，即证它们的数量积为零．线面垂直（1）证明直线的方向向量与平面的法向量共线；（2）证明直线的方向向量与平面内的两条相交直线的方向向量都垂直．面面垂直（1）其中一个平面与另一个平面的法向量平行；（2）两个平面的法向量垂直.注意

用向量法证明平行与垂直问题时，要注意解题的规范性.如证明线面平行时，需要说明一条直线在平面内，另一条直线在平面外.教材素材变式1.［多选］［苏教选必二P31练习第1,2题变式］给出下列命题，其中是真命题的是(

)

AD

选项正误原因A√BCD√

【解析】

AC

利用空间向量求线线角贰教材知识萃取

易错提醒

教材知识萃取方法技巧求异面直线所成角的方法几何法将两直线平移到同一平面内，构造三角形，利用勾股定理或解三角形求两异面直线的夹角或其余弦值.向量法教材素材变式

B

C

A

解后反思求线线角时，若不易建系，且从题干条件中可以得到三条长度已知的棱，并且这三条棱两两之间的夹角均已知，也符合空间的一个基底的条件，则可以考虑用基底法求解.

C

C

利用空间向量求线面角叁教材知识萃取

教材知识萃取

图1教材知识萃取方法技巧求直线与平面所成角的方法几何法利用直线与平面所成角的定义求解，具体步骤：（1）寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；（2）连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角即为所求的角；（3）通过解该角所在的三角形求解．注意

直线与平面平行或垂直的特殊情况.向量法教材素材变式

A

A

利用空间向量求二面角肆教材知识萃取教材知识萃取

教材知识萃取方法技巧求二面角常用的方法几何法根据定义作出二面角的平面角求解.向量法教材素材变式

C

易错警示求二面角的正弦值的易错点：一是求平面的法向量出错，应注意点的坐标的求解的准确性；二是公式用错，把线面角的向量公式与二面角的向量公式搞混，导致结果出错；三是空间想象能力不足而失分，当求出两个法向量的夹角的余弦值时，误以为是所求二面角的余弦值，因忽视对二面角是锐角或钝角的判断，导致所得结果出错.

利用空间向量求空间距离伍教材知识萃取教材知识萃取方法技巧求点到平面的距离的常用方法几何法找到点到平面的距离，通过解三角形求出距离，若点到平面的距离不易求，还可转化为过已知点且与相关平面平行的直线上的其他点到平面的距离求解.等体积法利用已知的点和平面构造四面体，利用四面体能够以任何一个面作为底面去求体积的特征，把四面体的体积以不同面为底表示两次，列出方程，解方程即可求出距离．教材知识萃取向量法续表教材素材变式

D

ABD

图1

图2

基于长方体模型渗透数学建模思想陆模型解读长方体的外接球问题外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半.与三棱锥有关的问题若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示.若三棱锥的四个面均是直角三角形，则可构造长方体，如图2所示.若三