高考数学一轮复习：统计与统计案例【导学案】

第十章统计与统计案例

第一节统计

课程标准

1.理解随机抽样的必要性和重要性.会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分

层抽样和系统抽样方法.

2.了解分布的意义和作用，能根据频率分布表画频率分布直方图、频率折线图、茎叶

图，体会它们各自的特点.

3.理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差.

4.能从样本数据中提取基本的数字特征(平均数、标准差)，并作出合理的解释.

5.会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的数字特征估计总体的数字特征，理

解用样本估计总体的思想.

6.会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题.

基础不牢•地动山摇

［由教材回扣基础］

1.简单随机抽样

⑴抽取方式：逐个不放回地抽取.

(2)特点：每个个体被抽到的概率相笠」

(3)常用方法：抽签法和随机数法.

2.分层抽样

⑴在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定

数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样.

⑵分层抽样的应用范围

当总体是由差异明显的几个部分组成时,往往选用分层抽样.

3.系统抽样的步骤

假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本.

(1)编号码：先将总体的N个个体编号.

(2)确定分段间隔k：对编号进行分段，当条"是样本容量)是整数时，取k=%

(3)定规则：在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号I(lWk)；按照一定的规则抽取

样本.通常是将/加上间隔左得到第2个个体编号上也，再加k得到第3个个体编号l+2k,

依次进行下去，直到获取整个样本.

4.作频率分布直方图的步骤

(1)求极差(即一组数据中曩大值与董小值的差);

⑵决定组距与组数;

(3)将数据分组;

(4)列频率分布表;

(5)画频率分布直方图.

5.频率分布折线图和总体密度曲线

⑴频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的史点，就得到频率分布折

线图.

(2)总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加,组距减小,相应的频

率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线.

6.茎叶图的优点

茎叶图的优点是不但可以记录所有信息，而且可以随时记录,这对数据的记录和表示都

能带来方便.

提醒：茎叶图中茎是指中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数.

7.样本的数字特征

众数一组数据中出现次数最多的那个数据,叫做这组数据的众数

把"个数据按大小顺序排列，处于最空同位置的一个数据(或最中间两个

中位数

数据的平均数)叫做这组数据的中位数

平均数把©+"2：称为ai，。2,…，斯这〃个数的平均数

一一

设一组数据XI,X2,X3,…，弘的平均数为X,则方差为s2=%1(X]—X)2

标准差

与方差

+(X2—X产+…+(X〃一X)2],其中S为标准差

澄清微点•熟记结论

(1)平均数的性质

①若给定一组数据xi,X2,,,,,X”的平均数为x,则axi,axi,…，ax”的平均数为ax;

axi+b,axi+b,…，ax.+b的平均数为ax+瓦

MX+NY

②若M个数的平均数是X,N个数的平均数是Y,则这(M+N)个数的平均数是下有1.

③若两组数据Xi,X2,•,,,X"和yi,J2,,,,,，〃的平均数分别是X和y,则xi+ji,X2

+j2,…，〃的平均数是x+y.

(2)方差的性质

2,贝11axi,ax2,QX"的方差为42s2；

若给定一组数据％1,X2,,,,,Xn,其方差为SaX1

+b9ax2~\-b,,,,,axn+b的方差为a2s2.特别地,当a=l时，有xi+bf…，xn+b

的方差为S2,这说明将一组数据中的每一个数据都加上一个相同的常数，方差是不变的，即

不影响数据的波动性.

［练小题巩固基础］

一、准确理解概念（判断正误）

（1）分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关.（）

（2）平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势.（）

（3）一组数据的方差越大，说明这组数据越集中.（）

（4）频率分布直方图中，小矩形的面积越大，表示样本数据落在该区间的频率越大.（）

答案：（1）X（2）V（3）X（4）J

=二'练牢教材小题

1.（新北师大版必修①P180T1改编）某城市收集并整理了该市2021年1月份至10月份

每月最低气温与最高气温（单位：℃）的数据，绘制了如图所示的折线图，已知该市每月的最

低气温与当月的最高气温两变量具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是

1月2月3月4月5月阴7月8月9月10月

0U1111111111

--最高气温

一最低气温

A.每月的最低气温与当月的最高气温两变量为正相关

B.10月份的最高气温不低于5月份的最高气温

C.月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月份

D.最低气温低于0C的月份有4个

解析：选D由题图可以看出，当最低气温较大时，最高气温也较大，故A正确；10

月份的最高气温大于20°C,而5月份的最高气温不超过20°C,故B正确；从各月的温差看，

1月份的温差最大，故C正确；而最低气温低于0°C的月份是1,2,4三个月份，故D错误.

2.（人教A版必修③P64T5改编）一支田径队有男运动员56人，女运动员42人，按性

别用分层抽样的方式从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，则男、女运动员应各抽

人,人.

答案：1612

3.（新人教A版必修②Pl97Tl改编）如图是100位居民月均用水量的频率分布直方图,

则月均用水量为［2,2.5）范围内的居民数为.

解析：由频率分布直方图可知，月均用水量为［2,2.5）范围内的居民所占频率为0.5X0.5

=0.25,所以月均用水量为［2,2.5）范围内的居民数为100X0.25=25.

答案：25

4.（新苏教版必修②P254T10改编）已知数据对，必，…，xio的平均数为2,方差为3,

那么数据2乃+3,2必+3,…，2办。+3的平均数和方差分别为.

答案：7,12

三、练清易错易混

1.（忽视随机抽样的等可能性致误）某校要从高一、高二、高三共2020名学生中选取50

名学生组成志愿团，若先用简单随机抽样的方法从2020名学生中剔除20名学生，再从剩下

的2000名学生中按分层抽样的方法抽取50名学生，则下面对每名学生入选的概率描述正确

的是.（填序号）

①都相等且为鼎；②都相等且为「；③不完全相等.

答案：①

2.（混淆众数、中位数、平均数的概念）某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出

80名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示，则这次测试数学成绩的众数

为，这次测试数学成绩的中位数为（精确到0.1）,这次测试数学成绩的平均

数为.

答案：7573.372

3.（不理解均值、方差的意义）某校高二年级在一次数学选拔赛中，因为甲、乙两人的竞

赛成绩相同，所以决定根据平时在相同条件下进行的六次测试确定出最佳人选，这六次测试

的成绩数据如下:

甲127138130137135131

乙133129138134128136

贝！IX甲=,X乙=,S甲2=,S乙2=,进而根据以上

数据可判断最佳人选为.

答案：133133孝苧乙

考法研透--方向不对，努力白费

命题视角一抽样方法的应用（自主练通）

1.利用简单随机抽样，从〃个个体中抽取一个容量为10的样本.若第二次抽取时，余下的

每个个体被抽到的概率为;，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为（）

n10

D-27

91

解析：选C根据题意，解得"=28.故在整个抽样过程中每个个体被抽到的

n—1J

概率为羽=含

2.福利彩票“双色球”中红球的号码可以从01,02,03,32,33这33个两位号码中

选取，小明利用如下所示的随机数表选取红色球的6个号码，选取方法是从第1行第9列的

解析：选C被选中的红色球的号码依次为17,12,33,06,32,22.所以第四个被选中的红色

球的号码为06.

3.现从编号为1,2,…，96的观众中，采用系统抽样的方法抽取八位幸运观众，其中有

两个编号为21与93,则所抽取的8个编号的中位数为（）

A.45B.48C.51D.57

解析：选C由系统抽样的特点可知，其抽样方法是等间隔抽取，由于从96名观众中

96

抽取8位幸运观众，因此间隔*=v=12,设在第一组抽取的编号为x,由于在第2组抽取

O

的编号为21,在第8组抽取的编号为93,所以在第2组抽取的号码为x+12=21,因此x=

45+57

9,则抽取的8个号码依次为9,21,33,45,57,69,81,93,这8个数的中位数为一z—=51.故选

乙

C.

4.某公司生产A,B,C三种不同型号的轿车，其产量之比为2：3：4,为检验该公司

的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为«的样本，若样本中A种型号的轿车比B

种型号的轿车少8辆，则〃=()

A.96B.72C.48D.36

32

解析：选B由题意得g〃一§〃=8,所以”=72.故选B.

5.山东某高中针对学生发展要求，开设了富有地方特色的“泥塑”与“剪纸”两个社

团，已知报名参加这两个社团的学生共有800人，按照要求每人只能参加一个社团，各年级

参加社团的人数情况如下表：

高一年级高二年级高三年级

泥塑abC

剪纸XyZ

其中无：y：z=5：3：2,且“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的信3为了了解学生

对这两个社团活动的满意程度，从中抽取一个50人的样本进行调查，则从高二年级“剪纸”

社团的学生中应抽取_______人.

解析：因为“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的士所以“剪纸”社团的人数占两

22

个社团总人数的会所以“剪纸”社团的人数为800X5=320.易知“剪纸”社团中高二年级

人数所占比例为系,所以“剪纸”社团中高二年级人数为320X^=96.

x-ry-rz5十3十21U10

由题意知，抽样比为券;=上，所以从高二年级“剪纸”社团中抽取的人数为96X==6.

oUU10IO

答案：6

L"点”就过］

1.应用随机数法的两个关键点

(1)确定以表中的哪个数(哪行哪列)为起点，以哪个方向为读数的方向；

(2)读数时注意结合编号特点进行读取.若编号为两位数字，则两位两位地读取；若编号

为三位数字，则三位三位地读取，有超过总体号码或出现重复号码的数字舍去，这样继续下

去，直到获取整个样本.

2.解决分层抽样的常用公式

先确定抽样比，然后把各层个体数乘以抽样比，即得各层要抽取的个体数.

“3,必样本容量各层样本容量

⑴抽样比一总体容量-各层个体总量；

⑵层1的容量：层2的容量：层3的容量=样本中层1的容量：样本中层2的容量：样

本中层3的容量.

命题视角二样本的数字特征的计算

［典例］⑴已知10名工人生产同一零件，生产的件数分别是16,18,15,11,16,18,18,

17,15,13,设其平均数为”，中位数为心众数为c,则有()

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>a>bD.c>b>a

(2)已知某样本的容量为50,平均数为70,方差为75.现发现在收集这些数据时，其中的

两个数据记录有误，一个错将80记录为60,另一个错将70记录为90.在对错误的数据进行

更正后，重新求得样本的平均数为三，方差为S2,贝!|()

A.T=70,s2<75B.T=70,s2>75

C.T>70,S2<75D..T<70,S2>75

［解析］⑴把题中数据按从小到大排列为11,13,15,15,16,16,17,18,18,18,平均数为a=~

157

(11+13+15+15+16+16+17+18+18+18)=^-=15.7,中位数为16,众数为18,则b=

16,c=18,所以c>》>a.

—70X50+80-60+70-90…、…

(2)由题意，x=----------------疝----------=70,设收集的48个准确数据分别为xi,

X2,…，X48,则75=^j［(xi-70)2+(X2-70)2+...+(X48-70)2+(60-70)2+(90-70)2］=^［Ui

2222

-70)2+(刈-70A+...+(X48-70)2+500］,S=^［(XI-70)+(X2-70)+...+(X48-70)+(80

22222

-70)+(70-70)］=^j［(xi-70)+(x2-70)+…+(必8—70)+100］<75,所以s?V75.

［答案］(1)D(2)A

［方法技巧］

(1)利用平均数、方差的性质可简化运算，要熟记.

⑵方差描述一组数据围绕平均数波动的幅度.

应用时注意其公式的简化形式：s2=/f：谭一行2.

1=1

［针对训练］

1.某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，

85分的有4人，80分和75分的各1人，则该学习小组成绩的平均数、众数、中位数分别是

()

A.85分、85分、85分B.87分、85分、86分

C.87分、85分、85分D.87分、85分、90分

解析：选C由题意知，该学习小组共有10人，因此众数和中位数都是85,平均数为古

(100+95+2X90+4X85+80+75)=87.

2.已知样本9,10,11,x,y的平均数是10,标准差为6，则孙=.

解析：由平均数得9+10+ll+x+j=50,.*.x+yuZO.又由(9一10)2+(10—10)2+(11—

10)2+(x-10)2+(y-10)2=(^2)2X5=10,得x2+j2-20(x+j)=-192,(x+y)2-2xy~20(x

+y)=-192,：.xy=96.

答案：96

命题视角三统计图表的应用

［典例］(1)(2021•全国甲卷)为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样

调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：

根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是()

A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%

B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%

C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元

D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间

⑵2021年新型冠状病毒肺炎疫情对消费饮食行业造成了很大影响，为了解A,3两家大

型餐饮店受影响的程度，现统计了2021年2月到7月A,8两店每月营业额，得到如图所示

的折线图，根据营业额折线图，下列说法不正确的是()

70

6V

5O—A店

O—B店

4O

3O

2O

1O

O

234567月份

A.A店营业额的极差比3店营业额的极差小

B.A店2月到7月营业额的中位数是31

C.5店2月到7月每月增加的营业额越来越多

D.3店2月到7月的营业额的平均值为29

［解析］(1)由频率分布直方图可知，该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率约为

0.02+0.04=0.06,所以A正确；该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率约为0.02

+0.02+0.02+0.04=0.10,所以B正确；由频率分布直方图可知，该地农户家庭年收入的平

均值约为3X0.02+4X0.04+5X0.1+6X0.14+7X0.2+8X0.2+9X0.1+10X0.1+11X0.04

+12X0.02+13X0.02+14X0.02=7.68>6.5,所以C不正确；该地农户家庭年收入介于4.5

万元至8.5万元之间的比率约为0.1+0.14+0.2+0.2=0.64>0.5,所以D正确.故选C.

(2)由折线图可知，A店营业额的极差为64—14=50(万元)，5店营业额的极差为63—2

=61(万元)，故A正确；由A店2月到7月营业额由低到高依次为14,20,26,36,45,64,得A

店2月到7月营业额的中位数是(26+36)+2=31,故B正确；因为5店从4月到5月营业额

的增加量为19,从5月到6月营业额的增加量为15,故C错误；3店2月到7月的营业额

的平均值为/(2+8+16+35+50+63)=29,故D正确.

[答案](1)C(2)C

[方法技巧]

1.谨记频率分布直方图的相关公式

(1)直方图中各小长方形的面积之和为1.

率频率

(2)直方图中纵轴表示国毒，故每组样本的频率为组距X如:，即矩形的面积.

(3)直方图中每组样本的频数为频率X总数.

2.频率分布直方图中数字特征的计算

(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数.

(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的.

(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘

以小长方形底边中点的横坐标之和.

[针对训练]

1.(2021•广东湛江一模)中国数学奥林匹克由中国数学会主办，是全国7「Q…7

中学生级别最高、规模最大、最具影响力的数学竞赛.某重点高中8345556

为参加中国数学奥林匹克做准备，对该校数学集训队进行一次选拔赛，所得分数的茎叶

图如图所示，则该集训队考试成绩的众数与中位数分别为()

A.85,75B.85,76

C.74,76D.75,77

解析：选B由茎叶图可知，85出现了3次，出现的次数最多，所以众数为85;中位

„,75+77

数为一—=76.

2.某大学生暑假到工厂参加生产劳动，生产了100件产品，质检人员测量其长度(单位:

厘米)，将所得数据分成6组:[90,91),[91,92),[92,93),[93,94),[94,95),[95,96],得到如

图所示的频率分布直方图，则对这100件产品，下列说法中不正确的是()

A.6=0.25

B.长度落在区间［93,94）内的个数为35

C.长度的众数一定落在区间［93,94）内

D.长度的中位数一定落在区间［93,94）内

解析：选C对于A,由频率和为1,得（0.35+6+0.15+0.1X2+0.05）X1=1,解得6

=0.25,所以A正确；对于B,长度落在区间［93,94）内的个数为100x0.35=35,所以B正确；

对于C,频率分布直方图上不能判断长度的众数一定落在区间［93,94）内，所以C错误；对于

D,［90,93）内有45个数，［94,96］内有20个数，所以长度的中位数一定落在区间［93,94）内，

所以D正确.

命题视角四用样本估计总体

［典例］（2021•全国乙卷）某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品

的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项

指标数据如下：

旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7

新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5

旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为X和y,样本方差分别记

为为和S22.

⑴求x,y,sp,S229

(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高如果亍-T

》2小票，那么认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认

为有显著提高.

［解］(1)；1=点X(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10,

—1J1

yX(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3,51=而

22222222222222

X(0.2+0.3+0+0.2+0.1+0.2+0+0.1+0.2+0.3)=0.036,s2=^X(0.2+0.1+0.2

+0.32+0.22+02+0.32+0.22+0.M+O>22)=0.04.

——/0.036+0.04,............——

(2)Vj-x=10.3-10=0.3,2J10=2A/------m------=2-0.0076,y—x=

0.3=2X0.15=2X、0.152=2X、0.0225>2X、0.0076,满足亍一日2241。，，新设备

生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.

［方法技巧］

利用样本的数字特征解决优化决策问题的依据

(1)平均数反映了数据取值的平均水平；标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的

大小.标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离

散程度越小，越稳定.

(2)用样本估计总体就是利用样本的数字特征来描述总体的数字特征.

［针对训练］

1.(2020•全国I卷)某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A,

B,C,D四个等级.加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加

工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙

两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂

家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些

产品的等级，整理如下：

(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应

选哪个分厂承接加工业务？

解：(1)由试加工产品等级的频数分布表知，甲分厂加工出来的一件产品为A级品的概

率的估计值为布=0.4;乙分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为砺=0.28.

⑵由数据知甲分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为

利润6525-5-75

频数40202020

因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为

击(65X40+25X20-5X20-75X20)=15.

由数据知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为

利润70300-70

频数28173421

因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为

加70*28+30X17+0X34-70*21)=10.

比较甲、乙两分厂加工的产品的平均利润，应选甲分厂承接加工业务.

2.某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到

这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频率分布表.

y的分组[-0.20,0)[0,0.20)[0.200.40)[0.40,0.60)[0.60,0.80)

企业数22453147

(1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；

(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中

点值为代表).(精确到0.01)

附：M七8.602.

解：(1)根据产值增长率频率分布表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40%

14+72

的企业频率为而-=021,产值负增长的企业频率为市=0.02,

用样本频率分布估计总体分布，得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为

21%,产值负增长的企业比例为2%.

—1

(2)y(-0.10X2+0.10X24+0.30X53+0.50X14+0.70X7)=0.30,

$2=击义[(-0.40)2X2+(-0.20)2X24+02x53+0.202x14+0.402x7]=0.0296,

s=-0.0296=062义寸浜0.17.

所以这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为0.30,0.17.

思维激活——灵活不足•难得高分

数学建模.练抽象思维一统计中的创新应用问题

1.（创新学科情境）一个样本。,3,5,7的平均数是①且a,&分别是数列｛2L2｝（“GN*）的

第2项和第4项，则这个样本的方差是（）

A.3B.4

C.5D.6

2-22222

解析：选C由题意，得a=2=l,5=24-2=4,/.s=^-［（1—4）+（3—4）+（5—4）

+（7-4）2］=5.

2.（创新学科情境）某高校为从甲、乙两名学生中选出一名学生会主席，对甲、乙两名学

生的领导力进行了考核.已知一个人的领导力由影响力、控制力、决断力、前瞻力和感召力

这五项能力构成.通过考核，得到甲、乙两人的五项能力指标值的雷达图如图所示，则下列

说法中正确的是（）

A.从整体上看，乙的领导力高于甲的领导力［一一甲

B.甲、乙两人的五项能力指标值的方差不同器

C.如果仅从控制力、决断力和前瞻力三项能力考虑，乙的领

导力低于甲的领导力

D.如果仅从影响力、感召力、控制力三项能力考虑，甲的领控制力决断力

导力高于乙的领导力

解析：选C由雷达图可得甲的五项能力指标值分别为6,5,4,5,4,乙的五项能力指标值

分别为6,4,5,4,5,甲、乙两人的五项能力指标值的和相同，所以从整体上看，甲、乙两人的

领导力相当，选项A错误；由对A的分析易知甲、乙两人五项能力指标值的方差相同，选

14

项B错误；从控制力、决断力、前瞻力考虑，甲的能力指标值的均值为不，乙的能力指标值

的均值为号，故甲的领导力高于乙的领导力，选项C正确；从影响力、感召力、控制力考虑，

甲、乙的能力指标值的均值相同，故甲、乙两人的领导力相当，选项D错误.故选C.

3.（走向生产生活）为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加

环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分的中位数为孙众数为"，平均数为

则m,n,x的大小关系为.（用连接）

解析：由图可知，30名学生得分的中位数为第15个数和第16个数(分别为5,6)的平均

数，即m=5.5;又5出现次数最多，故〃=5;T=^(2X3+3X4+10X5+6X6+3X7+2X8

+2X9+2X10产5.97.故n<m<x.

答案：x

4.(决策性问题)2021年9月15日20时，中华人民共和国第十四届运动会在西安奥体

中心体育场盛大开幕，会歌《追着未来出发》将百年梦想与健康中国高度融合，标志着我国

竞技体育水平的提高以及对竞技体育的重视，也激励着广大体育爱好者为梦前行.少年有梦,

不应止于心动，更要付诸行动，某篮球运动爱好者为了提高自己的投篮水平，制订了一个短

期训练计划，为了了解训练效果，执行训练前，他统计了10场比赛的得分，计算出得分的

中位数为15分，平均得分为15分，得分的方差为42.5分2.执行训练后也统计了10场比赛

的得分，分另U为：14,9,16,21,18,8,12,23,14,15(单位：分).

(1)请计算该篮球运动员执行训练后统计的10场比赛得分的中位数、平均得分与方差.

(2)如果仅从执行训练前后统计的各10场比赛得分数据分析，你认为训练计划对该运动

员的投篮水平的提高是否有帮助？为什么？

解：(1)训练后得分的中位数为14.5,平均得分为淼14+9+16+21+18+8+12

+23+14+15)=15(分)，方差为击［(14-15)2+(9—15产+(16—15)2+(21-15)2+(18—15户+

(8—15户+(12-15尸+(23—15产+(14—15)2+(15-15)2］=20.6(分2).

⑵尽管训练后中位数比训练前稍小，但平均得分一样，训练后方差20.6小于训练前方

差42.5,说明训练后得分稳定性提高了，这是投篮水平提高的表现，故此训练计划对该运动

员的投篮水平的提高有帮助.

［课时跟踪检测］

一、基础练——练手感熟练度

1.(2022•云南一检)某学校为了了解高一年级、高二年级、高三年级这三个年级的学生

对学校有关课外活动内容与时间安排的意见，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进

行调查，则最合理的抽样方法是()

A.抽签法B.随机数法

C.分层抽样法D.系统抽样法

解析：选C由于研究对象是三个年级学生的意见，故应按分层抽样法来抽取，故选

C.

2.某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1500辆，6000辆和2000辆.为检验该

公司的产品质量，公司质监部门要抽取57辆进行检验，则下列说法不正确的是（）

A.应采用分层抽样抽取

B.应采用抽签法抽取

C.三种型号的轿车依次应抽取9辆，36辆，12辆

D.这三种型号的轿车，每一辆被抽到的概率都是相等的

解析：选B因为是三种型号的轿车，个体差异明显，所以选择分层抽样，故A正确；

因为个体数目多，用抽签法制签难，搅拌不均匀，抽出的样本不具有很好的代表性，故B不

573

正确；抽样比为1500+6000+2000=500＞三种型号的轿车依次应抽取9辆，36辆，12辆，

故C正确；分层抽样中，每一个个体被抽到的可能性相同，故D正确.

3.如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）.若这两

组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为（）

A.3,5B.5,5C.3,7甲组乙组

659

解析：选A由两组数据的中位数相等可得65=60+y,解得=

25617Iyy

5,又它们的平均值相等，所以±X［56+62+65+74+（70+x）］=/%478

X(59+61+67+65+78),解得x=3.

4.（2022•南京模拟）将6个数据1,2,3,4,5,a去掉最大的一个，剩下的5个数据的平均数

为1.8,则』

1+2+3+4+5

解析：若a是最大的数，则=3,不符合题意.故5是最大的数，则

5

l+2+3+4+a

=解得

51.8,a=-1.

答案：-1

二、综合练——练思维敏锐度

1.（2020•天津高考）从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：mm）,将所得数据分为

9组：［5.31,5.33）,［5.33,5.35）,…，［5.45,5.47）,［5.47,5.49］,并整理得至!）如下频率分布直方图，

则在被抽取的零件中，直径落在区间［5.43,5.47］内的个数为（）

频率/组距

10.00--------------------------——

8.75-------------------------------------

7.50--------------------——

6.25-------------------------------------------

5.00-------------------------------------------------——

3.75---------——

2.50--------------------

1.25----1

°5.315.335.355.375.395.415.435.455.475.49直径/mm

A.10B.18C.20D.36

解析：选B由题知［5.43,5.45）与［5.45,5.47］所对应的小矩形的高分别为6.25,5.00,所以

［5.43,5.47］的频率为（6.25+5.00）X0.02=0.225,所以直径落在区间［5.43,5.47］内的个数为

80X0.225=18,故选B.

2.（2022•宝鸡一模）为落实《国家学生体质健康标准》达标测试工作，全面提升学生的

体质健康水平，某校高二年级体育组教师在高二年级随机抽取部分男生，测试了立定跳远项

目，依据测试数据绘制了如图所示的频率分布直方图.已知立定跳远200cm以上成绩为及

格，255cm以上成绩为优秀，根据图中的数据估计该校高二年级男生立定跳远项目的及格率

和优秀率分别是（）

A.87%,3%

C.87%,6%D.80%,6%

解析：选C由频率分布直方图可得，优秀率为0.003X20X100%=6%.VI-

,200

0.003+0.014X一X20=0.87,...及格率为87%.故选C.

3.（2022•成都一修）甲、乙两台机床同时生产一种零件，10天中，两台机床每天出的次

品数如表所示：

甲0102203124

乙2211121101

X1,X2分别表示甲、乙两组数据的平均数，Si,S2分别表示甲、乙两组数据的方差,

则下列选项正确的是（）

A.X1=X29S1>S2B.X!>X29S1>S2

C.X1<X2,Sl>§2D..X!>X2，S1<S2

—1—1

解析：选B由表格数据知，xi=j^(0+l+0+2+2+0+3+l+2+4)=1.5,x

一一Xio___1io

(2+2+1+1+1+2+1+1+0+1)=1.2,/.xi>x2.51xi)2=1.65,§2=而2(如

i=ii=i

—X2)2=0.36,S1>S2»

4.等差数列处，X2,X3，…，X9的公差为1，若以上述数据处，“2，"3，…，刈为样本，

则此样本的方差为()

A•号B.芋C.60D.30

解析：选A由等差数列的性质得样本的平均数为/+也+…+期)=/2后+2后+2左

+24+*5)=*5,所以该组数据的方差为"[(XLX5)2+(*2-*5/+…+(*9—*5)2]=加X(4?+32

+22+12)]=^.

5.为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班

级参加该小组的人数作为样本数据.已知样本平均数为7,样本方差为4,且样本数据互不

相同，则样本数据中的最大值为()

A.9B.10C.11D.12

解析：选B不妨设样本数据为Xl,X2,X3,X4,Xs,-0.X1<X2<X3<X4<X5,则由样本方差

为4,知(XI—7尸+(*2—7尸+(*3—7尸+(*4—7)2+(曲一7)2=20.若5个整数的平方和为20,则

这5个整数的平方只能在0,1,4,9,16中选取(每个数最多出现2次)，当这5个整数的平方中最

大的数为16时，分析可知，总不满足和为20;当这5个整数的平方中最大的数为9时,0,1,1,9,9

这组数满足要求，此时对应的样本数据为xi=4,X2=6,刈=7,X4=8,X5=10;当这5个

整数的平方中最大的数不超过4时，总不满足和为20,因此不存在满足条件的另一组数据.故

选B.

6.某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂的产量分布如图所

示.现在用分层抽样方法从三个分厂生产的产品中共抽取100件进行使用

寿命的测