2024年上海高考数学考前30天冲刺复习 专题25转化与化归思想中的九种题型 含详解

专题2.5转化与化归思想中的九种题型

题型一：导数及其应用

一、单选题

1.（2022•上海普陀・曹杨二中校考模拟预测）若存在实数女和人，使得函数八处和g（x）对其公共定义域上的

任意实数x都满足：g（x）〈丘+人工/（上）恒成立，则称此直线），=履十万为"X）和g"）的“隔离直线”.有下列命题：

①=/和g*）=2elnx之间存在唯一的“隔离直线”），=2五・e；②=/和g（x）=_L（x<o）之间存在“隔

X

离直线”，且b的最小值为-1,则（）

A.®、②都是真命题B.①、②都是假命题

C.①是假命题，②是真命题D.①是真命题，②是假命题

2.（2020•上海长宁•统考二模）在数列的极限一节，课本中给巴了计算由抛物线），=/、”轴以及直线x=l所

围成的扣边区域面积S的一种方法：把区间［0』平均分成〃份，在每一个小区间上作一个小矩形，使得每个矩形

的左上端点都在抛物线）-5,（如图），则当〃->8时，这些小矩形面积之和的极限就是s.已划

12+22+32++〃2=!〃（〃+1）（2〃+1）.利用此方法计算出的由曲线），=五、x轴以及直线工=］所围成的曲边区域的

面积为（）

A-TB-T

二、填空题

3.（2。20春•上海•周二专题练习）已知且"？-（ax+l）ln#+奴20恒成立，则。的值是—

三、解答题

4.（2022春・上海・高三开学考试）设函数/（幻=：/+（1-“）/-其中〃为常数.

（1）当。=2时，求函数/（x）的单调减区间；

⑵若函数/（X）在区间［0,3］上的最大值为3,求实数。的取值集合;

（3）试讨论函数），=r（x）的图象与函数），=2-（。+1）2的图象的公切线条数.

5.（2022•上海•高三专题练习）若数列｛，〃｝对任意连续三项4,4讨，4+2,均有（4-4+2）（4+2一如）>。，则称该

数列为“跳跃数列”.

（1）判断下列两个数列是否是跳跃数列：

①等差数列：1,2,3,4,5,…;

②等比数列：一：

24o1O

（2）若数列｛4｝满足对任何正整数〃，均有%“=，广（4>。）.证明：数列｛5｝是跳跃数列的充分必要条件是

0</<1.

（3）跳跃数列｛q｝满足对任意正整数〃均有，1=上詈，求首项片的取值范围.

题型二：三角函数与解三角形

1.（2022•上海•高三专题练习）已知等差数列｛《J中q=d=1,〃=〔an4•urn”“+]（〃wN'），则数列色）的前〃项

和S”=___.

2.（2022•上海•高三专题练习）已知函数），=/（幻，的图像为曲线。，两端点为A（aJ（a））,4SJS））,

点为线段/步上的一点，其中/2>0,点RQ均在曲线，上，且点用J横坐标

等于飞,点M向纵电标为加

（1）设/（x）=sinx,xe[O,年],4=3,求点八烟坐标；

（2）设/（幻」心匕,2],求人MPQ的面积的最大值及相应4的值.

x2

3.（2022•上海•高三专题练习）为测量一烟囱高度，在地面上选一直线上的三点儿反C.已知

|AB|=90m,|BC|=30m,|AC|=120m,在三点测出烟囱顶部的仰角分别为45°,60°,60°.若ALC三个测

量点的高度均为1.5m,求烟囱的高度.（精确到0.1m）

题型三：平面向量

1.（2022•上海•高三专题练习）如图，正方形ABC。的中心与圆。的圆心重合，夕是圆。的罚点，则下列叙

述不正确的是（）

A.PAPC+P8PO是定值;

B.是定值;

c.网+网+国++|PD是定值;

D.。升+。始+尸C，/5炉是定值・

lUBllAJm1II

2.（2019•上海市建平中学高三阶段练习）已知向量OAAB,。是坐标原点，割/=q04|,且48方向是沿

OA的方向绕着A点按逆时针方向旋粘。角得到的，则称。4经过一次G"）变换得到人8,现有向量OA=（1,1）经过

ULLUUUUI

一次（％4）变换后得到例,例经过一次（名后）变换后得到A4,…，如此下去，经过一次（。色）变换

rm।

后得到4TA，设A-i4=(x,-v)，4=广丽？则yr等于（)

2sin2sin

A.2MB.2___1___r__

sinIsin-sin-rrLsin—coslcosicos±Lcos^

22工24一|22”一

2cos2-2cos

C.D.2___M_____'

sin1sin-sin-Lsin—coslcoslcos±Lcos-L

o2?2〃一

3.（2021•上海市建平中学高三开学考试）已知./BC的外接圆圆心为。，/八=J,若

6

AO=xA8+），AC（x,yeR）,则x+），的最大值为（）

A.4+2x/3B.4-273C.—D,—

24

4.（2022♦上海•高三专题练习）已知4ABe的面积为3,P,Q为-ABC所在平面内异于点A的两个不同的

点，若小—（1+2冷2。=0且QA+/Q8+/IQC=2BC,其中4>0,则人人尸。的面积为.

题型四：数列

1.（2022•上海民办南模中学高三阶段练习）已知函数/（力=1（4一？：一10："7,数列也｝满足

a,x>7

%="〃）（〃eN・），若数列｛4｝单调递埔则实数a的取值范围是_____.

2.（2022•上海市复兴高级中学高三阶段练习）对于项数为加的有穷数列｛%｝,设2为%知…必（〃=1，2，…，切）

中的最大值，称数列｛"｝是｛凡｝的控制数列.例如数列3,5,4,7的控制数列是3,5,5,7.

（1）若各项均为正整数的数列｛4｝的控制数列是2,3,4,6,6,写出所有的｛4｝；

⑵设圾｝是｛4｝的控制数列，满足4+=C（C为常数，〃=12…,，〃）.证明：（=q（〃=12…必）.

⑶考虑正整数1,2,?的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列仁｝.是否存在数列｛6｝,使它的控制数列

为等差数列？若存在，求出满足条件的数列匕,｝的个数；若不存在，请说明理由.

3.（2021•上海・上外浦东附中高三阶段练习）称满足以下两个袋件的有穷数列4M2,…，见为⑶〃=2,3,4,…）阶

“期待数列”：©«,+a2+ay+L+«„=0；②同+同+k|+L+|a,J=l.

（1）若等比数列｛%｝为2〃伏£四）阶“期待数列”，求公比。及｛叫的通项公式；

（2）若一个等差数列｛〃“｝既是阶“期待数列”乂是递增数列，求该数列的通项公式：

（3）记〃阶“期待数列”包｝的前4项和为&（々=1,2,3,,〃）；

（i）求证：图

（ii）若存在〃?41,2,3,、〃｝使5,.=g,试问数列｛4｝能否为加介“期待数列”？若能，求出所有这样的数列；若

不能，请说明理由.

4.（2021•上海青浦•一模）如果数列｛q｝每一项都是正数，且对任意不小于2的正整数〃满足44。“必用，则

称数列｛/｝具有性质”.

⑴若q=P4也=加+。（P、q、a、b均为正实数），判断数列｛4｝、｛4｝是否具有性质加；

⑵若数列｛〃”｝、也｝都具有性质证明：数列£｝也具有性质

⑶设实数。22,方程/-奴+1=0的两根为册X2M,=k+x；（〃£N）若，+"+…++>〃-1对任意〃eN恒

久凡41

成立，求所有满足条件的

5.（2021•上海市延安中学高三阶段练习）已知〃wN*,数列｛〃“｝的前〃项和为鼠，且2《「S”=1；

（1）求证：数列｛4｝是等比数列，并求出通项公式；

⑵对于任意的4吗€｛4生,…，凡｝（其中14注〃，\<j<n,i,，均为正整数），若4和内的所有的乘积

6•外的和记为刀,，试求1而4的值；

/i-»a4

（3）设1+d=3咋2见，%=（_］广％也…若数列匕｝的前〃项和为此，是否存在这样的实数/,使得对于所有

的〃eN.都有此之〃，成立？若存在，求出/的取值范围：若不存在，请说明理由；

6.（2022•上海•高三专题练习）对于数列｛4｝,若存在常数M>0对任意〃wN♦恒有

|%-《|+|4-%|+・・・+|4-4归”，则称｛吗是“，一数歹.

（1）首项为4,公差为郝I等差数列是否是“/-数列”？并说明理由；

（2）首项为％,公比为。的等比数列是否是-数列”？并说明理由；

（3）若数列｛叫是/一数列，证明：忖｝也是“/-数列"，设4="|十'：i，判断数列｛A｝是否是“广

数列”？并说明理由.

7.（2022•上海•高三专题练习）数列｛〃,,｝满足4=1,5向=44+3,求%“9-2%”.的值和％.

8.（2020•上海•高三专题练习）已知数列仅，满足递推关系：q,T=（2a“+3）i,〃GN,其中i为虚数单位.当外

取何值时，数列｛凡｝是常数数列？

9.（2020•上海•模拟预测）己知数列｛q｝是由正整数组成的无穷数列，若存在常数AwW,使得

出1+外=皿，对任意的〃eN'成立，则称数列｛q｝具有性质〃（〃）,

（1）分别判断下列数列｛q｝是否具有性质〃（2）；（直接写出结论）①q=1；②。“二2〃.

（2）若数列｛%｝满足。川之4（〃=1,2,3）,求证：“数列｛4｝具有性质小⑵”是“数列｛叫为常数列”的充分不

必要条件；

（3）已知数列｛风｝中4=1,且。向＞。“（〃=123）.若数列｛q｝具有性质川4）,求数列｛%｝的通预公式.

10.（2016•上海市晋元高级中学高二期中）已知递增的等差数列｛〃”｝的首项6=1,且6、。八（成等比数

列.

（1）求数列｛4｝的通项公式4;

（2）设数列｛&｝对任意N",都有1+果++祟=。"+［成立，求G+6+…+C2012的值.

（3）若"=也（〃€”），求证：数列｛a｝中的任意一项总可以表示成其他两项之积.

11.（2021•上海奉贤区致远高级中学高三期中）已知数列4对的，…Mv（N之3）的各项均为正整数，设集合

T=｛x\x=araiA<i<j<N｝f记型元素个数为P（T）.

（1）若数列月：1,2,4,3,求集合7,并写出尸（7）的值；

（2）若力是递增数列，求证：“P（T）=N-\"的充要条件是“/为等差数列”；

（3）若N=2〃+l,数列力由123,…,〃,2〃这〃+1个数组成，且这〃+1个数在数列月中每个至少出现一次，求P⑺

的取值个数.

12.（2020•上海•高三专题练习）已知数列｛4｝满足4=2且%=£：*；,求数列｛q｝的通项.

13.（2。2。・上海•高三专题练习）设函数/3="竽（”2。）有两个不同的不动点2,且由

〃Z=/（〃“）确定着数列也｝，那么当且仅当〃=0，e=2〃时，33=仁1

3一巧1〃”一出

13〃25

14.（2020•上海•高三专题练习）已知数列｛%｝满足：对于“wN,都有，用=

"勺"二+3

（1）若4=5,求％；

（2）若4=3,求%;

（3）若q=6,求4；

（4）当《取哪些值时，无穷数列伍”】不存在？

题型五：不等式

1.（2020•上海-高三专题练习）下列不等式中恒成立的是（）

2

A.tan0+cotG..2B.x+—（=­-3

V.v

「COS26^+3.nI,、

C./：..2D.xyz..r—（若x+y+z=l）

Vcos20+227

2.（2021•上海市复旦中学高三阶段练习）若/。）是定义在R上的函数，且对任意xwR都有

f（x+4）Mf（x）+4,f（x+2）^f（x）+2t且八-1）=0,则/（101）=—

3.（2020•上海•复旦附中青浦分校高三开学考试）已知数列｛q｝是无穷数列，满足

吆。,川=|怆为一但4」（〃=2,3,4,,，）.

（1）若6=2,勺=3,求小,如，■的值;

（2）求证：“数列｛总中存在可伏€M）使得lg%=0”是“数列乩｝中有无数多项是1”的充要条件;

（3）求证：存在正整数h使得10q<2.

题型六:空间向量与立体几何

一、单选题

1.（2023春•上海•高三校联考阶段练习）如图所示，正三棱柱八8C-ABC的所有棱长均为1,点凡.从力分别

为棱44、力氏A用的中点，点妫线段极上的动点.当点傩点A出发向点，造动的过程中，以下结论中正确的是

A.直线GQ与直线。可能相交B.直线GQ与直线始终异面

C.直线GQ与直线67可能垂直D.直线C。与直线以不可能垂直

二、填空题

2.（2022秋•上海•高二期中）已知向帚。=（"7+1,2,〃。是直线/的一个方向向量，向量:〃=（1,/〃,2）是平面”的一

个法向量，若直线/工平面。，则实数切的值为_____.

3.（2022秋•上海徐汇•高二位育中学校考期末）已知正方体A8CQ-ABCQ中，A8=6,点/环平面A8Q

内，"=3后,求点呼IJ8G距离的最小值为_________.

4.（2023秋-上海普陀・高二上海市晋元高级中学校考期末）如图，已知正三棱柱ABC-A4G的底面边长为

1cm,高为5cm,一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A点的最短路线的长为__________.

5.（2022秋・上海浦东新•高二上海市实验学校校考期末）已知点/退棱长为1的正方体ABC。-ABC。的底面

AMG。上一点（包括边界），则以.PC的取值范围是.

6.（2022•上海•高二专题练习）棱长为6的正方体内有一个棱长为x的正四面体，正四面体的中心（正四面体

的中心就是该四面体外接球的球心）与正方体的中心重合，且该四面体可以在正方体内任意转动，则*1勺最大值

为•

7.（2023秋•上海普陀•高二上海市晋元高级中学校考期末）如图，正方体的喽长为1,协

4A的口点，,班E侧面上，若AM_LCP,则△BC用面积的最小值为.

题型七：解析几何

1.（2022•上海•高三专题练习）方程/+）37+,，+小=0表示一个圆，则/〃的取值范围是一

2.（2020•上海市大同中学高三阶段练习）设？（工，北）是直线2x+y=1（〃€N）与圆/+丁=2在第四象限

的交点，则极限！皿—=____.

3.（2020•上海•复旦附中青浦分校高三阶段练习）设抛物线。：y2=2px（〃>0）的焦点为先经过点用J动

直线/交抛物线行AQ,y）,8（孙为）两点，旦），通=-<

（1）求抛物线冰方程；

（2）若。E=2（。4+。8）（。为坐标原点），且点£在抛物线仪E,求直线/的倾斜角；

（3）若点J偏抛物线用勺准线上的一点，直线"凡M4,MB斜率分别为心，勺，Q求证：当勺为定值时，

勺十勺也为定值.

题型八：计数原理

1.（2020•上海吉浦•一模）在二项式（五+」）'（心0）的展开式中的系数与常数项相等，则a的值是

2.（2021•上海市建平中学高三开学考试）若多项式（2+外8=%+修（］+外+%（］+用2++生（［+i）7+/（i+x）8,

则4+«7的值为_________.

题型九：统计与概率

一、填空题

1.（2023春・上海・高三校联考阶段练习）某单位为了解该单位党员开展学习党史知识活动情况，随机抽取了

部分党员，对他们•周的党史学习时间进行了统计，统计数据如下表所示：

党史学习时间（小时）7891011

党员人数610987

则该单位党员一周学习党史时间的第40百分位数是

二、解答题

2.（2021春・上海・高二专题练习）为了促进消费回补和潜力释放，上海市政府举办“2020五五购物节”活

动，某商家提供1000台吸尘器参加此项活动，其中豪华型吸尘器400台，普通型吸尘器600台.

（1）豪华型吸尘器前6天的销量分别为：9、12、工、10,10（单位：台），把这6个数据看作一个总体，

其均值为10,方差为3,求的值；

（2）若用分层抽样的方法在这批吸尘器中抽取一个容量为25的样本，将该样本看成•个总体，从中任取2台吸

尘器，求至少有I台豪华型吸尘器的概率（用最简分数表示）.

专题2.5转化与化归思想中的九种题型

题型一：导数及其应用

一、单选题

1.(2022•上海普陀・曹杨二中校考模拟预测)若存在实数女和人，使得函数八处和g(x)对其公共定义域上的

任意实数x都满足：g(x)〈丘+人工/(上)恒成立，则称此直线)，=履十万为"X)和g")的“隔离直线”.有下列命题：

①=/和g*)=2elnx之间存在唯一的“隔离直线”)，=2五・e；②=/和g(x)=_L(x<o)之间存在“隔

X

离直线”，且b的最小值为-1,则()

A.①、②都是真命题B.①、②都是假命题

C.①是假命题，②是真命题D.①是真命题，②是假命题

【答案】D

【分析】命题①，/(x)=f和g(x)=2elnx有公共点(&,e),故隔离直线过该点，设为点斜式，结合二次函数性

质对参数分类讨论，即可求解；

—by—〃>0

命题②，设隔离直线为，=&+3则；，「八对任意xvO恒成立，结合二次函数性质对参数分类讨论，即

kxr+zbx-l<0

可求解；

【详解】对于命题①，函数/(幻=/和g(x)=2elnx的图像在％=&处有公共点，

若存在/(x)和g(x)的隔离直线，那么该直线过这个公共点(五,e),

设隔离直线的斜率为4，则隔离直线方程为=即)，-收_&6+e

由/(x)Nh一aA+e(x>0)恒成立，glx2-kx+k\[c-c>O(.r>0)fB,

(i)当攵=0时，则x2Ne(x>0)不恒成立，不符合题意；

(ii)当ZvO时，令〃(x)=d—履+〃五一e(x>0),对称轴x=：<0,

〃(x)在[0,五)上单调递增，且〃(五)=0,故人<0不恒成立，不符合题意；

(iii)当1>0时1令“(％)—x2-匕十。五一e(*〉O),对称轴.一“>0,

则〃⑺=祖，+人=22⑹20,只有k=2&,即直线y=2向-e

-min⑵44

下面证明g(/)=2elnxW2而1-。，^G(x)=2>/cjr-c-2clnx,

求导G㈤=2嫉口一瓜),令G(x)=O,得户八,

x

当工40,闷时，GUXO,函数G3在区间倒，月上单调递减；

当xe(忘y)时，G(x)>0,函数G(x)在区间,+oo)单调递增；

故当x=6时，函数G*)取得极小值，也是最小值，故G(x)N(),BPg(x)<2^x-e

所以/(%)=/和g(x)=2elnx之间存在唯一的隔离直线y=2向-e.

对于命题②，设/(X)=/和g(x)=-(x<0)的隔离直线为y=kx+b,

x

“眨米+"-心—。>0

则1,，对任意XV。恒成立，即，，,「八对任意x<0恒成立，

-<kx+b［依“+"一100

x

由左d+/zr-1W0恒成立，得AK0

(i)当〃=0时，则人=0符合题意；

(ii)当％<0时，则/—去—〃NO对，生意xvo恒成立，令〃(x)=f-奴

对称轴尤=。<0,需△=公+46&0,即公4_4〃，故b〈0

令d(x)=&+加T(xvO),对称轴工=一二40,需A=〃+4妨K0,

即从4_4火，所以小416〃W-64%,故-44&<0

同理可得/G6k2《一64。，即-4工〃<0,故

故命题①正确，命题②错误：

故选：D

【点睛】关键点点睛：本题考查函数的新定义“隔离直线”，解题中理解“隔离直线”的定义，注意利用导数研

究函数的单调性及最值时解题的关键，考查学生的转化与化归能力，属于难题.

2.(2020•上海长宁♦统考二模)在数列的极限一节，课本中给巴了计算由抛物线)，=炉、x轴以及直线1=1所

围成的曲边区域面积S的一种方法：把区间［0』平均分成〃份，在每一个小区间上作一个小矩形，使得每个矩形

的左上端点都在抛物线y=Y上(如图)，则当〃->8时，这些小矩形面积之和的极限就是S.已知

222

1+2+3++〃2=，〃(〃+1)(2〃+1).利用此方法计算出的由曲线)，=&、％轴以及直线工=1所围成的曲边区域的

面积为()

A.旦B.在C.-D.|

3243

【答案】D

【分析】由『)，=石"«0』与互为反函数，画出)，=Y"《0』的图象，所求的曲边区域的面积等

于图中阴影部分的面积，再通过对区间[0』进行分割、近似代替、求和、取极限的方法，求出抛物线y=f、x

轴及直线x=l所围成的曲边区域面积S,即可得出阴影部分的面积.即可得出曲线y=4、x轴及直线x=l所围

成的曲边区域的面积.

【详解】解：由于)，=石/«0』与J=互为反函数，

可知，所求的曲边区域的面积等于下图中阴影部分的面积，

根据题意，抛物线)，=/、x轴及直线x=l所围成的曲边区域面枳S,

/1、2

可知这些小矩形的底边长都是,，高依次为^n-1|

r+22+32+…+：(〃-1)〃(2〃-1)]

=hm---------------------=hm---------------=-

XT8n.5n3

12

所以，阴影部分的面积为：1-S=1-：=

即曲线)，=&、X轴及直线x=1所围成的曲边区域的面积为：

故选：I).

2-

2fc

o1

【点睛】本题考查类比推理和定积分的概念，通过对M间进行分割、近似代替、求和、取极限的方法求曲边区域

的面积，考查化归转化思想和计算能力.

二、填空题

3.(2020春•上海•高三专题练习)已知“vO,且_(or+i)h］x+ar“恒成立，则。的值是

【答案】i

【分析】把不等式。浮一(融+1)111犬+效20恒成立，转化为函数/(H)=(奴+1>3-lnx)20在定义域内对任意的x

恒成立，结合函数的单调性和零点，得出-［是函数)=小=皿工的零点，即可求解.

a

【详解】由题意，不等式。Y4K+I)lnx+以20恒成立，

即函数〃x)=(⑪+力(⑪-Inx)“在定义域内对任意的％恒成立，

由y=aK-lnx,a<O,x>O,则〉一,<0,所以)，=or-lnx为(0,田)减函数，

x

又由当时0,可得)，=or+l为(0,e)减函数，

所以y="+l与)，=or-lnx同为单调减函数，且-，是函数y=or-l的零点，

a

故是函数y=ca-Inx的零点，

a

故()=，•-"--In!■］,解得"=-e.

ka)\a)

故答案为：r

【点睹】本题主要考杳了不等式的恒成立问题，以及函数与方程的综合应用，其中解答中把不等式恒成立问题转

化为函数的性质和函数的零点问题是解答的关键，着重考查转化思想，以及推理与运算能力.

三、解答题

4.(2022春♦上海•高三开学考试)设函数/(幻=$'+(1-。］-4or+a,其中a为常数.

(D当。=2时，求函数”］)的单调减区间：

⑵若函数在区间［0,3］上的最大直为3,求实数〃的取值集合；

(3)试讨论函数y=r(x)的图象与函数,，=1-(〃+1)2的图象的公切线条数.

X

【答案】(1)单调减区间为(-2,4)；

(2)13,1：

4

(3)答案见解析.

【分析】(1)对/*)求导，利用:(工)〈。求单调减区间即可.

(2)由题设得r(x)=(x+2)(x-勿)，诃论参数a研究/(X)在［0,3］上母调性及最大值，结合题设要求确定4的取值集

合；

(3)设g(x)='-(“+i)2,切点为A-—(a+i)］应用导数的几何意义求切线方程，结合y=r(x)得到

X%

、12

/+(不+2-2a)x-：+(a-1)2=0,由相切关系有A=0得尔+4(1-4).婿+1=0(毛工0),进而构造中间函数并应用导

数、讨论参数0研究单调性、极值，判断方程根的个数，即知题设函数间公切线的条数.

(1)

当。=2时，=-f―8x+2,则r(x)=x2-2x-8=(x-4)(.r+2),

令八%)<0,解得xe(-2,4),即当4=2时/(x)的单调减区间为(-2,4).

(2)

fix')=A2+2(1-a).r-4a=(x+2)(-2a),

i：当aWO时，/'(©NO在［0,3］上恒成立，即/⑶单调递增,

3

令/(x)=/(3)=18-20«=3,可得。=了，与aWO矛盾.

1m4

a:当〃>0时，fXx)=x2+2(1-a)x-4a=(x+2)(x-2a),

由f(x)在［0,刃上的最大值为3,则/(0)=〃43,

当2〃23,即时，/(x)K()在［0,3］上恒成立，即/(灯单调递减，

令/")1a=八0)=3,得〃=3之|,即”=3符合题意，

当0<2«<3,即0<〃<3时，/(%)£()在［0,3］的解集为［0,20,即八幻在|0,2川上单调递减，在［2*3］单调递

增，

・•・/*)a=max{/(0),/(3)},又f(0)=a<3,

令/(3)=3,求得a=即符合题意，

424

综上，实数。的取值集合为口.

4

⑶

设g(x)=L-(a+l)2,切点为属，；-(。+1)1则g'(%)=-3，

|］］9

・•・切线方程为，~；-+3+1尸=-不"-/)，整理得，=-77+亍Ta+1)2,又，。)=/+2(1-〃)*-4〃，

।2

由题意，令此直线与y=f(x)的图象相切，即W+2(l-a)x-4a=-7Tx+1-(a+l),整理得：

2

:.A=(-!r+2-2a)'-4{--4-(fl-l)j=-!7+^^+—=0,整理得+4(1-〃)/2+]=()(夙/o),

1小,%玉I%)

由题意知，此方程根的个数即为＞=/'")与("1)2的公切线条数，

X

设h(x)=8.F+4(1-+1,贝I」h\x)=24f+8(1-a)x=8.«3.r+1-。)，

令"@）=0,解得4=0或4=平，

i：当一<0,即avl时，〃'（*）<0的解集为七二0）,列表如下:

.a-\a-\

X(^―)x肾,0,0(0*)

3

h\x)+0一0十

h(x)递增极大值递减极小值递增

由表知：当x=0时力（%）取得极小值,又屈0）=1>0,

・・・方程风3+4（1-幻堞+1=0（.%*（））有且仅有一个实数根，即公切线条数为一条.

//,：当F=0,即4=1时，/（X）2（）恒成立，即〃*）在R上单调递增，又/?（0）=1>0,

・・・方程也'4（1-少年+1=05工0）有旦仅有一个实数根，即公切线条数为一条.

市：当『>0,即a>1时，”。）<0的解集为（0.餐），列表如下：

（0,守a—1

Xy,o)03,+^)

3

”(幻+0——04-

h(x)递增极大值递减极小值递增

由表知：当户0时〃（幻取得极大值；当x=F时Kr）取得极小值，又可0）=1>0,

=三（。-1）3--I），+1=一二（。-I），+1,

327927

当"彳）=-白（。-炉+1>。，即1〈”萼工时，方程8.%'+4（1-也门口。®工0）有且仅有一个实数根，即公切线

条数为•条,

当M=）=U（a-1）M=。，即〃=笑匕时，方程8%'+4（1--2+|=0（/工（））有且仅有两个实数根，即公切线条

数为两条，

当力（=）=-二。-1）、1<0,即Q变学时，方程8H+4（j）嫣+1=0（.%工0）有且仅有三个实数根，即公切线条数

为三条，

综上，当吗吧时公切线条数为一条；当《手时公切线条数为两条；当与2时公切线条数为三

222

条.

【点睛】关键点点睛：第二问，应用导数几何意义求了」-（-1）2切线方程，结合与的相切关系得到一

X

元二次方程，令该方程△=（）得到新的方程，进而构造中间函数，并应用导数、讨论参数研究函数单调性、极值

判断新方程根的个数，即可确定公切线条数.

5.（2022•上海•高三专题练习）若数列｛q｝对任意连续三项知以i，%2，均有（4-4+2）（4+2一则称该

数列为“跳跃数列”.

（1）判断下列两个数列是否是跳跃数列：

①等差数列：1,2,3,4,5,：

②等比数列：1,一〈二,一］白；

24o1o

（2）若数列｛凡｝满足对任何正整数〃，均有="""（4>。）.证明：数列｛%｝是跳跃数列的充分必要条件是

0<q<1.

（3）跳跃数列｛qj满足对任意正整数〃均有〃用=彳£,求首项外的取值范围.

【答案】（1）①等差数列：123,4,5,...不是跳跃数列；②等比数列:j...是跳跃数列.⑵证明

24o16

见解析（3）4«-2,2）D（3,炳）

【分析】（1）①数列通项公式为〃“=〃，计算可得：（4-4.2）（4+2-。川）=-2<0,所以它不是跳跃数列；②数列

通项公式为：计算可得：（4-限）（%-1）=%卜所以它是跳跃数列；

（2）必要性：若6>1,则｛〃"｝是单调递增数列，若6=1,｛（｝是常数列，均不是跳跃数列；充分性：用数学

归纳法证明证明,〃=1命题成立,若〃=k时。2氏-1<%«+1<%k，a2k>。2«+2>。2£+1»口J得:aik*2>。然+4>42Al3»所以

当〃=攵+1时命题也成立；

⑶有已知可得：勺…向=*（。-54叫（19-4；一5%），--%=总（4一2）（%-3乂19-吊-5幻，若

4+1>4,则％“>4,2>4，解得见若%+1<%,则。向<%+2<可，解得q.3,匕洋@|,

5+

由^^’2），则c*e（3,汪萼得a”w（-2,2）；当a“e3V101,则e（-2,2）,得

q,c（3,的），问题得解.

【详解】（1）①等差数列：1,2,3,4,5,…通项公式为：q二〃

・・・（4-4+2）（%2-4川）=口-（i+2）W+2-（i+l）］=-2<0

所以此数列不是跳跃数列；

②等比数列：1,总卜聂,通项公式为：

-5［闫飞机『旷⑶卜沁小

所以此数列是跳跃数列

（2）必要性：

若6>1，则｛q｝是单调递增数列，不是跳跃数列：

若q=1,｛q｝是常数列，不是跳跃数列.

充分性：（下面用数学归纳法证明）

若0<4<1,则对任何正整数〃，均有%1<。2〃+1<—>限2>6向成立.

z

①当〃=1时，a2=aj>a'=q,%=a°<a：'=a2,

Qa2=<1,.'.%=%"：>a；=q,a］

Qa2>6>%%/<%与<a：'仆<aA<a2,

所以〃=1命题成立

aaa

②若〃=A时，<2t+\V2kSk>叼A+2>2^\，

则a<a<a生心］<alk^<电一，

a>a1>a02t+2>“2A+4>〃2&+3»

所以当〃=z+l时命题也成立，

根据数学归纳法，可知命题成立，数列满足a-q+2）（/2-4+1）>。・

故｛q｝是跳跃数列.

19-a,

.二~

19-凡丫,

-I"(三一J19x25-(19-凡7

7+255125

1255

19x25-(19-4丁牝=白（q-2）（4-3乂19-〃；-5q）

限一4=---

1251乙。

①若。句＞。“，则为+|＞〃“+2

看闻―56—19）（19一展—5q）＜0

士（凡―2）（凡—3乂19一。；一5凡）＞0

解得4G，2；

②若则4.H4，

点(4：一5qr-19)(19一尤一5%)>0

14J

14J

解得，

f5-Vfoinl19-a：3告

若％之―--，2,则,所以4w(—2,2),

5

若a,,e，三,则〃用=与£.一2,2）,所以为43,月），

所以％w（—2,2）u（3,而），

此时对任何正整数〃，均有可«-2,2）“3,月）

【点睛】本题考查了与数列相关的不等式证明，考查了数学归纳法，考查了分类与整合思想，属于难题.

题型二：三角函数与解三角形

1.（2022•上海•高三专题练习）已知等差数列｛%｝中4=d=l,%=tan刈・tan1（〃wN"）,则数列｛4｝的前〃项

和S”

［答案F〃-N，)

_tana-tan。,

【解析】利用两角差的正切公式可得到tana'an6=兀而方-1,从而可得到数列｛我｝的通项公式

“"⑶’J,再代入求和化简即可得到结果。

tanl

/八、tana-tan/?tana-tanB,

［详解】Qtan(«-/?)=----------J,/.tanatan/?=---------1

''川'vJl+tanatan£'tan(a-/?)

tana,R_tana.

•'e=tan%tan%]-1

tan(4+「可)

又等差数列｛q｝中4=4=】，•.・为“一<.=1,+1

.1、_tan/川tana”,

tanl

tan一tanayI+tan%-tan/tan。“+1-tanan〔_tan«2-tan4+tan%-tana2+L+tanan+]-tanan〃

tan1tan1(an1tan1

tana„.-tana.tanan^.-tan1tan(〃+1)

-----------L-n=---------------n=-----------n-\

lan1tan1tanI

tan(?:+l)、(A,.\

故答案为:--------〃一l(〃eN)

tanl

【点睛】关键点睛：本题考查数列求和，解题的关键是会逆利用两角差的正切公式，得到数列也,｝的通项公式,

在求和的过程中巧用相消法得到数列的和，考兖学生的转化能力与运算求解能力，属于中档题.

2.（2022•上海•高三专题练习）已知函数），=/"）,%百。/］的到像为曲线C,两端点为4aJ（a））,8SJS））,

点MC%，%）为线段/历上的一点，其中/=誓1％=

,2>0,点R。均在曲线。上，且点/的横坐标

I+A1+几

等于小，点价J纵坐标为加

(1)设f(x)=sinx,xe[O，Vj"=3,求点P,儆坐标;

（2）设/（、）［”修］,求MQ的面积的最大值及相应2的值.

1J.3X/53⑥

7T（2）2=1时，最大值为黑.

【答案】（1）p;,1,Qarcsin—

JOOJo（）U

【解析】⑴/(x)=sinx,x€0,暮,A=3,由题设知。=0,〃=,，进而算出加加再代入函数中求出点知勺纵

坐标，点施勺横坐标，即可求出点R。向坐标.

；+242+^|WP|=y--J^CI=x-—

(2)1g,2,100

由/(X)=]XG得1c

a、上f=?'%

=Trr'尢=Trr/%

\MP\x\MQ\=^x^y--1一

-SRNMPQ=]X0=7%%+——2,再用换元法和基本不等式求最值.

4I%先）

/(x)=sinx,xe。与，4=3,其两端点为A(“8(。,2))

【详解】（1）

„c24.八c•24

c0+3x—sin()+3sin—

c12冗3万

,.a=0,b=--,xQ=-