高考数学模拟大题规范训练(25)含答案及解析

高三数学大题规范训练（25）15.已知、、分别为的三个内角、、的对边长，，且．（1）求角的值；（2）求面积的取值范围．16.已知等差数列的公差为2，记数列的前项和为且满足.（1）证明：数列是等比数列；（2）求数列的前项和.17.如图，在斜三棱柱中，平面平面，，四边形是边长为2的菱形，，，，分别为，的中点.（1）证明：.（2）求直线与平面所成角的正弦值.18.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点A在C上，当轴时，；当时，.（1）求C的方程；（2）已知斜率为-1的直线l与椭圆C交于M，N两点，与直线交于点Q，且点M，N在直线的两侧，点．若，是否存在到直线l的距离的P点？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由.19.已知函数.（1）当时，求的单调区间；（2）当时，设正项数列满足：，①求证：；②求证：.

高三数学大题规范训练（25）15.已知、、分别为的三个内角、、的对边长，，且．（1）求角的值；（2）求面积的取值范围．【答案】（1）2π（2）【解答】【分析】（1）根据条件，用正弦定理进行化简，再结合余弦定理即可得到结果；（2）由正弦定理，结合三角形的面积公式可得，再结合三角函数的性质即可得到结果.【小问1详解】由条件，可得，由正弦定理，得，所以，所以，因为，所以．【小问2详解】由正弦定理，可知，

，∵，∴，∴.16.已知等差数列的公差为2，记数列的前项和为且满足.（1）证明：数列是等比数列；（2）求数列的前项和.【答案】（1）证明见解答；（2）.【解答】【分析】（1）根据通项与前项和之间的关系，作差可得，即可利用等比数列的定义求解，（2）根据错位相减法求和以及分组求解，结合等差等比数列求和求解.【小问1详解】时，，即.又，也符合，所以时，，即.又，所以，所以，所以数列成等比数列.【小问2详解】由（1）易得.由可得，所以.所以，所以.令，则，所以，所以.17.如图，在斜三棱柱中，平面平面，，四边形是边长为2的菱形，，，，分别为，的中点.（1）证明：.（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解答（2）【解答】【分析】（1）根据题干，先证明平面，从而得到，又因为，再得到平面，进而得到；（2）在点建立空间直角坐标系，求出直线与平面中各点的坐标，再利用线面夹角公式代入求解即可得到.【小问1详解】证明：如图，连接.因为四边形是边长为2的菱形，，所以为等边三角形，则.又平面平面，平面平面，平面ACFD，所以平面，因为平面，所以.因为，，所以.因为，平面，所以平面.又平面，所以.【小问2详解】如图，过作的平行线为轴，结合（1）知轴，，两两垂直.故可建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，则，，.设平面的法向量为，则得取，得，则.因为为的中点，所以.又.所以.则.设直线与平面所成的角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为.18.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点A在C上，当轴时，；当时，.（1）求C的方程；（2）已知斜率为-1的直线l与椭圆C交于M，N两点，与直线交于点Q，且点M，N在直线的两侧，点．若，是否存在到直线l的距离的P点？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）存在，【解答】【分析】（1）利用通径公式和椭圆定义，结合余弦定理即可建立方程，从而可求解椭圆方程；（2）由点M，N在直线的两侧可得，设直线l：，点，，联立椭圆方程，消元，利用韦达定理可得，．根据，得到．代入斜率公式，得到，再由，求出的取值范围即可.【小问1详解】当轴时，，即①，当时，，在中，，由余弦定理可知，，即，整理，可得，即②，由①②，解得，．所以C的方程为．【小问2详解】设直线l：，点，，令，则，，由点M，N在直线的两侧，可得，联立，消去x，可得，则恒成立，所以，．因为，所以，由正弦定理，得，而，即，所以，而，则，所以，则，即，即，整理，得，所以，因为，所以，又，所以，所以．令，结合，解得，则．所以时，点P到直线l的距离．【小结】关键小结：第二问中的关键是能把转化为，由正弦定理，得，从而得到，即，从而利用斜率公式和韦达定理求解.19.已知函数.（1）当时，求的单调区间；（2）当时，设正项数列满足：，①求证：；②求证：.【答案】（1）答案见解答（2）①证明见解答；②证明见解答【解答】【分析】（1）对求导，结合导数符号与函数单调性的关系即可得解；（2）①构造函数，结合（1）中结论可证得，而此时函数在为单调递增函数，从而可得，对其变形，结合累乘法以及不等式的性质即可得证；②通过归纳可得，进一步通过放缩可得当时，，由累加法结合不等式的性质即可得证.【小问1详解】的定义域为，，当时，令，可得，当时，单调递增；当时，单调递减，当时，函数在上单调递增，在上单调递减.【小问2详解】①当时，，令，可得，由（1）知，函数在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，即，当且仅当时，等号成立，所以