2024-2025学年河南省郑州市高二上期期末考试数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年河南省郑州市高二上期期末考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.直线3x+y−1=0的倾斜角为(

)A.60∘ B.120∘ C.135∘2.抛物线C:y=2x2的准线方程为(

)A.x=−1 B.x=−12 C.y=−13.已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，a1⋅a5=64A.5 B.6 C.7 D.84.已知双曲线x2m+y2nA.52 B.62 C.5.在三棱锥A−BCD中，点E，F分别是AD，BC的中点，点M为线段EF上靠近F的三等分点，若记AB=a，AC=b，AD=A.16a+16b+166.数列{an}满足a1=2，an+1=1+aA.2 B.−6 C.−3 D.17.已知P是直线l:x−y+6=0上一动点，过点P作圆C:x2+y2−4x=0的两条切线，切点分别为A，BA.2+27 B.4+47 C.8.在边长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为BC，AA1的中点，P，Q分别为线段D1A1，A.2 B.2 C.6 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知空间向量a=(2,−1,1)，b=(1,2,3)，则下列结论正确的是(

)A.c=(3,2,5)与a，b共面

B.|a+b|=26

C.a在b上的投影向量为(610.已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且SA.d<0 B.数列{Sn}的最小项为S8

C.|a8|>|a11.椭圆C:x216+y2m2A.若0<m<1，过点F2的直线与椭圆C交于A，B两点，则△ABF1的周长为16

B.若直线kx−y−2=0与C恒有公共点，则m的取值范围为[2,+∞)

C.若C上存在点P，使得PF1⋅PF2=0，则m的取值范围为(0,22]∪[42,+∞)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知a=(2,−1,2)，b=(−4,2,x)，且a⊥b，则x=13.一条光线从点P(6,4)射出，与x轴相交于点Q(4,0)，经x轴反射，求反射光线所在的直线方程

．14.意大利数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，⋯，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，即a1=a2=1，an+2=an+1+an(n∈N∗).后来人们把这样的一列数组成的数列{an}称为“斐波那契数列”.记S四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)已知圆心为C的圆经过A(−1,−1)，B(−2,2)两点，且圆心C在直线l:x−y−1=0上．(Ⅰ)求圆C的标准方程;(Ⅱ)过点M(0,3)的直线l′被圆C截得的弦长为8，求直线l′的方程．16.(本小题12分)已知抛物线y2=2px(p>0)上的点A(x,y)与抛物线焦点F的距离为3，点A到x轴的距离为(Ⅰ)求抛物线的方程;(Ⅱ)若点A在第一象限，则经过抛物线焦点F和点A的直线交抛物线于点B，经过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线BD平行于抛物线的对称轴．17.(本小题12分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AB=4，BD= 23，PD=AD=2，侧棱PD⊥底面ABCD，点E在线段PC上运动．

(Ⅰ)证明：AD⊥平面PBD;(Ⅱ)若平面PBD与平面BDE的夹角为45∘，试确定点E的位置．18.(本小题12分)已知数列{an}的前n项和为Sn(Ⅰ)求数列{an(Ⅱ)在an与an+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为(ⅰ)记bn=1d(ⅱ)求数列{bn}的前n项和19.(本小题12分)在平面直角坐标系xOy中，对于任意一点P(x,y)，总存在一个点Q(x′,y′)满足关系式φ:x′=λx,y′=μy,(λ>,μ>0)(Ⅰ)在同一直角坐标系中，求平面直角坐标系中的伸缩变换φ1，使得圆x2(Ⅱ)已知曲线E1经过平面直角坐标系中的伸缩变换φ2:x′=2x,y′=y得到的曲线是E2:x216−y2=1，且E1与x轴有A，B两个交点(A在B的左侧)(ⅰ)求k的取值范围;(ⅱ)若直线AH，BH，BK的斜率分别为k1，k2，k3，证明：k参考答案1.B

2.D

3.C

4.D

5.C

6.A

7.B

8.A

9.AD

10.BC

11.ACD

12.5

13.2x+y−8=0

14.qp+115.解：(1)设圆C的标准方程为(x−a)2+(y−b)2=r2，

由此可以圆心C的坐标为(a,b)，

因为圆心C在直线l:x−y−1=0上，

所以a−b−1=0 ①

因为A，B是圆上两点，所以|CA|=|CB|，

根据两点间的距离公式，有(a+1)2+(b+1)2=(a+2)2+(b−2)2，

即a−3b+3=0--2由 ① ②可得a=3，b=2，

故圆C的方程为(x−3)2+(y−2)2=25．

(2)由(1)知，圆心为C(3,2)，半径为r=5，

设圆心C到直线l′的距离为d，则d=52−(82)2=3，

若直线l′的斜率不存在，则直线l′的方程为x=0，

此时，圆心C到直线l′的距离为16.解：(1)抛物线的准线方程为：x=−p2，由题意可得y=±2px+p2=32p=2px整理可得：p=4，x=1，y=±22．

所以抛物线为：y2=8x;

(2)由题意可知A(1,22)，则直线OA的方程为：y=22x ①

抛物线的准线方程是x=−2 ②

联立 ① ②，可得点D的纵坐标为−42．

因为焦点F的坐标为(2,0)，故直线AF的方程为y=22(x−2)， ③

把 ③式和抛物线联立，即y217.(1)证明：∵PD⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，

所以PD⊥AD在△ABD中，AD2+BD2=AB2，即AD⊥BD，

又BD∩PD=D，BD，PD⊂平面PBD

所以AD⊥平面PBD

(2)解：以D为原点，DA，DB，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，

建立空间直角坐标系，依题意得：A(2,0,0)，B(0,23,0)，C(−2,23,0)，D(0,0,0)，P(0,0,2)．

由(1)可知，AD⊥平面PBD，所以平面PBD的一个法向量n=(1,0,0)，

设PE=λPC，设点E的坐标为(x,y,z)，则PE=(x,y,z−2)，PC=(−2,23,−2)，

即PE=(x,y,z−2)=λPC=(−2λ,23λ,2−2λ)，可得点E的坐标为(−2λ,23λ,2−2λ)，

所以DB=(0,23,0)，DE=(−2λ,23λ,2−2λ).

设n1=(x1,y1,z18.解：(1)解：当n=1时，a2=S1+1=2，

当n=2时，an=Sn−Sn−1=(an+1−1)−(an−1)=an+1−an，

即an+1=2an．

又a2=2a1，所以数列an是1为首项，2为公比的等比数列，

所以an=2n−1．

(2) (i)在an与an+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为dn的等差数列，

a19.解：(1)将伸缩变换φ1:x′=λ1xy′=u1