2024年中考数学提高复习讲义：解直角三角形

解直角三角形

知识梳理

1.解直角三角形的概念

在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素

求出所有未知元素的过程叫作解直角三角形.

2.解直角三角形的理论依据

在RtAABC中,.NC=90。,U,NB,NC所对应的边分别为a,b,c.

(1)三边之间的关系：a?+/=。2(勾股定理)；

(2)锐角之间的关系：乙4+NB=90°;

(3)边角之间的关系：

..a.b,.a.b

smA=-，cosA=-，tanA=-com=

ccb/a

sinB=-,cosB=-,tanB=cotB-

ccab

典型例题

例1

在AABC中,ZB=90°,sinA=¥，则tanC=

解析本题主要考查解直角三角形，进行三角函数计算.

因为4B=90°,

所以乙4+NC=90°.

因为sinA=i|,

所以cosC=

所以tanC=*

例2

如图所示,NA,NB,NC所对应的边分别为a,b,c,0是^ABC的内心,(0D1BC,OE，AC,OF，AB,则0

D:OE:OF=.

解析本题考查三角形内心和三角函数计算.

因为。是4ABC的内心，

所以设OA=OB=OC=R.

由同弧所对的圆心角与圆周角的关系得

ZB=ZCOE

则有OE=OCxcosZCOE=RcosB

同理得：0D=RcosA,OF=RcosC,则OD:OE:OF=cosA:cosB:cosC.

例3

如图⑴所示，在△ABC中,NACB=9(F,/B>NA,点D为边AB的中点,DE〃BC交AC于点E,CF〃AB

交DE的延长线交于点F.

⑴求证:DE=EF.

(2)连接CD,过点E作DC的垂线交DC于点H,交CF的延长线于点G,如图(2)所示.求证:/B=/A+/

解析(1)因为DF〃:BC,DB〃FC,

所以四边形DBCF为平行四边形.

又因为D为RtAACB的斜边中点,DE〃BC,

所以"=丝=工

尸"人BCAB2,

所以DE=\BC.

例3图(1)

又DF=BC,

所以DE=9，

所以EF=DE.

⑵因为D为AB中点，

所以DC=DB=AD,

所以NB=NDCB.

因为ZEHC=ZACB=90°,

例3图(2)

所以NHEC+NACD=90。,ZACD+ZDCB=90°,

所以NHEC=NDCB.

因为NHEC为△EGC的外角，

所以NHEC=/ECG+/G.

又AD〃CF,

所以NECG=NA,

所以/HEC=/G+NA,

所以/B=/A+/G.

双基训练

1.在RSABC中,NC=9（T,NB=50。,则下列结论错误的是（）.

A.ZA=40°B.a=csin40°

C.b=acos50°D.b=atan50°

2.已知一建筑物的影长为30m,太阳光此时与地面的夹角为37°,则树高为（）m.

30

A.30sin37°B.30cos37°C.30tan37°D.

tan37°

3.在直角三角形中，除直角边外还有NA,ZB,a,b,c五个量,若已知下列的两个量，不能解直

角三角形的个数有（）.

①NA,a;②NA,/B;③a,b;④a,c.

A.lB.2C.3D.4

4.如图所示，从热气球C处测得地面A,B两地的俯角分别为30。，45。，如果此时热气球C处的高

度CD为100m,点A,D,B在同一直线上，则A,B两地的距离是（）.

A.200mB.200V3mC.220V3mD.100（V3+l）m

第4题图第5题图

5.如图所示在等腰直角三角形ABC中,/C=90°,AC=6,D为AC上一点，若tan/DBA=刍则AD的长

为（）.

A.V2B.2C.lD.2V2

6.小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，此时测得地面上的影子长

为8m,坡面上影长为4m.已知斜坡的坡度为30°,同一时刻,一根长为1m,垂直于地面放置的旗杆在

地面上的影长为2m,则树高度为（）.

A.（6+V3）mB.12mC.（4+2V3）mD.10m

7.等腰三角形ABC中顶角/A=120。,且底边BC的长为22遍,,则腰长AC=.

8.如图所示，有一段斜坡AB长为10,且坡比为3：4,则坡高AC=

9.如图所示，在△ABC中,NB=45。,coszC=|,"=5a厕△4BC的面积用含a的式子表示为

10.某山坡的坡比为1,则坡角a=—.

11.在RtAABC中,.ZC=90°,AB=5,tanB=|狈必ABC的面积为一.

12.如图所示，将一矩形ABCD沿ED折叠,使点C落在C处，其中AB=4,BC=8,则BE=.

第12题图第14题图

_2

13.在4ABC中,若|cos4-yl+(sinB-y)=0,乙4,NB均为锐角，则/C=.

14.如图所示，△ABC的顶点在单位长度为1的正方形网格的格点上，则tanA=—

15.如图所示，在四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点若EF=6,BC=13,CD=5厕tanC=.

第15题图第16题图

16.如图所示在△4BC中,AD为BC边上的高,E为BC的中点,NC=45。,sinfi=1,AD=1,则

tanZ.DAE=

17.已知某一三角形中，两边长分别为2cm和3cm,第三边上的高为1cm,则此三角形的面积为

18.如图所示,在\\ogramABCD^,AB:AD=3:2,cosX=—,pl!]AADB=

6

第18题图

19.如图所示，已知Z.D=90°,tan^CAD=y,AC=10MB=14,,则BC=_.

20.如图所示,在梯形ABCD中,ADBC,AC1AB,AD=CD,cosB=卷,BC=26,则线段CD的长为

第20题图

能力提升

21.如图所示，已知。O的半径为5,锐角.△4BC内接于。O,BD12C于点D,AB=8,则taWBD

的值等于（）.

A'B

第21题图

22如图所示，在等边三角形ABC中，D,E分别为BC与AC上任意一点，且^ADE=60。,BD

=4,CE=抑△4BC的面积为（）.

48百B.15C.9V3O.12V3

23.在△ABC中,ADJ_BC于D,（CD=逐,AD=々，且乙B=45。,,则ABAC=

24.已知2sin2a—3V3sincr+3=0,则锐角a=_.

25.如图所示，在等腰4ABC中,AD_LBC于D,且tanzC=|,AB上一点E且满足AE:BE=3:2,则tan/

ADE=

第26题图

26.如图所示，在等腰直角三角形ABC中，NC=90°,BC=12,,D为AC上任意一点，目AD=4,则

tan乙DBA=

27.如图所示，在△2BC中,ZC=90。,点D在BC上,BO=6,AD=BC,cos^ADC=|,则DC长为

第27题图第28题图

28.如图所示，在由边长相同的小正方形组成的网格中点A,B,C,D都在这些小正方形顶点上,A

B,CD相交于点P,则tan^APD=.

29.在RtAABC^p,/.ACB=90°,sinB=|,D为BC上一点,DE1ZB于点E,CD=DE,AC+CD=9,贝!J.

BE=

30.先化简，再求值.

（黑一号）+悬，其中a=2tm60°—1.

拓展资源

31.如图所示，矩形ABCD中,AB>AD,AB=a,AN平分1AN于点M,CN14N于点N,

则DM+CN的值为（用含a的代数式表示X）.

AD4V2A/3

A.aB.—ctC.—CLDN.—ci

522

AB

第31题图

32.水管的外部需要包扎，包扎时用带子缠绕在管道外部.若要使带子全部包住管道且不重叠（不考虑

管道两端情况），需计算带子的缠绕角度a（a指缠绕中将部分带子拉成图中所示的平面ABCD时的乙4BC

一其中AB为管道侧面母线的一部分）.若带子宽度为1,水管直径为2,则a的余弦值为—.

D

第32题图第33题图

33.如图所示在平行四边形ABCD中,AELBC于点E,AF1CD于点F,若力E=2,4F=3,coszB=

《，则CF=—.

34.星期天，小强去水库大坝游玩，他站在大坝上的A处看到一棵大树的影子刚好落在坝底的B处

（点A与大树及其影子在同一平面内）,此时太阳光与地面成（60。..在A处测得树顶D的俯角为15。.如图

所示，已知AB与地面夹角为60。，AB为8米.请你帮助小强计算一下这棵大树的高度.（结果精确到1

米，参考数据：V2x1.4,遍x1.7）

35.身高1.65米的兵兵在建筑物前放风筝，风筝不小心挂在树上.如图所示的平面图形中，矩形CDE

F表示建筑物，兵兵位于建筑物前点B处，风筝挂在建筑物上方的树枝点G处（点G在FE的延长线上）.

经测量，兵兵与建筑物的距离.BC=5米，建筑物底部宽FC=7米，风筝所在点G与建筑物顶点D及风

筝线在手中的点A在同一条直线上，点A距地面的高度AB=1.4米，风筝线与水平面夹角为37。.

(1)求风筝距地面的高度GF.

⑵在建筑物后面有长5米的梯子MN,梯脚M在距墙3米处固定摆放，通过计算说明：若兵兵充分

利用梯子和一根5米长的竹竿能否触到挂在树上的风筝？

(参考数据：s讥37。«0.60,cos37°«0.80,tan370~0.75)

第35题图

1-6CCADBA

7.28.69.14a210.45°11.612.4

13.105°14,il5.—16.—

232

17.出史18.60°19.620.13

2

21.D22.C

23.105。或15°24.60°25.226.127.9

28.229.430.

5+V3

31.因为AN平分NDAB,DM_LAN于点M,CN±AN于点N,

所以/ADM=ZMDC=ZNCD=45°,

所以DM+^—=CD.

cos45cos45

因为AB=CD=a,

所以DM+CN=acos450=ya,故选C.

32击

33.因为四边形ABCD是平行四边形，

所以AB=CD,ZB=ZD.

因为AE_LBC,AF_LCD,

所以/AEB=ZAFD=90°.

因为AE=2,AF=3,cosNB=

所以sin/B=^=殁

3ABAB

所以4B=3/，

所以CD=3V2.

因为在RtAADF中,tan/D=tanzB=蔡=2M

所以小泰