北师大版九年级数学上册压轴题：特殊平行四边形中的三种几何动点问题（原卷版）

专题03特殊平行四边形中的三种几何动点问题

类型一、面积问题

例.如图，在四边形ABCD中，AB//CD,ZBCD=90°,AB=AD=10cm,BC=8cm.点尸从点A出发,

以每秒3cm的速度沿折线ABC方向运动，点。从点。出发，以每秒2cm的速度沿线段。。方向向点C运

动.已知动点尸，。同时发，当点。运动到点C时，P,。运动停止，设运动时间为心

⑴直接写出CD的长（cm）；

（2）当四边形PBQD为平行四边形时，直接写出四边形P2QD的周长（cm）；

⑶在点尸、点。的运动过程中，是否存在某一时刻，使得V3尸。的面积为15cm2?若存在，请求出所有满足

条件的r的值；若不存在，请说明理由.

【变式训练1】如图，在四边形ABCD中，AD//BC,ZA=ZB=90°,ZADC=120°,AD=12cm,BC=15cm,

点尸自点A沿折线AD-DC以Icm/s的速度运动，点。自点C沿向CB-班以lcm/s的速度运动.点P,Q

同时出发，其中一个点到达终点，另一个点也停止运动.设运动时间为"s）.

备用图

⑴当P在AD边上，点。在3C边上时，如图1.

①用含f的代数式表示：DP=,BQ=；

②若四边形APQ2是平行四边形，求f的值？

⑵求V8PQ的面积S与运动时间t之间的数量关系式，并写出r的取值范围.

【变式训练2】如图，在矩形ABCZ）中，AB=12,BC=18,点尸从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿

AD边做往返运动,在点尸出发的同时，点。从点8出发，以每秒1个单位长度的速度沿BC边向终点（运动,

当点。到达点C时，两点间时停止运动，连接PQ,设运动时间为*秒）.

⑴当仁4时，尸。的长度为一

⑵当四边形A8QP为矩形时，f的值为_

⑶设四边形A2QP的面积为S,求S与f之间的函数关系式；

⑷当PQ所在的直线将矩形ABC。分成的两部分的面积比为102时，直接写出f的值.

【变式训练3】如图，在人4成>中，AB=AD,4。平分过点。作的平行线交4。的延长线于

点C,连接BC.

D

（2）如果。4,03（04>03）的长（单位：米）是炉-7x+12=0的两根，求的长以及菱形ABCD的面积；

⑶在（2）的条件下，若动点加从A出发,，沿AC以2米/秒的速度匀速直线运动到点C,动点N从8出发，

沿以1米/秒的速度匀速直线运动到点D,当"运动到C点时，运动停止.若址、N同时出发，问出发

几秒钟后，AMON的面积为2米2

类型二、几何图形存在性问题

例L如图，在RGABC中，?B90?,BC=56，NC=30。.点。从点C出发沿C4方向以每秒2个单位

长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿A3方向以每秒1个单位长的速度向点8匀速运动，当其

中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点DE运动的时间是f秒(/>0).过点。作8±BC

于点尸，连接DE,EF.

C

⑴求ARAC的长;

(2)求证：AE=DF；

⑶当f为何值时，ADEF为直角三角形？请说明理由.

例2.如图，已知正方形ABCD的边长为4cm,动点尸从点8出发，以2cm/s的速度沿CfD方向向

点£)运动，动点。从点A出发，以lcm/s的速度沿A―3方向向点5运动，若P、。两点同时出发运动时

间为Zs.

备用图1备用图2

⑴连接尸£>、PQ、DQ,求当t为何值时，△尸。。的面积为7c疗？

(2)当点P在BC上运动时，是否存在这样的r使得△PQD是以PD为一腰的等腰三角形？若存在，请求出符

合条件的f的值；若不存在，请说明理由.

例3.如图，在四边形A8CZ)中，AD0BC,国8=90。，A8=8cm,A£)=12cm,BC=18cm,点尸从点A出发

以lcm/s的速度向点。运动；点。从点C同时出发，以2cm/s的速度向点2运动，当点。到达点B时，点

尸也停止运动，设点P,。运动的时间为fs.

⑴从运动开始，当f取何值时，PQSCD?

(2)在整个运动过程中是否存在"直，使得四边形PQC。是菱形？若存在，请求出r值；若不存在，请说明理

由；

⑶从运动开始，当f取何值时，四边形尸。崩是矩形？

⑷在整个运动过程中是否存在"直，使得四边形尸。区4是正方形？若存在，请求出f值；若不存在，请说明

理由.

例4.如图，在菱形A8CD中，对角线AC与3D交于点0,且AC=8,BD=6,现有两动点"，N分别

从A,C同时出发，点M沿线段A2向终点8运动，点N沿折线C-O-A向终点A运动，当其中一点到达

终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为秒).

⑴填空：AB=_；菱形ABCD的面积S=_；菱形的高//=

(2)若点M的速度为每秒1个单位，点N的速度为每秒。个单位(其中。＜[),当/=4时在平面内存在点E使

得以A,M,N,E为顶点的四边形为菱形，请求出所有满足条件的。的值.

类型三、直线位置关系问题

例1.如图，在中，ZABC=90°,AC=5,BC=4,点。是边A3的中点，动点尸从点A出发以

每秒1个单位的速度沿4c向终点C运动，过点P作尸。，AC交折线AB—3c于点0(点。不与点。重合),

以PQ、。。为邻边构造平行四边形PQNW,设点P的运动时间为t秒.

⑴直接写出A3的长.

(2)当点。落在边上时，用含/的代数式表示DQ的长.

⑶当平行四边形尸。。河为轴对称图形时求t的值.

⑷连接当。“与RtZkABC的某条边平行时，直接写出r的值.

例2.如图，在YABCD中，ZA=60°,AB=6cm,连接8D,恰有？AB£>90?,过点。作DEL3C于点

E.动点尸从点。出发沿ZM以lc7〃/s的速度向终点A运动，同时点。从点8出发，以4cm/s的速度沿射线

BC运动，当点尸到达终点时，点。也随之停止运动，设点P运动的时间为

⑴分别求BD和BE的长度；

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(2)连接PQ,当f=g时，判断PQ与AO是否垂直，并说明理由；

⑶试判断是否存在/的值，使得以「，Q,C,。为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出/的值；若不

存在，请说明理由；

⑷若点尸关于直线。。对称的点恰好落在直线8上，请直接写出点尸，。之间的距离.

课后训练

1.如图，在四边形ABCD中，AB//CD,ZA=90°,DC=24cm,AB=26cm,动点尸从。开始沿。C边向

C点以1cm/s的速度运动，动点。从点B开始沿54向A点以3cm/s的速度运动，P,。分别从点5同

时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，运动的时间为f秒.

（1）/为何值时，四边形&PQA为矩形？

（2八为何值时，四边形PQ8C为平行四边形?

2.如图，在AABC中，AC=6cm,BC=8cm,点。以每秒的速度由点A向点C运动（不与点C重合）,

过点。作直线MN〃3C,/BC4的外角平分线C尸于点/，ZACB的平分线CE于点E设运动时间为r秒.

发现：

⑴在点。的运动过程中，0E与。尸的关系是,请写出理由.

⑵当f=2时，EF=cm.

探究：当仁时，四边形是矩形，并证明你的结论.

拓展：若点。在运动过程中，能使四边形AECF是正方形，试写出线段A3的长度.（直接写出结论即可）

3.已知正方形A3CO中，AB=BC=CD=DA=8,ZA=ZB=ZC=ZD=90°.动点尸以每秒2个单位速

度从点8出发沿线段BC方向运动，动点。同时以每秒8个单位速度从8点出发沿正方形的边

B4-AD-OC-CB方向顺时针作折线运动,当点P与点。相遇时停止运动，设点P的运动时间为t.

图1备用图2

⑴当运动时间为一秒时，点尸与点。相遇;

(2)当时，求线段的长度；

⑶连接24,当ABIB和AQ山全等时，求f的值.

4.如图，在YABCD中，NB4c=90。，CD=3,AC=4.动点P从点A出发沿A£)以lcm/s速度向终点。

运动，同时点。从点C出发，以4cm/s速度沿射线CB运动，当点尸到达终点时，点。也随之停止运动，

设点尸运动的时间为/秒(r>0).

(1)C3的长为.

⑵用含t的代数式表示线段。8的长.

(3)连接尸。,

①是否存在f的值，使得PQ与AC互相平分？若存在，求出f的值；若不存在，请说明理由;

②是否存在f的值，使得PQ与互相平分？若存在，求出r的值；若不存在，请说明理由.

⑷若点尸关于直线A。对称的点恰好落在直线上，请直接写出，的值.

5.如图，矩形ABCD中，8=4,ZCBD=30°.一动点尸从B点出发沿对角线方向以每秒2个单位长

度的速度向点。匀速运动，同时另一动点。从。点出发沿。C方向以每秒1个单位长度的速度向点c匀速

运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点产、。运动的时间为/秒过点尸

作尸于点E,连接EQ,PQ.

(备用图)

⑴求证：