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文档简介
球面坐标中的偏微分方程解法本章讨论另一类非常重要的偏微分方程解法：球坐标中的偏微分方程分离变量法。首先，我们求解了勒让德方程的两个线性无关解，从中导出勒让德多项式和第二类勒让德函数。接着引入罗德利克公式和博内公式计算勒让德多项式，重点讨论了如何把函数展开了傅里叶-勒让德级数和球对称定解问题的解法。最后简要地介
绍了连带勒让德多项式和球谐函数。2
球面坐标中的偏微分方程解法§
7.1
勒让德方程与勒让德多项式§
7.2
勒让德函数的性质及递推公式§
7.3
傅里叶—勒让德级数§
7.4
勒让德多项式的边值问题§
7.5
连带勒让德多项式及应用3§
7.1.1
勒让德方程的求解§
7.1.2
勒让德多项式7.1
勒让德方程与勒让德多项式42a2
+n(n
+1)a0
+3.2a3
x
+(n
一1)(n
+2)a1x
+[(k
+2)(k
+1)ak+2
+(n
一k)(k
+n
+1)ak
]xk
=0k=2xw(1一x2
)y,,一2xy,+n(n
+1)y
=0式中为n
常数。设解的形式是wk
(k
一
1)ak
xk一2
一
k
(k
一
1)ak
xk
一
2kak
xk
+
n
(n
+
1)ak
xk
=
0k=2k=2k=1k
=0xwxwxwxw=0式(7.1-2)代入(7.1-1)后，得到7.1.1
勒让德方程的求解ky
=
xak
xk勒让德方程形式是(7.1-3)(7.1-1)(7.1-2)52a2
+n(n
+1)a0
=03.2.a3
+(n1)(n
+2)a1
=0(k
+2)(k
+1)ak+2
+(n
k)(k
+n
+1)ak
=0式(7.1-4)、(7.1-5)和(7.1-6)的递推结果是n(n
+1)2
2!
0a
=
(
1)2
n(n
2)(n
+
1)(n
+
3)
a4444444444444444444440047.1.1
勒让德方程的求解根据上式可以写出系数的递推公式是a
=
a(7.1-4)(7.1-5)(7.1-6)4!67.1.1
勒让德方程的求解：a2k
=
2k
.
(2k
1)
a2k
2=
(
1)k
2k)
n(n
+
1)(n
+
3)
…
(n
+
2k
1)
(7.1-7)(n1)(n
+2)3
3!
1a
=
(
1)2
(n
1)(n
3)(n
+
2)(n
+
4)55!)(n2k
+2)(n
+2k
1)a
=
a5!：7(n
-
2k
+
1)(n
+
2k
)a2k+1
=
-
(2k
+1)(2k
)
a2k-1=
(-1)
(7.1-8)式中的a0
和a1
是两个任意常数。级数解可以写成一个偶数项之和与一个奇数项之和，有7.1.1
勒让德方程的求解8y
(x
)=
a2k
x2k
+
a2k+1x2k+1k=0
k=0=
a0
1+
(-1)
!1)(n
+
3)
…
(n
+
2k
-
1)x2k
+
a1
(-
1)k
(n-
2k
+
1)
…(n-
3)(n(2
n1)
2)(n
+
4)
…(n
+
2k)x2k+1
(7.1-9)令y0
(x
)
=
1
+
(-
1)k
x2k(7.1-10)k-xwxw7.1.1
勒让德方程的求解9式中a0
与a1
是两个任意常数。称y0
(x
)和y1
(x
)是勒让德函数。y0
(x
)和y1
(x
)是不是方程(7.1-1)的解？这包括两个问题：首先是y1
和y2
是否线性独立；7.1.1
勒让德方程的求解y1
(x
)
=
(
1)k
(n
2
k
+
1)
…
(n
3
)(n(
n)
k
+1勒让德方程的解可以写成y
(x
)=
a0
y0
(x
)+a1y1
(x
)其次，若是线性独立存在，它们是否在指定的区间内收敛。(7.1-11)(7.1-12)107.1.1
勒让德方程的求解先回答第一个问题。在x0时，有y0
(x
)=
1
+
o
(x2k
)y1
(x
)=
x
+
o
(x2k
)上两式表明y0
(x
)和y1
(x
)是两个线性无关解。收敛性问题讨论：(1)把式(7.1-1)写成定理5.1的标准形式(5.2-2)后，有p
(x
)
=，q
(x
)
=
，根据定理5.1可知，级数解的收敛半径应当是展开点到p(x
)和q
(x
)最近奇点之间的距离，即x
<1内，y0
(x
)和y1
(x
)是收敛的。117.1.1
勒让德方程的求解(2)在x
=1处，定理5.1没有给出敛散性的结论。级数y0
(1)和y1
(1)的收敛性判断应当分n
为非整数和n
为整数两种情况加以讨论。n
为非整数情况，用高斯判定法可以证明y0
(1)和y1
(
1)都是发散的，而且y0
(1)和y1
(1)合成在一起的表达式(7.1-12)也是无界的，即不可能找出一个解y(x
)在x
=1处是有限的。从边值问题的角度去考虑这个结果时，就要求附加自然边界条件y
(1)<，这样就有a0
=a1
=0，所以方程(7.2-2)只有零解
y
(x
)=0，即n
是非整数时勒让德方程无解。127.1.1
勒让德方程的求解(3)n
为整数时解的收敛性情况如何？下面来展开讨论这个问题。对于y0
(x
)有2!4!(n-4)(n-2)n(n
+
1)(n
+
3)(n
+
5)
6-
x
5!…
+
(-1)
k
+
…n
取不同值时，有下面多项式y
(x)
=
1-
n(n
+
1)
x2
+
(n-2)n(n
+
1)(n
+
3)
x40013n
=一1或0:y0
(x
)=1n
=
一3或
2:
y0
(x
)=
1一
x22!
4!：可以得到n
是正偶数、零或者负奇整数时，y0
(x
)是一个含偶次幂的多项式，有n
=
一5或
4:
y0
(x
)
=
1一
4
.
5
x2
+
1
.
3
.
4
.
6
x4y0
(x)=a0
+a2
x2
+a4
x4
+…+a2nx2n7.1.1
勒让德方程的求解(7.1-13)147.1.1
勒让德方程的求解把y1
(x
)展开，n
取正奇整数或者负偶整数，有n
=
1或-2:y1
(x
)=xn
=
3
或-4:
y1
(x
)=
x
x33!5!继续递推下去，可得y1
(x
)是一个含奇次幂项的多项式，即n
=
5或-6:
y1
(x
)
=
x
4
.
7
x3
+
2
.
4
.
7
.
9
x5y1
(x)=a1x
+a3x3
+a5x5
+…
+a2n+1x2n+
1(7.1-14)15式中c1
是任意常数。Pn(x
)被称为勒让德多项式，n
表示勒让德方程(7.1-1)中参数n
的取值。n
取负整数的多项式n
(x
)与取正整数的多项式P+
n
(x
)线性相关，二者之间只差一个常数，所以讨论勒让德多项式时，只要考虑n
取正整数的情况。
P7.1.1
勒让德方程的求解根据式(7.1-13)和(7.1-14)，可以得到结论:x=[1,1]
区间，且n
取整数时，勒让德方程有一个多项式解，记这个解是Pn(x
)，得到勒让德方程的一个解是y
=
yp
(x)=
c1Pn
(x)(7.1-15)16Qn
(x
)
=
Pn
(x
)j
e
dx
=
Pn
(x
)j
(1
x
2
(x
)所以勒让德方程的通解是：y
=c1Pn
(x
)+c2
Qn
(x
)式中c1
和c2
是任意常数。
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
jdx0
j
j2)Pndxx0xxxx0xQn
(x
)在x
=1处是无界的。证明如下：设Pn(1)丰0(稍后证明Pn(1)=1)，由于Pn(x)是连续函数，
所以可以取到x0
(0<x0
<1)，使得x0
x1时Pn(x)丰0。7.1.1
勒让德方程的求解应用定理5.3和这个特解，可求出勒让德方程的另一个线性无关解应用定积分第一中值定理，有(7.1-16)(7.1-17)17式(7.1-19)说明Qn
(1)无界，在求边值问题时解Qn
(x)应当舍去。所以，勒让德方程只有一个解y
(x)=
c1Pn(x)(7.1-20)即勒让德多项式是勒让德方程的唯一有界解。式中毛在x0
和x
之间，且Pn(毛)丰0。由式(7.1-18)和(7.1-16)可得Qn
(x
)
=
Pn
(x
)j
(1
-
x
2
(x
)
=
PnP2
j
=
PnP2
ln
-
ln
nn毛)x
)((x0x毛)x
)((2)Pndxx0xQn
(1)=lx
Qn
(x
)=PnP2
)
lx
ln
-ln)wn)1-im毛1)(()1-imj
(1
-
x
2
Pn2
(x
)
=
Pn2
(毛
)
1)dxx
0x7.1.1
勒让德方程的求解(7.1-18)(7.1-19)18式(7.1-21)可以从第k
项系数向前递推出第k
项以前各项的系数。公式中的ak
是待定常数，也就是勒让德的多项式x
最高次幂前的系数是待定常数。k
=n2，n4,n
6，…
时，有以下关系ak
=
(n
k
)(n
+
k
+
1)
ak+2
(7.1-21)现在来导出勒让德多项式的一般表达式。将式(7.1-6)改成7.1.2
勒让德多项式
(k
+1)(k
+2)
197.1.2
勒让德多项式xn
的系数：anxn
2
的系数：an
2
=
n2(xn
4
的系数：
xn
6
的系数：
n(
n)(：an
是任意常数，一般以多项式Pn(1)=1为标准去确定an
的值，习惯取an
=
(n
=
1，2，…)(7.1-22)20式(7.1-22)代入an_2
，an_4
，an_6
，…
后，得到x
n
:
a
=
(_
1)
.
(2n)!n
2n
.0!.n!.n!n_2
n
(n
_
1)
(2n)!
n
(n
_
1)(2n)(2n
_
1)(2n
_
2
)! x
:
an_2
=
_
2(2n
_1).
2n
(n
!)2
=
_
2(2n
_1).2n
.n
(n
_1)!.n
(n
_1)(n
_2)!=
(_
1)xn_4
:
an_4
=
_
(n_4(
_3)3)
.
_
2n
(
_)!
!_
2)!
=
(_
1)
2n
.
2!
4)!
!n
_
4)!
(_
1)
22()(n2)007.1.2
勒让德多项式21x
:an-2k
=
(-
1)
2n
.
k!
)!
)n
-
2
)!
(k
=
0，1，2，…)
(7.1-23)从式(7.1-14)和(7.1-15)可知，勒让德多项式或者只含奇次幂项，或者只含偶次幂项。因此勒让德多项式的项数有两种情况：当n
是正偶数时，共有项；当n
是正奇数时共有
项。记
是不大于
的最大正整数，则有「n
]
，n为偶数
(7.1-24)n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-!2kk2n-n-k：(kk--nn2((|L2」|
=〈|l
，n为奇数7.1.2
勒让德多项式22勒让德多项式是Pn
(x
)
=
(-
1)
xn
+
(-1)
-)!
xn-2
+
(-1)
-2)4!()!n
-
4)!xn-4
+
…=
(-
1)
k
(7.1-25)式(7.1-25)又称为第一类勒让德函数。由式(7.1-25)和定理5.3写出的勒让德方程的另一解是(7.1-16)，为Qn
(x
)
=
Pn
(x
)j
上式称为第二类勒让德函数。x0x007.1.2
勒让德多项式23Rn
(x
)是n1次多项式，x
=土1是Qn
(x
)的奇点，即Qn
(x
)在[1,1]上是无界函数。Qn
(x
)=Pn
(x
)ln
Rn
(x
)7.1.2
勒让德多项式第二类勒让德函数可以写成(7.1-26)24§
7.2.1
罗德利克公式§
7.2.2
勒让德函数的性质
§
7.2.3
勒让德多项式的递推公式7.2
勒让德函数的性质及递推公式257.2.1
罗德利克公式经典的正交多项式，例如厄密多项式、拉盖尔多项式都可以用n
阶
导数形式来表示，这些公式统一地被称为罗德利克公式，勒让德多项式的罗德里克公式是定理7.1。定理
7.1
勒让德多项式可以写成n
阶导数的表达形式：于是有
(x
-
1
)
=
(-
1
)
对上式两边求导n
次，对于n
是偶数的保留项要满足2n
-2k
>n
，即222222222222nkn2(x
2
-
1)=
C
kn
(-
1)
(x
2
)=
(-
1)
k
!(
k
)!x
2
n-2
k
(7.2-2)nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnkkkn-n-kn证用二项式定理把(x2
-1)
展开成nnPn
(x
)
=
(x
2
-
1)nn(7.2-1)267.2.1
罗德利克公式k
共n2；对于n
是奇数，应当有2n
-2k
之n
+1，即k
共(n
-1)2。
按照(7.1-24)引入的记号，保留的项数是[n2]，这样有
x2n-2k
=(2n
-2k
)(2n
-2k
-1)…
2n
-
2k
-(n
-1)xn-2k上式代入(7.2-2)后，有
x2
n-2
k
=
(-
1)
…)!(n
-
2k
+
1)xn-2
k=
(-
1)
k
=
Pn
(x
)这就证明了式(7.2-1)，此式称为勒让德函数的罗德利克公式。[证毕]在应用中，罗德利克公式因为表示简洁而在勒让德函数研究中广泛使用。例7.1277.2.2
勒让德函数的性质下面是勒让德函数几个常用的性质。性质
1
勒让德多项式是正交多项式，即j
Pn
(x
)Pm
(x)dx
=〈数，
(7.2-3)已经对勒让德方程作过详细讨论，证明了这是一个奇异SL问题。注意到在求勒让德方程导出勒让德多项式时已经附加了边界条件y(土1)<+w
，而勒让德多项式是其特征函
数，因此Pn(x
)是正交函数。11mmnn常0，l(287.2.2
勒让德函数的性质性质
2
勒让德多项式的奇偶性可用下列公式判定Pn
(-x)=(-1)n
Pn
(x)(7.2-4)由式(7.2-4)可得n
是正偶数时，勒让德多项式是偶函数，n
是正奇数时，勒让德多项式是奇函数。所以勒让德多项式有以下规律：n=正偶数：Pn
(x)=a0
+a2
x2
+a4
x4
+…
+a2nx2nn=正奇数：Pn
(x)=a1x
+a3x3
+a5x5
+…
+a2n+1x2n+1性质
3
勒让德多项式的生成函数公式
=
Pn
(x
)
(
<
1<
1)
(7.2-5)证明式(7.2-5)比较麻烦。但是，很容易验证上式是正确的。性质
4
勒让德多项式有n
个不同的实根，这些根都在-1和+1之间。nn297.2.3
勒让德多项式的递推公式能用2个给定的勒让德多项式P0
(x
)和P1
(x
)，经过递推的方法求高阶勒让德多项式。最常用的递推公式是(n
+1)Pn
+1
(x
)(2n
+1)xPn
(x
)+nPn
1
(x
)=0(7.2-6)证根据勒让德多项式的生成函数式(7.2-5)，有(12x
+2
)
=Pn
(x
)n
，0<<1(7.2-7)n=0对求导，得到
=
nPn
(x
)
=
(1
2
x
+
2
)nPn
(x
)
n
11
nn
1
ww
30对上式的第一项和第三项做代换，使其成为
-nPn
(x
)毛n-1
=
-
(n
+
1)Pn+1
(x
)毛n
=
-
(n
+
1)Pn+1
(x
)毛n
n=0
n=-1n=0(n
+
1)Pn
(x
)毛n+1
=
nPn-1
(x
)毛n
=
nPn-1
(x
)毛n
n=0
n=1n=0将上两式代入式(7.2-8)，可以得到-
(n
+
1)Pn+1
(x)+(2n
+
1)xPn
(x
)-
nPn-1
(x)毛n
=
0
n=0由毛n
的系数为零得(n
+1)Pn+1
(x
)-(2n+1)xPn
(x
)+nPn-1
(x
)=0[证毕]x的x的x的x的x的x的x的7.2.3
勒让德多项式的递推公式将(7.2-7)代入上式后得到(x
-毛)毛n
Pn
(x
)=
(1-
2毛x
+毛2
)n毛n-1Pn
(x)n=0
n=1x的x的-nPn
(x
)毛n-1
+(2n
+
1)xPn
(x)毛n
-
(n
+
1)Pn
(x)毛n+1
=
0
n=0x的(7.2-8)31式(7.2-6)又称为博内公式，它可以根据P0
(x
)
=1和P1
(x
)=x推出各阶勒让德多项式，下面是递推出来的前8个勒让德多项式：P0
(x)=
1
P1
(x)=
xP2
(x)=
(3x2
-
1)P3
(x)=
(5x3
-
3x)P4
(x)=
(35x4
-
30x2
+
3)P5
(x)
=
(63x5
-
70x3
+
15)P6
(x)=
(231x6
-
315x4
+
105x2
-
5
)P7
(x)=
(429x7
-
693x5
+
315x3
-
35x)7.2.3
勒让德多项式的递推公式32(b)P1,P3,P5,P7
图像7.2.3
勒让德多项式的递推公式P1
(x)P5
(x)P7
(x)P2
(x)P4
(x)
P6
(x)图
7.1(a)
P0
P2
,P4
,P6
图像
P3
(x)P0
(x)33Pn
(x
)=
P
n+1
(x
)2xP
n
(x
)+
P
n
1
(x
)(n
>
1)P
n+1
(x
)=xP
n
(x
)+(n
+1)Pn
(x
)xP
n
(x
)P
n
1
(x
)=
nPn
(x
)P
n+1
(x
)P
n
1
(x
)=
(2n
+
1)Pn
(x
)(7.2-9)(7.2-10) (7.2-11)(7.2-12)上述五个公式都可以从博内公式导出，或者从生成函数中导出。7.2.3
勒让德多项式的递推公式其它一些常用的递推公式列举如下：例7.234若f
(x)在(-1,+1)上连续，傅里叶—勒让德级数收敛值是f
(x
)；在间断点f
(x
)的收敛值是
f
(x+
)+
f
(x_
)。证(7.3-1)是定理5.5的直接结果，这里不再推导。现证明式(7.3-2)成立。对式(7.3-1)两边同乘以Pk
(x)，并在两边同时积分，有傅里叶—勒让德级数展开定理
7.2
设函数是(-1,+1)区间内的实值函数，且在[-1,+1]内分段光滑，f(x)可以展开为j
f
(x
)Pk
(x
)dx
=
cn
j
Pn
(x
)Pk
(x
)dx根据7.2.2节的性质1知道Pn(x)是正交的，因此有111111111111111111111111111xwf
(x)
=
cn
Pn
(x
),
x
三
1n=0cn
=j
f
(x)Pn
(x)dx11xw7.3
傅里叶—勒让德级数(7.3-1)(7.3-2)35n=0下面求NP
的值NP
=
j
Pn2
(x
)dx
=
j
(x2
-
1).
(x2
-
1)dx=
j
(x2
-
1)d
(x2
-
1)=〈(x2
-
1)(x2
-
1)-
j
(x2
-
1)(x2
-
1)dx
卜nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn()1+n(n)1n-n-(n1)1n-n-(n)n(n1111111111111111111111111111n)1n-n-(n)n(n11111111111111111111111111111111111111)n(n)n(n11式中分母称为勒让德多项式的模，记作NP
(x
)=
j
Pn2
(x
)dx11c
=
j
f
(x
)Pn
(x
)dx
j
Pn2
(x
)dx11n17.3
傅里叶—勒让德级数(7.3-3)(7.3-4)367.3
傅里叶—勒让德级数用莱布尼兹公式计算
(x
2
-
1)n
(
)
，先将
(x2
-1)展开为
(x2
-1)=(x
-1)n
(x
+1)n
(
)=(x
-1)n
(
)
(x
+1)n
+C
-1
(x
-1)n
(
)
(x
+1)n
，+C
-1
(x
-1)n
(
)
(x
+1)n
”+…+(x
-1)n
(x
+1)n
(
)
=a1
(x
-1)(x
+1)n
+a2
(x
-1)2
(x
+1)n-1
+a3
(x
-1)3
(x
+1)n-2
+…+an
(x
-1)n
(x
+1)式中a1
,
a2
,
…an
为系数，由上式可见
(x
2
-
1
)n
(
)
0
，重复用分部积分后，有n
-n
-n
-n
-n
-n
-n
-1n
-n
-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-1n-n-3n-n-2n-n-1n-n-n2n1n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-1n-n-)1n-n-(n)1n-n-(n1n-n-377.3
傅里叶—勒让德级数j
Pn
2
(x
)dx
=
j
(x2
-
1).
(x2
-
1)dx
=
j
(x2
-
1)(x2
-
1)
dx=
j
(x2
-
1)(x2
-
1)dx因为(x2
-1)
=(x2n
)(
)
，所以有j
Pn
2
(x
)dx
=
j
x
2
n
(
)
(x
2
-
1)dx
=
j
(x
2
-
1)dx
作代换x
=cosp，(x2
-1)
=(-1)n
sin2np,dx
=-sinpdp，因而有11111111111111111111111111111111111111111nn1n2n2n11nnnnnnnnnnnnn(2n2n)2n2n(n1111111111111111111n)2n2n(n111111111111111111111111111111111111111111k
)k
)n-n-(n+k
)+k
)+k
)n(n1)1n-n-(n)1+n(n11387.3
傅里叶—勒让德级数j
Pn
(x)dx
=
j
sin
QdQ=
j
sin
QdQ
2.(2n)!2n.(2n一2)…
4.22.(2n)!2n
.
n!=
22n
(n
!)2
.
(2n
+
1)(2n
一
1)…
5
.
3=
22n
(n
!)2
.
(2n
+
1)(2n
一
1)…
5
.
3
2
(2n)!
2
(2n)!
2
(2n)!
2 =
2n
.n!.(2n
+1)(2n
一1)…
5.3=
[2n.(2n
一2)…
2]=
(2n
+1)!=
2n
+1从上式可以得到NP
=
j
Pn2
(x
)dx
=
式(7.3-4)代入(7.3-3)后，有11111111111111111111111111121+2n2n1+2n2n2102几0几cn
=j
f
(x
)Pn
(x
)dx11[证毕]39前面介绍的傅里叶—勒让德级数是定义在区间[-1,+1]上，若x=[-l,+l]，只要做变换t
=，t
=[-1,+1]。求出关于t的傅里叶—勒让德
级数后，再将t变换成，就得到在[-l,+l
]上的傅里叶—勒让德级数。7.3
傅里叶—勒让德级数若换算到球坐标下，有x
=cos9，因此(7.3-1)和(7.3-2)可写成f
(cos9)=
cn
Pn
(cos9),
0
<9
<
"n=0cn
=j
f
(cos9)Pn
(cos9)sin9d90"xw(7.3-5)(7.3-6)例7.3例7.440勒让德多项式有关的边值问题都与自然边界条件有关，下面就是几个例子。7.4
勒让德多项式的边值问题例7.5例7.6例7.741§
7.5.1
连带勒让德多项式
§
7.5.2
球谐函数7.5
连带勒让德多项式及应用42将上式求导后代入式(7.5-1)，可以得到(1_x2
)v，，(x)_
2(m+
1)xv，(x)
+
(n
+
1)n_m(m
+
1)v(x)=
0设Pn(x)是勒让德方程的解，勒让德方程是(1_x2
)Pn，，(x
)_2xP，n
(x
)+n(n
+1)Pn
(x
)=0对上式求m
次导数后，有连带勒让德方程为(1
_
x
2
)_
2
x
+
n
(n
+
1)_
y
=
0(7.5-1)(7.5-2)(7.5-3)(7.5-4)令：
y
(x
)=(1_x2
)
v
(x
)7.5.1
连带勒让德多项式43(1-x2
)P(nm+2)
(x)-2(m
+1)xP(nm+1)
(x)+n(n
+1)-m(m
+1)P(nm)
(x)=0(7.5-5)比较(7.5-3)和(7.5-5)，得到v
(x)=P(nm)
(x)。所以，连带勒让德方程的解是称式(7.5-6)的右边是连带勒让德多项式，记作P(nm)
(x)。有Pnm
(x)=(1-x2
)P(nm)
(x)7.5.1
连带勒让德多项式y
(x)=(1-x2
)P(nm)
(x)(m
不
n,
x
不1)(m
不
n,
x
不1)(7.5-6)(7.5-7)447.5.1
连带勒让德多项式为什么式(7.5-7)中有m
共n
？根据式(7.1-25)，有Pn
(x
)
=
(-
1)
k所以P(nm)
(x)中m
>n
时，要对上式求导m
次，必定有P(nm)
(x)=0，为了得到非零解，必须有m
共n
。连带勒让德多项式性质：将连带勒让德方程稍加变换，可以得到(1
-
x2
)-
y
+
n
(n
+
1)y
=
0
(7.5-8)上式是奇异SL问题，附加上y(士1)<w，就可以像7.1节讨论勒让德方程解那样去讨论连带勒让德多项式。457.5.1
连带勒让德多项式根据定理5.4的推论，连带勒让德多项式有以下性质：(1)连带勒让德方程的特征值是n
(n
+1)>0。(2)连带勒让德多项式是连带勒让德方程在[-1,+1]区间上的有界解，组成了连带勒让德方程的特征函数系，这是一个正交函数系，即j
Pnm
(x
).
Pkm
(x
)=〈
数,
n
k
(7.5-9)(3)满足一定条件的函数f
(x
)，可以以恳Pnm
;n
=0,1,2,…}作为正
交完备系展开成广义傅立叶级数。这样就有11n才常0,l(f
(x)=
cn
Pnm
(x),
(m
共
n)(7.5-10)xwn=046(4)有四个基本递推公式(2n
+1)xPnm
(x)=(n
+m)Pn
1
(x)+(n-m
+1)Pn
1
(x)(7.5-13)-m式(7.5-11)的分母称为连带勒让德多项式的模，记作N
，它的值为nmcn
=
,
(n
=
0,1,
…
;m
不
n)N
=
j
Pnm
(x
)dx
=
111111111111221nm(2n
+1)(1-x2
)Pnm
(x)=Pn
1
(x)-Pn
1
(x)-m7.5.1
连带勒让德多项式(7.5-14)(7.5-11)(7.5-12)477.5.1
连带勒让德多项式(2n
+1)(1x2
)Pnm
(x
)=(n
+m)(n
+m1)Pnm
1
(x
)(n
m
+2)(n
m
+1)Pn
1
(x
)(7.5-15)(2n
+1)(1x2
)=(n
+1)(n
+m)Pnm1
(x)n
(n
m
+1)Pn
1
(x)(7.5-16)为了使用方便，通常把勒让德函数定义推广到负的m
，定义Pn
m
(x
)=(1)Pnm
(x
)
(7.5-17)可以证明它也是连带勒让德方程的一个解。1
1
例7.8487.5.2
球谐函数球谐函数来自球坐标下的拉普拉斯方程分离变量方程解。它是sin
9
))|+
+
n
(n
+
1)
=
0
(7.5-18)令入=n
(n
+1)，Y
(9,Q)=O(9)C(Q)，用OC
乘以上两边后，得到sin
9
))|++入Y(9,Q)=0(7.5-19)(0共9
共",0共Q
共2")称Y(9,Q)是球谐函数，显然Y(9,Q)是一个两变量函数。49恳m2
;
m
=
0,1,
2,
…}恳牵(0)=Cm
cosm0+Dm
sin
m0;m
=0,1,2,…}连带勒让德方程的解已在7.5.1中解出，是恳n
(n
+1);n
=m,m
+1,m
+2,…}
恳Pmn
(cos9);
n
=
m,m
+1,m
+
2,
…}7.5.2
球谐函数方程(7.5－19)分离变量后的常微分方程已在5.1.2节中讨论过了，是〈|
O
=
0(|
d
牵
+
m
2
牵
=
022l(在式(7.5－20)中令x
=cos9就成为连带勒让德方程。式(7.5－22)解为(7.5-20)(7.5-21)(7.5-22)(7.5-23)〈|l牵
2冗)
=
牵
(0)00(d(7.5－26)(7.5－27)(7.5－24)(7.5－25)507.5.2
球谐函数综合(7.5－25)和(7.5－27)，得方程(7.5－19)的两个特征函数Ynm1
(9,Q)=Pmn
(cos9)cos(mQ)；Ynm2
(9,Q)=Pmn
(cos9)sin
(mQ)，记作Ynm(9,Q)=Pmn(cos9)〈
,(m=0,1,2,…;n=m,m+1,…)(7.5－28)特征值是入=n
(n
+1)，(n
=m,m
+1,…;m
=0,1,2,…
)(7.5－29)从式(7.5－28)和(7.5－29)可知，对应于一个特征值n
有多个m
，
也就是有多个特征函数与一个特征值对应，
这种情况称为简并，
有多
少个不同的特征函数称为简并度。现在一个m
有2n+1个特征函数，因此简并度是2n+1。mQ)mQ)((517.5.2
球谐函数球谐函数的主要性质如下：(1)球谐函数是正交函数，即有j
j
Ynm(9,Q)Ysk
(9,Q)sin9d9dQ=〈
,(n(
)
(7.5－30)
NY
=
j
j
Yn
(9,Q)sin9d9dQ
=
(7.5－31)6m
=〈
(7.5－32)))00丰=mm((""m2020"nms,nm52级数，为f
(9,Q)=
xP
(cos9)[Anm
cos
mQ+
Bnm
sin
mQ]n=0m=0Anm
=
j
j
f
(9,Q)P
(cos9)sin9cos
mQd9dQBnm
=
j
j
f
(9,Q)P
(cos9)sin9sin
mQd9dQ几几nm0几02几n22几几nm0几02几n22nnmxw7.5.2
球谐函数(2)广义傅立叶级数。符合一定条件的函数f
(9,Q)可以展开成广义傅立叶例7.10例7.9(7.5－33)(7.5－34)(7.5－35)53本章结束
球面坐标中的偏微分方程解法54例7.1例
7.1
试证Pn
(1)=1，Pn
(-1)=(-1)n解将(x
2
-1)
分解为(x
+1)n
.(x
-1)n
，代入罗德利克公式，然后用微分的莱布尼兹公式，可以得到Pn
(x
)
=
(x
2
-
1)=
(x
-
1)(x
+
1)=〈
(x
-1)(
)
(x
+1)+C
(x
-1)(
)
(x
+1),+C
(x
-1)n
(
)
(x
+1)n
”+…
+(x
-1)n
(x
+1)n
(
)
卜=恳n
!(x
+1)n
+C
n
.n
!(x
-1)(x
+1)
+C
(x
-1)2
(x
+1)n-
2+
…
+
n!(x
-
1)
}nnn-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-1n-n-n2n1n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n2n-n-J)n2nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn1n-n-nnnnn1l(nnnnnnnnnnnnnnnnnnnn)n(nnnnn55根据上式，可以写出P
(1)=
.
n!(2)=
1
；
P
(1)=
.n!(2)=
(1)nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn返回例7.156例
7.2例7.2求(1-x2
)y,,
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