三角形（共24题）-2022年江苏中考数学试题分项汇编（解析版）

2022年中考数学真题分项汇编（江苏专用）

专题08三角形

一、单选题

1.（2022•江苏淮安•中考真题）下列长度的三条线段能组成三角形的是（）

A.3,3,6B.3,5,10C.4,6,9D.4,5,9

【答案】C

【分析】根据三角形的三边关系判断即可.

【详解】A.v3+3=6,

长度为3,3,6的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；

B,v3+5<10,

长度为3,5,10的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；

C.v4+6>9,6—4<9,

・•・长度为4,6,9的三条线段能组成三角形，本选项符合题意；

D.-.-4+5=9,

二长度为4,5,9的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；

故选：C.

【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边

是解题的关键.

2.（2022•江苏淮安・中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC,ABAC的平分线交BC于点。，E为AC的中点,

【答案】C

【分析】利用等腰三角形三线合一以及直角三角形斜边上的中线进行求解即可.

【详解】--^8=AC=10,AD平分NBAC,

：.AD1BC,

.-.Z4DC=90°,

•••E为4c的中点,

.-.DE=^AC=5,

故选C.

【点睛】本题考查等腰三角形的性质和直角三角形斜边上的中线.熟练掌握等腰三角形三线合一和直角三

角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键.

3.（2022•江苏南通・中考真题）用一根小木棒与两根长分别为3cm,6cm的小木棒组成三角形，则这根小木棒

的长度可以为（）

A.lcmB.2cmC.3cmD.4cm

【答案】D

【分析】设第三根木棒的长为xcm,再根据三角形的三边关系得出x取值范围即可.

【详解】解：设第三根木棒的长为xcm,则6-3<x<6+3,即3Vx<9.观察选项，只有选项D符合题

故选：D.

【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三

边.

4.（2022•江苏南通・中考真题）如图，a||M3=80°,zl-z2=20°,则N1的度数是（）

a

b

A.30°B.40°C.50°D.80°

【答案】C

【分析】根据平行线的性质和三角形外角的性质可得Nl+N2=80。，结合41-42=20。，两式相加即可求出

zl.

【详解】解：如图，

.-.z4=zl,

.♦Z3=N4+N2=N1+N2=80°,

•••Z.1-Z2=20°,

.-.2zl=100°,

.-.zl=50°,

【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，求出/1+/2=80。是解题的关键.

5.（2022•江苏镇江•中考真题）如图，点4B、C、。在网格中小正方形的顶点处，力。与BC相交于点0,〃

【答案】A

【分析】先根据勾股定理计算的长，再根据A4。2s△OOC,对应边成比例，从而求出49的长.

【详解】解：/。732+42=5,AB=2,0）=3,

■■■ABWDC,

■■AAOB-ADOC,

AO_AB_2

"''0D~'CD~3f

・•.设4gx,则。。=3x,

-AO+OD=AD,

.,.2x+3x=5.

解得：x=\,

•♦.4O=2,

故选：A.

【点睛】本题考查勾股定理和相似三角形的判定和性质，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质.

6.(2022•江苏宿迁•中考真题)若等腰三角形的两边长分别是3c%和5c加，则这个等腰三角形的周长是

()

A.8cmB.13cmC.8c加或13c/wD.11c加或13c%

【答案】D

【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3和5,而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要

应用三角形的三边关系验证能否组成三角形.

【详解】解：当3是腰时，

■.-3+3>5,

.・.3,3,5能组成三角形，

此时等腰三角形的周长为3+3+5=11(cm),

当5是腰时，

•.•3+5>5,

5,5,3能够组成三角形，

此时等腰三角形的周长为5+5+3=13(cm),

则三角形的周长为llc/n或13cm.

故选：D

【点睛】本题考查等腰三角形的性质及三角形三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情

况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键.

7.(2022•江苏扬州•中考真题)如图，小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块.小

明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为△力BC,提供了下列各组元素的数

据，配出来的玻璃不一定符合要求的是()

A.AB,BC,CAB.AB,BC,^BC.AB,AC,^-BD./-A,/-B,BC

【答案】c

【分析】根据SSS,SAS,ASA逐一判定，其中SSA不一定符合要求.

【详解】A.AB,BC,CA.根据SSS一定符合要求;

B.AB,BC/B.根据SAS一定符合要求;

C.AB,AC,/-B.不一定符合要求;

D.乙A,乙B,BC.根据ASA一定符合要求.

故选：C.

【点睛】本题考查了三角形全等的判定，解决问题的关键是熟练掌握判定三角形全等的SSS,SAS,ASA

三个判定定理.

8.（2022•江苏扬州•中考真题）如图，在A48C中，AB<AC,将△4BC以点4为中心逆时针旋转得到

△ADE,点。在BC边上，DE交力C于点F.下歹I）结论①△AFE〜△DFC；②。力平分NBDE；③4CDF=KBAD,

其中所有正确结论的序号是（）

C.①③D.①②③

【答案】D

【分析】根据旋转的性质可得对应角相等，对应边相等，进而逐项分析判断即可求解.

【详解】解：•••将△ABC以点4为中心逆时针旋转得到△4DE,

AADE=AABC,

Z-E—Z.C,

vZ.AFE=乙DFC,

AAFE-ADFC,故①正确;

••AADE=AABCf

・•・AB=AD,

•••Z-ABD=乙ADB,

vZ.ADE=Z.ABC,

•••Z-ADB=Z.ADE,

・•・平分NBDE,故②正确;

•・•AADE=AABCf

・••Z-BAC=Z-DAE,

・••Z.BAD=Z-CAE,

•••4AFE〜ADFC,

・••Z.CAE=Z.CDF,

•••乙CDF=乙BAD,

故③正确

故选D

【点睛】本题考查了性质的性质，等边对等角，相似三角形的性质判定与性质，全等三角形的性质，掌握

以上知识是解题的关键.

9.（2022•江苏宿迁・中考真题）如图，点/在反比例函数y=：（久＞0）的图像上，以。4为一边作等腰直角三

角形OAB,其中N04B=9O。，AO=AB,则线段。8长的最小值是（）

A.1B.V2C.2V2D.4

【答案】C

【分析】如图，过4作4Mllx轴，交y轴于过B作BDlx轴，垂足为。，交MA于H,贝U

NOAM==90。，证明△40M三△84H,可得OM=AH,AM=BH,设从科5），则4M=ni,OM=5

,MH=m+^BD=~m,可得+再利用勾股定理建立函数关系式，结合完全平方公式的变

形可得答案.

【详解】解:如图，过4作4M||x轴，交y轴于"，过B作8D_Lx轴，垂足为。，交MA于H,贝U

AOMA=UHB=90°,

•••/.MOA+^.MAO=90°,

•••AO=AB,AO1AB,

/.MAO+乙BAH=90。,

・•・^MOA=乙BAH,

•••△AOMzABAH,

••.OM=AH,AM=BHf

设相9贝|J/M=m,OM=%MH=m+/D=~m,

•••B(M+

0B=4m+"+(>j=12m2+*

•・,m>0,而当a>0,b>0时，则a+6>2Vab,

•••2/+黑2氏五$=8,

•,•2m2+9的最小值是8,

.•.。8的最小值是V§=2&.

故选：C.

【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数的性质，完全平方

公式的变形应用，勾股定理的应用，掌握“。2+房222的变形公式”是解本题的关键.

10.（2022•江苏苏州・中考真题）如图，点/的坐标为（0,2）,点3是x轴正半轴上的一点，将线段N2绕点/

按逆时针方向旋转60。得到线段NC.若点C的坐标为（犯3），则加的值为（）

2vHC,也D.返

■3

【答案】c

【分析】过C作CD1X轴于D,CEly轴于瓦根据将线段绕点/按逆时针方向旋转60。得到线段/C,

可得A48C是等边三角形，又4(0,2),C(m,3),即得4c=7m2+1=BC=可得8。=:蹈―亦

2222

=Vm-8,OB=y/AB-OA=Vm-3,从而，加一？+V7Tl2-8=m，即可解得小=竽.

【详解】解：过。作CDLx轴于。，CEly轴于E,如图所示：

•••CDlx轴，CEly轴，

・••乙CDO=cCEO=^DOE=90°,

・•・四边形EODC是矩形，

•・•将线段48绕点4按逆时针方向旋转60。得到线段4C,

•9-AB=AC,Z.BAC=60o,

・・.A4BC是等边三角形，

：-AB=AC—BC,

-A(0,2),C(m,3),

：.CE=m=OD,CD=3,OA=2,

，AE=OE-OA=CD-OA—1,

-'-AC=^AE2+CE2=Vm2+1=BC=AB,

在RtZi3CD中，BD=y/BC2-CD2=Vm2-8,

在RtA^OB中，OB=7AB2_0"=7&3,

■：OB+BD=OD=m,

•••Vm2-3+Vm2-8=m,

化简变形得：3根4-22加2-25=0,

解得：爪=竽或巾=一苧(舍去)，

.vm=苧，故C正确.

故选：c.

【点睛】本题考查直角坐标系中的旋转变换，解题的关键是熟练应用勾股定理，用含〃，的代数式表示相关

线段的长度.

11.（2022・江苏无锡•中考真题）如图，在口中，AD=BD,"DC=105°,点E在4D上，4EBA=

60°,则岩的值是（）

【答案】D

【分析】过点8作2EL/O于R由平行四边形性质求得乙4=75。，从而求得乙4即=180。-乙4-乙48£=45。，则

△8£尸是等腰直角三角形，即8尸=£尸，设BF=EF=x,则8D=2x,DF=Mx,DE=DF-EF=（V3-1）x,

AF=AD-DF=BD-DF=（2-V3）x,继而求得/不力产⑦尸2=（2一百）2/+臬=（8-4百）N,从而求得啜=乌

AD2

再由45=CD,即可求得答案.

【详解】解：如图，过点8作于R

••,□ABCD,

：.CD=AB,CDUB,

­.^ADC+2LBAD=1S0O,

-Z.ADC=105°

山=75。，

Z-ABE=60°,

••・UEB=1S0°-^A-^ABE=45°,

・"FD=90。，

：・^EBF=UEB=45。,

：,BF=FE,

,：AD=BD,

・••乙4双)=乙4=75。，

.4Z)5=30。，

设BF=EF=*,则&)=2x,由勾股定理，得DF母x,

；.DE=DF-EF=(V3-1)x,AF=AD-DF=BD-DF=(2-V3)x,

由勾股定理，得/5=/尸+5乃=(2-V3)2x2+x2=(8-4V3)%2,

DE2_(q-1).，_1

''AB2~(8-4V3)x2-2

,££_V2

ZB-2'

,:AB=CD,

.££_V2

・'CD-2'

故选：D.

【点睛】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，过点5作5FL4D

于尸，构建直角三角形与等腰直角三角形是解题的关键.

二、填空题

12.(2022•江苏镇江・中考真题)一副三角板如图放置，乙4=45。，ZE=30°,DE\\AC,则N1=

【答案】105

【分析】根据平行性的性质可得42=45。，根据三角形的外角的性质即可求解.

【详解】解：如图,

■■DEWAC,

/.Z.2=Z.A=45°,

vzE=30°,zF=90°,

：•乙D=60°,

zl=z2+z£>=45°+60°=105°,

故答案为：105.

【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，直角三角形的两锐角互余，掌握以上知识是解题

的关键.

13.（2022•江苏常州•中考真题）如图，在四边形4BCD中，AA=^ABC=90°,DB平分乙4DC.若4。=1,

CD=3,贝㈣nN4BD=.

【答案】4

6

【分析】过点D作BC的垂线交于E,证明出四边形力BED为矩形，△BCD为等腰三角形，由勾股定理算出

DE=GBD=&,即可求解.

【详解】解：过点。作BC的垂线交于E,

Z.DEB=90°

vZ-A—Z-ABC=90°,

・•・四边形/BE。为矩形，

:,DE//ABAD=BE=\,

•••Z-ABD=(BDE,

•・•BO平分乙/OC,

•••乙

ADB=Z.CDBf

•・•AD//BE,

••Z-ADB=乙CBD,

:.乙CDB=(CBD

CD=CB=3,

vAD=BE=1,

CE=2,

；•DE=7DC2—CE?=V9-4=V5»

•­.BD=JDE2+BE2=V5+1=V6

・•・siMBDE=霁=?=T

・••sinZ.ABD=—.

6

故答案为：咚

O

【点睛】本题考查了锐角三角函数、矩形、等腰三角形形、勾股定理、平行线的性质，解题的关键是构造

直角三角形求解.

14.（2022•江苏镇江・中考真题）如图，在△4BC和△4BD中，乙4cB=4WB=90。，E、F、G分别为AB、

AC,BC的中点，若DE=1,贝l」FG=

【分析】由直角三角形斜边中线的性质得出NB=2DE,再由三角形中位线的性质可得尸G的长;

【详解】解：••・RtA4BC中，点E是N2的中点，DE=1,

:・AB=2DE=2,

・•,点尸、G分别是“C、8c中点,

.-.FG=^AB=1,

故答案为：1

【点睛】本题考查了直角三角形的性质及三角形中位线的性质等知识；熟练掌握中位线定理是解题的关

键.

15.（2022•江苏徐州•中考真题）如图，将矩形纸片/BCD沿CE折叠，使点3落在边AD上的点尸处.若

点£在边48上，/8=3,BC=5,则N£=.

【答案】抑,

【分析】由折叠性质可得CF=3C=5,BE=EF,由矩形性质有CD=N8=3,BC=AD=5,勾股定理求得。R

AF.设BE=EF=x,则在直角三角形4EF中，根据勾股定理，建立方程，解方程即可求解.

【详解】解：由折叠性质可得CF=8C=5,BE=EF,

由矩形性质有CD=AB=3,BC=AD=5,

­.•zZ）=90o,

■-DF=y/CF2-CD2-4,

所以4F=AD-DF=5-4=1,

所以BE=EF=x,贝ij在直角三角形NEF中：

AE2+AF2=EF2,

•••（3-X）2+12=X2,

解得v，

••・4E=3-|/

故答案为：

【点睛】本题考查了图形折叠的性质，勾股定理，矩形的性质，在直角三角形AEF中运用勾股定理建立方

程求解是关键.

16.（2022•江苏淮安・中考真题）如图，在CL4BCD中，CALAB,若NB=50。，则46泊。的度数是.

AD

【答案】40。##40度

【分析】根据平行四边形对边平行可得/。1出口利用平行线的性质可得乙乙40二乙4CB,因此利用直角三角

形两个锐角互余求出乙4cB即可.

【详解】解：・・•四边形ZBCD是平行四边形，

：.AD\\BCf

：.Z-CAD=乙ACB,

\'CA1AB,

・"ZC=90。，

vZB=50°,

.•.Zi4CB=90°-z5=40°,

.•ZCAD=AACB=40°,

故答案为：40°.

【点睛】本题考查平行四边形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，难度较小，解题的关键是能够

综合运用上述知识.

17.（2022•江苏淮安•中考真题）如图，在Rt^ABC中，zC=90°,AC=3,BC=4,点。是4c边上的一点,

过点。作0FII4B,交BC于点F,作NBAC的平分线交DF于点E,连接BE.若△ABE的面积是2,则会的值是

【答案】|

【分析】先根据勾股定理得出力B=5,根据△4BE的面积是2,求出点E到的距离为右根据RSABC的

面积，求出点C到的距离为陪=?,即可得出点C到DF的距离为《，根据相似三角形的判定与性质，得

ADbb

出当"=警，求出CD=2,DF=J根据等角对等边求出£M=DE=1,即可求出EF=DF-DE=与一1

L/lJ/it）oJ

5,即可得出最后结果.

【详解】解：在RtaaBC中，由勾股定理得，AB=5,

・・•△4BE的面积是2,

.••点E到4B的距离为:

在RtaABC中，点C到48的距离为喑=£,

/iDb

・••点C到。尸的距离为I，

-DF||AB,

・•.△CDF-△CAB,

CD_2_DF

''~CA~3~~AB'

10

:CD=2,DF=y,

•・・/E平分乙C/8,

：.Z-BAE=Z-CAE,

-DF||AB,

：.Z.AED=Z.BAE,

：.Z.DAE=Z.DEA,

.,.DA=DE=1,

107

：.EF=DF-DE=

DE3

：'~EF-79

故答案为：

【点睛】本题主要考查了三角形高的有关计算，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的

判定，解题的关键是求出点E到4B的距离为，点C到。尸的距离为:

三、解答题

18.（2022•江苏淮安・中考真题）己知：如图，点4、D、C、尸在一条直线上，且AD=CF,AB=DE,

乙BAC=AEDF.求证：NB=NE.

BE

【答案】见解析

【分析】根据SAS证明三△DEF,即可得出答案.

【详解】证明：・・・/O=CF,

：.AD+CD=CF+CD,

.,.AC=DF,

(AB=DE

•・・在△ABC^\△OEF中｛4Z=Z,EDF,

(AC=DF

AABC=△OEF(SAS)，

：/B—Z-E,

【点睛】本题主要考查了三角形全等的性质和判定，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键.

19.(2022・江苏常州•中考真题)如图，点2在射线0X上，0A=a.如果。4绕点。按逆时针方向旋转

九。(0<nW360)到。4,那么点4的位置可以用(a,71。)表示.

(1)按上述表示方法，若a=3,n=37,则点4的位置可以表示为；

(2)在(1)的条件下，已知点B的位置用(3,74。)表示，连接44、A'B.求证：A'A=A'B.

【答案】⑴(3,37。)

(2)见解析

【分析】(1)根据点的位置定义，即可得出答案；

(2)画出图形，证明A4O4三△504(SAS),即可由全等三角形的性质，得出结论.

【详解】(1)解：由题意，得©(a,〃。)，

•・•a=3,几=37,

・・・A'（3,37。）,

故答案为：(3,37。)；

(2)证明：如图，

・•・4(3,37。)，8(3,74°),

'=37°,Zyl(95=74°,OA=OB=3,

：.AA'OB=/-AOB-/-AOA'=1^°-?>T=?>T,

■：OA'=OA',

：.AAOA'^BOA'(SAS),

：.A'A=A'B.

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，新定义，旋转的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是

解题的关键.

20.(2022•江苏常州•中考真题)在四边形4BCD中，。是边BC上的一点.若△。48三△OCD,则点。叫做该

四边形的“等形点”.

(1)正方形“等形点”(填“存在”或“不存在”);

(2)如图，在四边形力BCD中，边BC上的点。是四边形2BCD的“等形点”.已知CD=4五，0/1=5,BC=12,

连接4C,求力C的长；

(3)在四边形EFGH中，EH//FG.若边FG上的点。是四边形EFGH的“等形点”，求案的值.

【答案】(1)不存在，理由见详解

(2)475

(3)1

【分析】⑴根据“等形点”的概念，采用反证法即可判断;

(2)过/点作于点跖根据“等形点”的性质可得N8=CD=4&,OA=OC=5,OB=1=OD,设

MO=a,则8〃=8O-MO=7-a,在比A45/和比△NfW中，利用勾股定理即可求出NW,则在吊△NMC中利

用勾股定理即可求出NC；

(3)根据“等形点”的性质可得。尸=。兄OE=OG,AEOF=AGOH,再根据EH||FG,可得乙EOF=4JEH,

AGOH=^EHO,即有OE=OH,可得OF=OG,则问题得解.

(1)

不存在，

理由如下：

假设正方形ABCD存在“等形点”点。，即存在△0/3三△OCD,

•••在正方形/8CD中，点。在边上，

■.^480=90°,

■■■AOAB=AOCD,

；.乙4BO=KCDO=90°,

■■■CD1DO,

"CD1BC,

：.D0\\BC,

•・・。点在2C上，

..DO与BC交于点O,

••・假设不成立，

故正方形不存在“等形点”；

(2)

如图，过/点作于点如图，

■■0点是四边形/BCD的“等形点”,

:心OABdOCD,

：.AB=CD,OA=OC,OB=OD,乙4OB=MOD,

,-CD=4V2，OA=5fBC=12,

：,AB=CD=4五,OA=OC=5,

••.OB=BC-OC=12-5=l=OD,

••,AMIBC,

.­.Z,AMO=900=/-AMB,

・,・设则BM=BO-MO=7・a,

・•・在RtAABM和RtAAOM中，AM2=AB2-BM2=AO2-MO2,

：.AB2-BM2=AO2-MO2,即(4&)2-(7—Q)2=52-a2,

解得：a=3,即M0=3,

-'-MC=MO+OC=3+5=8,AM=y/AO2—MO2=V52-32=4

・•・在RtAAMC中，AC—Vi4M2+MC2=V42+82—4V5，

即AC的长为4旗；

(3)

如图，

-O点是四边形EFGH的“等形点”，

:△OEF^AOGH,

：.OF=OH,OE=OG,/-EOF=Z.GOH,

-EHWFG,

:,乙EOF=(OEH,Z.GOH=Z.EHO,

・•・根据乙有乙OEH=(OHE,

：,OE=OH,

♦：OF=OH,OE=OG,

：.OF=OG,

【点睛】本题考查了全等三角形的性质、勾股定理、正方形的性质、平行的性质等知识，充分利用全等三

角形的性质是解答本题的关键.

21.(2022•江苏徐州•中考真题)如图，在中，4B/C=90。，AB=AC=12,点尸在边N2上，D、E

分别为8C、尸C的中点，连接过点E作3c的垂线，与BC、NC分别交于尸、G两点.连接DG,交

PC于点H.

DF

备用图

(l)NEDC的度数为；

(2)连接尸G,求A4PG的面积的最大值；

(3)P£与DG存在怎样的位置关系与数量关系？请说明理由;

(4)求篙的最大值.

【答案】(1)45。

⑵9

@PE=DG,理由见解析

【分析】(1)先说明乙8=45。，再说明DE是aCB尸的中位线可得。EgP,然后由平行线的性质即可解答；

(2)先说明△££＞尸和△GPC是等腰直角三角形可得、GF=CF聋CG；设NP=x,则

BP=12-x,BP=n-x=WE,然后通过三角形中位线、勾股定理、线段的和差用x表示出NG,再根据三角形

的面积公式列出表达式，最后运用二次函数求最值即可；

(3)先证明△GEO三△CFE,可得DG=CE,进而可得尸E=DG；由△GFD三△CF£可得尸=NDGR进而

得到NG〃E=NCEE=90。，即可说明。G、PE的位置关系；

(4)先说明△CEP-MZW得到等=若，进而得到黑=筌，然后将已经求得的量代入可得等==

C.ULnCcCcCc

X+12+&_24,然后根据a+!=(&+J)2-222求最值即可.

【详解】(1)解：•.•在zMBC中，N8NC=90。，AB=AC=12

.•.乙8=乙4cB=45。

D、E分别为2C、PC的中点

1

：.DE\\BPfDE=-BP

：/EDC=^B=45。.

(2)解：如图：连接尸G

“EDC=，4CB=45。,GFLDC

:.AEDF和△G/C是等腰直角三角形

:.DF=EF也DE,GF=CF=^CG,

22

设4尸=x,贝IJ5Q12-X,BP=12-x=2DE

12—x12—x

•.♦DEFEF』

••,RtAAPC,

:・PC=NAP2+=7工2+144

•••C£=|V%24-144

-RtAEFC

.,.FC=FG=yJCE2-EF2=(|Vx2+144)

・・・CG=&C2等

12+Y12—JC

-.AG=12-CG=12--=^-

12%-/_一(0一6)2+36

：^SAAPG^AP•/G=*当

44

所以当x=6时，S/PG有最大值9.

(3)解：DG=PE,DGA.PE,理由如下:

-DF=EF,乙CFE=(GFD,GF=CF

••.△GFZ)三△CFF(SAS)

：.DG=CE

・・・E是PC的中点

：.PE=CE

；.PE=DG；

-AGFD=ACFE

：/ECF=3GF

•・•乙CEF=CPEG

，乙GHE=^EFC=9V,BPDG1PE.

(4)解：-AGFD=ACFE

，乙CEF=^CDH

又,：5CF=5CH

:•△CEFMCDH

rprp

^CE-CH=CF-CF

C*DC*ri

.CH_CFCD

''~CE~CE2

12+xIi----------------1i------------------.—

,：FCh^,CE=-^/x2+144,CD=-BC=V122+122=6五

.里=2五______T_12y_X+12__----------------------

CE2

"(1Vx+144)X2+144X+12+--24

12_12_1_2V2+2_V2+1

-2V288-2424®242鱼-242

・••号的最大值为

【点睛】本题主要考查了三角形中位线、平行线的性质、二次函数求最值、全等三角形的判定与性质、相

似三角形的判定与性质等知识点，综合应用所学知识成为解答本题的关键.

22.(2022・江苏无锡•中考真题)如图，△NBC为锐角三角形.

AA

(1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：在/C右上方确定点。，使ZZMC=ZJC2,且CO14。；(不写

作法，保留作图痕迹)

(2)在(1)的条件下，若NB=60°,AB=2,BC=3,则四边形48。的面积为.(如需画草图，

请使用试卷中的图2)

【答案】(1)见解析

(2浮

【分析】(1)先作乙D4C=4C3,再利用垂直平分线的性质作CD14。，即可找出点。；

(2)由题意可知四边形/BCD是梯形，利用直角三角形的性质求出/£、BE、CE、的长，求出梯形的

面积即可.

(1)

解：如图，

•••点D为所求点.

(2)

解：过点/作/£垂直于BC,垂足为E,

BEC

..28=60。,44EB=90。,

.4/£=90。-60。=30。，

-AB=2,

：.BE=^AB=1,CE=BC-BE=2,

­-AE=7AB2-BE2=V22-l2=S，

♦：3AC=UCB,

-t-AD||BC,四边形45CD是梯形，

；/D=乙ECD=90°,

・•・四边形4ECD是矩形，

：.CE=AD=2,

••・四边形ABCD的面积为外。+BC)•力E=3X(2+3)X百=苧，

故答案为：苧.

【点睛】本题考查作图，作相等的角，根据垂直平分线的性质做垂线，根据直角三角形的性质及勾股定理

求线段的长，正确作出图形是解答本题的关键.

23.(2022•江苏扬州•中考真题)如图1,在A4BC中，NB4C=90。/。=60。，点。在BC边上由点C向点B运

动(不与点B、。重合)，过点。作DE14D,交射线力B于点E.

(1)分别探索以下两种特殊情形时线段4E与BE的数量关系，并说明理由;

①点E在线段4B的延长线上且BE=BD；

②点E在线段AB上且EB=ED.

(2)若4B=6.

①当器=学时，求力E的长；

②直接写出运动过程中线段力E长度的最小值.

【答案】(1)①4E=2BE②AE=2BE

⑵碇②4

【分析】(1)①算出△4BD各个内角，发现其是等腰三角形即可推出；

②算出△力DE各内角发现其是30。的直角三角形即可推出；

(2)①分别过点/,E作2C的垂线，得到一线三垂直的相似，即△EGOsaD/M,设DE=V5a,

AD=2a,利用30。直角三角形的三边关系，分别表示出ED,AD,EG,DH,列式求解a即可；

②分别过点a£作BC的垂线，相交于点G,H,证明△EHDsaDGA可得益=需然后利用完全平方

公式变形得出4E23+EH,求出/£的取值范围即可.

【详解】(1)①•在A4BC中，NB4c=90°,ZC=60°

・•/ABC=30°

,:BE=BD

1

"BDE=^ABC=15°,4BDA=90°-^BDE=90°-15°=75°

在△ABD^,^BAD=180°-^LABD-^BDA=180°-30°-75°=75°

：,/.BAD=乙BDA=75°

.t.AB=BD=BE

.-.AE=2BE；

②如图：

'.'BE=DE

：.Z.EBD=ZEDB=30°,^AED=60°

・••在Rg/OE中，AEAD=30°

：,AE=2ED

ME=2BE；

(2)①分别过点aE作8c的垂线，相交于点;7,G,则NEG£>=NDH4=90。,

E

:/GED+上GDE=90°,

•；AHDA+乙GDE=90°,

；.乙GED=LHDA,

.•.△EGDsADHA,

设OE=V§<2,AD=2a,则AE=7DE2+力£)2=夜"BE=6-y/7a,

在RgaBC中，/.ABC^30°,AB=6

则47=而=2®BC=2AC=4V3

在RtZ\BEG中，NEBG=30°,BE=6—近a

贝UEG省=3-务

在RtZXAHC中，ZC=60°,AC=2而

:・DH=7AD2-AH2=14a2_9

由△EGD，O/M得病

V4a2—9

解得：ai=|V7,做=一377（舍）

21

故ZE=y/ya=—；

②分别过点4,E作5C的垂线，相交于点G,H,则乙阳E>=乙4GZ）=90。,

A

E

/HDG

"08=900,

：•乙EDH=900-&DG=CDAG,

•・2EHD=UGD=90。,

・•・4EHD~ADGA,

AG_DG

：''DH~'EHf

；.AG・EH=DH,DG,

•・ZB/C=9O。,ZC=6O°,

・4=30。，

：.AG=^AB=3,EH=^BE=^(6-AF),

:.DHDG=3EH,

：.AE2=AD2+DE2=AG2+DG2+DH2+EH2=9+DG2+DH2+EH2,

--DG2+DH2>2DG-DH

：.AE2>9+2DG-DH+EH2,

：.AE2>9+6EH+EH2>(3+EH}2,

■.■AE>0,DH>0,

.-.AE>3+EH,

1

-EH=-(6・/E),

MEN3+*6-/E),

：.AE>4,

故4E的最小值为4.

【点睛】本题考查了直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质，等腰三角形的性质，一线三垂直相似

模型，垂线段最短，熟练掌握直角三角形的性质，一线三垂直模型，垂线段最短原理是解题的关键.

24.(2022•江苏连云港•中考真题)【问题情境】在一次数学兴趣小组活动中，小昕同学将一大一小两个三角

板按照如图1所示的方式摆放.其中N2C8=NDEB=90。，AB=30。，BE=AC=3.

【问题探究】小昕同学将三角板DEB绕点B按顺时针方向旋转.

(1)如图2,当点E落在边48上时，延长DE交BC于点尸，求BF的长.

(2)若点C、E、。在同一条直线上，求点D到直线BC的距离.

(3)连接DC,取DC的中点G,三角板由初始位置(图1),旋转到点C、B、。首次在同一条直线上(如图

3),求点G所经过的路径长.

(4)如图4,G为DC的中点，则在旋转过