邵东某中学2024-2025学年高二年级上册第三次月考数学试卷（详解版）

邵东一中2024-2025学年高二上学期第三次月考数学试卷

时量：120分钟满分：150分

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

2-i

1、已知复数z=1—,则z的虚部为()

1-1

A.—B.—C.—iD.—i

2222

1、【答案】B

【解析】依题意，z=*=)W"A,所以z的虚部为1.故选：B.

1-1(1-1)(1+1)2222

4：

2、已知直线加x+3y-3=0,l2;(3m-2)x+my+l=0,则“刃=-；"是"4，/2”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

2、【答案】A

【解析】当加=T时，直线4的斜率为1，4的斜率为-9,

又-9)=-1,所以㈠上充分性成立；

y

直线4：加工+3>一3=0,Z2:(3m-2)x+my+1=0,

若/TL则有加(3加-2)+3机=0,解得心=0或仅=-；,必要性不成立.

所以“=T”是U1”的充分不必要条件.故选：A.

(选择性必修第一册课时P1403改编)

3^在等差数列｛%｝中，已知42+%+412+。15=36,则Si6=()

A.288B.144C.572D.72

3、【答案】B

f(3—cT\n-3

4、已知数列也｝满足：«„=\_2、且数列｛%｝是递增数列，则实数。的取值

[a6,n>/

范围是()

99

A.(4,3)B・R，3)C.(1,3)D.(2,3)

44

4、【答案】D

【详解】根据题意，恁=八〃)=10一；)：:：，7,〃CN*,要使｛“是递增数列，必有

3—a>0a<3

,据此有：，a〉l,综上可得2〈a<3.故选：D

(3-a)x7-3<a8-6a>2或。<-9

(选择性必修第二册学法课时P8811)

5、一动圆尸过定点〃(-3,0),且与已知圆N：(x-3)2+产=16外切，则动圆圆心尸的轨

迹方程是()

2222

A.—-^=1(x>2)B.—+^=1(x>2)

45_45—

2222

C.---±=1(烂-2)D.土+匕=1(x<-2)

45_45_

5、【答案】C

【解析】解：•••圆尸与圆C外切，如图,

.-.\PN\=\PA4\+4,即|尸川一1PM=4,

■.■0<\PN\-\PM\<\MN\=6,

.••由双曲线的定义，点尸的轨迹是以4。为焦点，2为实轴长的双曲线的左支，其中a=2,c

22

=3,：.b2=c2-a2=9-4=5.故所求轨方程为：—=1(x<-2).故选：C.

45-

6、设函数/("=人由3+。)口>0,。〉0,附〈。|与直线了=3的交点的横坐标构成以"为公

差的等差数列，且x=g是/(x)图象的一条对称轴，则下列区间中是函数/(x)的单调递减区

O

间的是()

〃〃

2nInB.-1,04»55n

A.c.D.~6~1

6、【答案】D

2万

【解析】根据题意可得4=3,函数八%)的周期为了=—="，求得刃=2,再由

CD

2x：+。=左乃+不左£Z解得0=左乃+：,由题意|同《二，可得：;

62666

JT7T7T3TT

所以/(x)=3sin(2xH——),令2kji+—<2x-\——<2k兀H------,

6262

-TT"7-TT冗2冗

解得：左乃+左»+q,故函数的单调递减区间为k兀+小兀+下,keZ,

6363

S7777

故区间-三，-不是函数的单调递减区间，故选：D.

o3

7、已知三棱锥尸-ABC的四个顶点在球。的球面上，PA=PC=BC=2,AB=4,N4PC=120°,

平面尸/C，平面A8C,则球。的体积为()

A.4#>兀B.16加nC.2。也万D.8百万

33

7、【答案】C

【解析】解：因为P/=PC=2,ZAPC=120°,可知NC=2«,

又4B=4,BC=2,AB2=BC2+AC2,故8C_LNC,

取/C的中点。，则PD=1,PDLAC,

又平面P/C_L平面N3C,且平面PNCC平面/8C=NC,所以尸O_L平面/8C,

设AP/C的外接圆的圆心为。i,

则。1在尸。的延长线上，因为尸N=PC=2,ZAPC=nO°,

所以PO|=/q=NP=2,所以。Q=l,

设。2为A/IBC的外接圆的圆心，则。2为的中点，。。2=1，

连结。Q,OO2,由球的性质可知，。^，平面相。，

所以。OJ/OOjOO2±DO2,同理可得，。01//。。2，OOX±DOX,

所以四边形。QDO?为正方形，所以球。的半径为玄=OOj+/0：=12+22=5,

所以R=石，则球。的体积为限故选：c.

°T->

(期中考试第7题改编)

8、已知尸是抛物线C：「=2.(。＞0)的焦点，直线/与抛物线C相交于尸，。两点，满足

yjrd

/尸尸。=奇，记线段尸。的中点A到抛物线C的准线的距离为人则网的最大值为()

1C-

A.-B.y-C.V3D.3

8、【答案】B

【解析】^.\PF\=m,\QF\=n,

过点尸，。分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为尸'，。'，则尸「=机,0。=",

因为点A为线段尸。的中点，

所以根据梯形中位线定理得点A到抛物线C的准线的距离为d=少坐1="ZL，

22

22乃

因为/尸产。=与7-T,所以在△尸尸0中，由余弦定理得I尸0『=/+/—2加〃cos3-=/+/+加〃，

d2_(m+n)2_(m+n)2_1

所以4(m2+w2+mn)4^(m+«)2-mn^mn,

(m+n)2_

inn1

又因为(加+疗之4加〃，所以即存当且仅当小=〃时等号成立，

d21_1»同

所以西-4x(11)=晨故国,号・

所以向的最大值为等.故选：B

【点睛】本题考查抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，余弦定理，基本不等式，考查运

算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据题意，设|尸用=%|。9|=〃，进而结合抛物线的

定于与余弦定理得d='产，\PQ\2=m2+n2+mn,再求最值.

二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符

合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9、已知数列｛〃“｝的前〃项和为邑，若％=-5,。用=。“+3则下列说法正确的是（）

A.㈤｝是递增数列B.数列是递增数列

C.数列｛，｝中的最小项为邑D.Sm,S2m,JmSeN*）成等差数列

9、【答案】AB

【解析】：因为。，用=%+3,所以数列｛%｝为等差数列，公差为3,因为％=-5,

所以。“=-5+3（"-1）=3〃-8,S.=〃（U"8）二g”

对于A,因为=3>0,所以｛%｝是递增数列，A正确；

对于B,因为辿-*=号°-”坦=［>0,所以数列［与］是递增数列，B正确；

对于C,因为4<0,°2<0，%=1>0,所以数列｛Sj中的最小项为邑，C不正确；

对于D,当加=1时，&=-5国=-74=-6,显然不是等差数列，D不正确.故选：AB

10、已知尸为双曲线C:马=1（稣0,6>0）的右焦点，过尸的直线/与圆。：/+/=/相切于点

M,且/与。及其渐近线在第二象限的交点分别为尸,。，则下列说法正确的是（）

A.直线/的斜率为

B.直线加是。的一条渐近线

C.若=A，则C的离心率为Q

D.^\MF\=MPF\,则C的渐近线方程为p=±1

10、【答案】ABD

【分析】根据给定条件，计算斜率判断A；由。川"计算直线斜率判断B；求出点。，加，尸的坐

标计算判断C,D.

【解析】对于A,根据题意，尸（c,。），设直线/：y=6-hn丘-y-h=0,后<0,

又因为直线/与圆相切于点

所以"n片（1+'=c2-a2,:.k=-Y,A正确；

对于B,根据题意可知。河，/,可得k°M=—，

a

所以直线W：y=2x是。的一条渐近线，B正确；

a

对于c,若|姐=:叫，根据题意尸（c,o）,联立卜7,解得M/，当，

3V+ycc

b

同理联立：a，解得&总，一告），由于⑼//，故一告3?即

22222

c=3（b-a）,c=3a,化简得，=3,则C的离心率为百，C错误;

aab

对于D,设P&Jo）,依题意知=尸司，则而=3同7,故（％-。,%）=3

3/_3abj~)3a13ab

x2cy=—,故尸-----2c,---

oc=---f0cc

所以鸟=9,则二工=：,.•.4=3,得2",则C的渐近线方程为蚱±1,D正确；

a4a4a4a22

故选：ABD

11、在棱长为1的正方体/2CO-44G2中，已知E为线段乌。的中点，点尸和点尸分别满足

*=时,用=〃取，其中4〃e[0,1],则下列说法正确的是（）

A.当7=3时，三棱锥尸-EFD的体积为定值

B.当〃$时，四棱锥尸28。）的外接球的表面积是学

L24

C.PE+PP的最小值为至

6

D.存在唯一的实数对（4〃），使得£尸1平面尸。尸

11、【答案】ACD

【解析】对于A选项，当时，EF//BD,,只需要证明点尸到平面环。的距离恒定，就能说

明三棱锥尸-瓦叫的体积为定值；对于B选项，当〃=；时，点P为正方体的中心，只需求出四

棱锥尸-ABC。的外接球的半径即可算出表面积；对于C选项，把问题转化为在平面"GA内

求点P使得尸E+P尸最小即可求解；对于D选项，建立空间直角坐标系，利用向量方法来证明

即可.

【详解】对于A选项，当人;时，点尸为线段AG的中点，又£为线段5G的中点，故所为三

角形GD田的中位线，跖〃町，点尸在线段股运动时，点P到平面跖。的距离恒定，故三棱

锥尸-反切的体积为定值；对于B选项，当〃=；时，点尸为正方体的中心，设四棱锥尸-48。

的外接球的半径为R,由〃一;：+［孝)=F，解得R=l，故四棱锥尸-/8CO的外接球的表面

积为4万斤=44正=不.对于C选项，把问题转化为在平面NBC向内求点尸使得尸£+小最小，

164

如图，作点E关于线段D田的对称点片，过点心作的垂线，垂足分别为尸和〃，

1/y

则依+尸尸...£/，设/£归/=夕，则sine=sin(//8，-/G32)=£，故&H=B&sin6='，故

36

A65V2

E,F=72------=------.

166

对于D选项，以。为坐标原点，所在的直线为1轴，。。所在的直线为V轴，。，所在的直

线为z轴，建立空间直角坐标系，

-4

室

r

。1Z；

J/，K

r

易求得2（0,0,1）,£1,1,£|,尸（0,41）,尸（〃,〃4-〃），故

EP=———\——//j,DP=（r，从,1—"）,DF=（0,2,1）,若EP_L平面PDF,

g-〃卜1-〃)=0

则

(//-1)2+0

3+V33-V3

A=­

解得（舍）或，故存在唯一的实数对（％〃），使得£P_L平面巴加.故选:

._V3V3

A=

入=忑工V3+3

ACD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12、已知数列｛%｝是正项等比数列，q=2且%,3%%成等差数列，则数列｛叫的公比为

12、【答案】2

【解析】由题设6a2=%+%，令｛%｝公比为4＞。，则%=2/7,

所以12q=2d+2^,即才+q-6=(g+3)(g-2)=0,则q=2.

（选择性必修第二册学法P25训练3（2）改编）

1+。”

13、数列数"｝满足%+]吗=2,〃*N，若T=a-a...a,几EN,,则4o=

1一。〃n12n

13、【答案】-6

1+。〃

【详解】解：因为%=2,

1-。"

1+。1l+a11+/11+%

=—3,a22=a

所以。2=39=l,

1一/1一七2l-a331一%

所以数列SC的周期为4,

又因为心=q%。3。4=2・(一3>(-/)}=1,

・・)

•7]0=(axa2a3a4)•((75«6^7«8)•(«9«10)=(々a243a4.(的243a4>3%)=1x1x2x(-3)=-6

22

14、过点尸（1,1）的直线/与椭圆亍+4=1交于点/和2,且N=X而.点0满足而=-彳/，若

。为坐标原点，则|。。|的最小值为

14、【答案】£

【解析】解：设）（国，%），3（X2，%），。（心〃），

_m9

由尸(1,1),AP=APB9AQ=—AQB贝！J1一石=/1(%2一1)，m—x1=-/i(x2)

即为X1+丸%2=1+2，再_4工2=加（1_4），相乘可得X；—（4%2）2=加（1_储），（D

同理可得弁-(")2="(1-力),②

"(可得『斗"百+¥)=(-2哈+》即—2咛+»

化简可得:+g=l,即3机+4〃=12,即。的轨迹方程，

可得|。。|的最小值为了&==乜.故答案为：--

V32+4255

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15、(13分)已知在数列｛%｝中的=1,且%+i=2a〃+l,记4=/%(%+1).

(1)证明：数列低｝是等差数列;

211

⑵记「兀，求数列入的前〃项和0

15、【答案】(1)略(学法P13训练2(1))

22n

(2)TQ-----=—(学法P43例3改编)

n+1n+\

【解析】解：(1)bn=log2(an+1)bn+l=log2(an+l+l)

又知+i=2an+1bn+i=log2(2a„+2)

.4-6"="(2-2)-g23=l

且4=/呜(%+1)=1数列低｝是首项为1,公差为1的等差数列.......6分

2(\\

⑵由⑴知4=1+(〃-1卜1=〃则1而间=2］不而

.J,11111__2_2。

T“=G+cH-----Fc„=21-----1---------1-----1-----------213分

"7I223nn+1n+\n+1

16、(15分)在△ZBC中，内角N,B,C的对边分别为a,b,c,且满足2a-b=2ccosB.

(1)求角C；

(2)若△4BC的面积为34，点。为48中点，且CD=g,求。边的长.

16、【答案】⑴C=f；(2)2".

【解析】解：(1)由2a-b=2ccos5得2siih4-sinB=2sinCcosB

A+B+C=7i则有siih4=sin(8+C)

・・・2sin(5+C)-siiiS=2sinCcos5

BP2siiiScosC+2cos5sinC-siiiS=2sinCcos5=>2siiiScosC=siii3,

••,BE(0,兀)则siaSWO,・•・cosC=p

/、7T

vCe(0,兀)：-C=37分

-2tt2

(2)由已知得cL=*4+&),所以CD=［（C力+CB）,

13='(炉+a2+2abx1),即：cfi+b2+ab=52,

因为△48C的面积为3居所以勃•卓=3烈，即融=12,a2+b2=40,

由余弦定理得。2=°2+62-2abcosC=a2+b2-ab=40-12=28,

•••c-2a................................15分

17、(15分)如图，在四棱锥尸-4BC。中，底面488为平行四边形，侧面P4D是边长为2

的正三角形，平面「4DL平面48C。，AB1PD.

(1)求证：平行四边形/8C。为矩形；

(2)若E为侧棱尸。的中点，且点B到平面ZCE的距离为生,求平面/CE与平面4BP所成

2

角的余弦值.

17.【解答】(1)取2。中点连接PM,如图所示：

・•・APAD为正三角形，则PMLAD.

面尸40,面48c面尸40c面48C。=40,9<=面a4。，则尸河，面48CD.

•••Z5u面ABCD：.PM1AB

又ABLPD,PM,PQu面R4。，PMcPD=P,所以481面P4D,

40<=面A4。，故

・•・平行四边形/8C。为矩形6分

(2)如下图所示：

以A为原点，48为x轴，为了轴建立坐标系，设48=/>0,

/。3肉

则4(0,0,0),8亿0,0),C(7,2,0),尸(0,1,6)

__.—•3-►-►

所以4C=&2,0),AE=0,5,宁，45=&o,o),AP=(o,i,V3),

(22)

nAC=txx+2乃=0

设面的法向量为％=(则<

4CE4%,zj,-Tr3也门

n-AE=-y,H-----z,=0

2121

令国=2,贝I]〃=设点B到平面ACE的距离为d,

AB'n\2t

贝Id=-pi-=/,「弋,解得/=G所以】=(2,-百,3)

|«|04+产+3产

m-AB=V3x2=0

设面4BP的法向量为机=(%,%/2),贝卜

m-AP=y2+>/3Z2=0

m-n

令Z2=l,贝I]碗=(0,—百,1),则cos(私〃3+33

同口―J0+3+1J4+3+9

••・平面ACE与平面ABP所成角为锐角,

3

・•・平面与平面,所成角的余弦值为I15分

18、(17分)已知椭圆C：,+刻=l(a〉b>0)经过点(1,|),离心率为e=1

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设椭圆C的左、右两个顶点分别为公，A2,T为直线/：久=4上的动点，且T不在x轴上,

直线T4与C的另一个交点为直线74与C的另一个交点为N,尸为椭圆。的左焦点，求

证：△FMN的周长为定值.

(£=1

a92'a=2

18、【答案】（1）解:有题意可知—+-5_=1，解得b=书,

C=1

椭圆C的标准方程为:+《=1..................................................5分

43

⑵)证明：由题意可知公(—2,0),A2(2,0),T(4,t)(t^0),

设JV(x2,y2),如图所示

直线T&的方程为y=+2),直线TA2的方程为y="%—2),

y=-(%+2)

联立方程俨—消去y得(27+/)/+4/久+4亡2-108=0,

---I------

43

4t2-108日口54-2t2

•,»—2,%]万TH即久1=方钎

2

tzIQ、tz54-2t.Q、18tA“54—2/18t、

W1=%(巧+2)=+2)=MJ+t2,27+t2)

仅=久久—2)

联立方程冲+比=1,消去y得(3+评)/一4/；2%+4/;2-12=0,

I43

4t2—122t2-6

・•・2X=即％2

23+t23+t2

2t2-6~6t

则及二知2—2）=笑胃—2）=三*・・・N(■)

3+卅3+t2

18t+6t

27+t]3士理6t

**•^MN=

54-2t2_2t2-6"一9‘

274-t23+t2

•••直线MN的方程为y+M=—含（%—第f）,

即）/=-裳/+白=-悬（%-1），t=±3，

故直线跖V过定点(1,0),

所以△FMN的周长为定值8,

当t=±3时,M(l,|),可1,一|)或叭1,一|),N(l,|),

MN过焦点(1,0),此时△FMN的周长为定值4a=8,

综上所述，ZkFMN的周长为定值8................................17分

19、(17分)若数列｛%｝满足：对任意〃eN*,都有则称口｝是“？数列”.

(1)若%=2〃-1,C=2i,判断也｝，四｝是否是“产数列”;

(2)已知｛%｝是等差数列,%=2,其前〃项和记为，，若｛%｝是“P数列”,且S“<3/+2〃恒成立,

求公差d的取值范围；

(3)已知㈤｝是各项均为正整数的等比数列，4=1,记4吟,的=手，若也｝是配数列“，也｝不

是“尸数列”，｛g｝是“P数列”，求数列也｝的通项公式.

19.【答案】(1)数列｛斯｝是“尸数列”；数列｛g｝不是“