学生书-§14-2-排列与组合

§14.2排列与组合(对应答案分册第53页)1.排列与组合的概念名称定义排列从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列组合合成一组2.排列数与组合数(1)排列数的定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数,叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用Anm(2)组合数的定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数,叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用Cnm3.排列数、组合数的公式及性质公式(1)Anm=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=(2)Cnm=A=n性质(1)0!=1;Ann=n(2)Cnm=Cnn-m1.“排列”与“组合”的辨析排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无序”.取出元素后交换顺序,若与顺序有关,则是排列;若与顺序无关,则是组合.2.解决排列、组合问题的十种技巧(1)特殊元素优先安排.(2)合理分类与准确分步.(3)排列、组合混合问题要先选后排.(4)相邻问题捆绑处理.(5)不相邻问题插空处理.(6)定序问题倍缩法处理.(7)分排问题直排处理.(8)“小集团”排列问题先整体后局部.(9)构造模型.(10)正难则反,等价转化.3.①Cnm=nmCn-1③Crr+Cr+1r+Cr+2【概念辨析】1.判断下面结论是否正确.(对的打“√”,错的打“×”)(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.()(2)Anm=n(n-1)(n-2)…(n-m).((3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.()(4)若组合式Cnx=Cnm,则x=m成立.【对接教材】2.从4本不同的课外读物中,买3本送给3名同学,每人各1本,则不同的送法种数是().A.12 B.24 C.64 D.813.从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动,则男、女生都有的选法种数是().A.18 B.24 C.30 D.36【易错自纠】4.(2022·河南郑州高三模拟)已知1C5m-1C6m=5.从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台,其中至少有原装计算机和组装计算机各2台,则不同的取法有种.

排列问题【典例迁移】7块标有A,B,C,D,E,F,G的积木排成一排.(1)A在中间的位置,共有多少种不同的排法?(2)A,B只能在两端的排法共有多少种?(3)A不在排头、B不在排尾的排法共有多少种?(4)A,B两积木必须相邻的排法共有多少种?(5)A,B两积木必须相邻,而且C不在排头和排尾的排法有多少种?(6)A,B两积木不能相邻的排法共有多少种?(7)A总在B的前面的排法有多少种?

点拨求解排列应用问题的六种主要方法:(1)直接法,求出符合条件的排列,直接列式计算;(2)优先法,优先安排特殊元素或特殊位置;(3)捆绑法,把相邻元素看作一个整体,与其他元素一起排列,同时注意捆绑元素的内部排列;(4)插空法,对不相邻问题,先考虑不受限制的元素的排列,再将不相邻的元素插在前面元素排列的空格中;(5)对于定序问题,可先不考虑顺序限制,排列后,再除以定序元素的全排列数;(6)间接法,正难则反、等价转化.【追踪训练1】有3名男生、4名女生,在下列不同条件下,求不同的排列方法总数.(1)选5人排成一排;(2)排成前后两排,前排3人,后排4人;(3)全体排成一排,女生必须站在一起;(4)全体排成一排,男生互不相邻;(5)全体排成一排,其中甲不站最左边,也不站最右边;(6)全体排成一排,其中甲不站最左边,乙不站最右边.

组合问题【典例迁移】(2022·吉林高三月考)某课外活动小组共13人,其中男生8人,女生5人,并且男、女生各有一名队长,现从中选5人主持某项活动,在下列不同条件下,各有多少种选法?(用数字作答)(1)至少有一名队长当选;(2)至多有两名女生当选;(3)既要有队长,又要有女生当选.

点拨组合问题的常见题型及解题思路:(1)常见题型:一般有选派问题、抽样问题、图形问题、集合问题、分组问题等.(2)解题思路:①分清问题是否为组合问题;②对较复杂的组合问题,要搞清是“分类”还是“分步”,一般是先整体分类,然后局部分步,将复杂问题通过两个原理化归为简单问题.【追踪训练2】某市工商局对35种商品进行抽样检查,已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种.(1)其中某一种假货必须在内,不同的取法有多少种?(2)其中某一种假货不能在内,不同的取法有多少种?(3)恰有2种假货在内,不同的取法有多少种?(4)至少有2种假货在内,不同的取法有多少种?(5)至多有2种假货在内,不同的取法有多少种?

分组分配问题【考向变换】考向1整体均匀分配(2022·四川达州月考)2020年年初疫情爆发,为了抗击疫情,中国上下众志成城,纷纷驰援武汉.达州市决定派出6个医疗小组驰援武汉市甲、乙、丙三个地区,每个地区分配2个医疗小组,其中A医疗小组必须去甲地,则不同的安排方法种数为().A.30 B.60 C.90 D.180点拨对于整体均分,解题时要注意分组后不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后一定要除以Ann(n为均分的组数),【追踪训练3】(2022·山东聊城模拟)2020年是脱贫攻坚年,为顺利完成“两不愁,三保障”,即农村贫困人口不愁吃、不愁穿,农村贫困人口义务教育、基本医疗、住房安全有保障,某市拟派出6人组成三个帮扶队,每队两人,对脱贫任务较重的甲、乙、丙三县进行帮扶,则不同的派出方法种数为().A.15 B.60 C.90 D.540考向2部分均分问题2019年全国两会期间某天的“部长通道”上,中国教育报等9家新闻媒体“围堵”住教育部陈宝生部长在内的3位部长.且拟定每位部长接受3家媒体采访,每家媒体只能采访1位部长,同时指定中国教育报记者采访陈宝生部长,则不同的采访方式共有种.

点拨本题属于部分均分,解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数,即若有m组元素个数相等,则分组时应除以m!,一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数.【追踪训练4】(2022·西安月考)某学校派出5名优秀教师去边远地区的3所中学进行教学交流,每所中学至少派1名教师,则不同的分派方法有().A.80种 B.90种C.120种 D.150种考向3不等分问题将6个不同的桃子给甲、乙、丙三只猴子,其中一只猴子得1个,一只猴子得2个,一只猴子得3个,则有种不同的分法.

点拨对于不等分组问题,只需先分组,后排列,注意分组时任何组中元素的个数都不相等,所以不需要除以全排列数.总之,在解答分组问题时,一定要注意均匀分组与不均匀分组的区别,均匀分组不要重复计数.对于平均分组问题更要注意顺序,避免计数的重复或遗漏,抓住了以上关键点,就能避免掉进陷阱.【追踪训练5】(2022·辽宁大连月考)为了促进西部某地区医疗事业的发展,某市准备派6名医生支援当地的3所医院,若向每所医院至少派1名医生且不多于3名医生,则不同的安排方法有().A.450种 B.540种C.900种 D.1080种排列与组合的综合问题【典例迁移】(2021年全国乙卷)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,则不同的分配方案共有().A.60种 B.120种C.240种 D.480种点拨解决排列、组合综合问题的方法(1)仔细审题,判断是组合问题还是排列问题,要按元素的性质分类,按事件发生的过程进行分步.(2)以元素为主时,先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素;以位置为主时,先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置.(3)对于有附加条件的比较复杂的排列、组合问题,要周密分析,设计出合理的方案,一般先把复杂问题分解成若干个简单的基本问题,然后应用分类加法计数原理或分步乘法计数原理来解决,一般遵循先选后排的原则.【追踪训练6】(1)将标号为1,2,3,4的四个篮球分给三位小朋友,每位小朋友至少分到一个篮球,且标号为1,2的两个篮球不能分给同一个小朋友,则不同的分法种数为().A.15 B.20 C.30 D.42(2)从0,2中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为().A.24 B.18 C.12 D.6隔板法对于相同元素的“分配”问题,常用方法是“隔板法”.将20个相同的小球放入编号分别为1,2,3,4的四个盒子中,要求每个盒子中的球数不少于它的编号数,求放法总数.