初二寒假预习讲义

目录

二次根式..........................................................................3

二次根式......................................................................3

二次根式（基础）.............................................................6

二次根式（提高）.............................................................8

二次根式的乘除法............................................................10

二次根式的乘除法一巩固练习（基础）.........................................15

二次根式的乘除法（提高）....................................................17

二次根式的加减...............................................................19

二次根式的加减一巩固练习（基础）............................................22

二次根式的加减一巩固练习（提高）............................................24

《二次根式》全章复习与巩固一巩固练习（基础）...............................26

《二次根式》全章复习与巩固―巩固练习（提高）...............................28

勾股定理.........................................................................31

勾股定理.....................................................................31

勾股定理--巩固练习（基础篇）.................................................36

勾股定理一巩固练习（提高篇）................................................39

勾股定理的逆定理............................................................42

勾股定理逆定理一巩固练习（基础篇）.........................................47

勾股定理逆定理―巩固练习（提高篇）.........................................49

勾股定理全章复习与巩固......................................................52

类型四、勾股定理与其他知识结合应用.........................................55

勾股定理全章复习一巩固练习（基础）.........................................58

勾股定理全章复习一巩固练习（提高）.........................................63

平行四边形.......................................................................68

平行四边形...................................................................68

平行四边形一巩固练习（基础）................................................73

平行四边形一巩固练习（提高）................................................75

矩形.........................................................................79

矩形--巩固练习（基础）......................................................84

矩形一巩固练习（提高）......................................................87

菱形.........................................................................91

菱形一巩固练习（基础）......................................................96

菱形一巩固练习（提高）......................................................98

正方形......................................................................102

正方形―巩固练习（基础）...................................................109

正方形一巩固练习（提高）...................................................113

平行四边形全章练习（基础）.................................................117

平行四边形全章巩固（提高）.................................................121

函数............................................................................128

变量与函数..................................................................128

函数巩固练习................................................................132

正比例函数..................................................................136

正比例函数一巩固练习（基础）...............................................140

1

正比例函数一巩固练习（提高）...............................................143

一次函数的图象与性质.......................................................146

函数的图象与性质一巩固练习（基础）.........................................151

函数的图象与性质—巩固练习（提高）.........................................154

一次函数与一次方程（组）.................................................158、

函数与方程―巩固练习（基础）...............................................162

函数与方程一巩固练习（提高）...............................................166

一次函数与一元一次不等式...................................................169

函数与不等式—巩固练习（基础）.............................................174

函数与不等式一巩固练习（提高）.............................................178

一次函数的应用..............................................................182

函数的实际应用一巩固练习（基础）...........................................186

函数的实际应用―巩固练习（提高）...........................................191

函数全章巩固练习（基础）...................................................196

函数全章巩固练习（提高）...................................................200

2

二次根式

二次根式

要点一、二次根式及代数式的概念

1.二次根式,一般地，我们把形如石（a>0）•的式子叫做二次根式，“J-”称为二次根号.

要点诠释：

二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数.

2.代数式：形如5,a,a+b,ab,x3,R（«之0）这些式子，用基本的运算符号（基

t

本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方）把数和表示数的字母连接起来的式子，我们

称这样的式子为代数式.

要点二、二次根式的性质

1.力0，（a力

2.（右）=a20）；

%(a>0)

3.=|dt|=<

-a(a<0)

要点诠释:

1.二次根式石（a20）的值是非负数。一个非负数可以写成它的算术平方根的形式,

即a=(«V(a2O).

2.与（G）2要注意区别与联系：1）.。的取值范围不同，（JZ）2中。2（）,中。

为任意值。

2）.420时，（夜）2:必二。；〃<0时，（4）2无意义，必二一

【典型例题】

类型一、二次根式的概念

Jx+y属二次根式的有个.

3

举一反三：

【变式】下列式子中二次根式的个数有().

；；(2)Q；(3)⑷册;(5)^(-1)2；(6)71^7(X>1)

(1)

A.2B.3C.1D.5

A•取何值时，下列函数在实数范围内有意义?

(1)y->jx-\:(2)y=Jx+2—j3-2x；

举一反三：

【变式】下列格式中，一定是二次根式的是().

A.FB.'(-0.3)2c.CD.«

^^^3.当x是时，J2-+3+」一在实数范围内有意义?

举一反三：

【变式】方程|4x-8|+Jx-y-m=0,当y>0时，〃，的取值范围是()

A.0vmv1B.m22C.m<2D.阳W2

类型二、二次根式的性质

04.计算下列各式：

(l)-2x/(-1)2⑵J(3.14-乃『

4

举一反三:

【变式】（1）

(2)

0^5.己知"0,那么|万一2。可化简为（）.

A.一。B.。C.—3aD.3a

举一反三：

【变式1】若整数〃?满足条件J（〃7+l）2=〃2+1，且加〈方，则〃？的值是

【变式2】已知见"C为三角形的三边,

则J(a+〃-c)2+^J(b-c-a)2+yj(b+c-a)2=

岐根据下列条件，求字母'的取值范围:

（1）-2x+l=1-x,（2）Ji"-2）+=1

举一反三：

【变式】x取何值时，卜列函数在实数范围内有意义?

（1）y=V-x——5―,_________________；

x+\

（2）y-y[x^2xI2，；

5

二次根式（基础）

一.选择题

1.若二次根式万有意义，则X的取值范围是（）.

A.xwlB.x>lC.x<lD.全体实数

2.若。<1,化简=（）.

A.a—2B.2—aC.aD.—ci

3.下列说法正确的是（）

A."是一个无理数B.函数）=7二的自变量x的取值范围是x21

5/X-1

C.8的立方根是±2D.若点82,0和点Q（b,-3）关于x轴对称，则的值为5.

4.若a不等于0,a、匕互为相反数，则下列各对数中互为相反数的一对数是（）.

A.而与巡B.与J庐C.正与班D.加丁与

5.下列根式是最简二次根式的是（）.

D.^2ab

6.已知寸>0,化简二次根式的正确结果为（).

A.后B.日C.一后D.一万

二.填空题

7.当x时，式子Q在实数范围有意义；

当x_______时，式子匚了在实数范围有意义.

8.（』2-寸=若与=[,则冽=

9.（1）（-3行尸二

(2)y[a^-yla2+6«+9(a>0)=.

10.若=7+K^=o,则=

\-x

6

11.当xWO时，化简|1臼一，7=

12.有如下判断:

（4）373x273=673（5）,25-16=疗-"=1（6）C^二〃•北成立的条

件是a,b同号.其中正确的有个.

三综合题

13.当x为何值时，下列式子有意义？

（1）J—+1

⑵

⑶户会1

(4)

14.已知实数x,y满足卜一5|+历7=0,求代数式3+y严3的值.

15.若y=J2x-3+J3-2x+J4—x»求———的值.

7

二次根式（提高）

一、选择题

1.若代数式正在实数范围内有意义，则X的取值范围为（）

x-1

A.x>0B.x20C.xH0D.x20且xW1

2.使式子卜（xf有意义的未知数x有（）个

A.0B.1C.2D.无数

3.下列说法正确的是（）

A.、"是一个无理数

1,,

B.函数5的自变量x的取值范围是xNl

V-Y-1

C.8的立方根是±2

I）.若点。（2,〃）和点。（13,-3）关于x轴对称，则。+人的值为5.

4.已知a,b,c在数轴上的位置如右图所示，则代数ba0

.vJ/_|B|1g+c|二（、

工\\）

A.1c—aB.-3a-2bC.-c-aD.a

5.若，，g~4）4,则y等于（）

A./+2B.3+守c.（『+2）2口.《2+4

6.将-4々中的。移到根号内，结果是（）

A.-7=7B.pC.3D.V7

二.填空题

x

7.当x________时，式子没有意义。

3-A/^-I

8.若J幽2+加=0，则掰------------；若J（1一弘y=3（2—1»则。

8

9.已知/一3无+1=0，求的值为

10.若1＜五＜2，则，4—4x+/++2x+］化简的结果是一

你探究其中规

律,并将第n(n21)个等式写出来.

12.)取何值时，函数在实数范围内有意义？y=

三综合题

13.已知y=—+J2x—1+J1-2x,求X-+xy+y~的值.

14.若一3工xX2时，试化简|“21+J(x+凶+-10x+25.

15.已知一次函数y=(a-2)x+\的图象不经过第三象限，化简

一4〃+4-19-6。+/的结果是多少？

9

二次根式的乘除法

知识点一、二次根式的乘法及积的算术平方根

1.乘法法则：几,蕊康(〃力()，〃20),即两个二次根式相乘，根指数不变，

只把被开方数相乘.

要点诠释：

(1).在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非

负数；(在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数).

(2).该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：

a...-%(巧%eo,……4》

0).

(3).若二次根式相乘的结果能写成以2的形式，则应化简，如麻=4.

2.积的算术平方根：

友=口标(420,人20)，即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方

根的根.

要点诠释：

(1)在这个性质中，3、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都

必须满足。2(),b20,才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等

式右边就没有意义，等式也就不能成立了；(2)二次根式的化简关键是将被开方数分

解因数，把含有/形式的2移到根号外面.

知识点二、二次根式的除法及商的算术平方根

1.除法法则：巫=£(。20,人>0),即两个二次根式相除，根指数不变，把被

开方数相除.。

要点诠释：

(1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别

注意，b)0,因为b在分母上，故b不能为D.

(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽

量化简，最后结果中分母不能带根号.

2.商的算术平方根的性质：

尼=①(。20,/?>0),即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除

U4b

式的算术平方根.

要点诠释：

运用此性质也可以进行二次根式的化简，运用时仍要注意符号问题.

10

11

知识点三、最简二次根式

(1)被开方数不含有分母；

(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.

满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式.

要点诠释：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况:

(1)被开方数是分数或分式；

(2)含有能开方的因数或因式.

【典型例题】

类型一、二次根式的乘除法

.⑴AAX"⑵JX#；⑶；

举一反三：

【变式】各式是否正确，不正确的请予以改正:

(1)J(-4)x(-9)=Rx/；

⑵x星=4X义岳:4X岳二4瓦=8色.

(3)(-0)•(-向4+(-7^4)2

举一反三:

子*直

【变式】已知,且X为偶数，求（1+x）

13

类型二、最简二次根式

04.下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？请说明理由.

(1)702；⑵：(3)祗

⑷+1；⑸432僧；⑹3+61+9。；

⑺包.

2

举一反三：

【变式】化简

(])J(-3>0,Z?>0)

(2)J16加d

—告信李

07.化简：表+&%+…+悬弓

举一反三:

【变式】若"型的整数部分是〃，小数部分是b,求/的值.

2-V3

二次根式的乘除法一巩固练习（基础）

一、选择题

1.计算JK+遍xa的结果是（）

A.一B.18\?6C.—>/3D.—>/6

324

2.当匕<0时，化与，50。％3得（）

A.abj50abB.-abyjs^abC.5aby12abD.-5ab\l2ab

3在.+J,4,在）Jo.16中,

,最简二次根式有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

4.化简二次根式的正确结果是（）.

A.-a\!-aB.-ayfaC.a\[aD.a\[-a

5.下列根式是最简二次根式的是（）

C.£1）・^2ab

A.瓜B.4+炉

6.已知D>0,化简二次根式的正确结果为（）.

A,后B.日C.-y/yD.-ypy

二.填空题

7..计算：—,—,54）=

33

8.2d=21E=-

+呼一

9.计算：（1）质）=_______；

10化.简：（1）11+1=________,（2，狂------------

a\a

11.若7^7+Jx-2=0,则J（j）2

1-x

15

12.有如下判断:

(1)10心小=10弧(2)5J1=1(3)5

(4)3^x26=66(5)逝5-16=疗-"=1(6)4^b=47i-4b

成立的条件是同号。其中正确的有____个.

三综合题

13.已知长方体的体积V=1206C〃J，长a=3jidcm,宽b=2拒cm,求长方体的

高.

14.把下列各式化成最简二次根式.

(1)7245⑵'；⑶痣；⑷)45以-(a>0)；(5)J^Y~

15.先化简，再求值：(。+石)-6)-。(。-6),其中。=J5+g.

16

二次根式的乘除法（提高）

一、选择题

.若X<0,化简国-“¥-1）2的结果是,）

A.-1B.1C.2x-lD.l-2x

2.下列计算正确的是（）

A.（户1=一5B,（一份=5C.一（同"D.一（一后"

7

一（。>0乃>0）等于（

A.-^-\/abB.--\[abC.—\[abD.b\[cib

a~hab~b

4.把〃、一■!■根号外的因式移到根号内，得（）.

Vm

5.设血=〃,百="用含。力的式子表示而瓶，则下列表示正确的是（）.

A.0.3。〃B.3abC.0.\abD.0.\a2b

b_

6.若J〃-〃-2>/5+（Q+〃-2&）2=0,那么a的值是（）•

A.1B.-lC.5-26D.276-5

二、填空题

7.计算A/301\/60=,2a，~y/ci,yj()25cr=.

8.(20+30)(24-3虚尸______.

9.若4―J阚与4+J56而互为相反数，则x二.

10.已知工+3=6，则&+6X+5——

11.计算(-xj—)(—，bx)(-2ab、l—)(犬>0)=

VaxVa

12.计算：:病用）+3?:

17

三、综合题

13.若y=\p2x~~3+>j3—2x+J4—x>求—的值.

y

14.若9+和9-巫的小数部分分另IJ是a和上求，加一44—3〃一12的值.

15.若J（3帆+1）（2—〃力=，3帆+1-J2-〃?成立，化简

\m-4|+v9m2+6m+1-|/n-2|.

18

二次根式的加减

要点一、同类二次根式

1.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根

式就叫做同类二次根式.

要点诠释：

(D判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式,

再看被开方数是否相同；

(2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外

的因式无关.

2.合并同类二次根式

合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根

式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似)

要点诠释：

(1)根号外面的因式就是这个根式的系数；

(2)二次根式,的系数是带分数的要变成假分数的形式.

要点二、二次根式的加减

1.二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简

二次根式，再把其

中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中.

要点诠释：

(1)在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算口的交换律、结合律及去括号、添

括号法则仍然适用.

(2)二次根式加减运算的步骤：

1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式；

2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组；

3)合并同类二次根式.

要点三、二次根式的混合运算

二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用.

要点诠释：

(1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算

加减，有括号要先算括号里面的；

(2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；

(3)二次根式混合运算的结果要写成最简形式.

【典型例题】

类型一、同类二次根式

下列根式中，能够与J适合并的是()

19

举一反三：

【变式1］如果两个最简二次根式九平+处和J2i+6是同类二次根式,那么。、

〃的值是（）

A.。=2,/?=!B.。=1,b=2C.〃=1,/?=-1D.。=1,/?=1

【变式2】若最简根式即网a+劭与根式/92+5*是同类二次根式,求。、匕的

值.

类型二、二次根式的加减运算

02.计算

⑴曲+版⑵演+彩一京

举一反三：

【变式1】计算:

【变式2】计算：（1）V12+3

20

类型三、二次根式的混合运算

^^3.计算:

⑴(v6+V8)xA/3.(2)(372+273)2-(372-273)2

4、计算：已知4=5+26淮=5-2遥，则,a+b=

举一反三：

【变式】已知x=6+&,），=J5—J5,求/一与，+）・2的值。

』-+其

o-5.计算:6-百26+2V3-V2

举一反三：

【变式】（6-石+77）（6+括-V7）

06.计算:已知V一3工+1=0,求Jf+J—2的值.

21

二次根式的加减■■巩固练习（基础）

一.选择题

1.下列根式中，与痣是同类二次根式的为（）

2.下面说法正确的是（）

A.被开方数相同的二次根式一定是同类二次根式

B.花与病是同类二次根式

c.也与不是同类二次根式

D.同类二次根式是根指数为2的根式

3.下列计算中，正确的是（）

A-2后+4/=6后B.扃+石=3

C.3后X3尬=3&D.J（-3）2=-3

4.若J诙+2瑞+x4（=10,则X的值等于（）

A.4B.±2C.2D.±4

5.计算（3-夜）（2+6）等于（）

A.7B.6-舟3存2夜C.1D.6+3存2a

6.下列计算正确的是（）

A.（y/a+\/b）2=a+bB.\[a+\/b=>/abC.yjcT+b2=a+bD.

二.填空题

7.化简基础训练：

712=____________；718=；720=____________；727=

732=__________；闻=___________；750=___________；772=

22

8.若最简二次根式甲2«+5与，劭+4«是同类二次根式，则

a-,b=.

9.当〃=时，最简二次根式12。-1与-我3a-7可以合并。

10.一个三角形的三边长分别为派利，忑区2J欣阳，则它的周长是

11.计算3屈一9小；+3/

12.G+Mm(3—加⑼.

三综合题

13.计算:

（1）（3回+］标-4

⑵显_凤!i_树

5+(g)

14.化简求值：x卜历一容咛,其中1=4,），=，

15.已知。=〒}—,/?=—J—,求“2+/+7的值

V5-2,5十2

23

二次根式的加减■■巩固练习（提高）

一.选择题

1.下面说法正确的是（）

A.被开方数相同的二次根式一定是同类二次根式

B.花与病是同类二次根式

c.也与旧不是同类二次根式

I）.同类二次根式是根指数为2的根式

2.与值'不是同类二次根式的是（）

)

4.下列各式中运算正确的是（)

A.（5V2-275）-710=V5-V2B.(2+屈2=9+2有

C.（石一伪（才力=1

I).4a+(4b+Vc)=

5.（〃扬+方右独的运算结果是（）

A°Bcib（b-a）cab（a-b）口2ab\[ab

6.等腰三角形两边分别为2和5后，那么这个三角形的周长是（）

A.473+572B.2百4-1072

C.46+5行或2凤10后D.4V3+10V2

二.填空题

7.若最简二次根式己烟行与后而是同类二次根式，则

t=为=.

24

828而与无法合并，这种说法是的（填“正确”或“错

3

误”）.

9.设。=近+"力=近一遍，则"3。・庐。U的值是一

10.已知无=J5+0,1y=不一应，则/y+»3=

11.长方形的宽为小,面积为2点，则长方形的长约为（精确到O.Ol）.

12.已知x=T"；,则五一工的值等于

由一2x

三综合题

13.计算:

⑴

…、4b4aa-2\fab+b4ci-4b

(2)---------1------------------------；-----------

\[a-yfba-b石+扬\[a+\[b

14.化简并求值：a+<abvab-b其中@=2+Jib=2-J?.

Jab+ba-vab

15.已知石+2的整数部分为。，小数部分为力求广超~、的值.

/+4H+4/

25

《二次根式》全章复习与巩固••巩固练习（基础）

一.选择题

1.下列式子一定是二次根式的是（）.

A•J-x-2B.C♦J.2+2D.J.，一2

2.若‘二二一|,则。应是（）.

a

A.负数B.正数C.非零实数D.有理数

3.J国的同类二次根式是（）.

A.V27B.V24C.772【）.、悯

4.下列说法正确的是（）.

A.若忑了=_以，则aVOR-若J?"=。，则。＞0

0.5的平方根是石

5.若k一5|+2历/=。，则X一y的值是（）.

A.-7B.-5C.3I）.7

6.下列各式中，最简二次根式是（）.

在

7..20时，后,卜前和一相比较,下面四个选项中正确的是（）.

A.>—\/a^B.>-V?

C.vJ(一〃/<~4c^D.—\[a^>\[a^=J(—a)-

8.把("〃)（a＜力）化成最简二次根式，正确结果是（).

A.Jb-aB.yja-bC.7a-bD.7b-a

二.填空题

假-（25-4后）=一

9.计算(g-4

10.若行的整数部分是a,小数部分是b,则后-占=

26

11.比较大小：2石___V13.

12.已知最简二次根式J4a+3Z?与一，2a-b+6是同类二次根式，则a+b的值为

13.已知＜0,化简，^一卜一〃=.

1，,Jo+4—J9-2a+Jl-3a+yj—cr的值•等于------------

is.已知数凡。,。在数轴上的位置如图所示：-------------------------亡―

则-\a+耳+y](c-b)2-|-Z?|二.

16.在实数范围内因式分解：

(1)a+4\/a+4=.(2)/+2y/2x4-2

二,综合题

(2)VW--V27?+2a~b.—

64a

2

18.己知：x=—=.求，-无+1的值.

73-1

19.先化简代数式(1+——)+正，然后当。=4时，求代数式的值.

&—1a-l

._________1|l-yI

20.若x,y是实数，且万+JG+-,求1-守的值.

2，-1

27

《二次根式》全章复习与巩固••巩固练习（提高）

一、选择题

1.戈是怎样的实数时,在实数范围内有意义？)

凶-2

1r111r

A.x>一一目/02B.X2—_FLXW±2C.XW一且XH±2D.

222

X>-QJC^2

2

2.若J(3—8)2=3-b，则().

A.b>3B.b<3C.b23D.bW3

44

3.己知耳Tk'y耳耳,那么满足上述条件的整数X的个数是（

A.4B.5C.6D.7

4.若xVO,则匚』Z的结果是().

x

A.0B.-2C.()或-21).2

5.若「一5|+2>/y+2=0,贝卜一丁的值是（）.

2X

A.‘2B,c.(x-3)j2-xD.^~

x-33-x3-x

7.小明的作业本上有以下四题:

①J16/；②收乂代丽=〉0«;@=G；④

V2a=石•

做错的题是().

A.①B.②C.③D.@

28

8.42丽，C,J(-4和-"相比较,下面四个选项中正确的是().

A.\[a^=yj(-a)2>-\[a^B.\[a^>J(一aj>-\[a^

C.\[a^<J(一aJ<-y[c^D.-\[a^>\ja2=(a)2

二.填空题

9.计算以JZ+J9a-.

U73

10.若石的整数部分是a,小数部分是b,则怎_g=.

11.比较大小①5-后2+g；②S-而—n-陋.(用>或<填空)

12.已知最简根式一"2人3而%与%+bT赤五是同类根式，则/的值为

13.若mVO,则|活|+向亍+知晟'=.

14.已知实数〃满足|201。-4+>/々-2011=々,则〃一201()2=.

15.己知数在数轴上的位置如图所示：----c0------------------

则a+c|+J(c_〃)2-卜闿二-----------

16.在实数范围内因式分解：

(1)x~+—xf2)x—>/6=,(2)x4—9=.

三综合题

17.计算:

ah31b—b

⑴{4ab

⑵(1+闾(1+同(1一勾(1一回

29

2

18已知:工=左工，求；？-x+l的值.

19已知：y=JT二石二1+4,求代数式耳万;一色+上_2的值.

27yx\yx

20.已知x=,（石+G）,），=L（石一6）,求式子/一+2的值

22

30

勾股定理

勾股定理

要点一、勾股定理

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为

4,b,斜边长为C,那么

要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.

（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线

段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解

决问题的目的.

（3）理解勾股定理的一些变式：

ci1=c2-b2,b1=c2-a2,c2+-2ab.

要点二、勾股定理的证明

方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.

图⑴中S正力33Go=3+3）W+4x/就，所以。、/工，

方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.

图（2）中S正方凝酬=/=（占一，所以/二^之+占二

乙

方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.

(3)

此=（。+上所以2=/.

31

32

要点三、勾股定理的作用

1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；

2.用于解决带有平方关系的证明问题：

3.利用勾股定理，作出长为后的线段.

【典型例题】

类型一、勾股定理的直接应用

1、在AABC中，ZC=90°,NA、NB、NC的对边分别为。b、c.

(1)若。=5,b=12,求c：

(2)若c=26,b=24,求〃.

举一反二；

【变式】在AABC中，ZC=90°,NA、ZB.NC的对边分别为〃b、c.

(1)已知〃=2,c=3,求。；

(2)已知a:c=3:5,b=32,求〃、c.

C2、如图所示，在多边形ABCD中，AB=2,CD=1,ZA=45°,

ZB=ZD=90°,求多

边形ABCD的面积.

33

举一反三：

【变式】如图所示，在△ABC中，ZA=45°,AC=y/l,A3=Ji+l,求BC的长.

C3、已