小学奥数几何模型全面（蝴蝶定理、燕尾定理、鸟头定理、相似模型、金字塔模型）含解析

模型二鸟头模型

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形.

共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比.

如图在△ABC中，分别是AB,4c上的点如图（1）（或。在B4的延长线上，E在AC上

如图2）,

贝uSazwc:S^ADE=（4BXAC）:（ADxAE）

［例1］如图在八"。中，RE分别是4氏47上的点，且4）:45=2:5,AE:AC=4:7t

S“DE=16平方厘米，求八瓯的面积•

【解析】连接BE,S*"E：S△馋.二AO:A8=2:5=（2x4）:（5x4）,

S△馋:S△郁c=A£:AC=4:7=（4x5）:（7x5）,所以葭八遍$△海=（2*4）:（柔f,

设5"优=8份，则S△皿=35份，Sdg=16平方厘米，所以1份是2平方厘米，35

份就是70平方厘米，"BC的面积是70平方厘米.由此我们得到一个重要的定理,

共角定理：共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比.

【巩固】如图，三角形ABC中，A8是4)的5倍，AC是AE的3倍，如果三角形ADE的

面积等于1,那么三角形A8C的面积是多少？

B1-------

【解析】连接BE.

•・•EC=3AE

又•・•AB=5AD

=

•**S2E=SABC+15,SABC0^ADE=•

【巩固】如图,三角形48c被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，BD=DC=4,BE=3,AE=6f

乙部分面积是甲部分面积的几倍？

【解析】连接4).

■:BE=3,AE=6

•,AB=3BE,SABI)

又；BD=DC=4,

【例2】如图在zMBC中，。在E4的延长线上，石在AC上，且AB:">=5:2,

AE:EC=3:2,S△桢£=12平方厘米，求人钻。的面积.

【解析】连接BE,S„ADE:S^ABE=4D:AB=2:5=(2x3):(5x3)

SAABE:S^A8c=AE:AC=3:(3+2)=(3x5):[(3+2)x5],

所以S“DE：SZ^C=(3X2):[5X(3+2)]=6:25,设2即「=6份，则S△皿=25份，

$△^£=12平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，△ABC的

面积是50平方厘米.由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面

积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比

【例3】如图所示，在平行四边形48CD中，E为48的中点，AF=2CF,三角形4FE(图

中阴影部分)的面积为8平方厘米.平行四边形的面积是多少平方厘米？

D

区

A七8

【解析】连接FB.三角形4FB面枳是三角形CFB面积的2倍，而三角形4FB面积是三角形

AEF面积的2倍，所以三角形ABC面积是三角形AEF面积的3倍；又因为平行四边

形的面积是三角形ABC面积的2倍，所以平行四边形的面积是三角形AFE面积的

(3x2)=6倍.因此，平行四边形的面积为8x6=48(平方厘米).

【例4】已知△£)£；〃的面积为7平方厘米，跳：=C£,AO=24/),C/=3A尸，求△/3C的面

积.

【解析】S4Q/S4A5c=(8Ox幽：(8Ax5C)=(lxl):(2x3)=l:6,

-(CExCF):(CBxC4)-(lx3):(2x4)-3:8

S△.：S^MC=(AOXAF):(A8X4C)=(2X1):(3X4)=1:6

设工诙=24份，则同於=4份，S△皿=4份，5“防=9份，

S△阻=24-4-4-9=7份，恰好是7平方厘米，所以S△杵=24平方厘米

【例5】如图，三角形45c的面积为3平方厘米，其中A5:3E=2:5,BC:CD=3:2,三

角形或花的面积是多少？

【解析】由于NABC+NDB£：=180°,所以可以用共角定理，设A8=2份，8c=3份，则

8E=5份，

30=3+2=5份，由共角定理

又S杈•=1，所以S~E=8・

同理可得S皿=6,SBDE=3.

+

所以SDEF=5ADF$BDE=1+8+6+3=18.

【例8】如图，平行四边形4BCD,BE=AB,CF=2CB,GD=3DC,HA=4ADf平

行四边形ABCD的面积是2,求平行四边形ABC力与四边形EFGH的面积比.

【解析】连接AC、BD.根据共角定理

•・•在A4蛇和43庄中，ZABC与NFBE互补,

.SnABC_ABBC1x11

**S^.BE~BEBF~M~3'

又S&ABC=1,所以S.BE=3•

同理可得s△叩=8,S△即=15,5鼻叩=8.

所以SEFCH=S^AEH+S&CFG+S^DHG+S^BEF+SAW)=8+8+15+3+2=36.

所以mg=2=_L.

SEFGH3618

【例9】如图，四边形£FG”的面积是66平方米，EA=ABtCB=BF,DC=CG,HD=DA,

求四边形ABC。的面积.

【解析】连接8。.由共角定理得S^BCD:S^CCF=(CDxCB):।CGxCF)=1:2,即

S»cGT2s4(

同理S4AM*S^AHE=I：2,即=2s△ABD

连接AC,同理可以得到SAMG+S△诋=2S四边形八8m

=+

S四边形ER”SfHE+S^GF+S4HDG*^Afi£F+5四边形八^=5s四边形48co

所以Spq边二算"二胎？平方米

【例10]如图，将四边形ABCD的四条边4?、CB、CD、4）分别延长两倍至点£：、

F、G、H,若四边形ABC。的面积为5,则四边形EFG”的面积是

【解析】连接AC、BD.

由于跖=2AB,BF=2BC,于是S^F=4sM8c»同理S处憾-4SMDC.

于是^ABEF+=4sg笈+4sAA0c=^SAf{CD.

再由于M=3Afi,AH=3ADt于是心防=95.加，同理&的=•

于是SgtM+S&CFG=9szM破+9S2CBD=9SABCD•

那么

4

【例11]如图，在A4BC中，延长AB至。，使皮）=45,延长8c至石，使CE=，8C,

2

产是AC的中点，若AABC的面积是2,则△。石尸的面积是多少？

【解析】•・•在△ABC和△(7庄中，NACB与NFCE互补,

.S△皿ACBC2x2=4

S&FCEFCCE1x11

又SW=2,所以SFCE~05.

同理可得同加户=2，S&JDE=3.

—

所以S4DEF-S4aBe+SdCEF+^£^DEB~^£^ADF+0.54-3—2—3.5

【例12】如图，S△诋=1,BC=5BD,AC=4ECfDG=GS=SE,AF=FG.求S

【解析】本题题目本身很简单，但它把本讲的两个重要知识点融合到一起，既可以看作是”

当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积匕等于夹这个角的两边

长度的乘积比”的反复运用，也可以看作是找点，最妙的是其中包含了找点的3种

情况.

432111

最后求得S"GS的面积为同心=『丁丁5*5=布・

【例13]如图所示，正方形ABC/）边长为8厘米，£■是AD的中点，尸是CE的中点,

G是斯的中点，三角形ABG的面积是多少平方厘米？

【解析】连接AF、EG.

因为S^6=Sa8E=1x82=16,根据“当两个三角形有一个角相等或互补时，这

两个三角形的面积比等于夫这个角的两边长度的乘积比"S包=8,SEFG=8,再

根据“当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角

的两边长度的乘积比”，得到5的=16,SABh.E=32,SAB,.=24,所以5Ase=12平

方厘米.

【例14】四个面积为1的正六边形如图摆放，求阴影三角形的面积.

【解析】如图，将原图扩展成一个大正三角形。所，则AAG产与都是正三角形.

假设正六边形的边长为为明则AAG/与的边长都是4%所以大正三角形

DE尸的边长为4x2—1=7,那么它的面积为单位小正三角形面积的49倍.而一个

正六边形是由6个单位小正三角形组成的，所以一个单位小正三角形的面积为1，

6

40

三角形由7的面积为3.

6

4312

由于月4=船，户8=3。，所以AAPB与三角形。砂的面积之比为一x2:一.

7749

12

同理可知凶DC、A4EC与三角形。石尸的面积之比都为匕，所以A4BC的面积占

49

I913491313

三角形DEF面积的I---x3=—,所以AA5C的面积的面积为三x'=".

49496496

【巩固】已知图中每个正六边形的面积都是1,则图中虚线围成的五边形A8CDE的面积

是.

【解析】从图中可以看出，虚线AB和虚线CD外的图形都等于两个正六边形的一半，也就

是都等于一个正六边形的面积；虚线8c和虚线DE外的图形都等于一个正六边形

的一半，那么它们合起来等于一个正六边形的面积：虚线人£外的图形是两个三角

形，从右图中可以看出，每个三角形都是一个正六边形面积的！，所以虚线外图

6

1112

形的面积等于Ix3+±x2=3士,所以五边形的面积是10-32=6

6333

任意四边形、梯形与相似模型

模型四相似三角形模型

（一）金字塔模型（二）沙漏模型

<g1?-AD=-A-E=-D-E=-A-F

ABACBCAG

22

@S^DE：S^BC=AF：AG.

所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形（只要其形状不改变，不论大小怎样

改变它们都相似），与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：

⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；

⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；

⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半。

相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具。

在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形。

【例1】如图，已知在平行四边形ABCD中，AB=16,4）=10,BE=4,那么产C的长

度是多少？

【解析】图中有一个沙漏，也有金字塔，但我们用沙漏就能解决问题，因为平行于CZ）,

4

所以5户：尸8=4:16=1:4,所以产C=10x——=8.

1+4

【例2】如图，测量小玻璃管口径的量具ABC,"的长为15厘米，AC被分为60等份。

如果小玻璃管口DE正好对着量具上20等份处（DE平行"），那么小玻璃管口径

DE是多大?

【解析】有一个金字塔模型，所以£>£15=40:60,所以。石=10厘米。

【例3】如图，DE平行BC,若AD:DB=2:3,那么：=

【解析】根据金字塔模型AD:AB=AE:AC=DE:BC=2:(2+3)=2:5,

S△加：S&M=2?:5?=4:25，

设S&ADE=4份，则S4ABe=25份，SABEC=25+5X3=15份，所以S&ADE:SaECb=4：15O

【例4】如图，△ABC中，DE,FG,8c互相平行，AD=DF=FB,

则S4ADE:S四边形DEGF"S四边影FGCB=。

【解析】设％但=1份，根据面积比等于相似比的平方，

2

所以S&ADE•SgpQ-AD:AF~=1:4,S^ADE:$4枷=⑷=1：9,因此

S&FG=4份，S^ABC=9份，

进而有S四边形DECF=3份，S四边形FM8=5份，所以S&2E：Spq边形DEGF:Spq边形皿:8=］：3：5

【巩固】如图，比平行8C,且4）=2,AB=5fAE=4f求AC的长。

A

D,

【解析】由金字塔模型得4):45=从£:47=。£:以7=2:5,所以4C=4+2x5=10

【巩固】如图，△ABC中，DE,FGtMN,PQ,8C互相平行，AD=DF=FM=MP=PB,

则S^ADE'S网边形o£8•S网边形房NW:S四边形,“腱〃：S四边形片翼沿=

22

【解析】设份，S^DE:S^FC=AD:AF=\:4,因此SMG=4份，进而有

S四边形DEGk3份，同理有S四边形FGMW=5份，S四边形MV0P=7份，S四边形呼8=9份.

所以有S4ADE:S四边形DEGF：Sg边形FGNM:'四边彩MNQP'§四边形代及方=1：3：5：7：9

【总结】继续拓展，我们得到一个规律：平行线等分线段后，所分出来的图形的面积成等差

数列。

［例5］已知AA5C中，。石平行BC,若AD:08=2:3,且S栩形皿比大心cm2,

求SgBC°

【解析】根据金字塔模型4):AB=OE:8C=2:(2+3)=2:5,:=22:52=4:25,

设S/iADE=4份，则S>ABC=25份，5梯形DBCE=25-4=21份,S梯形DBCE比S/XADE大普

份，恰好是8.5cn?,所以&枷=12.55?

【例6】如图：MN平行BC,S^MPN；的=4:9,AM=4cm,求3M的长度

A

【解析】在沙漏模型中，因为所以MV:BC=2:3,在金字塔模型中有：

AM:AB=MN:BC=2:3,因为AM=4cr,AB=4+2x3=6cm,所以

BM=6-4=2c

【巩固】如图，已知DE平行8C,BO:EO=3:2,那么4):AB=。

【解析】由沙漏模型得8O:EO=8C:OE=3:2,再由金字塔模型得

AD:AB=DE:BC=2:3.

【例7】如图，AABC中，AE=-ABtAD=-ACfED与BC平行,AEO。的面积是1

44

平方厘米。那么AAED的面积是平方厘米。

【解析】因为AE='A8,AD=-AC,ED与BC平行,

44

根据相似模型可知£D:5C=1:4,EO:OC=l:4,=4s皿〃=4平方厘米，

则S&CDE=4+1=5平方厘米，

又因为SAC=A。：00=1:3，所以5必田=5'」=’(平方厘米).

【例8】在图中的正方形中，A,8,。分别是所在边的中点，CDO的面积是ABO面

积的几倍？

【解析】连接8C,易知。4〃所，根据相似三角形性质，可知OB:OD=AE:4),且

OA:BE=DA:DE=1:2,所以C£>，的面积等于C3,的面积；由

Q4=JBE=；AC可得。O=3Q4,所以为叨=S肩。=3S八"，即QX7的面积是

面积的3倍。

【例9】如图，线段与BC垂直，已知A£>=EC=4,BD=BE=6,那么图中阴影部分

面积是多少？

0kAnk\

【解析】解法一：这个图是个对称图形，且各边长度已经给出，不妨连接这个图形的对称轴

看看.

作辅助线30,则图影关于50对称，有SaqIc，S„=Sebo,且

设4Po的面积为2份，则的面积为3份，直角三角形ABE的面积为8份.

因为$.£=6x10+2=30，而阴影部分的面积为4份，所以阴影部分的面积为

30+8x4=15.

解法二：连接DE、AC.由于AD=EC=4,BD=BE=6,即以DE“AC,根

据相似三角形性质，可知。E:AC=8£>:笈4=6:10=3:5,

根据梯形蝴蝶定理，COE:SCOA=32:(3X5):(3X5):52=9:15:15:25,

所以S阴影：S梯形人双=05+15):(9+15+15+25)=15:32,即厮影=£s梯做必：

又^^ADEC=-x10x10--x6x6=32,所以S阴影=^S梯形八阻=15.

【例10】(2008年第二届两岸四地”华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛)如图，四边形

40)和所G”都是平行四边形，四边形ABCQ的面积是16,BG:GC=3:1,则

四边形EFGH的面积=.

AED

【解析】因为尸G"E为平行四边防，所以反7/AG,所以AGCE为平行四边形.

BG:GC=3:1,那么GC:BC=1:4,所以S八次=,xS„=』xl6=4.

rlVJk-*-4ZUJVUy|

叉AE=GC,所以AE:BG=GC:BG=1:3,根据沙漏模型，

33

FG:AF=BG:AE=3:1,所以S11aH=1sAec《=\x4=3.

【例11】己知三角形A5C的面积为a,AF:FC=2:\t七是8D的中点，且所〃8C,

交CD于G,求阴影部分的面积.

【解析】已知A/?F=C2,且EF〃BC,利用相似三角形性质可知

2

EF:BC=AF:AC=2:3,所以律=?BC,且S皿：S=4:9.

又因为石是班＞的中点，所以EG是三角形08C的中位线，那么EG=1BC,

2

I2

EG:EF=-:-=3:4,所以GEEE1:,可得S。F消五J：,所以

SCF%S4^J：»那么SCFG=T77,

1O

【例12】已知正方形AB8,过C的直线分别交AB、AD的延长线于点七、F,且

AE=10cm,4尸二15cm,求正方形AACD的边长.

【解析】方法一：本题有两个金字塔模型，根据这两个模型有3C:A/=CE:M,

DC:AE=CF:EFt设正方形的边长为xcm,所以有空+空=里+生=1,

AFAEEFEF

即二十二=1,解得％=6,所以正方形的边长为6cm.

1510

y]S-X

方法二：或根据一个金字塔列方程即2=12-,解得％=6

1015

【例13]如图，三角形ABC是一块锐角三角形余料，边8C=120毫米，高4)=80亳

米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在3C上，其余两个顶点分别在AB、

AC上，这个正方形零件的边长是多少？

4

【解析】观察图中有金字塔模型5个，用与已知边有关系的两个金字塔模型，所以有

PNAPPHBPgpwwj』”以玄止PNPHAPBP,而

——=——，——=—,设正万形的边长为x毫米，——+——=—+—=1,即

BCABADABBCADABAB

—+—=1,解得工=48,即正方形的边长为48毫米.

12080

【巩固】如图，在AABC中，有长方形OEFG,G、F在BC上,D、石分别在AB、AC

上，A”是/MBC边BC的高，交DE于M,DG:DE=1:2,8c=12厘米，

4¥=8厘米，求长方形的长和宽.

【解析】观察图中有金字塔模型5个，用与已知边有关系的两个金字塔模型，所以上士=士，

BCAB

DGBD«“‘DEDGADBD

——=——，所以有——4-——=——4-——设力G=x,则OE=2x,所以有

AHABBCAHABAB

7r?44R

—+-r=1,解得x=三，2x=—,因此长方形的长和宽分别是竺厘米，三94厘

1287777

米.

【例14】图中A8CD是边长为12c相的正方形，从G到正方形顶点C、。连成一个三角

形，已知这个三角形在上截得的石厂长度为4c加，那么三角形GQC的面积是

多少？

【解析】根据题中条件，可以直接判断出石尸与。C平行，从而三角形GEF与三角形GDC相

似，这样，就可以采用相似三角形性质来解决问题.

做GM垂直。C于M,支AB于N.

因为印〃0C,所以三角形GEI与三角形GDC相似，且相似比为

EF:4:121,

所以GMGA/=1:3,又因为MN=GM-GN=T2,所以GM=18(on),

所以三角形GDC的面积为QX12X18=108。,>

【例15]如图，将一个边长为2的正方形两边长分别延长1和3,割出图中的阴影部分,

求阴影部分的面积是多少？

【解析】根据相似三角形的对应边成比例有：—=^-:上上-=」一

1+22+32+31+2

则N尸=』，EM=-f

93

【例16]（2008年101中学考题）图中的大小正方形的边长均为整数（厘米），它们的面

积之和等于52平方厘米，则阴影部分的面积是.

【解析】设大、小正方形的边长分别为〃？厘米、〃厘米则1+〃2=52,所以

;w<8.若则4<5x25,不合题意，所以机只能为6或7.检

验可知只有m=6、"=4满足题意，所以大、小正方形的边长分别为6厘米和4

厘米.根据相似三角形性质，BG:GF=AB:FE=6:4=3:2,而BG+GF=6,得

8G=36（厘米）'所以阴影部分的面积为：万的3.6=]。.8（平方厘米）.

【例17]如图，O是矩形一条对角线的中点，图中已经标出两个三角形的面积为3和4,

那么阴影部分的一块直角三角形的面积是多少？

【解析】连接OB,面积为4的三角形占了矩肪面积的;，所以〃°E8=4—3=1,所以

OE:1:3,所以5:,由三角形相似可得阴影部分面积为

【例18】已知长方形ABC。的面积为70厘米，£是4）的中点，尸、G是8c边上的

二等分点，求阴影△曲的面积是多少厘米？

【解析】因为石是AD的中点，尸、G是8c边上的三等分点，由此可以说明如果把长方形

的长分成6份的话，那么£D=AD=3份、BF=FG=GC=?肪,大家能在图形中

找到沙漏△EOD和△80G:有石。：36二3：4,所以8：80=3：4,相当于把BD

分成（3+4）7份，同理也可以在图中在次找到沙漏：AEHD和ABHF也是沙漏,

ED：BF=3：2,由此可以推出：HD：BH=3：2,相当于把班）分成（3+2）5份,

那么我们就可以把即分成35份（5和7的最小公倍数）其中。。占15份，8〃占14

份，”0占6份，连接E8则可知△班。的面积为70+4=千，在瓦）为底的三角

形中HO占6份，则面积为：羽x9=3（平方厘米）.

235

【例19】是平行四边形，面积为72平方厘米，E、产分别为A6、3。的中点,

则图中阴影部分的面积为平方厘米.

【解析】方法一：注意引导学生利用三角形的中位线定理以及平行线的相关性质.

设G、H分别为4）、QC的中点，连接G"、EF、BD.

可得S皿二,平行四边形ABC。,

对角线BD被EF、AC、G”平均分成四段.叉OM〃EF、所以

23

DO:ED=：BD:：BD=2:3,OE:ED=（ED-OD）:ED=（3-2）:3=1:3,

所以SA/。=丁［5平行四边Wg。=§、^乂72=6（平方厘米）,SADO=2xSAEO=12

（平方厘米）.

同理可得SVi=6平方厘米，SLgLA。“J=12平方厘米.

所以S般-SAEQ-SE=36-6-6=24（平方厘米），

于是，阴影部分的面积为24+12+12=48（平方厘米）.

方法二：寻找图中的沙漏，AE:CD=AO:OC=\:2tFC:AD=CM:AM=\:2,

因此。，“为AC的三等分点，54皿=:现行四边形『=：x72=12（平方厘米），

S&IEOU,S&JCQ='x12x2=6（平方厘米），同理另尸必（7=6（平方厘米），所以

^=72-12-6-6=48（平方厘米）.

【例20]如图，三角形PDW的面积是8平方厘米，长方形ABCD的长是6厘米，宽是

4厘米，M是8C的中点，则三角形加）。的面积是平方厘米.

【解析】本题在矩形内连接三点构成一个三角形，而且其中一点是矩/某一条边的中点，一

般需要通过这一点做垂线.

取AO的中点N,连接MN,设MN交PD千K.

则三角形qDM被分成两个三角形，而且这两个三角形有公共的底边MK,可知三

1Q

角形PDM的面积等于±xMKxBC=8（平方厘米），所以MK=?（厘米），那么

23

«4

NK=4--=-（厘米）.

33

Q

因为NK是三角形A"）的中位线，所以AP=2xNK=2（厘米），所以三角形47）

3

1Q

的面积为_Lx2x6=8（平方厘米）.

23

【例21]如图，长方形ABCQ中，E为AD的中点,AF与BE、8£＞分别交于G、H,

OE垂直AD于E,交AF于O,已知A”=5cm,HF=3cm,求AG.

【解析】由于AB〃£犷，利用相似三角形性质可以得到48:。尸=加/:〃/=5:3,

又因为E为AD中点，那么有QE:也＞=1:2,

所以A38心;=1,利用相似三角彩性质可以得到

2

AGGO:A=BK,

而AO=3A产=gx（5+3）=4（cm）,所以AG=4x—=—（cm）.

1313v）

[例22]右图中正方形的面积为1,E＞尸分别为A8、8力的中点，GC=-FC.求

阴影部分的面积.

【解析】题中条件给出的都是比例关系，由此可以初步推断阴影部分的面积要通过比例求解,

而图中出现最多的就是三角形，那么首先想到的就是利用相似三角形的性质.

阴影部分为三角形，已知底边为正方形边长的一半，只要求出高，便可求出面积.可

以作切垂直8c于〃，G/垂直8c于/.

根据相似三角形性质，C/:C//=CG:CF=1:3,又因为CH=HB,所以

C/:CB=1:6,即8/:BC=（6-1）:6=5:6,所以S卬上=gxgx。二卷.

【例23】梯形A8CD的面积为12,AB=2CDtE为AC的中点，应:的延长线与AO交

于广，四边形CD尸E的面积是.

G

【解析】延长所、8相交于G.

由于七为AC的中点，根据相似三角形性质，CG=AB=2CD,GD=-GC=-AB

22t

再根据相似三角形性质，AE产3AB=D(S,GF:GB=l:3,而

A力$GD2,

X

所以S1tBeD=§^ABCD=~12=4,S谶K=2sMe0=8-

_J_8

又2==s皿=1SAG8。，所以加"E3AGBC=§GBC^§'

26

【例24]如图，三角形A6C的面积为60平方厘米，D、E、F分别为各边的中点,

那么阴影部分的面积是平方厘米.

A

【解析】阴影部分是一个不规则的四边形，不方便直接求面积，可以将其转化为两个三角形

的面积之差.而从图中来看，既可以转化为M所与AfiVW的面积之差，又可以转

化为MCM与ACFN的面枳之差.

（法1）如图，连接DE.

由于。、E、产分别为各边的中点，那么石尸为平行四边形，且面积为三•角形

ABC面积的一半，即30平方厘米；那么ABE尸的面积为平行四边形或史尸面积的

一半，为15平方厘米.

根据几何五大模型中的相似模型，由于£应为三角形ABC的中位线，长度为8c的

一半，则EM:8M=OE:8C=1:2,所以EM=；EB;

EN:FN=DE:FC=VA.所以EN=、EF.

2

那么MMI的面积占MEF面积的-x-=-,所以阴影部分面积为

236

15x（1-春）=12.5（平方厘米）.

（法2）如图，连接AM.

根据燕尾定理，S^BM：S^M=AE：EC=\-.\,S^CM：S^CM=AD：DB=\：\,

所以s尔改='x60=20平方厘米，

»MFV.vZ

而S谢c=；X60=30平方厘米,所以S^CN=；S.0c=7.5平方厘米.

那么阴影部分面积为20-7.5=12.5（平方厘米）.

【总结】求三角形的面积，一般有三种方法：

（1）利用面积公式：底x高+2;

（2）利用整体减去部分；

（3）利用比例和模型.

【例25]如图，A8C。是直角梯形，A5=4,A0=5,DE=3,那么梯形48c。的面积是

【解析】延长反）交A8于尸点，分别计算△AO0AAO8,Z\OOC,Z\BOC的面积，再求和.

DE：BF=DO：OB=3：1

•,$t\MyD*S&AOB=3.1；00c—S&BOC=3/

S»AOD=S^BOC

=1x4x5=10

又•S&ABD

2

3

S&AODABD

[S.=7.5,S^A0H—2.5,S400c—7.5,SA/XX?-3s20c=3x7.5=22.5

S梯形A3C0=7.5+2.5+7.5+22.5=40

【例26]边长为8厘米和12厘米的两个正方形并放在一起，那么图中阴影三角形的面

积是多少平方厘米？

【解析】给图形标注字母，按顺时针方向标注，大正方形为ABCD,，1、正方形为MNDE,EB

分别交AC,AO于O,H两点，

AO：OC=AB：EC=12：20=3：5,AH：BC=AO：OC=3：5

・•・AO：AC=3：8,AH：AD=3：5tS.AHO：S.ADC=9：40

•・・S△皿=，12:=72

99

X

•*,S^AHL而S△A0c=—72=16.2

【例27】如右图，长方形中，所=16,FG=9,求AG的长.

【解析】因为）〃应;，根据相似三角形性质知型=任

GBGE

又因为D尸〃AB,—,

GBGA

sriFG

所以二i=，，PpAG2=GEFG=25X9=225=152,所以AG=15.

GEGA

【例28】（第21届迎春杯试题）如图，已知正方形的边长为4,“是8C边的中

点，E是DC边上的点，且DE:EC=1:3,A尸与应:相交于点G,求治八时

【解析】方法一：连接AE,延长AF,DC两条线交于点M,构造出两个沙漏，所以有

AB-.CM=BF.FC=\At囚此CM=4,根据题题有CE=3,再根据另一个沙漏

4432

有GB:GE=AB:EM=4:7,所以53即=jjX（4x4+2）=%.

方法二：连接A,E,分别求S.mF=4x2=：,

=4x4—4x1+2—3x2+2—4=7,根据蝴蝶定理

4432

S△）:必S产八公£（,所以S△谢=4+7=."4x4+2）=打•

【例29]如图所示，已知平行四边形ABCD的面积是1,E、尸是AB、4）的中点,

BF交EC于M,求ABMG的面积.

D

AZ）的中点，得EFHBD,而

FD.B6FH母Q:,

EB:CD=BG:GD=1:2所以CH:CF=GH:EF=2:3,

并得G、a是的三等分点，所以BG=GH,所以

BG:EF=B