积分变换省公开课一等奖全国示范课微课金奖课件

第二章Laplace变换

§2.1Laplace变换概念§2.2Laplace变换性质§2.3Laplace逆变换

§2.4卷积§2.5Laplace变换应用第1页

§2.1Laplace变换概念一问题提出二Laplace变换定义三Laplace变换存在定理第2页

一问题提出Fourier变换两个限制：（1）函数要在上有定义；（2）绝对可积条件太强.

第3页

实际问题中，许多以时间t为变量函数往往在t<0时没有意义，绝对可积条件许多简单函数都不能满足，所以实际问题中很多函数不能做Fourier变换.

第4页

对于一个函数,有可能因为不满足傅氏变换条件,因而不存在傅氏变换.不过对之进行一些处理后，便可进行傅氏变换了。

①首先将

乘上u(t),这么t小于零部分函数值就都等于0了；

②大家知道在各种函数中,指数函数()上升速度是最快了,因而下降速度也是最快.

所以,几乎全部函数乘上u(t)再乘上

后得到

傅氏变换都存在。第5页tf(t)Otf(t)u(t)e-btO第6页对函数j(t)u(t)e-bt(b>0)取傅氏变换,可得第7页二Laplace变换定义

定义：第8页例1求单位阶跃函数依据拉氏变换定义,有这个积分在Re(s)>0时收敛,而且有记住此结论！第9页例2求指数函数f(t)=ekt

拉氏变换(k为实数).这个积分在Re(s)>k时收敛,而且有其实k为复数时上式也成立,只是收敛区间为Re(s)>Re(k)依据拉氏变换定义,有记住此结论！第10页三Laplace变换存在定理

若函数f(t)满足:

(1)在t0任一有限区间上分段连续;

(2)当t

时,f(t)增加速度不超出某一指数

函数,即存在常数M>0及c0,使得

|f(t)|Me

ct,0t<

则f(t)拉氏变换在半平面Re(s)>c上一定存在,而且在Re(s)>c半平面内,F(s)为解析函数.第11页MMectf(t)tO第12页

说明：

(1)大部分惯用函数Laplace变换都存在;(2)存在定理条件是充分但非必要条件.

第13页

例3求幂函数f(t)=(m为正整数)拉氏变换.

记住结论：第14页例4求函数f(t)=sinkt(k为实数)拉氏变换.

例5已知即f(t)是以T为周期周期函数，证实：当f(t)在一个周期上分段连续时，有f(t)拉氏变换为

并求

拉氏变换。

记住此结论！第15页

例6求单位脉冲函数拉氏变换.解：第16页例7求函数

拉氏变换.解：第17页§2.2Laplace变换性质一线性性质二微分性质三积分性质四位移性质五延迟性质第18页本讲介绍拉氏变换几个性质,它们在拉氏变换实际应用中都是很有用.为方便起见，假定在这些性质中,凡是要求拉氏变换函数都满足拉氏变换存在定理中条件,而且把这些函数增加指数都统一地取为c.在证实性质时不再重述这些条件.第19页一线性性若a,b是常数

L

[f1(t)]=F1(s),L

[f2(t)]=F2(s),则有

L[af1(t)+bf2(t)]=aF1(s)+bF2(s)

L-1[aF1(s)+bF2(s)]=af1(t)+bf2(t)此线性性质依据拉氏变换定义就可得出.第20页例1利用性质求函数f(t)=sinkt拉氏变换.第21页二微分性质

若L

[f(t)]=F(s),则有 L

[f'(t)]=sF(s)-f(0).

证依据分部积分公式和拉氏变换公式第22页此性质能够使我们有可能将f(t)微分方程转化为F(s)代数方程.尤其当时，有推广：第23页例2利用微分性质求函数f(t)=coskt拉氏变换.

第24页例3求拉氏变换（m为正整数）.第25页象函数微分性质:例4求(k为实数)拉氏变换.第26页练习：求(k为实数)拉氏变换.第27页三积分性质例5求拉氏变换.第28页象函数积分性质:第29页例6求函数拉氏变换.第30页其中F(s)=L

[f(t)].此公式惯用来计算一些积分.

比如,记住此结论！第31页例7求拉氏变换.四位移性质第32页

若L[f(t)]=F(s),又t<0时f(t)=0,则对于任一非负数t

0,有

五平移（延迟）性质第33页函数f(t-t)与f(t)相比,f(t)从t=0开始有非零数值.而f(t-t)是从t=t开始才有非零数值.即延迟了一个时间t.从它图象讲,f(t-t)是由f(t)沿t轴向右平移t而得,其拉氏变换也多一个因子e-st.Ottf(t)f(t-t)第34页例8求函数拉氏变换.1u(t-t)ttO第35页例9求如图所表示阶梯函数f(t)拉氏变换.

利用单位阶跃函数u(t)可将f(t)表示为f(t)4A3A2A1AOtt2t3t第36页利用拉氏变换线性性质及延迟性质,可得当Re(s)>0时,有|e-st|<1,所以,上式右端圆括号中为一公比模小于1等比级数,从而第37页普通地,若L

[f(t)]=F(s),则对于任何t>0,有第38页例10求如图所表示单个半正弦波f(t)拉氏变换OT2tEf(t)T2T2OOEETTtf1(t)f2(t)t第39页由前图可知,f(t)=f1(t)+f2(t),所以第40页例11求以下列图所表示半波正弦函数fT(t)

拉氏变换T23T25T2tT2TOEfT(t)第41页由例10可得从t=0开始单个半正弦波拉氏

变换为从而第42页§3Laplace逆变换本节主要介绍拉氏逆变换概念及其求法第43页

由拉氏变换概念可知,函数f(t)拉氏变换,

实际上就是傅氏变换.

所以,按傅氏积分公式,在f(t)连续点就有第44页等式两边同乘以ebt,则第45页积分路线中实部b有一些随意,但必须满足条件就是e-btf(t)u(t)0到正无穷积分必须收敛.计算复变函数积分通常比较困难,不过能够用留数方法计算.右端积分称为拉氏反演积分.第46页RO实轴虚轴LCRb+jRb-jR为奇点b解析第47页什么叫一个复变函数f(s)奇点?那就是此函数

没有定义点,或者说是取值无穷大点.

比如函数在0,2,-3处有三个奇点,可记为s1=0,s2=2,s3=-3复习：第48页假设s0是f(s)一个奇点,则f(s)总能够在s0处展开为罗朗级数,形式为:其中-1次方项(s-s0)-1系数c-1就称为f(s)在s0点处留数,记作 Res[f(s),s0]=c-1或第49页围绕着f(s)奇点s0附近绕一圈环积分就

等于其中C是只围绕s0转一圈任意闭合曲线.第50页假如函数f(s)有s1,s2,...,sn共n个奇点,闭合曲

线C包围了这n个奇点,则实轴虚轴s1s2s3留数定理第51页留数求法(1)假如为单极点,那末假如为级极点,那末(2)第52页第53页第54页例3求拉氏逆变换.第55页§4卷积一卷积概念二卷积定理第56页一卷积概念

在傅氏变换中，两个函数卷积是指假如f1(t)与f2(t)都满足条件:当t<0时,f1(t)=f2(t)=0,则上式能够写成第57页今后如不尤其申明,都假定这些函数在t<0时

恒等于零,它们卷积都按(2.20)式计算tOf1(t)f2(t)tOf1(t)f2(t-t)t第58页按(2.20)计算卷积亦有

|f1(t)*

f2(t)||f1(t)|*|f2(t)|,

它也满足交换律:

f1(t)*

f2(t)=f2(t)*

f1(t)

一样,它还满足结合律与对加法交换律,即

f1(t)*[f2(t)*

f3(t)]=[f1(t)*

f2(t)]*

f3(t)

f1(t)*[f2(t)+f3(t)]=f1(t)*

f2(t)+f1(t)*

f3(t)第59页例2求t*sint第60页二卷积定理

假定f1(t),f2(t)满足拉氏变换存在定理中条件,且L[f1(t)]=F1(s),L[f2(t)]=F2(s),则

f1(t)*

f2(t)拉氏变换一定存在,且注：卷积公式可用来计算逆变换或卷积.第61页t=ttOt第62页因为二重积分绝对可积,能够交换积分次序令t-t=u,则第63页不难推证,若fk(t)(k=1,2,...,n)满足拉氏变换存在定理中条件,且

L[fk(t)]=Fk(s)(k=1,2,...,n)

则有

L[f1(t)*

f2(t)*...*

fn(t)]=F1(s)F2(s)...Fn(s)第64页第65页第66页第67页第68页§5Laplace变换应用本节主要介绍拉氏变换在求解微分、积分方程中应用。第69页Laplace变换和Fourier变换一样，在许多工程技术和科学研究领域中有着广泛应用，尤其是