2024-2025学年江西省南昌市高二上学期期末联考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年江西省南昌市高二上学期期末联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.某书架的第一层放有7本不同的历史书，第二层放有6本不同的地理书.从这些书中任取1本历史书和1本地理书，不同的取法有(

)A.13种 B.42种 C.67种 D.72.已知直线mx+y+m−1=0与直线3x+(m+2)y+3=0平行，则m=(

)A.1 B.3 C.1或−3 D.−1或33.若直线l：y=kx与圆M：x2+(y−1)2=1A.−1 B.1 C.0 D.24.某农业科学院培育脐橙新品种，新培育的脐橙单果质量ξ(单位：g)近似服从正态分布N(180,100)，现有该新品种脐橙10000个，估计单果质量不低于150g的脐橙个数为(

)

附：若X～N(μ,σ2)，则P(μ−σ<X≤μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ<X≤μ+2σ)=0.9544，P(μ−3σ<X≤μ+3σ)=0.9974A.8413 B.9772 C.9974 D.99875.小花准备将一颗黄色圣女果、一颗红色圣女果、一颗山楂、一颗草莓、一颗葡萄串起来制作一串冰糖葫芦，若要求两颗圣女果不相邻，则不同的串法有(

)A.36种 B.48种 C.72种 D.144种6.已知O为坐标原点，双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，点H(2,1)在C的渐近线上，过点F作FP⊥OH，垂足为A.x24−y2=1 B.x7.小明参加户外植树活动，种植了A，B两种树苗各5棵，A种树苗的成活率为0.8，B种树苗的成活率为0.6，记A，B两种树苗最终成活的棵数分别为X1，X2，则E(X1+X2)=(

)

注：设A.5 B.6 C.7 D.88.在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，AB=2，E是PC上一点，且PE=13PC，PA=32，PA⊥AB，cosA.5 B.2 C.3二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.由一组样本数据(x1,y1)，(x2,y2)，…A.直线y=b​x+a​至少经过点(x1,y1)，(x2,y2)，…，(xn,y10.如图，在八面体ABC−DEF中，△ABC，△ABE，△ACF，△BCD均是边长为4的正三角形，且平面ABE，ACF，BCD均垂直于底面ABC，下列结论正确的是(

)A.BC/​/EF

B.△DEF为正三角形

C.点E到平面ACF的距离为2

D.直线AE与直线CF所成角的余弦值为511.已知A，B分别为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点，D为C的上顶点，O为坐标原点，E为C上一点，且位于第二象限，过点E作EM⊥x轴，垂足为M，直线AE，BE分别与A.若D是OH的中点，则|OM|=3a5

B.若M是C的左焦点，则G是OD的中点

C.|OG||OH|=|OD|2

D.若M三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.(−1+x)9展开式中x213.已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，P在C上，若以PF为直径的圆与x轴相切于点M(1,0)，则|PF|=______．14.甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，1，3，3，乙的卡片上分别标有数字2，2，4，4，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片(弃置的卡片在此后的轮次中不能使用)，则甲在第一轮比赛中得1分的概率为______，甲的总得分为1的概率为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

袋中装有12个大小相同的球，其中红球2个，黄球3个，白球7个，从中随机取出3个球．

(1)求取出的3个球中有2个白球的概率；

(2)设X表示取到的红球个数，求X的分布列与数学期望．16.(本小题15分)

为了研究某中药预防方对预防某种疾病的效果，科学家进行了实验，得到如下结果(单位：人)：患病情况服用情况患病不患病服用中药预防方1090不服用中药预防方5050(1)该中药预防方对预防该种疾病是否有效？

(2)从参与该实验的人中任选一人，A表示事件“选到的人服用中药预防方”，B表示事件“选到的人患病”.利用该调查数据，求P(A|B)，P(A|B−)的值．

附：χ2P(0.100.050.01x2.7063.8416.63517.(本小题15分)

如图，在三棱锥P−ABC中，△ABC是边长为2的正三角形，PA⊥平面ABC，PC=5，点E为PC上的动点．

(1)求三棱锥P−ABC的体积；

(2)当BE最小时，求平面ABE与平面ABC18.(本小题17分)

甲、乙2名同学最近100次的投篮情况如下：甲乙投中5060未投中5040用频率估计概率，解答下列问题．

(1)若从甲、乙2人中随机选择1人投篮1次，求投中的概率．

(2)设甲、乙进行投篮比赛，约定甲、乙轮流投篮，第一次由甲先投.规定：若其中一人比另一个人多投中2次，则停止比赛(例如：甲第一次投中，乙第一次未投中，甲第二次投中，则停止比赛，乙不再投第二次)，投中次数多的赢得比赛；若甲、乙都投完了5次，则也停止比赛，投中次数多的获胜，次数相同则平局.甲、乙每次投中与否相互独立．

①求甲投了第三次后停止比赛的概率；

②求乙投了第四次后停止比赛的概率．19.(本小题17分)

已知O为坐标原点，椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点为A，右焦点为F，点B在C上，且BF⊥AF，|BF|=32，直线OB与直线AB的斜率之比为3．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过点F的直线l1，l2分别与C交于点D，E和点M，N，若P，Q分别为线段DE参考答案1.B

2.C

3.C

4.D

5.C

6.A

7.C

8.B

9.BCD

10.ABD

11.AC

12.−36

13.2

14.14

215.解：(1)因为袋中有红球2个，黄球3个，白球7个，

则取出的3个球中有2个白球的概率P=C72C51C123=2144；

(2)易知X的所有可能取值为0，1，2，X012P691故E(X)=0×61116.解：(1)由已知得χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

=200×(10×50−90×50)2100×100×60×140=80021>6.635，

所以有99%的把握认为该中药预防方对预防该种疾病有效；

(2)由题意可得P(B)=17.解：(1)因为S△ABC=12×2×22−12=3，

而PA⊥平面ABC，

所以PA是三棱锥P−ABC的高，

在Rt△PAC中，|PA|=|PC|2−|AC|2=1，

所以三棱锥P−ABC的体积V=13S△ABC⋅|PA|=33；

(2)取BC的中点O，连接OA，以OC，OA所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(0,3,0)，B(−1,0,0)，P(0,3,1)，C(1,0,0)，

所以CP=(−1,3,1)，

设CE=λCP，(0≤λ≤1)，则E(1−λ,3λ,λ)，BE=(2−λ,3λ,λ)，

则|BE|=(2−λ)2+(3λ)2+λ2=518.解：(1)甲同学的投篮命中率为5050+50=12，

乙同学的投篮命中率为6060+40=35，

从甲、乙中随机选择1人投篮1次，投中的概率为12×12+12×35=1120．

(2)①甲投了3次，则乙投了2次．

由题意可得甲比乙多投中2次，有2种情况．

第一种情况：甲投中了3次，乙投中了1次，

即甲每次投篮都投中，乙第一次投篮投中，

第二次投篮没投中，其概率为(12)3×35×25=3100，

第二种情况，甲投了2次，乙投了0次，

即甲第一、三次投篮都投中，第二次投篮没投中，乙每次投篮都投中，

或甲第二、三次投篮投中，第一次投篮没投中，

其概率为(12)2×12×(25)2+(12)2×12×(25)2=125，

∴甲投了第三次后停止比赛的概率为3100+125=7100．

②乙投了4次，则甲投了4次，

记甲、乙各投1次为一轮，则甲、乙共投了四轮，

在每轮比赛中，记事件A为乙投中的次数比甲多1次，即乙投中，甲没投中，其概率为P(A)=12×35=310，

记事件B为甲、乙投中的次数相等，即甲、乙都没投中或都投中，其概率为P(B)=12×25+12×319.解：(1)设点B在第一象限，

记直线OB与直线AB的斜率分别为k1，k2，

此时k1=tan∠BOF=