第2章 圆与方程综合测试（解析版）

第2章圆与方程综合测试第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（2023·江苏·高二假期作业）将圆平分的直线是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】要使直线平分圆，只要直线经过圆的圆心即可，由，得，所以圆心坐标为，对于A，因为，所以直线不过圆心，所以A错误，对于B，因为，所以直线不过圆心，所以B错误，对于C，因为，所以直线过圆心，所以C正确，对于D，因为，所以直线不过圆心，所以D错误，故选：C2．（2023·高二课时练习）已知圆与圆，求两圆的公共弦所在的直线方程（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】将两个圆的方程相减，得3x－4y＋6＝0.故选：D.3．（2023·江苏南京·高二江苏省江浦高级中学校联考期中）直线被圆截得的弦长为1，则半径（

）A． B． C．2 D．【答案】B【解析】圆心到直线的距离为，所以，故，故选：B4．（2023·高二课时练习）若圆关于直线l的对称图形为圆，则直线l的方程为（

）.A． B． C． D．【答案】B【解析】的圆心为，半径为；的圆心为，半径为.由题意知，直线l是线段的垂直平分线.线段的中点为，斜率为，所以直线l的斜率为，所以直线l的方程为，即.故选：B.5．（2023·福建宁德·高二统考期中）已知，圆，圆，若直线过点且与圆相切，则直线被圆所截得的弦长为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设直线的方程为，由直线与圆相切，则，解得，即，即直线的方程为，又圆的圆心坐标为，半径为，圆圆心到直线距离为，则直线被圆所截弦长为.故选：A6．（2023·高二课时练习）为圆内异于圆心的一点，则直线与该圆的位置关系为（

）A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相交【答案】C【解析】由题意知为圆内异于圆心的一点，则，而圆：的圆心到直线的距离为，故直线与该圆的位置关系为相离，故选：C7．（2023·高二校考课时练习）过点的直线中，被圆截得的弦最长的直线的方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】的圆心为，过点的直线中，被圆截得的弦最长的直线必过圆心，所以，所以直线方程为，即.故选：D.8．（2023·重庆长寿·高二统考期末）已知直线与圆相交于，两点，当面积最大时，实数的值为（

）A．2 B．1 C． D．【答案】B【解析】依题意，如图所示

则，，∴即时，面积最大，此时圆心到直线的距离为,,解得，又，故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．（2023·辽宁·高二校联考期末）已知圆C的方程为，直线的方程为，下列选项正确的是（

）A．直线恒过定点B．直线与圆相交C．直线被圆所截最短弦长为D．存在一个实数，使直线经过圆心【答案】ABC【解析】对于A项：由直线的方程，可化为，联立方程组，解得，即直线恒经过定点，所以A正确；对于B项：由圆的方程，可得圆心，半径，又由，可得在圆内，所以直线与圆相交，所以B正确；对于C项：由，根据圆的性质，可得当直线和直线垂直时，此时截得的弦长最短，最短弦长为，所以C正确；对于D项：将圆心代入直线的方程，可得，所以不存在一个实数，使得直线过圆心，所以D不正确.故选：ABC.10．（2023·广东深圳·高二统考期末）已知点和圆，则下列选项正确的有（

）A．若点P在圆O内，则直线与圆O相交B．若点P在圆O上，则直线与圆O相切C．若点P在圆O外，则直线与圆O相离D．若直线与圆O相切，A为切点，则【答案】BD【解析】对于A，点P在圆O内，则，又点O到直线的距离，所以直线与圆O相离，故而A错误；对于B，点P在圆O上，则，又点O到直线的距离，所以直线与圆O相切，故而B正确；对于C，点P在圆O外，则，又点O到直线的距离，所以直线与圆O相交，故而C错误；对于D，若直线与圆O相切，A为切点，则，故而D正确.故选：BD.11．（2023·云南·高二校联考阶段练习）已知直线和圆，下列说法正确的是（

）A．对任意，直线与圆相交B．存在，使得直线与圆相切C．存在，使得直线被圆截得的弦长为5D．对任意，圆上都存在四点到直线的距离为2【答案】AC【解析】由直线，可得，联立方程组，解得，即无论为何值，直线恒过点，因为点在圆内，故A正确，B错误；当直线过圆心时，直线被圆截得的弦长最大，最大值为；当直线时，直线被圆截得的弦长最小，且最小值为，所以正确；因为，且圆的半径为，所以当直线时，圆上只存在两点到直线的距离为，所以D错误.故选：AC12．（2023·河南周口·高二校联考阶段练习）已知直线l与圆相切于点M，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B点，则下列各选项正确的是（

）A．为定值 B．的最小值为2C．面积的最小值为2 D．的最小值为【答案】AB【解析】由直角三角形的性质得，故A正确；设，，则直线l的方程为，原点到l的距离为1，即，则，又，则，故，当且仅当时取等号，故C错误；，而，则，则，故，当且仅当时，等号成立，故B正确；，显然是满足的一组值，，，则，故D错误．故选：AB．第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（2023·安徽·高二校联考期末）已知圆，，，若以线段为直径的圆与圆有公共点，则的值可能为______.（写出一个即可）【答案】1（2,3均可）答案不唯一【解析】由题意得，圆与圆有公共点，∴，∴，且，解得；故，2，3均可.故答案为：1（2,3均可）14．（2023·高二课时练习）圆过点，求面积最小的圆的方程为_________【答案】【解析】当为直径时，过的圆的半径最小，从而面积最小，又，所以，所求圆的圆心为中点，半径为，则所求圆的方程为：.故答案为：.15．（2023·安徽·高二马鞍山二中校联考阶段练习）已知，则的最小值为__________.【答案】0【解析】由可得圆心为，半径为，设，即，依题意得，解得，所以的最小值为.故答案为：.16．（2023·河南新乡·高二统考期末）已知直线与曲线有两个交点，则的取值范围为______________．【答案】【解析】直线，得，可知直线过定点，如图，曲线表示以为圆心，2为半径的上半圆．当直线与半圆相切时，，解得．曲线与轴负半轴交于点．因为直线与曲线有两个交点，所以．故答案为：.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。17．（10分）（2023·北京丰台·高二北京市第十二中学校考期中）已知圆C过点，，．(1)求圆C的方程；(2)若直线与圆C交于两点A，B，且，求m的值．【解析】（1）设圆的一般方程为，由题意可得：，解得，故圆的一般方程为，即.（2）由（1）可得：圆心，半径，则圆心到直线的距离，可得，解得，所以m的值为.18．（12分）（2023·河南平顶山·高二统考期末）已知的顶点坐标分别是，，.(1)求外接圆的方程；(2)若直线l：与的外接圆相交于M，N两点，求.【解析】（1）设圆的一般方程为：，，代入点得，，解得，所以圆的一般方程为：，标准方程为：.（2）圆心到直线的距离，又因为，在等腰中，，所以圆心角，则.19．（12分）（2023·浙江绍兴·高二统考期末）已知，，，圆经过三点.(1)求圆C的方程，并写出圆心坐标和半径的值；(2)若经过点的直线l与圆C交于两点，求弦长的取值范围.【解析】（1）由题意，点，，，且圆经过三点，可得圆是以为直径的圆，设圆的圆心坐标为，半径为，可得，即圆心坐标为，半径，所以圆的方程为.（2）由圆的性质得，当直线过圆心，此时弦长取得最大值，最大值为，当为中点的弦最短，其中，所以最短弦长为，所以弦长的取值范围.20．（12分）（2023·上海静安·高二统考期末）如图是一座类似于上海卢浦大桥的圆拱桥示意图，该圆弧拱跨度为，圆拱的最高点离水面的高度为，桥面离水面的高度为.

(1)建立适当的平面直角坐标系，求圆拱所在圆的方程；(2)求桥面在圆拱内部分的长度.（结果精确到）【解析】（1）设圆拱所在圆的圆心为，以为原点，方向为轴正方向，中垂线向上为轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系.

设与轴交于点，与轴交于点，连接设圆的半径为，则，，，在直角中，，所以，解得，所以，所以圆拱方程为，.（2）由题意得，，令，得，所以，所以，所以.所以桥面在圆拱内部分的长度约为367.4m21．（12分）（2023·上海徐汇·高二上海市徐汇中学校考期中）已知圆M方程为，直线的方程为，点在直线上，过P作圆M的切线、，切点为A、B．(1)若P点坐标为，求(2)经过A、P、M三点的圆是否经过异于点的定点，若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由．【解析】（1）因为点坐标为，所以，又因为，所以,故.（2）设的中点，因为为圆的切线，所以经过三点的圆是以为圆心，为半径的圆，故其方程为化简得，由，解得（舍）或所以经过三点的圆经过异于点的定点.

22．（12分）（2023·四川广安·高二广安二中校考阶段练习）已知在平面直角坐标系xOy中，，，平面内动点P满足．(1)求点P的轨迹方程；(2)点P轨迹记为曲