新疆维吾尔自治区2025届高三普通高考第一次适应性检测数学试题（解析版）

第1页/共1页新疆维吾尔自治区2025年普通高考第一次适应性检测数学（卷面分值：150分考试时间：120分钟）注意事项：1.本试卷分选择题和非选择题两部分，答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效，4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据集合的交集定义可知或，即可根据并集的定义求解.【详解】由于，故或，因此当时，，当时，，故，故选：C2.已知复数满足，则下列结论正确的是（）A. B.为纯虚数C.的虚部为 D.【答案】D【解析】【分析】由题意可得，即可结合选项逐一求解.【详解】由可得，对于A，，A错误，对于B，不是纯虚数，B错误，对于C，的虚部为，C错误，对于D，，D正确，故选：D3.已知，是两条不同直线，，是两个不同平面，则下列命题正确的是A.若，垂直于同一平面，则与平行B.若，平行于同一平面，则与平行C.若，不平行，则在内不存在与平行的直线D.若，不平行，则与不可能垂直于同一平面【答案】D【解析】【详解】由，若，垂直于同一平面，则，可以相交、平行，故不正确；由，若，平行于同一平面，则，可以平行、重合、相交、异面，故不正确；由，若，不平行，但平面内会存在平行于的直线，如平面中平行于，交线的直线；由项，其逆否命题为“若与垂直于同一平面，则，平行”是真命题，故项正确.所以选D.考点：1.直线、平面的垂直、平行判定定理以及性质定理的应用.4.已知,均为单位向量，若在上的投影向量为，则（）A.1 B. C. D.3【答案】A【解析】【分析】根据投影向量可得，即可利用模长公式求解.【详解】在上投影向量为，故，因此，故选：A5.已知函数在处有极小值，则极大值为（）A.32 B.1 C. D.0【答案】C【解析】【分析】求导，根据极值点可得或，即可代入导数中，确定函数单调性，得函数的极值点求解.【详解】由题意可得，由于是极小值点，故，或,当时，，当和时，，当时，，故在单调递减，在和单调递增，此时是函数的极大值点，不符合题意，舍去，当时，，当和时，，当时，，故在单调递减，在和单调递增，此时是函数的极小值点，符合题意，且是极大值点，故极大值为，故选：C6.六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有A.192种 B.216种 C.240种 D.288种【答案】B【解析】【详解】分类讨论，最左端排甲；最左端只排乙，最右端不能排甲，根据加法原理可得结论．解：最左端排甲，共有=120种，最左端只排乙，最右端不能排甲，有=96种，根据加法原理可得，共有120+96=216种．故选B．7.已知，动圆经过原点，且圆心在直线上.当直线的斜率取最大值时，动圆的面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据圆心直线上可得，即可根据基本不等式求解的最值，即可得斜率的最值，根据不等式取等条件可得圆的半径.【详解】由于经过原点，所以，圆心在直线上,所以，故，当且仅当，即时等号成立，故，当且仅当时等号成立，故，因此圆的面积为，故选：C8.已知分别为上的奇函数和偶函数，且满足，当时，，若，则大小关系为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用分别为上的奇函数和偶函数，得的周期为2，且求出，利用导数判断出时，为单调递增函数，再利用对数的性质判断出的大小可得答案.【详解】因为分别为上的奇函数和偶函数，所以，由，得，所以，可得的周期为2，又，可得，两式相加可得，当时，因为都是增函数，所以为增函数，且，所以为单调递增函数，，，，所以.故选：A.【点睛】关键点点睛：解题的关键点是求出，利用导数判断出时，为单调递增函数.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.为了弘扬奥运会中我国射击队顽强拼博的布斗精神，某校射击兴趣小组组织了校内射击比赛，得到8名同学的射击环数为：6，6，7，8，9，9，9，10（位：环），则这组样本数据的（）A.极差为4 B.平均数是8C.75%分位数是9 D.方差为4【答案】ABC【解析】【分析】根据极差、方差、平均数、百分位数定义，结合给定数据求对应值，即可判断各项正误.【详解】将这组数据从小到大排序，得，这组数据的极差为，故A正确；平均数为，故B正确；因为，所以第75%分位数为，故C正确；方差为，故D错误.故选：ABC10.已知函数，则下列结论正确的是（）A.的最小正周期为B.在区间上为增函数C.的对称中心为D.的最小值为【答案】ACD【解析】【分析】根据周期函数的定义及性质判断A，根据对称性判断C，利用导数说明函数在上的单调性，求出最小值，即可判断D，结合D判断B.【详解】对于A：因为的最小正周期为，的最小正周期为，所以的最小正周期为，事实上，故A正确；对于C：，，所以的对称中心为，故C正确；对于D：因为的最小正周期为，所以只需考虑求在上的最小值即可.又，则，令，求得或，所以当或时，，此时，则在上单调递增，当时，，此时，但不恒为，则在上单调递减，则当时，函数取得最小值，为，故D正确；对于B：由D可知在区间上不单调，所以在区间上不单调，故B错误.故选：ACD11.已知椭圆的离心率为，左焦点为，直线与交于两点，轴，垂足为，直线与的另一个交点为，则（）A. B.直线的斜率为C.的最小值为 D.为直角【答案】ABD【解析】【分析】根据离心率即可求解A，根据斜率公式即可求解B，根据椭圆定义，结合基本不等式的乘“1”法即可求解C，根据斜率公式可得，结合的斜率为，即可求解，进而根据求解D.【详解】由于，故，进而，故A正确，设,则,故，故B正确，对于C，取椭圆的右焦点,连接,根据对称性可知四边形为平行四边形，故，因此故，当且仅当，即，等号成立，故的最小值为，故C错误，对于D，设，则，故，故，因此，故，即为直角，故选：ABD【点睛】关键点点睛：根据，可得，进而根据求解垂直.三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.曲线过点的切线方程为__________.【答案】【解析】【分析】求导，根据点斜式求解直线方程，代入即可求解，进而可求解.【详解】设切点为，则，故切线方程，将代入可得，解得，故切线方程为，即，故答案为：13.已知，则__________.【答案】【解析】【分析】根据二倍角公式以及弦切互化可得，进而利用正切的二倍角公式求解即可.详解】由可得，故，故答案为：14.如图，揽月阁是现今留存的反映我国古代文化的标志性建筑，可近似视为一个正四棱台.现有一个揽月阁模型，下底面边长为，其内切球的体积为，则其外接球的表面积为__________.【答案】【解析】【分析】作出正四棱台及其内切球的轴截面，求出正四棱台的上底面边长，再求出外接球半径即可得解.【详解】正四棱台下底面边长，设其内接球半径为，则，解得，取的中点，则四边形内切圆是正四棱台内接球的截面大圆，则四边形是等腰梯形，，而，，整理得，而，则，设为正四棱台外接球球心，为该球半径，则，令分别为正四棱台上下底面的中心，则，，，，当球心在线段时，，解得，球的表面积为；当球心在线段的延长线时，，无解，所以所求外接球表面积.故答案为：【点睛】关键点点睛：几何体的外接球的表面积、体积计算问题，借助球的截面小圆性质确定出球心位置是解题的关键.四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.全国“村BA”篮球赛点燃了全民的运动激情，深受广大球迷的喜爱.新疆有一支“村BA”球队，甲球员是其主力队员，统计该球队在某个赛季的所有比赛，将甲球员是否上场与该球队的胜负情况整理成如下列联表：甲球员是否上场球队的胜负情况合计胜负上场3640未上场6合计40（1）完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为球队的胜负与甲球员是否上场有关；（2）由于队员的不同，甲球员主打的位置会进行调整.根据以往的数据统计，甲球员上场时，打前锋、中锋、后卫的概率分别为，相应球队赢球的概率分别为.当甲球员上场参加比赛时，求甲球员打中锋且球队赢球的概率.附：.0.150.100.050.0250.0100.0012.0722.7063.8415.0246.63510.828【答案】（1）列联表见解析，能认为球队的胜负与甲球员是否上场有关（2）【解析】【分析】（1）根据二联表求解卡方，即可与临界值比较作答，（2）根据条件概率事件的概率公式即可求解.【小问1详解】根据题意，可得列联表：甲球员是否上场球队的胜负情况合计胜负上场36440未上场4610合计401050零假设为：球队的胜负与甲球员是否上场无关，根据列联表中的数据，经计算得到，根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为球队的胜负与甲球员是否上场有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001.【小问2详解】设“甲球员上场打中锋”，事件“球队赢球”，则，当甲球员打中锋且球队赢球的概率为：.16.在中，角所对的边分别为，其面积.（1）求的值；（2）若，且，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据三角形面积公式，结合正弦定理即可求解，（2）根据正弦定理边化角可求解，进而利用同角关系求解的正余弦，即可根据余弦的和差角公式求解，进而利用余弦定理即可求解.【小问1详解】由已知得，由正弦定理可得：，.【小问2详解】由可得，由（1）可得，解得，，，，，由余弦定理得：.17.如图，在等腰梯形中，，点为中点，点分别为的中点，将沿折起到的位置，使得平面平面.（1）求证：平面；（2）侧棱上是否存在点，使得平面？若存在，求平面与平面夹角的余弦值，若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在，【解析】【分析】（1）根据线线垂直，，即可根据线面垂直的判定求解，（2）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可利用法向量的夹角求解.【小问1详解】，且，故四边形是平行四边形，，又四边形为等腰梯形，，，可得是等边三角形，故四边形为菱形，是等边三角形，为中点，，同理，又平面，平面.【小问2详解】存在点，使得平面;设平面与平面夹角为.平面平面，平面平面平面，平面，又，建立以为原点，所在的直线为轴的空间直角坐标系，如图所示，，则，设，则，设平面的一个法向量，则，即，令，则，要使平面，则，即，解得，故在侧棱上存在点，使得平面，此时，，设平面的一个法向量，则，即，令，则，即，易得平面的一个法向量，故平面与平面的夹角的余弦值为.18.已知双曲线，点到的两条渐近线距离之比为，过点的直线与交于两点，且当的斜率为0时，.（1）求的方程；（2）若点都在的右支上，且与轴交于点，设，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据点到直线的距离公式可得，结合即可求解,（2）根据向量共线坐标关系可得坐标，进而得是一元二次方程的两个解，利用根的分布可得或，进而根据求解.【小问1详解】双曲线的渐近线方程为，由已知得，解得或，斜率为0时可得直线方程为：，代入双曲线方程可得：，，若，则可求得，若，则代入得无实数解，的方程为.【小问2详解】设点，由可得故：，代入双曲线方程得：，同理，，代入双曲线方程得：，是一元二次方程的两个解，，由题意可知，直线有斜率，设直线斜率为，则直线方程为：，与双曲线联立得：，由直线与双曲线交于右支得：，解得：或，又，由于或，故或，.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的范围或最值问题，可根据题意构造关于参数的目标函数，然后根据题目中给出的范围或由判别式得到的范围求解，解题中注意函数单调性和基本不等式的作用．另外在解析几何中还要注意向量的应用，如本题中根据向量的共线得到点的坐标之间的关系，进而为消去变量起到了重要的作用19.对于一个实数表示不超过的最大整数，也就是实数的整数部分，对应的的小数部分可以用表示，即定义“取小数函数”：.（1）求的值；（2）定义：，求的最大值；（3）已知数列满足，设，求数列的前项和.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据的定义即可求解，（2）根据，的定义可得，，即可对的范围讨论求解，（3）根据等比数列可得，即可根据放缩法，利用等比数列求和公式可得，结合的单调性即可求解.【小问1详解】【小问2详解】由题意可得，，则，，①当时，；②当时，，当增大时，增大，减小，当时，取得最大值，由，解得，此时；③当时，，当增大时，减小，增大，当时，取得最大值，由解得，此时；④当时，，；综上，.【小问3详解】数列是公比为2的等比数列，则，解得，，，又