2024-2025学年湖南省邵东市高二上册第一次月考数学检测试题（含解析）

2024-2025学年湖南省邵东市高二上学期第一次月考数学检测试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1已知集合，，则（）A. B. C. D.x0≤x<22.若，则（）A.1 B.2 C.3 D.43.若椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为（）A.6 B.或 C. D.或4.紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间.紫砂壶的壶型众多，经典的有西施壶､掇球壶､石瓢壶､潘壶等.其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图给出了一个石瓢壶的相关数据（单位：cm），那么该壶的最大盛水量为（） B. C. D.5.已知直线与圆相交于两点，则=（）A. B. C. D.6.设的内角A、B、C的对边分别是a，b，c，，且B为钝角．的取值范围（）A. B. C. D.7.如图，，是分别是双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上的一点，圆与三边所在的直线都相切，切点为，，，若，则双曲线的离心率为（）A. B.2 C. D.38.已知函数为定义在上的偶函数，，且，则下列选项不正确的是（）A. B.的图象关于点对称C.以为周期函数 D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.若、是两个不同的平面，、是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（）A.若，，则 B.若，，，则C.若，，则 D.若，，，则10.亚马逊大潮是世界潮涌之最，当潮涌出现时，其景、其情、其声，真是“壮观天下无”，在客观现实世界中，潮汐的周期性变化现象，我们通常需要借助于三角函数这一重要数学模型来研究．已知函数的图象关于直线对称，则下列选项正确的是（）A.B.直线是函数图象的一条对称轴C.在区间上单调递减D.若将函数图象上的所有点向左平移个单位长度后，得到的函数图象关于y轴对称，则m的最小值为11.已知双曲线E：的左､右焦点分别为，，过点作直线与双曲线E的右支相交于P，Q两点，在点P处作双曲线E的切线，与E的两条渐近线分别交于A，B两点，则（）A.若，则B.若，则双曲线的离心率C.周长的最小值为8D.△AOB（O为坐标原点）的面积为定值三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量与的夹角为，，，则为__________13.已知，则的值为__________．14.已知四棱锥的底面为矩形，，，侧面为正三角形且垂直于底面，为四棱锥内切球表面上一点，则点到直线距离的最小值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.多项选择题是标准化考试中常见题型，从，，，四个选项中选出所有正确的答案（四个选项中至少有两个选项是正确的），其评分标准为全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（1）甲同学有一道多项选择题不会做，他随机选择至少两个选项，求他猜对本题得5分概率；（2）现有2道多项选择题，根据训练经验，每道题乙同学得5分的概率为，得2分的概率为；丙同学得5分的概率为，得2分的概率为.乙、丙二人答题互不影响，且两题答对与否也互不影响，求这2道多项选择题乙比丙总分刚好多得5分的概率.16.已知圆.（1）若直线，证明:无论为何值，直线都与圆相交；（2）若过点的直线与圆相交于两点，求的面积的最大值，并求此时直线的方程.17.在中，已知，D为中点.（1）求A；（2）当时，求的最大值.18.如图，四面体中，，，，为的中点．（1）证明：平面平面；（2）设，，点上，①求四面体与其外接球的体积比（化为最简形式）②当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值．19.已知点，，动点满足直线与的斜率之积为．记的轨迹为曲线．（1）求的方程，并说明是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交于，两点，点在第一象限，轴，垂足为，连结并延长交于点．（ⅰ）证明：以为直径的圆必然经过点．（ⅱ）求的取值范围，并求当取得最小值时的直线的方程．2024-2025学年湖南省邵东市高二上学期第一次月考数学检测试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.x0≤x<2【正确答案】B【分析】求解不等式可得集合，根据对数函数的定义可得集合B，进而求解.【详解】因为，所以，则，因为，所以，则，所以，故选：B2若，则（）A.1 B.2 C.3 D.4【正确答案】D【分析】根据给定条件，利用复数的除法运算求出复数，即可求解作答.【详解】由得：，即，则，所以.故选：D3.若椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为（）A.6 B.或 C. D.或【正确答案】D【分析】根据离心率的计算公式，分焦点的位置，讨论即可求解．【详解】当焦点在轴时，由，解得，符合题意，此时椭圆的长轴长为；当焦点在轴时，由，解得，符合题意，此时椭圆的长轴长为．故选：D．4.紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间.紫砂壶的壶型众多，经典的有西施壶､掇球壶､石瓢壶､潘壶等.其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图给出了一个石瓢壶的相关数据（单位：cm），那么该壶的最大盛水量为（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】由题得上底面半径为4，下底面半径为6，圆台高为6，代入台体体积公式，即可得答案.【详解】由题意得上底面半径为4，面积，下底面半径为6，面积，圆台高h为6，则圆台的体积.故选：B5.已知直线与圆相交于两点，则=（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】先求得圆心半径，求得圆心到直线的距离，然后求得，利用二倍角公式求得，利用平面向量数量积的定义求得结果.【详解】由题意，圆心为，半径，因为圆心到直线的距离为则，则则.故选：D.6.设的内角A、B、C的对边分别是a，b，c，，且B为钝角．的取值范围（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】由正弦定理的边化角公式化简得出，，，最后由结合正弦函数的性质得出的取值范围.【详解】由以及正弦定理得，所以即，又B为钝角，所以，故于是，因为，所以由此，即的取值范围是故选：A7.如图，，是分别是双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上的一点，圆与三边所在的直线都相切，切点为，，，若，则双曲线的离心率为（）A. B.2 C. D.3【正确答案】B【分析】连接，，，由直线和圆相切的性质，可得，设，运用双曲线的定义，求得，再由圆外一点作圆的切线，则切线长相等，结合离心率公式即可得到所求值．【详解】解：连接，，，由直线和圆相切的性质，可得，设，由双曲线的定义可得，，则，，，由圆外一点作圆的切线，则切线长相等，即有，即，．故选：B．8.已知函数为定义在上的偶函数，，且，则下列选项不正确的是（）A. B.的图象关于点对称C.以为周期的函数 D.【正确答案】D【分析】令，求出可判断A；利用和得出可判断B正确；利用周期函数的定义和求出周期可判断C；赋值法求出，结合周期可判断D.【详解】因为函数为定义在上的偶函数，所以，，对于A，令，可得，因为，可得，故A正确；对于B，因为，所以，可得，从而，又因为，可得，所以，可得，所以图象关于点对称，故B正确；对于C，因为，所以，所以，可得，所以有，所以以6为周期的函数，故C正确；对于D，，，令可得，可得，令可得，可得，令可得，可得，令可得，可得，所以，所以，故D错误.故选：D.关键点点睛：适当的赋值和变量代换，是探求抽象函数周期的关键，求解抽象函数问题，要有扎实的基础知识和较强的抽象思维和逻辑推理能力.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.若、是两个不同的平面，、是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（）A.若，，则 B.若，，，则C.若，，则 D.若，，，则【正确答案】ABC【分析】利用线面垂直的性质和线面垂直的定义可判断A选项；利用线面垂直的性质可判断B选项；利用面面平行的性质可判断C选项；利用长方体可判断D选项.【详解】对于A选项，如下图所示：过直线作平面，使得，因为，，，则，因为，，则，因为，故，A对；对于B选项，因为，，则，又因为，所以，B对；对于C选项，因为，，由面面平行的性质可得，C对；对于D选项，如下图所示：以直线为直线，平面为平面，取直线为直线，（1）因为平面，若平面为平面，此时，；（2）因为平面，若平面为平面，此时，；（3）因为平面，若平面为平面，此时，、斜交.综上所述，、平行或相交（不一定垂直），D错.故选：ABC.10.亚马逊大潮是世界潮涌之最，当潮涌出现时，其景、其情、其声，真是“壮观天下无”，在客观现实世界中，潮汐的周期性变化现象，我们通常需要借助于三角函数这一重要数学模型来研究．已知函数的图象关于直线对称，则下列选项正确的是（）A.B.直线是函数图象的一条对称轴C.在区间上单调递减D.若将函数图象上的所有点向左平移个单位长度后，得到的函数图象关于y轴对称，则m的最小值为【正确答案】BCD【分析】根据正弦型函数周期公式判断A，根据正弦型函数的对称轴判断B，再由正弦型函数的单调性判断C，根据平移后图象关于y轴对称，利用诱导公式求解判断D.【详解】图象关于直线对称，，得，故A错误；所以，当时，，即，故B正确；当时，，由正弦函数单调性知函数单调递减，故C正确；由题可知平移后函数为，则的最小值为，故D正确．故选：BCD．11.已知双曲线E：的左､右焦点分别为，，过点作直线与双曲线E的右支相交于P，Q两点，在点P处作双曲线E的切线，与E的两条渐近线分别交于A，B两点，则（）A若，则B.若，则双曲线的离心率C.周长的最小值为8D.△AOB（O为坐标原点）的面积为定值【正确答案】ACD【分析】对于A，由双曲线的定义知，，结合，即可判定A.对于B，在中，由正弦定理得出，结合双曲线的定义求出，因为，即可判定B.对于C，由分析知，当直线PQ垂直x轴时，周长的最小值，代入即可判定C.对于D，设，过点P的双曲线E的切线方程为，与两条渐近线联立，求出A，B的坐标，又因为，故点P是AB的中点，所以，代入计算，即可判定D.【详解】由题意知，，则，所以有，从而，，故A正确.在中，由正弦定理得，则在，解得.又，所以，整理得，所以，解得，故B错误.当直线PQ垂直x轴时，的最小值为，，故C正确.设，过点P的双曲线E的切线方程为，E的渐近线方程为，不妨设切线与渐近线的交点为A，联立方程组，解得，即，同理可得.又因为点P在双曲线E上，则有，，故点P是AB的中点.设切线与x轴的交点为G，易知，所以，所以，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量与的夹角为，，，则为__________【正确答案】【分析】根据向量与的夹角为，，，由平方求解.【详解】解：因为向量与的夹角为，，，所以，故13.已知，则的值为__________．【正确答案】【分析】由两角和差的正弦公式及辅助角、二倍角公式进行化简求值即可.【详解】因为，化简得所以故14.已知四棱锥的底面为矩形，，，侧面为正三角形且垂直于底面，为四棱锥内切球表面上一点，则点到直线距离的最小值为______.【正确答案】【分析】根据题意得到平面截四棱锥的内切球所得的截面为大圆，在中计算得到内切球半径，最后利用线面垂直的判定定理和性质定理得到，结合球的性质得到距离的最小值.【详解】如图，过点作，交于点，由侧面为正三角形可知为中点，设中点为，连接.由题意得，平面截四棱锥的内切球所得的截面为大圆，此圆为的内切圆，设内切圆半径为，与，分别相切于点，，因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，而平面，则，因为，，所以，，，在中，，解得，所以四棱锥的内切球的半径为1，连接，因为平面，平面，所以，又，，平面，，所以平面，因为平面，所以，所以内切球表面上一点到直线的距离的最小值即为线段的长减去球的半径，又，所以四棱锥内切球表面上一点到直线的距离的最小值为.故答案为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.多项选择题是标准化考试中常见题型，从，，，四个选项中选出所有正确答案（四个选项中至少有两个选项是正确的），其评分标准为全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（1）甲同学有一道多项选择题不会做，他随机选择至少两个选项，求他猜对本题得5分的概率；（2）现有2道多项选择题，根据训练经验，每道题乙同学得5分的概率为，得2分的概率为；丙同学得5分的概率为，得2分的概率为.乙、丙二人答题互不影响，且两题答对与否也互不影响，求这2道多项选择题乙比丙总分刚好多得5分的概率.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）求出样本空间基本事件总数，由古典概型概率计算公式即可求解.（2）由互斥加法以及独立乘法公式即可求解.【小问1详解】甲同学所有可能的选择答案有11种：，其中正确选项只有一个，样本空间,共11个基本事件，所以他猜对本题得5分的概率为.【小问2详解】由题意得乙得0分的概率为，丙得0分的概率为，乙比丙刚好多得5分的情况包含：事件：乙得10分，丙得5分，则；事件：乙得7分，丙得2分，则；事件：乙得5分，丙得0分，则；所以乙比丙总分刚好多得5分的概率.16.已知圆.（1）若直线，证明:无论为何值，直线都与圆相交；（2）若过点的直线与圆相交于两点，求的面积的最大值，并求此时直线的方程.【正确答案】（1）见详解；（2）的面积的最大值为，此时直线方程为或.【分析】（1）只要证明直线过圆内一点即可；（2）根据题意，故设直线方程，可得圆心到直线的距离，又，代入，利用函数求最值即可得解.【小问1详解】转化的方程可得：，由，解得，所以直线恒过点，由，故点在圆内，即直线恒过圆内一点，所以无论为何值，直线都与圆相交；【小问2详解】由的圆心为，半径，易知此时直线斜率存在且不为，故设直线方程，一般方程为，圆心到直线的距离，所以所以，令，可得，当时，所以的面积的最大值为，此时由，解得，解得或，符合题意，此时直线方程为或.17.在中，已知，D为的中点.（1）求A；（2）当时，求最大值.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）根据两角和差及诱导公式结条件计算即可；（2）应用余弦定理结合基本不等式即可得出最大值.【小问1详解】，，即，，即.或，当时，，由，有，即时.当时，（舍）..【小问2详解】设，，由（1）及余弦定理有，即.，即，当且仅当时等号成立.由D为边的中点有，，当且仅当时等号成立.，当且仅当时等号成立.的最大值为.18.如图，四面体中，，，，为的中点．（1）证明：平面平面；（2）设，，点在上，①求四面体与其外接球的体积比（化为最简形式）②当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值．【正确答案】（1）证明见解析（2）①；②【分析】（1）由，证得，再由，得到，证得，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而得到平面平面；（2）①由（1）和题设条件，得到为边长为2的等边三角形，且为等腰直角三角形，取等边的外接圆的圆心，得到为四面体的球心，利用球的截面的性质，求得，结合锥体的体积和球的体积公式，即可求解；②由（1）知，证得，得到的长度最小时，的面积取得最小值，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求得向量和平面的一个法向量为，结合向量的夹角公式，即可求解.【小问1详解】证明：因为，且为的中点，所以，在中和中，因为，且，所以，所以，又因为为的中点，所以，因为，且平面，所以平面，又因为平面，平面平面.【小问2详解】解：①由（1）知，且，，所以为边长为2的等边三角形，则，因为且，所以为等腰直角三角形，且可得，且为的外接圆的圆心，又因为，可得，所以，取等边的外接圆的圆心，则为四面体的球心，且，设四面体的外接球的半径为，则，即，所以外接球的体积为，又由，所以，又因为，且，平面，所以平面，所以四面体的体积为，则，即四面体与外接球的体积比为.②由（1）知，平面，连接，因为平面，所以，当的面积最小时，