高中数学《高中全程学习方略》2025版必修第一册课时过程性评价三十一　对数的概念含答案

高中数学《高中全程学习方略》2025版必修第一册课时过程性评价三十一对数的概念含答案三十一对数的概念(时间:45分钟分值:100分)【基础全面练】1.(5分)已知对数式log(a+1)24-a有意义,则a的取值范围为 A.(-1,4) B.(-1,0)∪(0,4)C.(-4,0)∪(0,1) D.(-4,1)【分析】由对数式的意义列不等式组求解可得.【解析】选B.由题可知a+1>0a+1≠124所以a的取值范围为(-1,0)∪(0,4).2.(5分)(2023·南京高一检测)设5log5(2x-1A.10 B.13 C.100 D.±100【分析】利用对数的性质得2x-1=25,即可求x的值.【解析】选B.由对数的性质,得5log5(2x-3.(5分)若log2[log0.5(log2x)]=0,则x的值是 ()A.2 B.2 C.12 D.【解析】选A.因为log2[log0.5(log2x)]=0,所以log0.5(log2x)=1,所以log2x=0.5,所以x=2.4.(5分)(2023·苏州高一检测)若函数f(x)满足f(3x)=x,则f(7)= ()A.37 B.73 C.log37 D.log73【分析】由3x=7求出x后代入可得结论.【解析】选C.令3x=7,所以x=log37,所以f(7)=log37.【补偿训练】设f(log2x)=2x(x>0),则f(2)的值是 ()A.128 B.16 C.8 D.256【解析】选B.由log2x=2可知x=4,所以f(2)=24=16.5.(5分)(多选)(2023·海口高一检测)已知x=log43,则下列计算正确的有 ()A.4x=3 B.2x=3C.2-x=33 D.2x+2-x【解析】选ABC.因为x=log43,所以4x=3,故A正确;则22x=(2x)2=3,且2x>0,所以22-x=12x=132x+2-x=3+33=436.(5分)(多选)下列指数式与对数式互化正确的是 ()A.100=1与lg1=0B.9-12=13C.(3)2=3与log3D.lnN=12与N=【分析】根据ax=N⇒x=logaN逐项判断即可.【解析】选AC.依题意,由ax=N⇒x=logaN可得:对于A,100=1⇒lg1=0,故A正确;对于B,9-12=13⇒log9对于C,(3)2=3⇒log3对于D,lnN=12⇒e12=7.(5分)(2023·周口高一检测)41+log4【解析】41+log42=41答案:88.(5分)若对数方程lg2x+lgx-2=0的两根为x1,x2,则x1x2=.

【解析】lg2x+lgx-2=0⇒(lgx+2)(lgx-1)=0⇒lgx=-2,或lgx=1,lgx=-2⇒x=1100,lgx=1⇒x所以x1x2=1100×10=1答案:19.(5分)已知x=log23,则4x-4【分析】化简分式可得4x-4-x2x【解析】因为4x-4-x2x-2-x=(2x+2-答案:10【补偿训练】若a=log123,则4a+2-a=【解析】由a=log1可得12a=3⇒2a=所以4a+2-a=(2a)2+(2a)答案:2810.(10分)求下列各式中x的值:(1)log27x=-23;(2)logx16=-4;(3)lg11000=x【分析】根据对数的定义,进行指、对数式的互化即可求得答案.【解析】(1)由题意得,x=27-23=(33(2)由题意得,x-4=16⇒1x4=24,而x>0且x≠1,所以1x=2⇒x(3)由题意得,10x=11000=10-3⇒(4)由题意得,lne-3=-x⇒e-3=e-x⇒x=3.【综合应用练】11.(5分)方程lg(x2-1)=lg(2x+2)的根为 ()A.-3 B.3C.-1或3 D.1或-3【解析】选B.由lg(x2-1)=lg(2x+2),得x2-1=2所以方程lg(x2-1)=lg(2x+2)的根为3.12.(5分)(多选)有以下四个结论:①lg(lg10)=0;②lg(lne)=0;③若e=lnx,则x=e2;④ln(lg1)=0.其中正确的是()A.① B.② C.③ D.④【解析】选AB.因为lg10=lne=1,lg(lg10)=lg1=0,lg(lne)=lg1=0,所以①②均正确;③中若e=lnx,则x=ee,故③错误;④中lg1=0,而ln0没有意义,故④错误.【点睛】本题考查对数式正误的判断,解题时要熟悉对数恒等式的应用,同时也要掌握对数式与指数式的互化,考查计算能力,属于基础题.13.(5分)求下列式子值.(1)2log23+2log31-3log7(2)912log【分析】直接利用指、对数式的互化、对数的运算求解即可.【解析】(1)原式=3+2×0-3×1+3×0=0;(2)912log34=答案:(1)0(2)414.(10分)(2023·盐城高一检测)若log12x=m,log14y=m【解析】因为log12x=m,所以12m=x,x因为log14y=m+2,所以14m+2=y所以x2y=122【点睛】本题考查指数式和对数式的转化,属于基础题.15.(10分)若log2[log12(log2x)]=log3[log=log5[log15(log5z)]=0,试比较x,y,【解析】由log3[log13(log得log13(log3y)=1,log3y=13,y=31由log2[log12(log得log12(log2x)=1,log2x=12,x=21由log5[log15(log得log15(log5z)=1,log5z=15,z=51因为310>215>56,所以y>x>z.【创新拓展练】16.(5分)已知a,b,c是△ABC的三边,且关于x的二次方程x2-2x+lg(c2-b2)-2lga+1=0有两个相等的实根,则△ABC的形状是 ()A.锐角三角形 B.直角三角形C.等边三角形 D.钝角三角形【解析】选B.由题意知Δ=0,即(-2)2-4lg(化简得2lga-lg(c2-b2)=0,所以lga2c2所以a2+b2=c2,故△ABC是直角三角形.17.(5分)若r,s,t∈(0,1),且log4r=log5s=lgt,则 ()A.r14<s15<t110 BC.t110<s15<r14 D【分析】令log4r=log5s=lgt=a,由r,s,t∈(0,1)则a<0,将对数式转化为指数式,统一其指数为常数a20,比较其底数的大小关系,结合幂函数的性质解答【解析】选A.设log4r=log5s=lgt=a(a<0),则r=4a,s=5a,t=10a,r14=4a4=(45)a20,s15因为45>54>102>0,且函数y=xa20(a<0)在(0,+∞)上是减函数,所以r14<十不等关系与比较大小(时间:45分钟分值:100分)【基础全面练】1.(5分)大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌,是指示司机要安全通过该桥,应使车和货的总重量T满足的关系为 ()A.T<40 B.T>40 C.T≤40 D.T≥40【解析】选C.“限重40吨”用不等式表示为T≤40.【补偿训练】某校对高一美术生划定录取分数线,专业成绩x不低于95分,文化课总分y高于380分,体育成绩z超过45分,用不等式组表示为 ()A.x≥95,y≥380C.x>95,y>380【解析】选D.“不低于”即“≥”,“高于”即“>”,“超过”即“>”,所以x2.(5分)设M=x2,N=-x-1,则M与N的大小关系是 ()A.M>N B.M=NC.M<N D.与x有关【解析】选A.因为M-N=x2+x+1=(x+12)2+34>0,所以M3.(5分)若x∈R,y∈R,则 ()A.x2+y2>2xy-1 B.x2+y2=2xy-1C.x2+y2<2xy-1 D.x2+y2≤2xy-1【解析】选A.因为x2+y2-(2xy-1)=x2-2xy+y2+1=(x-y)2+1>0,所以x2+y2>2xy-1.4.(5分)在开山工程爆破时,已知导火索燃烧的速度是每秒12厘米,人跑开的速度是每秒4米,为了使点燃导火索的人能够在爆破时跑到100米以外的安全区,导火索的长度x(厘米)应该满足的不等式为 (A.4×2x≥100 B.4×2x≤100C.4×2x>100 D.4×2x<100【解析】选C.当导火索的长度为x厘米时,燃烧的时间为2x秒,人跑开的距离为(4×2x)米,为了保证安全,有4×2x>100.5.(5分)(多选)下面列出的几种不等关系中,正确的为 ()A.x与2的和是非负数,可表示为“x+2>0”B.小明的身高为x,小华的身高为y,则小明比小华矮,可表示为“x>y”C.△ABC的两边之和大于第三边,记三边分别为a,b,c,则可表示为“a+b>c且b+c>a”D.若某天的温度为t,最低温度为7℃,最高温度为13℃,则这天的温度范围可表示为“7℃≤t≤13℃”【解析】选CD.对于A,x与2的和是非负数,应表示为“x+2≥0”,故A错误;对于B,小明比小华矮,应表示为“x<y”,故B错误;对于C,根据三角形的性质,两边之和大于第三边,所以C正确;对于D,最低温度为7℃,最高温度为13℃,则这天的温度范围可表示为“7℃≤t≤13℃”,所以D正确.6.(5分)(多选)下列不等式成立的是 ()A.a2+2>2a B.a2+b2≥2(a-b-1)C.a2+b2≥ab D.1a2【解析】选ABC.因为a2+2-2a=(a-1)2+1>0,所以a2+2>2a,选项A正确;因为a2+b2-2(a-b-1)=a2-2a+1+b2+2b+1=(a-1)2+(b+1)2≥0,所以a2+b2≥2(a-b-1),选项B正确;因为a2+b2-ab=a2-ab+b24+3b24=(a-b2)2+3b24因为1a2+1-1a=(1a-12)2+347.(5分)不等式a2+4≥4a中,等号成立的条件为a=2.

【解析】令a2+4=4a,则a2-4a+4=0,所以a=2.8.(5分)某商品包装上标有质量500±1克,若用x表示商品的质量,则该商品的质量用不等式表示为499≤x≤501.

【解析】因为某商品包装上标有质量500±1克,若用x表示商品的质量,则-1≤x-500≤1,所以499≤x≤501.9.(5分)已知a,b∈R,且ab≠0,则ab-a2<b2(填“<”“>”或“=”).

【解析】两式作差得,ab-a2-b2=-(a-b2)2-34b2<0,所以ab-a2<b10.(10分)一个盒子中红、白、黑三种球分别为x个、y个、z个,黑球个数至少是白球个数的一半,至多是红球个数的13,白球与黑球的个数之和至少为55,试用不等式(组)将题中的不等关系表示出来【解析】根据题意可得y2≤z≤x3,y+【综合应用练】11.(5分)已知0<a1<1,0<a2<1,记M=a1a2,N=a1+a2-1,则M与N的大小关系是 ()A.M<N B.M>N C.M=N D.M≥N【解析】选B.因为0<a1<1,0<a2<1,所以-1<a1-1<0,-1<a2-1<0,所以M-N=a1a2-(a1+a2-1)=a1a2-a1-a2+1=a1(a2-1)-(a2-1)=(a1-1)(a2-1)>0,所以M>N.【补偿训练】已知a1>1,a2>1,设P=1a1+1a2,Q=1a1a2+1,则A.P>Q B.P<QC.P=Q D.不确定【解析】选B.P-Q=(1a1+1a2)-(1a1a2+1)=因为a1>1,a2>1,所以a1-1>0,1-a2<0,a1a2>0,所以P-Q=(a1-112.(5分)(多选)有学生若干人,住若干宿舍,如果每间住4人,那么还余19人,如果每间住6人,那么只有一间不满但不空,则宿舍间数和学生人数可以为 ()A.10间59人 B.11间63人C.12间67人 D.13间71人【解析】选ABC.设宿舍有x间,则学生有(4x+19)人,依题意,得4x+19<6x,4x+19>6因为x∈N*,所以x=10,11或12,学生人数分别为59,63,67.故宿舍间数和学生人数分别为10间59人,11间63人或12间67人.13.(5分)已知a=5x2+y2+z2,b=2xy+4x+2z-2,则a,b的大小关系为a≥b.

【解析】因为5x2+y2+z2-(2xy+4x+2z-2)=4x2-4x+1+x2-2xy+y2+z2-2z+1=(2x-1)2+(x-y)2+(z-1)2≥0,所以5x2+y2+z2≥2xy+4x+2z-2,当且仅当x=y=12且z=1时取到等号14.(10分)一个大于50小于60的两位数,其个位数字比十位数字大2,试用不等式表示上述关系,并求出这个两位数(用a和b分别表示这个两位数的十位数字和个位数字).【解析】由题意知50<10a+b<60,b-a=2,解得4811<a所以b=7,所以所求的两位数为57.15.(10分)已知0<a<b且a+b=1,求证:(1)a2+b