2024-2025学年江西省新余市高二上学期期末质量检测数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年江西省新余市高二上学期期末质量检测数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知直线l的一个方向向量为AB=(1,3)，则直线lA.30∘ B.45∘ C.60∘2.抛物线y=ax2的准线方程是y=2，则实数a的值为(

)A.18 B.−18 C.83.若点P(1,−1)在圆C：x2+y2−x+y+m=0的外部，则实数A.m>0 B.m<12 C.0<m<14.生物兴趣小组在研究某种流感病毒的数量与环境温度之间的关系时，发现在一定温度范围内，病毒数量与环境温度近似存在线性相关关系，为了寻求它们之间的回归方程，兴趣小组通过实验得到了下列三组数据，计算得到的回归方程为：y=−52x+44，但由于保存不妥，丢失了一个数据(表中用字母m代替)温度x(6810病毒数量y(万个)3022mA.m=19 B.m=20

C.m=21 D.m的值暂时无法确定5.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则(

)A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立 C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立6.若直线kx−y−2=0与曲线1−(y−1)2=x−1有两个不同的交点，则实数kA.(43,2] B.(43,4]7.已知P为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的点，F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，椭圆C的离心率为A.2 B.33 C.28.古希腊数学家阿波罗尼奥斯用不同的平面截同一圆锥，得到了圆锥曲线，其中的一种如图所示.用过M点且垂直于圆锥底面的平面截两个全等的对顶圆锥得到双曲线的一部分，已知高PO=2，底面圆的半径为4，M为母线PB的中点，平面与底面的交线EF⊥AB，则双曲线的两条渐近线所成角的余弦值为(

)

A.45 B.35 C.56二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知圆O:x2+yA.过点P1,1作直线与圆O交于A,B两点，则AB范围为22,4

B.过直线l:x+y−4=0上任意一点Q作圆O的切线，切点分别为C,D,则直线CD必过定点1,1

C.圆O与圆C:x−32+y−42=r2(r>0)有且仅有两条公切线，则实数10.下列说法正确的是(

)A.若二项式(a+b)n的展开式中，第3项的二项式系数最大，则n=5

B.若(1−2x)8=a0+a1x+a2x2+…+11.已知F1，F2是椭圆x2a12+y2bA.a12−b12=a22+三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.随机变量ξ的分布列如下：ξ012P1ab若Eξ=1，则Dξ=13.将甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者分配到A、B、C三项不同的公益活动中，每人只参加一项活动，每项活动都需要有人参加，其中甲必须参加A活动，则不同的分配方法有

种.(用数字作答)14.如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB=2AC=2，沿AC将▵ACD折起到▵PAC的位置，使得点P到点B的距离为13，则二面角P−AC−B的大小为

．

四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)已知圆C:x2+(1)过P作圆C的切线，求切线方程;(2)过P作直线与圆C交于A，B两点，且|AB|=2，求直线AB的方程16.(本小题12分)为了调查学生喜欢跑步是否与性别有关，高三年级特选取了200名学生进行了问卷调查，得到如下的2×2列联表：喜欢跑步不喜欢跑步合计男生80女生20合计已知在这200名学生中随机抽取1人抽到喜欢跑步的概率为0.6．(1)判断：是否有90%的把握认为喜欢跑步与性别有关？(2)从上述不喜欢跑步的学生中用分层抽样的方法抽取8名学生，再在这8人中抽取3人调查其喜欢的运动，用X表示3人中女生的人数，求X的分布及数学期望．附：χ2=n(ad−bcα0.100.050.005x2.7063.8417.87917.(本小题12分)如图，在四棱锥P−ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是平行四边形，且AB=22，AD=2，

(1)求证：BD⊥平面PAD；(2)若PA=PD=22，在棱PB上是否存在一点M，使得直线CD与平面ACM所成角的正弦值为3618.(本小题12分)某学校信息科技小组为了研究“加密信息传递过程中被破解问题”的一项“微课题”，进行了一次探究活动.将传递的信息编码分别用“α，β，γ，δ”四种字符代替，并随机等可能发送，每次只传递一种字符，且在发送过程中，“α，β，γ，δ”四种字符被破解情况如下：传递信息字符αβγδ破解后信息字符α，β，γα，β，δβ，γ，δα，γ，δ(每一种传递字符等可能被破解，如“传递字符α”等可能被破解为“α，β，γ”)(1)若破解后信息字符为“β”，求破解正确的概率;(2)现已知连续三次传递信息字符均为“β”，设被破解后信息字符正确的个数为X，求X的分布列和数学期望;(3)若连续三次传递信息，被破解后信息字符均为“β”，设传递信息字符只有一种的概率为P1，传递信息字符只有两种的概率为P2，传递信息字符有三种的概率为P3，请比较P1，P19.(本小题12分)“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张纸片，按如下步骤折纸：步骤1：在纸上画一个圆A

，并在圆外取一定点B

；步骤2：把纸片折叠，使得点B

折叠后与圆A

上某一点重合；步骤3：把纸片展开，并得到一条折痕；步骤4：不断重复步骤2和3，得到越来越多的折痕．你会发现，当折痕足够密时，这些折痕会呈现出一个双曲线的轮廓．若取一张足够大的纸，画一个半径为2的圆A

，并在圆外取一定点B，AB=4

，按照上述方法折纸，点B

折叠后与圆A

上的点T

重合，折痕与直线TA

交于点P，P

的轨迹为曲线C

．(1)以AB

所在直线为x

轴建立适当的坐标系，求C

的方程；(2)设AB

的中点为O

，若存在一个定圆O

，使得当C

的弦PQ

与圆O

相切时，C

上存在异于P，Q

的点M，N

使得PM//QN，且直线PM，QN

均与圆O

相切．(i)求证：OP⊥OQ；(ii)求四边形PQNM面积的取值范围．

参考答案1.C

2.B

3.C

4.B

5.B

6.A

7.A

8.B

9.ABD

10.BD

11.ABD

12.2313.50

14.2π315.解：(1)由题知圆C:(x−2)2+(y−3)2因为(1−2)2+(0−3)2所以，当切线斜率不存在时，方程为x=1，此时与圆C相交，不满足题意;故设所求切线的斜率为k，方程为y=k(x−1)，因为y=k(x−1)与圆C相切，所以，6=|k−3|1+所以，所求切线方程为y=−3−26(2)因为|AB|=2，所以圆心到直线AB的距离为5当切线斜率不存在时，方程为x=1，圆心到直线AB的距离为1，不满足题意;所以，设直线AB的方程为y=k(x−1)，

所以，5=|k−3|1+k2，即2k2+3k−2=0，解得k=1

16.解：(1)由题可知，从200名学生中随机抽取1人抽到喜欢跑步的概率为0.6，故喜欢跑步的人有200×0.6=120(人)，不喜欢跑步的人有200−120=80(人)．喜欢跑步不喜欢跑步合计男生8060140女生402060合计12080200∴a=80，b=60，c=40，d=20，χ2故无90%把握认为喜欢跑步与性别有关．(2)按分层抽样，设女生x名，男生y名，880=x20=∴从不喜欢跑步的学生中抽取女生2名，男生6名，故X=0，1，2．PX=0=C20故X的分布为：X012P5153∴EX

17.解：(1)在▵ABD中，AB=2由余弦定理，得BD则AD2+BD2=AB平面PAD∩平面ABCD=AD,BD⊥AD,BD⊂平面ABCD，所以BD⊥平面PAD．(2)设AD,AB的中点分别为O,E，连接OP,OE，由PA=PD，得PO⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD,PO⊂平面PAD，则PO⊥平面ABCD，又OE⊂平面ABCD，则PO⊥OE，又OE//BD，AD⊥BD，则OE⊥AD，即OA,OE,OP两两互相垂直，以O为坐标原点，直线OA,OE,OP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系Oxyz，如图，

AD=2，则D(−1,0,0),A(1,0,0),B(−1,2,0),C(−3,2,0),P(0,0,7设BMBP=λ于是M(λ−1,2−2λ,设n=(x,y,z)是平面ACM的法向量，则令x=1，则y=2,z=7(3λ−2)设直线CD与平面ACM所成角为θ，CD=(2,−2,0)则sinθ=|即(3λ−2)27λ2所以存在点M，使得直线直线CD与平面ACM所成角的正弦值为36，

18.解:(1)记“破解后信息字符为β”为事件M,“传递信息字符为β”为事件N,

则P(M)=14×13+14×13+14×13=14,P(MN)=14×13=112,

所以P(N|M)=P(MN)P(M)=11214=13.

(2)依题意可知,若传递信息字符为β,则被破解正确的概率为13,X所有可能的取值为0,1,2,3,

P(X=0)=(1−13)3=827,PX0123p8421X~B(3,13),E(X)=3×13=1.

​​​​​​​(3)记“传递信息字符只有一种”为事件A.“传逆信息字符只有两种”为事件B、

​​​​​​​“传递信息字符有三种”为事件C.“被破解后信息字符均为β”为事件Y.

P(AY)=C31×(14×13)3,P(BY)=C31×(14×13)2×C21×(14×13)×3,

P(CY)=A33×(14×13)3,P(Y)=(14×13+119.解：(1)以AB所在直线为x轴，以AB的中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系．则

A−2,0,B2,0

.由折纸方法可知：

PB=PT

，

根据双曲线的定义，C是以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线，设其方程为

x2a2−y2b2=1a>0,b>0,故C的方程为

x2−(2)(i)假设存在符合条件的圆O，如图所示：由

PM//QN

可得

∠MPQ+∠NQP=180∘

，根据切线的性质可知，

∠MPO=∠OPQ,∠NQO=∠OQP所以

∠OPQ+∠OQP=90∘

，即

OP⊥OQ(ii)分别作P，Q

关于原点O

的对称点

N′,M′

，

则

N′,M′

均在C上，且四边形

PQN′M′

为菱形，

所以

PM′,QN′

均与O相切，所以

M′

与M重合，

N′

与N重合，

所以四边形

PQNM

为菱形．显然，直线OP，OQ

的斜率均存在且不为