2025届北京市高三数学二轮复习：统计与概率 过关检测（含答案）

北京市2025届高三数学二轮复习专题过关检测

统计与概率

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合

题目要求的一项.

1.某市6月前10天的空气质量指数为35,54,80,86,72,85,58,125,111,53,则这组数据

的第75百分位数是（）

A.85B.85.5C.86D.98.5

2、某校学生科研兴趣小组为了解：T12岁儿童的体质健康情况，随机调查了20名儿童的相关数据,

分别制作了肺活量、视力、肢体柔韧度、BMI指数和身高之间的散点图，则与身高之间具有正相关

关系的是（）

肺小视八

活力

。靠。身高

肢

BM1A

体指

柔数

韧••••••

度・・•・•・・

。,°身高

A.肺活量B.视力C.肢体柔韧度D.BMI指数

3、从20名学生中随机选出2名学生代表，则甲学生被选中的概率是（）

1111

A.—B.-C.-D.一

10654

4、袋中有10个大小相同的小球，其中7个黄球，3个红球.每次从袋子中随机摸出一个球，摸出的

球不再放回，则在第一次摸到黄球的前提下，第二次又摸到黄球的概率为（）

5、小明投篮3次，每次投中的概率为0.8,且每次投篮互不影响，若投中一次得2分，没投中得0

分，总得分为X,则（）

A.E（X）=2.4B,£（X）=4.8C.Z）（X）=0.48D.。（幻=0.96

6、己知一批产品中，A项指标合格的比例为80%,B项指标合格的比例为90%,A、B两项指标都

合格的比例为60%,从这批产品中随机抽取一个产品，若A项指标合格，则该产品的B项指标也合

格的概率是()

3235

A.-B.-C.-D.一

7346

7、抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：G="点数不大于3",。2="点数大于3",c3=

"点数大于5"；"点数为奇数"；耳="点数为汽其中，=1,2,3,4,5,6.下列结论正确的是

()

A.B.Z)=£,U£3U£5C.。2与C3互斥D.4与七2互为对立

8、为了了解居家学习期间性别因素是否对学生体育锻炼的经常性有影响，某校随机抽取了40名学生

进行调查，按照性别和体育锻炼情况整理出如下的2x2列联表：

锻炼情况

性别合计

不经常经常

女生/人14721

男生/人81119

合计/人221840

-9n(ad—6cy

汪：Z独立性检验中'”一(°+次+d)(a+c)(b+d)'

常用的小概率值和相应的临界值如下表:

a0.10.050.010.0050.001

X。2.7063.8416.6357.87910.828

根据这些数据，给出下列四个结论：

①依据频率稳定于概率的原理，可以认为性别对体育锻炼的经常性有影响；

②依据频率稳定于概率的原理，可以认为性别对体育锻炼的经常性没有影响；

③根据小概率值a=0.05的独立性检验，可以认为性别对体育锻炼的经常性有影响，这个

推断犯错误的概率不超过0.05；

④根据小概率值a=0.05的独立性检验，没有充分证据推断性别对体育锻炼的经常性有影

响，因此可以认为性别对体育锻炼的经常性没有影响.

其中，正确结论的序号是

（A）①③（B）①④（C）②③（D）②④

9、设随机变量J的分布列如下：

412345

PQ]a2a3%%

则下列说法中不正确的是（）

A.P（^<2）=l-P（^>3）B.当％=《（〃=1,2,3,4）时，%=｝

C.若｛%｝为等差数列，则%=；D.｛%｝的通项公式可能为%=〃（二+］）

10、在一次考试中有一道4个选项的双选题，其中B和C是正确选项，A和D是错误选项，甲、乙

两名同学都完全不会这道题目，只能在4个选项中随机选取两个选项.设事件河="甲、乙两人

所选选项恰有一个相同"，事件N="甲、乙两人所选选项完全不同"，事件X="甲、乙两人所

选选项完全相同"，事件¥="甲、乙两人均未选择B选项”，则（）

A.事件M与事件N相互独立B.事件X与事件丫相互独立

C.事件M与事件丫相互独立D.事件N与事件丫相互独立

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11.甲、乙两地降雨的概率分别为60%和80%,两地同时降雨的概率为30%.则在甲地降雨的条件

下，乙地也降雨的概率为.

12、A,B,C三个班共有120名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一

周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）：

A班66.577.588

B班6789101112

C班46.588.51012.513.5

估计A班的人数有人；设B班体育锻炼时间的方差为s；,C班体育锻炼时间的方差为s；,

则s；s；（填：>,<,=）.

13、已知线性相关的两个变量x和V的取值如下表，且经验回归方程为》=0.95x+&,则，=

X0134

y2.24.34.86.7

14、袋中有编号为1,2,3,4,5的5个球，从中任取3个球，记X为取出的三个球的最小号码，

则尸（X=2）=.（用数字作答）

15、甲乙两人射击一架进入禁飞区的无人机.已知甲乙两人击中无人机的概率分别为0.5,0.4,且

甲乙射击互不影响，则无人机被击中的概率为.若无人机恰好被一人击中，则被击落的

概率为0.2；若恰好被两人击中，则被击落的概率为0.6,那么无人机被击落的概率为

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm）介于［15,25］之间，现对植物

园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示.

l频率/组距

0.150-----------］~

a-----------------------I-

0.100-----------------

0.075----n—

0.050—1—

一^^15171921,3高詹/阿

（1）求。的值；

（2）若从高度在［15,17）和［17,19）中分层抽样抽取5株，在这5株中随机抽取3株，记高度在

［15,17）内的株数为X,求X的分布列及数学期望E（X）.

（3）以频率估计概率，若在所有花卉中随机抽取3株，求至少有2株高度在［21,25］的概率.

17、随着科技的飞速发展，人工智能已经逐渐融人我们的日常生活.在教育领域，4的赋能潜力巨

大.为了解教师对4大模型使用情况，现从某地区随机抽取了200名教师，对使用4B、C、。四种

AI大模型的情况统计如下：

大模型的种

、'、、数01234

性别

男427231610

女648272415

在上述样本所有使用3种4大模型的40人中，统计使用从B、C、。的4大模型人次如下:

AI大模型种

XBCD

类

人次32303028

用频率估计概率.

(1)从该地区教师中随机选取一人，估计至少使用两种4大模型(4B、C、。中)的概率;

(2)从该地区使用3种4大模型(A、8,C,。中)的教师中，随机选出3人，记使用B的有X

人，求X的分布列及其数学期望£(X)；

(3)从该地区男，女教师中各随机选一人，记他们使用4X模型(A、B、C、。中)的种数分别

为y,z,比较y,z的数学期望£(y),£(z)的大小.(结论不要求证明)

18、为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据，如下表

所示.在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“-”表示“下

跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同.

时段价格变化

第1天到第

-++0---++0+0--+-+00+

20天

第21天到第

0++0---++0+0+---+0-+

40天

用频率估计概率.

(1)试估计该农产品价格“上涨”的概率；

(2)假设该农产品每天的价格变化是相互独立的.在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价

格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率；

(3)假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响.判断第41天该农产品价格“上

涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大.(结论不要求证明)

19、已知某险种的保费为0.4万元，前3次出险每次赔付0.8万元，第4次赔付0.6万元

赔偿次数01234

单数800100603010

在总体中抽样100单，以频率估计概率：

(1)求随机抽取一单，赔偿不少于2次的概率；

(2)(i)毛利润是保费与赔偿金额之差.设毛利润为X,估计X的数学期望；

(ii)若未赔偿过的保单下一保险期的保费下降4%,已赔偿过的增加20%.估计保单下一保险期

毛利润的数学期望.

20、某旅游景区为吸引更多游客，计划在官方网站平台和短视频平台同时进行广告宣传，两平台的

浏览用户均可通过手机扫描景区提供的二维码，网上购买该景区门票，每人限购一张.为了解两平

台的售票情况，从两平台的浏览用户中各随机抽取了1000人，对其是否购买了该景区门票进行统

计，获得数据如下:

户未购买景区门票用户

购买景区门票用户（人）

平（人）

官方网站250750

短视频200800

景区门票在官方网站平台和短视频平台的售价均为100元/人，其售票利润率分别是5%和

2%.

假设所有浏览用户是否购买景区门票相互独立.用频率估计概率.

（I）从短视频平台浏览用户中随机选取1人，估计此人为购买景区门票用户的概率；

（II）从官方网站平台浏览用户中，随机选取3人，用X表示这3人的购票费用总和，求随机变量

X的分布列和期望；

（III）经统计，官方网站平台和短视频平台的浏览用户分别为15万人和40万人左右.该景区按浏

览用户的人数向两平台支付广告宣传费用，向官方网站平台按5元/100人的标准支付，向短

视频平台按4元/100人的标准支付.为了获得最大的净利润（净利润=售票利润-广告宣传费

用），试分析该景区应选择在哪个平台继续加大广告宣传费用投入力度，并说明理由.

21、近年中国新能源汽车进入高速发展时期，2024年中国新能源汽车销售量已超过1100万辆，继

续领跑全球.某市场部为了解广大消费者购买新能源汽车和燃油汽车的情况，从某市众多4S店中任

意抽取8个作为样本，对其在12月份的新能源汽车、燃油汽车销售量（单位：辆）进行调查.统计

结果如下：

1店2店3店4店5店6店7店8店

新能源汽车销售108162320182211

量

燃油汽车销售量1411131921252326

（1）若从该市众多门店中随机抽取1个，估计该门店12月份新能源汽车销售量超过燃油汽车销售

量的概率；

（2）若从样本门店中随机抽取3个，其中12月份新能源汽车销售量不低于20辆的门店个数记为

X,求X的分布列和数学期望；

（3）新能源汽车销售量和燃油汽车销售量的样本方差分别记为S；和Si.试比较S；和S；的大小.

（结论不要求证明）

参考答案

一、选择题

1、C2、A3、A4、A5、B6、C7、B8、B9、D10、C

二、填空题

11、50%12、36<13、2.614、15、0.7,0.22.

10

三、解答题

16.(1)依题意可得(0.05+0.075+a+0.15+0.1)x2=1,解得。=0.125；

（2）由⑴可得高度在［15,17）和［17,19）的频率分别为0.1和0.15,

所以分层抽取的5株中,高度在［15,17）和［17,19）的株数分别为2和3,

所以X可取0,1,2,

r31“丫-⑴-CC-3X2_3

所以尸(x=o)=百-m,(一)一C-10~5

尸（'=＞等

所以X的分布列为:

3_6

W-5

（3）从所有花卉中随机抽取3株,

记至少有2株高度在［21,25］为事件M,

17、（1）记事件M为"从该地区教师中随机选取一人，至少使用两种4大模型”,

.,/\50+40+25

则估计尸(四)=———23

40

（2）记事件N为“从该地区使用3种4大模型的40名教师中随机选1人，该人使用模型B",

尸（T3

根据题中数据,

4

X的可能取值为0,1,2,3,

1

尸(X=O)=C：

64

3

尸(X=l)=C；।

27

尸(X=2)=C

64

27

尸(X=3)=C；

64

X的分布列为

X0123

192727

P

64646464

9

192727

E（X）=Ox—+lx—+2x—+3x—4-

64646464

（3）由题意可得该地区男，女教师人数分别为：80和120,

e曰厂八八八4127c23cl6.10161

则易求£(y)=0x---Flx-----F2x---F3x----F4x—

')8080808080~80

广/八648c27r24.15234辽厂八八厂

E（Z]=Ox-------+1lx----+2x------+3x------+4x------=------,故E（Y）＞£（Z）.

v7120120120120120120'）v7

18、（1）根据表格数据可以看出，40天里，有16个+,也就是有16天是上涨的，

根据古典概型的计算公式，农产品价格上涨的概率为：—=0.4

40

（2）在这40天里，有16天上涨，14天下跌，10天不变，也就是上涨，下跌，不变的概率分别是

0.4,0.35,0.25,

于是未来任取4天，2天上涨，1天下跌，1天不变的概率是C：X0.42XC；X0.35X0.25=0.168

（3）由于第40天处于上涨状态，从前39次的15次上涨进行分析，上涨后下一次仍上涨的有4次,

不变的有9次，下跌的有2次，

因此估计第41次不变的概率最大.

19、（1）设A为“随机抽取一单，赔偿不少于2次”,

60+30+101

由题设中的统计数据可得产（幺）=

800+100+60+30+1010

（2）（i）设，为赔付金额,则，可取0,0.8,1.6,2.4,3,

8001

由题设中的统计数据可得尸信=0）==：旌=叫=黑

100010

603303

PC=1.6）=尸（J=2.4）=

W0050WOOWO

101

PC=3）=

1000100

41331

故碓）=0x-+0.8x—+1,6x—+2.4x——+3x——=0.278

51050100100

故£（X）=0.4-0.278=0.122（万元）.

41

(ii)由题设保费的变化为0.4x—x96%+0.4x—xl.2=0.4032,

55

故E(y)=0.122+0.4032-0.4=0.1252(万元)

20、解：(I)设“从短视频平台浏览用户中随机选取1人，此人为购买景区门票用户”为事件

A,则用频率估计概率，P(A)=^-=~.

10005

(II)设“从官方网站浏览平台用户中随机选取1人，此人为购买景区门票用户”为事件3,

则用频率估计概率，/2)=当='.

10004

由题意，X的所有可能取值为0,100,200,300,且

尸(X=0)=%)审*，尸(X=100)=%)守*,

139131

P(X=200)=C^(-)2(-)'=—,P(X=300)=C；(/(/。=歹

所以随机变量X的分布列为

X0100200300

272791

P

64646464

2727914800

期望为E(X)=0x——+100x——+200x——+300x——==75.