2025年高考数学二轮复习 第三章 导数综合测试卷（新高考专用）（解析版）

第三章导数综合测试卷

（新高考专用）

（考试时间：120分钟；满分：150分）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写

在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要

求的。

1.（5分）（2024•四川内江•模拟预测）已知函数/（%）=—12+限，贝Him”岑^的值为（）

1

A.eB.-2C.--D.0

【解题思路】求出导数，由导数的定义知求r（1）即可得解.

【解答过程】因为/'（%）=—X+3

所以尸（1）=-1+1=0,

所以同"1+々一/⑴=0.

­△久

故选：D.

2.（5分）（2024・广东肇庆•一模）曲线y=%（%2—i）在％=1处的切线方程为（）

A.x=1B.y=1

C.y=2%+1D.y=2x—2

【解题思路】利用导数的几何意义求出斜率，再代入直线的点斜式方程化简即可

【解答过程】令f（x）=x（x2-l）,则尸（x）=3x2-l,即/⑴=2,/（1）=0,

所以曲线y=龙（/-l）在％=1处的切线方程为y-0=2（%-1）,即y=2x-2,

故选：D.

3.（5分）（2024•四川泸州•一模）已知函数/（x）=x（x-a）2在乂=1处取得极大值，贝ija的值是（）

A.1B.2C.3D.4

【解题思路】根据极值点求参数，再由所得参数验证在％=1处是否取得极大值，即可得答案.

【解答过程】由题设((%)=3久2一4。%+。2,则r(i)=3-4a+=0,可得。=1或。=3,

当。=1时/'(%)=3x2—4%+1=(3x—l)(x—1),

当》<《或久>1时—(%)>0,则/(%)在(一8、)和(L+8)上递增,

当!<%<1时广(X)<0,则/(x)在&1)上递减，

此时在久=1处取得极小值，不符；

当a=3时1(x)=3x2—12%+9=3(x—1)(%—3),

当％<1或x>3时尸(x)>0,则/'(%)在(-8,1)和(3,+8)上递增,

当1<x<3时［(久)<0,则/(x)在(1,3)上递减，

此时在x=l处取得极大值，符合；

综上，a=3.

故选：C.

4.(5分)(2024•全国•模拟预测)已知函数f(x)的定义域为R,若f(2x-l)+3,广(久-2)都是奇函数，且

力2025

广(1)=一2/(—1),则々仁/㈤二()

A.6B.-9C.3D.-12

【解题思路】利用奇函数的性质得到f(2x-l)+3=-/(-2x-l)-3,然后通过求导得到广(2K-1)=(

(―2x—1),再结合/(X—2)为奇函数得到r(x)的周期，根据/(2x—1)+3为奇函数和((1)=—2/(—1)得到广⑴,

最后利用周期性计算即可.

【解答过程】由/(2x—1)+3为奇函数可得/(2尤—1)+3=-/(-2x-l)-3,

两边分别求导可得2「(2x—1)=21(—2x—1),

即广(2久-1)=尸(-2%—1),故广(%-1)=((一刀一1),所以f(x—2)=f(t),

又/''(X—2)为奇函数，所以尸(x—2)=一尸(—x—2),可得x)=—x—2),

故r(久+2)=一/0),从而r0+4)=/口)，

故4是广(%)的一个周期，

在r(x+2)=—r(x)中，分别令％=i和2可得：r(3)=-r(i),尸(4)=一「⑵,

所以((1)+f(2)+f(3)+/(4)=0.

由/(2x—1)+3为奇函数可得/(—1)+3=0,

2025

广(£)=506x0+r⑴=6.

Zk=l

故选：A.

1Q1

5.(5分)(2024•吉林长春•模拟预测)已知a=si吃力=1咆J=3-5,贝！J()

A.c<b<aB.a<c<b

C.a<b<cD.b<a<c

【解题思路】先构造函数=sinx,xe[o,l),再应用函数单调性得出Singv?,再根据(|?<e<(|丫,

取对数判断得出[<尾<1,最后比较可得选项；

【解答过程】^/(x)=x-sinx,xG[0,1),则((x)=l-cosx20,所以/'(%)在[0,1)上单调递增，

所以/'(9>/(0)=0,BP-sin1>0,所以a=sing<提

因为(|)2<e<(|)1所以21nl<l<31n|,即*6=ln|<?；

又c=3*1>4-51=a1所以a<b<c.

故选：C.

6.(5分)(2024・吉林长春•一模)已知定义在(0,+8)上的函数人尤),广(久)是f(x)的导函数，满足%广

(%)-2/(%)<0,且/(2)=4,则不等式/(2，)一#>。的解集是()

A.(0,1)B.(0,2)C.(1,+oo)D.(-oo,l)

【解题思路】构造函数9(%)=等，由导数确定g(x)单调性，将已知不等式转化为关于g(x)不等式，然后利

用单调性即可求解.

【解答过程】设9。)=等，则9'0)=立窄曲，

因为x>0,xf'(x)-2f[x}<0,所以g(x)<0,可得g(x)在(0,+8)上单调递减，

不等式八2与>4”即竿>1=竽，即缁〉第，所以g(2x)>g(2),

因为g(x)在(0,+8)上单调递减，所以2工<2,解得：X<1,

所以不等式的解集为：(-8,1),

故选：D.

7.(5分)(2024•宁夏银川•模拟预测)己知a€N*,函数f(x)=e3,一久。>0恒成立，贝必的最大值为()

A.2B.3C.6D.7

【解题思路】由题意函数f(x)=e3x-乂。>0恒成立，可得到a为正奇数，讨论x的范围，参变分离转化成恒

成立问题，定义新函数求导求最小值，从而得到a的最大值.

【解答过程】当a为正偶数时，当％=—2时，/(-2)=e6-(-2)a<0,不合题意，所以a为正奇数，

则当久<0时，xa<0<e3x恒成立，只需研究x>0时，e3*—%。>0恒成立即可，

当x=l时，e3-l>0成立，则当xe(0,l)时，a>蚤，因为此时怒<0,所以恒成立.

当xe(l,+8)时，a<贰恒成乂，

设g(x)=蚤，KG(1，+8),则夕(x)=喘声，

令,(%)=0,得尤=6,

当Xe(l,e)时,g'(x)<0,g(X)单调递减，

当％e(e,+8)时,g'(x)>0,g(x)单调递增，

所以g(x)min=g(e)=3e28.2,又因为a为正奇数，

所以a的最大值为7.

故选：D.

8.(5分)(2024•辽宁•模拟预测)已知函数/'(X)=3若函数g(x)=[fCOF+a/(x)-e2-ae恰有5个不

同的零点，则实数a的取值范围是()

A.(-co,-2e)B.(-00,-e)C.(-8,-3D.

【解题思路】根据函数定义域，将函数分类讨论，借助于求导判断函数单调性，判断极值点和图象趋势，

作出函数的简图，将函数g(x)分解因式，根据零点定义，结合图象，确定/(x)=e有两个根，转化为

f(>)=-e-a有3个零点，由图即得参数范围.

【解答过程】函数/(%)=卷的定义域为{小丰0},

若x>0时，由/'(x)=亍求导得,f1(x)=。,

故当0<x<l时，/(久)<0,当x>l时，尸(x)>0,

所以fO)=：在(0,1)上单调递减,在(1,+8)上单调递增,且/(%)极小值=f(l)=e,

当Xj0+时，/(x)7+oo,当XT+8时，/(x)^+00;

若X<0时，由/'(久)=一^求导得，「(X)=°,

因％<0,故恒有r(x)>0,即/(X)-一三在(-8,0)上单调递增，

且当工——8时，y(x)to+,当x7o-时，/(%)^+oo,即x<o时，恒有y(x)>o.

又由g(x)=[/(x)]2+a/(x)-e2-ae=[/(x)-e][f(%)+e+a]=0可得/'(%)=e或/'(%)=-e-a,

由图知f(x)=e有两个根，此时g(x)有2个零点；

要使函数9(%)=[/(x)]2+af(x)-e2-ae恰有5个不同的零点，

需使/'(%)=—e-a有3个零点，由图知，需使/'(x)>e,即-e-a>e,解得a<-2e.

综上所述，实数a的取值范围是(-8,-2e).

故选：A.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的

要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.(6分)(2024•江苏徐州•模拟预测)设/(久)是定义在五上的函数/(久)的导函数，若f(x+2)=2-f

(2-x),且r(x+1)为奇函数，则()

A./(2)=1B./(x)为奇函数

%160

C.r(无)为周期函数D.〉/(/c)=60

【解题思路】对A：结合/(x+2)=2-/(2—x),赋值X=O代入计算即可得；对B：由r(x+l)为奇函数可

得/■(久+1)为偶函数，再利用偶函数的性质结合A中所得可得/(x)+f(-无)=2；对C：由B中所得f(x)+/

(2+x)=2,即可得/(x)=f(4+x),对其左右求导后结合周期性即可得；对D：由C中所得可得/(X)的周

期，结合赋值法计算出一个周期内的和即可得.

【解答过程】对A：由/(x+2)=2-f(2—x),/(x+2)+/(-%+2)=2,

令x=0,解得/(2)=1,故A正确；

对B：由广(x+1)为奇函数可得，贝犷(x+1)为偶函数，

所以/'(1+*)=/(1-久)，所以/(x)=/(2—t),

又/'(2-x)+/(2+x)=2,所以/'(x)+/(2+x)=2,

X/(-x)=/(2+x),所以/'(%)+/(-盼=2,故B错误;

对C：由/(久)+/(2+尤)=2可得，/(x+2)+/(4+x)=2,

所以/(%)=y(4+%),求导可得，r(x)=r(4+%),

故((无)的一个周期为4,故C正确；

对D：由f(x)=/(4+x),故/(X)的一个周期为4,

因为f(2-x)+f(2+x)=2,令x=l可得，f(l)+f(3)=2,

令x=2可得，/(2)+f(4)=2,所以f(l)+f(2)+/(3)+f(4)=4,

60

=4X15=60,故D正确.

Zk=l

故选：ACD.

10.(6分)(2024•广东佛山•模拟预测)已知函数f(x)=|%-2四—a,则()

A.〃>)在(1,2)上单调递增B.久=1是函数/(%)的极大值点

C.f(x)既无最大值，也无最小值D.当a6(1,2)时，f(x)有三个零点

【解题思路】先将/(%)用分段函数表示出来，再根据各个选项，利用导数研究其单调性、极值点、最值及零

点即可.

【解答过程】由题意得外吗=lx-2lex-a={$二二:；11，

所以「(功={器器：晨］

对于A,当xe(1,2)时，/'(%)=(l-x)ez<0,

所以八支)在(1,2)上单调递减，故A错误；

对于B,当x6(-8,1)时，f'(x)>0,当x6(1,2)时，/,(%)<0,当x6(2,+8)时，f'(x)>0,

所以人尤)在(—8,1)单调递增，在(1,2)单调递减，在［2,+8)单调递增，

所以x=1是函数f(x)的极大值点，故B正确；

对于C,当x->—8时，/(%)=\x-2\ex—a>-a,当xt+8时，/(%)—+8,

又/'(1)=e-a>/(2)=-a,

f(%)的大致图象如图所示，

/(X)的值域为［一3+8),

所以f(x)有最小值，无最大值，故C错误；

对于D,当x22时，/(x)在［2,+8)上单调递增，

因为a6(1,2),

所以f(2)=—a<0/(3)=e3-a>0,

所以/'(x)在［2,+oo)上有一个零点；

当*<2时，/(%)在(-8,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，

x

又/'(1)=e-a>0,当XT-8时，/(%)=\x-2\e-a>-aE(-2.-1),/(2)=-a<0.

结合/Xx)的大致图象(如上图)，

/(%)在(—8,1)有一个零点，在(1,2)上有一个零点，

综上，当ae(1,2)时，/O)有三个零点，故D正确.

故选：BD.

11.(6分)(2024•云南大理•一模)己知函数/(久)=xe，-a,则下列说法正确的是()

-1

A./(%)有最大值一%—a

B.当a=l时，f(久)的图象在点(0/(0))处的切线方程是)/=久一1

C.f(x)在区间［一2,0］上单调递减

D.关于x的方程/(久)=0有两个不等实根，贝心的取值范围是(-《0)

【解题思路】A选项，求导，得到函数单调性，进而求出最值；B选项，求出尸(0)=1/(0)=-1,利用导

数的几何意义得到切线方程；

C选项，在A选项基础上，得到函数单调性；D选项，xex-a=0<^%ex=a,令g(%)=%e"求导得到其单

调性和最值，

结合函数图象，得到a的取值范围是0).

【解答过程】因为f'(x)=e\x+1),

选项A,当久<一1时，尸(x)<0,当x>-l时，f(%)>0.

所以在区间上/(尤)单调递减，在区间(-1,+8)上f(x)单调递增，

所以/'(乂)有最小值/(-1)=-a,无最大值，故A错误；

选项B,当a=l时，f(0)=V(0)=-l，

所以f(x)的图象在点(0/(0))处的切线方程是y=X-1,故B正确；

选项C,因为在区间(-8,-1)上/(%)单调递减，在区间(-1,+8)上/(%)单调递增，故C错误；

选项D,方程/(%)=0,BPxex-a=00%e久—CL,

令9(%)=抚久，而。(%)=ex+xex=ex(x+1),

当％v-l时，g3<0,当%>一1时，g\x)>0.

所以在区间(一8,-1)上g(%)单调递减，在区间(一1,+8)上g(%)单调递增,

当％V0时g(%)V0,且g(0)=0,如图,

。的范围是(一(0),故D正确.

故选：BD.

第n卷(非选择题)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.(5分)(2024•广东河源•模拟预测)已知函数/(%)=e'-ln%+(1-TH)%-Imn的最小值为0,则m=

_e_.

【解题思路】根据给定的条件，利用同构变形并构造函数，借助函数的单调性转化成求函数的最小值.

【解答过程】依题意，e%-ln%+之0对于久>0恒成立，且能取得等号，

即+%>ln(mx)+mx=ln(mx)+0皿小无)对于久>0恒成立，且能取得等号，

函数9(%)=e*+%在(0,+8)上单调递增，不等式为g(%)>g[ln(zn%)],

则%>ln(mx),即e*>mx,因此m<?在(。,+8)上恒成立，且能取得等号，

设九(%)=/(%>0)，于是血是函数%(%)在(0,+8)上的最小值，

求导得"(x)=g萨，当xe(0,1)时，h|(x)<0,当xe(i,+8)时，〃Q)>0,

函数仅X)在(0,1)上递减，在(1,+8)上递增,且九(工)min=八(1)=e,

所以7n=e.

故答案为：e.

13.(5分)(2024•广东•模拟预测)若直线y=/c%(k为常数)与曲线/(%)=ln%,曲线g(%)=ae%均相切,

则a=_

【解题思路】设出切点，求导，根据点斜式求解切线方程，根据两直线相等，列方程可得xi=e,k=(进

-1

而代入在直线y=求解.

【解答过程】因为/'(%)=lnx,xe(0,+8),所以r(x)=g

11

设直线y=依与/(X)=In*的切点为(Xi,lnxi),则切线方程为y-lmq=云(工一工1),即丫=三比+Imq-1,

又因为y=for,所以［五一'解得xi=e,k=，，所以切线方程为y=?,

(In%1—1=0,ee

因为g(x)=aex,所以g，(x)=(ae*y=ae",

设直线y=%与g(x)=ae*的切点为(xo，ae，。)，所以g'(x())=ae*。=：①，

又因为切点Oo,ae*。)在直线y=1x上，所以ae*。=%()②，

由①和②可得%o=l,所以ae=：,解得a=5

故答案为：去.

1

14.(5分)(2024•陕西商洛•一模)已知函数f(久)=ln久-ae。。若对任意的xN(x)W0成立，则正数a

的取值范围是土出)一

【解题思路】将/'(%)W0构造成xlnxWeaxine%运用导数研究g(x)=xlnx单调性进而转化为a2当(x>^)

恒成立，令h(x)=等，运用导数可求得入。)的最大值即可.

【解答过程】由/(x)W0,BPlnx-aeaz<0,得InxWae%

因为xN工，所以xlnx<axeax-eax\neax.

e

设g(%)=xlnx,则g，(%)=Inx+1.

因为久2?,所以g，(x)20,所以g(x)在&+8)上单调递增.

因为Klnx4eaxine。*,所以g(x)W。作磔)，所以xWe。*,所以InxWax,所以aN笥.

设八(x)=野，则〃(x)=等.

由"(%)VO,得％,e,则九(%)在(e,+8)上单调递减；

由"(久)<0,得0V4Ve,则人(%)在(0,e)上单调递增.

故九(%)</i(e)=：,即a之；

故答案为：E，+8).

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

15.(13分)(2024•吉林•模拟预测)已知函数/'(x)=e2，+ex—x.

(1)求曲线y=f(x)在点(0/(0))处的切线方程；

(2)当xe［-1,0］时，求函数/(%)的最大值与最小值.

【解题思路】(1)求导，根据导数的几何意义可得切点和切线斜率，即可得切线方程；

(2)根据求导判断f(x)的单调性，结合单调性分析最值.

【解答过程】(1)因为/'(X)=e2x+则f'(x)=2e2x+e*-l,

可得/'(0)=2,广(0)=2,

即切点坐标为(0,2),切线斜率为k=2,

所以切线方程为y=2x+2.

(2)由(1)可得r(x)=2e2x+ex-l=(e，+l)(2ex-l),

且;贝亚支+1〉0,

令((%)>0,贝U2ex—1>0,解得—ln2<xW0；

令((%)<0，贝U2eX-l<0,解得一lWx<-ln2；

可知/(x)在［―1,—ln2)内单调递减，在(―ln2,0］内单调递增，

又因为以—1)=HFNf(0)=2,/(-ln2)=1+ln2,且艺当<2,

所以函数/(%)的最大值为2,最小值9+ln2.

16.(15分)(2024•河南•模拟预测)已知函数/'(久)=炉+ax(aeR)的一个极值点为x=1.

(1)求a的值；

⑵若过点(3,㈤可作曲线y=/(x)的三条不同的切线，求实数小的取值范围.

【解题思路】(1)根据f'(l)=3+a=0可得a=-3,即可验证求解，

(2)设出切点，根据点斜式直线方程，可将问题转化为加=-2端+9就-9有三个不同的根，构造函数g(x)

=-2x3+9x2-9,利用导数求解即可.

【解答过程】(1)尸(x)=3%2+a,由于x=l是极值点，故((1)=3+。=0,故a=-3,

当a=-3时，f'(x)=3x2—3=3(x4-l)(x—1),

当x>l或时，尸(%)>0,当一1<X<1时，f(%)<0,

故x=1是/(%)的一个极值点，故a=-3

(2)设切点为(%o，yo),则切点处的切线方程为y=(3xg-3)(x-x0)+就一3配，

将(3,血)代入可得血=(3胞一3)(3-々))+焉一3配，

故7n=-2%o+9就一9,

要使过点(3,6)可作曲线y=/(%)的三条不同的切线，则血=-2%o+9/-9有三个不同的交点，

记g(%)=-2"+9%2-9,则欧%)=-6/+18%=-6x(%-3),

当x>3或x<0时，g'(x)<0,当0<x<3时，g'(x)>0,

故g(x)在(3,+8),(-8,0)上单调递减，在(0,3)上单调递增，

且9(0)=—9,9(3)=18,

因此—9<m<18.

17.(15分)(2024•广东•模拟预测)已知函数/'(久)=-alnx,a6R.

(1)判断函数/(x)的单调性；

(2)若/■(>)N0恒成立，求a的值.

【解题思路】⑴先求出函数f(x)的导函数((久)；再分aW0和a>0两种情况，利用导数的方法分别判定

单调性即可.

(2)由(1)中函数单调性，当aWO时，根据函数单调性，以及f(1)=0,可判断当尤6(0,1)时，

不符合题意；当a>0时，根据函数单调性，得到/(x)min=a-l-alna,再令g(a)=a-l-alna(a>0),对

其求导，根据导数的方法求出其最值，即可结合题中条件求出结果.

【解答过程】(1)函数/'(X)的定义域为(0,+8),尸(%)=1-2='巴，

当aW0时，r(x)>0恒成立，f(x)在(0,+8)上单调递增.

当a>0时，由广(久)<0,得x6(0,a),由得x€(a,+oo),

则函数/(久)在(0,a)上单调递减，在(a,+8)上单调递增.

综上，当a<0时，f(x)在(0,+8)上单调递增；当a>0时，/(久)在(0,a)上单调递减，在(a,+8)上单调递增.

(2)由(1)知，当aWO时，/'(尤)在(0,+8)上单调递增，由/'(1)=0,知当x6(0,1)时，/(x)<0,不符合

题意；

当a>0时，函数f(x)在(0,a)上单调递减，在(a,+8)上单调递增，

故/'(x)min=/(a)=a-l-alna,

由/(%)>0恒成立，得a-1-alna>。恒成立，令g(a)=a-l-alna(a>0),

求导得g'(a)=-Ina,

当0<a<l时，g\d)>0,当a>l时，g,Qa)<0,

于是函数g(a)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减,

所以g(a)max=g⑴=o,故g(a)=a-1-alna<0恒成立,

因此g(a)=0=g(l),所以a=l.

18.(17分)(2024•安徽安庆•三模)已知函数/(x)=(ln|x|)2—(X+9+2,记尸(%)是fQ)的导函数.

(1)求尸(1)的值；

(2)求函数久久)的单调区间；

(3)证明：当时，(x-1)e~x+xln(^l+!)j>Inx-ln(x+1).

【解题思路】(1)求出当x>0时的/(x)的导函数尸(x)即可得；

(2)先分类讨论求出y=ln|x|的导函数，即可得函数f(x)的导函数，再借助导数构造相应函数去研究((久)

的正负，即可得函数/(x)的单调性；

(3)原问题可转化为证明：当”>1时，1^一三>k乐-3构造函数G(%)=W-三，可得G(x)的导函数

与f(x)的关系，即可得其单调性，即可得证.

【解答过程】(1)函数f(x)的定义域为{XWRI久力0},

当％>0时，/(x)=(lnx)2—(X+3+2,

此时(0)=等_(1_乡，所以尸(1)=0.

(2)先求y=ln|%］的导数，

1

当%>0时，y'=(Ini%!)7=(In%),=

当％<0时，y'=(ln|x|)z=(ln(—x))z=1,

当％wo时，总有y=(in|%|y=g,

所以r(X)=»-(l-9=2岫尸,

令g(x)=21n.|_x+;则,(%)=竽，。(幻=：一1一5=隼k=一三口w0,

所以g(x)在(-8,0),(0,+8)上均单调递减，

由(1)尸(1)=0,又尸(—1)=0,也即是g(±1)=0,

所以当》<-1时，g(x)>g(-i)=o，于是/(%)=卓<0,

所以〃X)在(-8,-1)上单调递减，

当一IV%VO时，g(%)<g(—i)=o,于是/(%)=竽>0,

所以/(%)在(-1,0)上单调递增，

当OV%<1时，g(%)>g(l)=o,于是r(%)=竽>0,

所以/(%)在(0,1)上单调递增，

当%>1时，g(%)<g(l)=o,于是r(%)=W^vo，

所以/(%)在(1,+8)上单调递减，

故/(%)的单调递增区间是(一1,0)和(0,1),

单调递减区间是(一8,-1)和(1,+8);

(3)当久>1时，要证(％—1)e—久+%ln(l+§)]>In%•ln(%+1),

只需证彳J+%(%—l)lng^>Inx-ln(x+1),

因为所以只需证》(%—l)lng^>In%-ln(x+1),

只需证%(%—+1)-Inx]>In%•In(%+1),

口壬ln(x+l)-lnx1

八lnxln(x+l)>x(x-iy

只需证立-ln(x+l)>二?一?

只需证底一三I>ln(x+l)-x,

令GDu'j------(x>1)，

vJInxx—1

则只需证G(%)>G(%+1)(%>1)(X)

中、1,1(1吟2一生显

因为GQ)=—即+正于=声而际

(lnx)2—(久+乡+2/(x)

=~(x-l)2(lnx)2~=(x-1)2(Inx)2

由(2)知，f(X)在(1,+8)上单调递减，

所以当x>l时，/(%)</(1)=0,所以。(久)<0,

所以GQ)在(1,+8)上单调递减，

又1<久<久+1,所以G(x)>G(K+1),即不等式(:※)成立，

故当x>1时，(x-1)e-x+xln(l+1)]>Inx-ln(x+1).

19.(17分)(2024•湖南郴州•模拟预测)已知函数/'(x)=2alnx+#-(a+2)久，其中a为常数.

(1)当a>0时，试讨论/(无)的单调性；

(2)若函数/(%)有两个不相等的零点打，%2,

(i)求a的取值范围；

(ii)证明：%i+x2>4.

【解题思路】(1)利用导数并讨论参数。的范围研究导数的符号，即可判断单调性；

(2)(