直线与平面的垂直课件 高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册_第1页
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8.6.2直线与平面的垂直感性认识感性认识能否用确切的数学语言刻画直线与平面垂直？

如图，是在阳光下观察直立于地面的旗杆AB及它在地面的影子BC.随着时间的变化，影子BC的位置在不断地变化，旗杆所在直线AB与其影子BC所在直线是否保持垂直?旗杆AB与地面上任意一条不过旗杆底部B的直又是什么位置关系？定义：一般地，如果直线

l与平面α内任意一条直线都垂直，我们就说直线

l

与平面α互相垂直，记作

l⊥α.“任意”可以改为“无数”吗？直线

l叫做平面α的垂线.平面α记作直线

l的垂面.直线与平面垂直时它们唯一的公共点P叫做垂足.“任意”可以改为“无数”吗？平面内有无数条直线，所以当然可以。无数≠所有！无数条平行线我们知道，过直线外一点，有且仅有一条直线与已知直线垂直.将这个结论推广到空间内，过平面外一点与已知平面垂直的直线有几条呢？为什么？PQH结论：平面外一点与已知平面垂直的直线有且仅有一条.PQ：垂线段|PQ|：点P到平面的距离探究—直线与平面垂直的判定过直线l上一点O作它的垂面α.任取直线a⊂α，b⊂α，且a,b交于点O∵l⊥α∴l⊥a,l⊥b∵经过两条相交直线，有且仅有一个平面∴直线a,b所确定的平面（记为β）就是已知垂面α判定定理：如果一条直线与平面内两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.例题—直线与平面垂直的判定（P151）例3求证：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.证明：如图2，在平面α内取两条相交直线m，n∵直线a⊥α，∴a⊥m,a⊥n.∵b//a，∴b⊥m，b⊥n.又m⊂a，n⊂a，m,n是两条相交直线，∴b⊥α.直线与平面垂直是直线与平面的相交时的一种特殊情况．当它们不垂直时，我们给出以下定义：如图，一条直线与一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足，过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO，过垂足和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.特别地，一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°，直线与平面所成的角的取值范围是0°≤≤90°.（P152）例4如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求直线AB和平面A1DCB1所成的角.解：连接BC1交B1C于点O，连接A1O，记∠BA1O为∠α显然，在正方体ABCD-A1B1C1D1中BC1⊥B1C且CD⊥平面BB1C1C又∵BC1∈平面BB1C1C∴BC1⊥CD又∵B1C∩CD=CB1C，CD⊂平面A1DCB1∴BC1⊥平面A1DCB1∴∠α即为所求角易得：BO=1/2BC1=1/2A1B∴在Rt▲A1BO中∠α=30°【注】直线与平面所成的角的取值范围是

0°≤≤90°.知识点小结1.直线与平面垂直的定义（垂足，垂线，垂面，垂线段，点到平面的距离）2.直线与平面垂直的判定定理3.直线与平面所成角

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