2017-2018学年物理人教版必修2讲义第6章万有引力与航天第6节

第6节习题课天体运动[学考报告]知识内容天体运动考试要求必考加试c基本要求1.掌握解决天体运动问题的思路和方法2．理解赤道物体、同步卫星和近地卫星的区别3．会分析卫星(或飞船)的变轨问题发展要求掌握双星的运动特点及其问题的分析知识点一解决天体运动问题的模型及思路[基础梳理]1．一种模型无论自然天体(如地球)还是人造天体(如宇宙飞船)都可以看做质点，围绕中心天体(视为静止)做匀速圆周运动。2．两条思路(1)在中心天体表面或附近时，万有引力近似等于重力，即Geq\f(Mm,R2)＝mg(g表示天体表面的重力加速度)，此式两个用途：①GM＝gR2，称为黄金代换法；②求g＝eq\f(GM,R2)，从而把万有引力定律与运动学公式相结合解题。(2)天体运动的向心力来源于中心天体的万有引力，即Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝mrω2＝meq\f(4π2,T2)r＝ma。[典例精析]【例1】地球半径为R0，地面重力加速度为g，若卫星在距地面R0处做匀速圆周运动，则()A．卫星速度为eq\f(\r(R0g),2) B．卫星的角速度为eq\r(\f(g,8R0))C．卫星的加速度为eq\f(g,2) D．卫星周期为2πeq\r(\f(2R0,g))解析由eq\f(GMm,2R02)＝man＝meq\f(v2,2R0)＝mω2(2R0)＝meq\f(4π2,T2)(2R0)及GM＝gReq\o\al(2,0)，可得卫星的向心加速度an＝eq\f(g,4)，角速度ω＝eq\r(\f(g,8R0))，线速度v＝eq\f(\r(2R0g),2)，周期T＝2πeq\r(\f(8R0,g))，所以A、C、D错误，B正确。答案B知识点二赤道上的物体与同步卫星、近地卫星的比较[基础梳理]1．三个物体求解卫星运行问题时，一定要认清三个物体(赤道上的物体、近地卫星、同步卫星)之间的关系。比较内容赤道表面的物体近地卫星同步卫星向心力来源万有引力的分力万有引力向心力方向指向地心重力与万有引力的关系重力略小于万有引力重力等于万有引力线速度v1＝ω1Rv2＝eq\r(\f(GM,R))v3＝ω3(R＋h)＝eq\r(\f(GM,R＋h))v1<v3<v2(v2为第一宇宙速度)角速度ω1＝ω自ω2＝eq\r(\f(GM,R3))ω3＝ω自＝eq\r(\f(GM,R＋h3))ω1＝ω3<ω2向心加速度a1＝ωeq\o\al(2,1)Ra2＝ωeq\o\al(2,2)R＝eq\f(GM,R2)a3＝ωeq\o\al(2,3)(R＋h)＝eq\f(GM,R＋h3)a1<a3<a22．四个关系“四个关系”是指人造卫星的加速度、线速度、角速度、周期与轨道半径的关系。eq\f(GMm,r2)＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(ma→a＝\f(GM,r2)→a∝\f(1,r2),m\f(v2,r)→v＝\r(\f(GM,r))→v∝\f(1,\r(r)),mω2r→ω＝\r(\f(GM,r3))→ω∝\f(1,\r(r3)),m\f(4π2,T2)r→T＝\r(\f(4π2r3,GM))→T∝\r(r3)))越高越慢[典例精析]【例2】如图1所示，地球赤道上的山丘e、近地资源卫星p和同步卫星q均在赤道平面上绕地心做匀速圆周运动。设e、p、q的圆周运动速率分别为v1、v2、v3，向心加速度分别为a1、a2、a3，则()图1A．v1>v2>v3B．v1<v2<v3 C．a1>a2>a3D．a1<a3<a解析卫星的速度v＝eq\r(\f(GM,r))，可见卫星距离地心越远，即r越大，则速度越小，所以v3<v2。q是同步卫星，其角速度ω与地球自转角速度相同，所以其线速度v3＝ωr3>v1＝ωr1，选项A、B均错误；由Geq\f(Mm,r2)＝ma，得a＝eq\f(GM,r2)，同步卫星q的轨道半径大于近地资源卫星p的轨道半径，可知q的向心加速度a3<a2。由于同步卫星q的角速度ω与地球自转的角速度相同，即与地球赤道上的山丘e的角速度相同，但q轨道半径大于e的轨道半径，根据a＝ω2r可知a1<a3。根据以上分析可知，选项D正确，选项C错误。答案D知识点三人造卫星的变轨问题[基础梳理]1．当卫星绕天体做匀速圆周运动时，万有引力提供向心力，满足Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)。2．当卫星由于某种原因速度改变时，万有引力不再等于向心力，卫星将做变轨运行。(1)当卫星的速度突然增加时，Geq\f(Mm,r2)<meq\f(v2,r)，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动。(2)当卫星的速度突然减小时，Geq\f(Mm,r2)>meq\f(v2,r)，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，卫星的发射和回收就是利用这一原理。3．卫星到达椭圆轨道与圆轨道的公切点时，卫星受到的万有引力相同，所以加速度相同。4．飞船对接问题：两飞船实现对接前应处于高低不同的两轨道上，目标船处于较高轨道，在较低轨道上运动的对接船通过合理地加速，做离心运动而追上目标船与其完成对接。[典例精析]【例3】2013年5月2日凌晨0时06分，我国“中星11号”通信卫星发射成功。“中星11号”是一颗地球同步卫星，它主要用于为亚太地区等区域用户提供商业通信服务。如图2为发射过程的示意图，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再一次点火，将卫星送入同步圆轨道3。轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是()图2A．卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率B．卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度C．卫星在轨道1上经过Q点时的速度大于它在轨道2上经过Q点时的速度D．卫星在轨道2上经过P点时的速度大于它在轨道3上经过P点时的速度解析同步卫星在圆轨道上做匀速圆周运动时有：Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，v＝eq\r(\f(GM,r))，因为r1＜r3，所以v1＞v3，由ω＝eq\f(v,r)得ω1＞ω3。在Q点，卫星沿着圆轨道1运行与沿着椭圆轨道2运行时所受的万有引力相等，在圆轨道1上引力刚好等于向心力，即F＝eq\f(mv\o\al(2,1),r)。而在椭圆轨道2上卫星做离心运动，说明引力不足以提供卫星以v2速率运行时所需的向心力，即F＜eq\f(mv\o\al(2,2),r)，所以v2＞v1。卫星在椭圆轨道2上运行到远地点P时，根据机械能守恒可知此时的速率v2′＜v2，在P点卫星沿椭圆轨道2运行与沿着圆轨道3运行时所受的地球引力也相等，但是卫星在椭圆轨道2上做近心运动，说明F′＞meq\f(v2′2,r)，卫星在圆轨道3上运行时，引力刚好等于向心力，即F′＝meq\f(v\o\al(2,3),r)，所以v2′＜v3。由以上可知，速率从大到小排列为：v2＞v1＞v3＞v2′。答案B[即学即练]探测器绕月球做匀速圆周运动，变轨后在周期较小的轨道上仍做匀速圆周运动，则变轨后与变轨前相比()A．轨道半径变小 B．向心加速度变小C．线速度变小 D．角速度变小解析由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2r,T2)知T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，变轨后T减小，则r减小，故选项A正确；由Geq\f(Mm,r2)＝man知r减小，an变大，故选项B错误；由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)知v＝eq\r(\f(GM,r))，r减小，v变大，故选项C错误；由ω＝eq\f(2π,T)知T减小，ω变大，故选项D错误。答案A知识点四双星问题[基础梳理]1．双星：两个离得比较近的天体，在彼此间的引力作用下绕两者连线上的某一点做圆周运动，这样的两颗星组成的系统称为双星。2．双星问题的特点：(1)两星的运动轨道为同心圆，圆心是它们之间连线上的某一点。(2)两星的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供。(3)两星的运动周期、角速度相同。(4)两星的轨道半径之和等于两星之间的距离，即r1＋r2＝L。3．双星问题的处理方法：双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，即eq\f(Gm1m2,L2)＝m1ω2r1＝m2ω2r2。4．双星问题的两个结论：(1)运动半径：m1r1＝m2r2(2)质量之和：m1＋m2＝eq\f(4π2L3,GT2)[典例精析]【例4】两个靠得很近的天体，离其他天体非常遥远，它们以其连线上某一点O为圆心各自做匀速圆周运动，两者的距离保持不变，科学家把这样的两个天体称为“双星”，如图3所示。已知双星的质量分别为m1和m2，它们之间的距离为L，求双星的运行轨道半径r1和r2及运行周期T。图3解析双星间的引力提供了各自做圆周运动的向心力对m1：eq\f(Gm1m2,L2)＝m1ω2r1，对m2：eq\f(Gm1m2,L2)＝m2r2ω2，且r1＋r2＝L，解得r1＝eq\f(Lm2,m1＋m2)，r2＝eq\f(Lm1,m1＋m2)。由Geq\f(m1m2,L2)＝m1r1eq\f(4π2,T2)及r1＝eq\f(Lm2,m1＋m2)得周期T＝eq\r(\f(4π2L3,Gm1＋m2))答案eq\f(Lm2,m1＋m2)eq\f(Lm1,m1＋m2)eq\r(\f(4π2L3,Gm1＋m2))1．如图4所示，a、b是两颗绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，它们距地面的高度分别是R和2R(R为地球半径)。下列说法中正确的是()图4A．a、b的线速度大小之比是eq\r(2)∶1B．a、b的周期之比是1∶2eq\r(2)C．a、b的角速度大小之比是3eq\r(6)∶4D．a、b的向心加速度大小之比是3∶2解析两卫星均做匀速圆周运动，F万＝F向，向心力选不同的表达形式分别分析，如下表：选项内容指向、联系分析结论A由eq\f(GMm,r2)＝meq\f(v2,r)得eq\f(v1,v2)＝eq\r(\f(r2,r1))＝eq\r(\f(3R,2R))＝eq\r(\f(3,2))错误B由eq\f(GMm,r2)＝mr(eq\f(2π,T))2得eq\f(T1,T2)＝eq\r(\f(r\o\al(3,1),r\o\al(3,2)))＝eq\f(2,3)eq\r(\f(2,3))错误C由eq\f(GMm,r2)＝mrω2得eq\f(ω1,ω2)＝eq\r(\f(r\o\al(3,2),r\o\al(3,1)))＝eq\f(3\r(6),4)正确D由eq\f(GMm,r2)＝ma得eq\f(a1,a2)＝eq\f(r\o\al(2,2),r\o\al(2,1))＝eq\f(9,4)错误答案C2．地球同步卫星离地心的距离为r，运行速度为v1，加速度为a1，地球赤道上的物体随地球自转的加速度为a2，地球的第一宇宙速度为v2，半径为R，则下列比例关系中正确的是()A．eq\f(a1,a2)＝eq\f(r,R) B．eq\f(a1,a2)＝(eq\f(r,R))2C．eq\f(v1,v2)＝eq\f(r,R) D．eq\f(v1,v2)＝(eq\f(R,r))2解析设地球质量为M，同步卫星的质量为m1，在地球表面绕地球做匀速圆周运动的物体的质量为m2，根据向心加速度和角速度的关系有a1＝ωeq\o\al(2,1)r，a2＝ωeq\o\al(2,2)R，又ω1＝ω2，故eq\f(a1,a2)＝eq\f(r,R)，选项A正确，B错误；由万有引力定律和牛顿第二定律得Geq\f(Mm1,r2)＝m1eq\f(v\o\al(2,1),r)，Geq\f(Mm2,R2)＝m2eq\f(v\o\al(2,2),R)，解得eq\f(v1,v2)＝eq\r(\f(R,r))，选项C、D错误。答案A3．如图5所示，a为地球赤道上的物体，b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星，c为地球同步卫星。关于a、b、c做匀速圆周运动的说法中正确的是()图5A．地球对b、c两星的万有引力提供了向心力，因此只有a受重力，b、c两星不受重力B．周期关系为Tc>Tb>TaC．线速度的大小关系为va<vc<vbD．向心加速度的大小关系为aa>ab>ac答案C4．如图6所示，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两颗星之间的距离为L，质量之比为m1∶m2＝3∶2，下列说法中正确的是()图6A．m1、m2做圆周运动的线速度之比为3∶2B．m1、m2做圆周运动的角速度之比为3∶2C．m1做圆周运动的半径为eq\f(2,5)LD．m2做圆周运动的半径为eq\f(2,5)L解析设双星m1、m2距转动中心O的距离分别为r1、r2，双星绕O点转动的角速度为ω，根据万有引力定律和牛顿第二定律得Geq\f(m1m2,L2)＝m1r1ω2＝m2r2ω2，又r1＋r2＝L，m1∶m2＝3∶2所以可解得r1＝eq\f(2,5)L，r2＝eq\f(3,5)Lm1、m2运动的线速度分别为v1＝r1ω，v2＝r2ω，故v1∶v2＝r1∶r2＝2∶3，综上所述，选项C正确。答案C1．关于近地卫星、同步卫星、赤道上的物体，以下说法正确的是()A．都是万有引力等于向心力B．赤道上的物体和同步卫星的周期、线速度、角速度都相等C．赤道上的物体和近地卫星的轨道半径相同但线速度、周期不同D．同步卫星的周期小于近地卫星的周期解析赤道上的物体是由万有引力的一个分力提供向心力，A项错误；赤道上的物体和同步卫星有相同周期和角速度，但线速度不同，B项错误；同步卫星和近地卫星有相同的中心天体，根据eq\f(GMm,r2)＝meq\f(v2,r)＝meq\f(4π2,T2)r得v＝eq\r(\f(GM,r))，T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，由于r同>r近，故v同<v近，T同>T近，D错误；赤道上物体、近地卫星、同步卫星三者间的周期关系为T赤＝T同>T近，根据v＝ωr可知v赤<v同，则速度关系为v赤<v同<v近，故C正确。答案C2．设地球半径为R，a为静止在地球赤道上的一个物体，b为一颗近地绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，c为地球的一颗同步卫星，其轨道半径为r。下列说法中正确的是()A．a与c的线速度大小之比为eq\r(\f(r,R))B．a与c的线速度大小之比为eq\r(\f(R,r))C．b与c的周期之比为eq\r(\f(r,R))D．b与c的周期之比eq\f(R,r)eq\r(\f(R,r))解析物体a与同步卫星c角速度相等，由v＝rω可得，二者线速度之比为eq\f(R,r)，选项A、B均错误；而b、c均为卫星，由T＝2πeq\r(\f(r3,GM))可得，二者周期之比为eq\f(R,r)eq\r(\f(R,r))，选项C错误，D正确。答案D3．有a、b、c、d四颗地球卫星，a还未发射，在地球赤道上随地球表面一起转动，b处于地面附近的近地轨道上做圆周运动，c是地球同步卫星，d是高空探测卫星，各卫星排列位置如图1所示，则有()图1A．a的向心加速度等于重力加速度gB．b在相同时间内转过的弧长最短C．c在4h内转过的圆心角是eq\f(π,4)D．d的运动周期可能是30h解析a受到万有引力和地面支持力，由于支持力等于重力，与万有引力大小接近，所以向心加速度远小于重力加速度，选项A错误；由v＝eq\r(\f(GM,r))知b的线速度最大，则在相同时间内b转过的弧长最长，选项B错误；c为同步卫星，周期Tc＝24h，在4h内转过的圆心角θ＝eq\f(4h,T)·2π＝eq\f(π,3)，选项C错误；由T＝eq\r(\f(4π2r3,GM))知d的周期最大，所以Td>Tc＝24h，则d的周期可能是30h，选项D正确。答案D4．(2016·8月温州选考模拟)登上火星是人类的梦想，“嫦娥之父”欧阳自远院士透露：中国计划于2020年登陆火星。地球和火星公转可视为匀速圆周运动，忽略行星自转影响。根据下表信息可知()行星半径/m质量/kg公转轨道半径/m地球6.4×1066.0×10241.5×1011火星3.4×1066.4×10232.3×1011A．火星的公转周期较小B．火星公转时的向心加速度较小C．火星公转时的线速度较大D．火星公转时的角速度较大解析由表中信息知r火＞r地，根据牛顿第二定律Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2r,T2)＝ma＝meq\f(v2,r)＝mrω2得：T＝eq\r(\f(4π2r3,GM))，a＝eq\f(GM,r2)，v＝eq\r(\f(GM,r3))，ω＝eq\r(\f(GM,r3))，轨道半径大，周期大，向心加速度小，线速度小，角速度小，故B正确，A、C、D不正确。答案B5．质量为m的探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，其运动视为匀速圆周运动。已知月球质量为M，月球半径为R，月球表面重力加速度为g，引力常量为G，不考虑月球自转的影响，则航天器的()A．线速度v＝eq\r(\f(Gm,R)) B．角速度ω＝eq\r(gR)C．运动周期T＝2πeq\r(\f(R,g)) D．向心加速度a＝eq\f(Gm,R2)解析对航天器：Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v2,R)，v＝eq\r(\f(GM,R))，故A项错误；由mg＝mω2R得ω＝eq\r(\f(g,R))，故B项错误；由mg＝m(eq\f(2π,T))2R得T＝2πeq\r(\f(R,g))，故C项正确；由Geq\f(Mm,R2)＝ma得a＝eq\f(GM,R2)，故D项错误。答案C6．冥王星与其附近的另一星体卡戎可视为双星系统，质量比约为7∶1，同时绕它们连线上某点O做匀速圆周运动。由此可知，冥王星绕O点运动的()A．轨道半径约为卡戎的eq\f(1,7)B．角速度大小约为卡戎的eq\f(1,7)C．线速度大小约为卡戎的7倍D．向心力大小约为卡戎的7倍解析两星绕连线上某点稳定转动，则转动周期和角速度相同，根据两星做圆周运动所需的向心力由万有引力提供，两星受到的万有引力为相互作用力，有eq\f(Gm1m2,L2)＝eq\f(4π2m1R1,T2)，eq\f(Gm1m2,L2)＝eq\f(4π2m2R2,T2)，解之得eq\f(R1,R2)＝eq\f(m2,m1)＝eq\f(1,7)，A选项正确，B选项错误；线速度v＝ωR，eq\f(v1,v2)＝eq\f(R1,R2)＝eq\f(1,7)，C选项错误；因两星向心力均由大小相等的相互作用的万有引力提供，D选项错误。答案A7．(2016·温州十校高一下学期联考)一人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，假如该卫星变轨后仍做匀速圆周运动，速度减小为原来的eq\f(1,2)，不考虑卫星质量的变化，则变轨前后卫星的()A．向心加速度大小之比为4∶1B．角速度大小之比为2∶1C．周期之比为1∶4D．轨道半径之比为1∶4解析该卫星变轨后仍做匀速圆周运动，速度减为原来的eq\f(1,2)；根据Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)可得：r＝eq\f(GM,v2)可知变轨后，轨道半径变为原来的4倍，选项D正确；根据Geq\f(Mm,r2)＝man，则an＝eq\f(GM,r2)，则变轨后的加速度变为原来的eq\f(1,16)，选项A错误；根据ω＝eq\f(v,r)可知变轨后角速度变为原来的eq\f(1,8)，选项B错误；根据T＝eq\f(2π,ω)可知，变轨后周期变为原来的8倍，选项C错误。答案D8．如图2所示，a、b、c是在地球大气层外圆形轨道上运行的3颗人造卫星，下列说法正确的是()图2A．b、c的线速度大小相等，且大于a的线速度B．a加速可能会追上bC．c加速可追上同一轨道上的b，b减速可等到同一轨道上的cD．a卫星由于某种原因，轨道半径缓慢减小，仍做匀速圆周运动，则其线速度将变小解析因为b、c在同一轨道上运行，故其线速度大小、加速度大小均相等。又由b、c轨道半径大于a轨道半径，由v＝eq\r(\f(GM,r))可知，vb＝vc<va，故选项A错；当a加速后，会做离心运动，轨道会变成椭圆，若椭圆与b所在轨道相切(或相交)，且a、b同时来到切(或交)点时，a就追上了b，故B正确；当c加速时，c受的万有引力F<meq\f(v\o\al(2,c),rc)，故它将偏离原轨道，做离心运动；当b减速时，b受的万有引力F>meq\f(v\o\al(2,b),rb)，它将偏离原轨道，做近心运动，所以无论如何c也追不上b，b也等不到c，故选项C错；对a卫星，当它的轨道半径缓慢减小时，由v＝eq\r(\f(GM,r))可知，r减小时，v逐渐增大，故选项D错误。答案B9．已知近地卫星线速度大小为v1，向心加速度大小为a1，地球同步卫星线速度大小为