2025年中考数学几何模型归纳训练：最值模型之胡不归模型解读与提分训练（原卷版）

专题33最值模型之胡不归模型

胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟

考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，

方便掌握。在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短。

例题讲模型］

模型1.胡不归模型（最值模型）

模型解读

从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家.根据“两点之间线段最短”，虽

然从他此刻位置A到家8之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙

子追悔莫及失声痛哭.邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？”

看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的

一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.

模型证明

一动点尸在直线"N外的运动速度为％,在直线MN上运动的速度为匕，且匕〈匕，4、5为定点,

点C在直线上，确定点C的位置使江+些的值最小.（注意与阿氏圆模型的区分）。

匕K

1）—+—=—[BC+^AC],记上=匕，即求BC+以C的最小值.

匕匕匕IV2）v2

2）构造射线AD使得sin/DAN",—=k,C〃=fc4C,将问题转化为求BC+CH最小值.

AC

3）过8点作BHLAD交MN于点C,交AD于H点,此时2C+C8取到最小值，即BC+姑C最小.

【解题关键】在求形如“必+女尸中的式子的最值问题中，关键是构造与小2相等的线段，将“B4+d2”型问题

转化为“E4+P。'型.（若Q1,则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。

【最值原理】垂线段最短。

模型运用

例1.（24-25九年级上•安徽合肥•阶段练习）如图，在VA8C中，NA=15。，AB=10,尸为AC边上的一个

动点（不与A、C重合），连接3P,则也AP+PB的最小值是（）

2

例2.（23-24九年级上•湖南娄底•阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB=3,E,P分别是边AD和对角线AC

4

上的动点，连接EP,记NBAC=a,若tano=1,则尸E+尸Ccosa的最小值为（）

B

A.3B.4C.5D.2.4

例3.（2024.陕西渭南•二模）如图，在菱形ABCD中，对角线A。、BD相交于点。，AC=8,BD=6,P是

3

对角线AC上的动点，贝尸的最小值为.

例4.（2023・云南昆明•统考二模）如图，正方形ABCD边长为4,点£是8边上一点，且NAB£=75。.P

是对角线3。上一动点，则+的最小值为（）

A.4B.4A/2C.亚+―D.应+而

12

例5.（23-24九年级上•江苏南通•阶段练习）如图，A3是：。的直径，CE切。于点C交A3的延长线于

点、E.设点。是弦AC上任意一点（不含端点），若NCEA=3O。，BE=4,则CD+2QD的最小值为（）

C

A.2A/3B.5/3C.4D.45/3

例7.（2023・四川自贡・统考中考真题）如图，直线y=-gx+2与x轴，y轴分别交于A,8两点，点。是线

段A8上一动点，点H是直线y=-gx+2上的一动点，动点双机0）,b（祖+3,0）,连接3E,DF,HD.当

BE+上取最小值时，33H+5D”的最小值是.

例8.（2024•山东济南•一模）实践与探究

【问题情境】（1）①如图1，RtAABC,?B90?,ZA=60°,D,E分别为边AB,AC上的点，DE//BC,

S.BC=2DE,则______；②如图2,将①中的VADE绕点A顺时针旋转30。，则£>E,3c所在直线较

AB

小夹角的度数为.

【探究实践】（2）如图3,矩形ABC。，AB^2,AD=2y/3,E为边AD上的动点，/为边BC上的动点，BF=2AE,

连接作BHLEF于H点,连接CH.当S的长度最小时，求3”的长.

【拓展应用】（3）如图4,RtAABC,ZACB=90°,ZCAB=60°,AC=6,。为AB中点，连接8,E,F

分别为线段3DCO上的动点，且Db=2BE,请直接写出+的最小值.

3

图1图2图3图4

例9.(24-25九年级上•江苏苏州•阶段练习)如图，二次函数＞代x+56的图象交x轴于A、8两

点，交y轴于点C,连接2C.(1)直接写出点2、C的坐标，B；C.

(2)点尸是y轴右侧抛物线上的一点，连接尸8、PC.若△PBC的面积15石，求点P的坐标.

(3)设E为线段BC上任意一点(不含端点)，连接AE,一动点M从点A出发，沿线段AE以每秒1个单位

速度运动到E点，再沿线段EC以每秒2个单位的速度运动到C后停止，求点M运动时间的最小值.

习题练模型

1.（2024•山东淄博•校考一模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（。，2）,点C的坐标是（0,-2）,点

8（尤,。）是x轴上的动点，点B在x轴上移动时，始终保持上钻尸是等边三角形（点P不在第二象限），连接PC,

A.4A/3B.4C.2逝D.2

2.（2024.四川德阳二模）如图，已知抛物线片加+法+c与x轴交于A（LO）,C（—3,0）两点,与y轴交于点

3（。，3）.若尸为y轴上一个动点，连接AP,则*BP+AP的最小值为（）

3.（2024•山东校考一模）如图，AB=AC,,C（1,0）,。为射线A。上一点，一动点尸从A出

发，运动路径为A-D-C,在上的速度为4个单位/秒，在C。上的速度为1个单位/秒，则整个运动时

4.（2023•湖南湘西•统考中考真题）如图，。是等边三角形A3C的外接圆，其半径为4.过点8作8ELAC

于点E,点P为线段BE上一动点（点P不与&E重合），则+的最小值为.

5.（2023・辽宁锦州・统考中考真题）如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,ZABC=30°,AC=4,按下列步

骤作图：①在AC和A3上分别截取AD、AE,使=②分别以点。和点E为圆心，以大于的

长为半径作弧，两弧在—54C内交于点③作射线AM交BC于点?若点尸是线段AF上的一个动点,

连接CP,则CP+^AP的最小值是.

6.（2022•湖北武汉•九年级期末）如图，团ABC。中NA=60。，AB=6,AD=2,P为边8上一点，则

出PD+2PB的最小值为.

7.（2023・江苏宿迁・统考二模）已知中，BC=6cm,ZA=60°,则43+1二LAC的最大值为

2

6cm

B

8.（2023・陕西西安•校考二模）如图，在RtABC中，ZACB=90°,ZB=30°,AB=8,。、/分别是边AB、

3c上的动点，连接CD,过点A作AELCD交BC于点E,垂足为G,连接GF,则GF+^-FB的最小值为

2

A

9.（2023上•四川成都•九年级校考期中）如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=8,点E,尸分别在边AD,BC

上，且AE=3,沿直线跖翻折，点A的对应点A，恰好落在对角线AC上，点B的对应点为点M为线

10.（2023•浙江宁波•九年级开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=*x-正分别交x轴、y

轴于A、B两点，若C为x轴上的一动点，则2BC+AC的最小值为.

11.（2023・四川成都•九年级校考期中）如图，在矩形ABCD中，AB=2,E是AC上一个动点，连接。区，

过点C作AC的垂线/,过点。作D尸，DE交/于点R过点。作DGL硬于点G,tanNEDG=^，点H

是AD中点，连接HE,贝UHE+qEC的最小值为.

H

AD

12.（2023春・广东广州•九年级校考阶段练习）如图，菱形ABCO的边长为5,对角线的长为46，P为

03上一动点，则AP+@O尸的最小值等于.

5

13.（2023・广东珠海•校考三模）如图，在Rt^ABC中，NACB=90。，AC=4,3c=3,点。是斜边AB上

的动点，则CO+交的最小值为.

14.（2024•湖北黄冈•模拟预测）如图，在ABC中，4c=90。，AB=2,AC=4后，点。是BC边上的

动点，连接AD,则3AD+OC的最小值为.

15.（2024•天津红桥•二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，等腰直角三角形A3C的顶点A在

格点上，ZC4B=90°,以A3为直径的半圆与边8C的交点。在网格线上.

CD

（1）胃的值等于.；（2）若尸为边AC上的动点，当.PC+2PB取得最小值时，请用无刻度

DB

的直尺，在如图所示的网格中，画出点P,并简要说明点尸的位置是如何找到的（不要求证明）.

16.（23-24八年级下•四川绵阳•阶段练习）如图，直线y=J尤-2分别交X轴，>轴于点A,点3,点C在V

轴正半轴上，且OC=Q4,点。（-2,⑹在直线AC上，点P是x轴上的一个动点，设点P横坐标为九

（1）求直线AC的函数解析式；（2）连接尸C,PD,若△[[）尸面积等于VABC面积的;，求r的值；

⑶求注AP+8尸的最小值.

2

17.（2024•四川德阳•中考真题）如图，抛物线y=/-x+c与x轴交于点A（-l,0）和点2,与y轴交于点C.

（1）求抛物线的解析式；（2）当0<xW2时，求y=x2-x+c的函数值的取值范围；（3）将抛物线的顶点向下平移

。个单位长度得到点点。为抛物线的对称轴上一动点，求尸A+好的最小值.

45

18.（2023•山东济南・统考二模）如图①，在矩形OA8C中，OA=4,OC=3,分别以OC、。4所在的直线为x

k

轴、y轴，建立如图所示的坐标系，连接反比例函数y=—。＞0）的图象经过线段的中点。，并与矩